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Teorema de Pitágoras (Perigal)

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Subido el 8 de mayo de 2017 por Pablo Jesus T.

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Hoy vamos a enseñar a realizar una construcción con GeoGebra sobre la demostración del teorema de Pitágoras por Perigal. 00:00:00

Vamos a la página web de GeoGebra, lanzamos nuestra aplicación, elegimos la vista geometría 00:00:07

y ahora vamos a opciones, etiquetado, para marcar que se nombren todos los objetos nuevos. 00:00:14

vamos ya a construir nuestro triángulo rectángulo 00:00:24

para eso elegimos la herramienta recta 00:00:28

marcamos dos puntos 00:00:30

ahora elegimos la herramienta perpendicular 00:00:32

y hacemos una perpendicular a esa recta que pase por A 00:00:34

y ahora para que en nuestra demostración este sea siempre el cateto largo 00:00:38

vamos a hacer lo siguiente 00:00:43

elegimos la herramienta circunferencia 00:00:45

y marcamos este punto C 00:00:48

Este punto C me va a servir para que ahora cuando haga el segmento AC y fije un punto A, un punto, perdón, en ese segmento, en este caso D, 00:00:54

el triángulo este va a ser rectángulo y además este cateto siempre va a ser más largo ya que D, aunque quisiéramos, no pasaría de C nunca. 00:01:09

¿De acuerdo? Así que vamos a pintar ya el triángulo, el rectángulo. 00:01:24

Muy bien, ahora vamos ya a ocultar el resto de objetos que hemos hecho y que ya no vamos a necesitar. 00:01:33

A D lo vamos a renombrar como C. 00:01:46

Ya existía un objeto que se llamaba C, da igual, cuando es el mismo tipo de objeto, 00:01:49

el propio GeoGebra se encarga del antiguo C 00:01:54

renombrarle a otra letra 00:01:58

aquí vamos a hacer lo mismo 00:02:01

y lo vamos a llamar C minúscula 00:02:03

y ya tenemos nuestro triángulo 00:02:06

rectángulo 00:02:09

vamos a poner C por dentro 00:02:11

y podemos ver que aunque hagamos lo que hagamos 00:02:13

siempre va a ser rectángulo 00:02:20

y C como máximo 00:02:22

el cateto B va a ser como máximo igual de largo 00:02:24

que el cateto C 00:02:28

también podemos poner ya C con el mismo estilo visual 00:02:32

para que no se diferencie 00:02:36

y la A la vamos a poner por fuera 00:02:38

bueno, pues ya tenemos listo 00:02:44

para ahora hacer la demostración del teorema de Pitágoras 00:02:48

para eso cojo la herramienta polígono regular 00:02:51

y voy a hacer un cuadrado sobre cada lado, sobre la hipotenusa, para que funcione bien la herramienta 00:02:53

hay que hacerlo siempre en sentido antihorario, así que pincharé CB, ahora aquí en sentido antihorario pincharé AC 00:03:00

y aquí para que funcione en sentido antihorario pues tengo que hacer BA, ya tenemos nuestro teorema de Pitágoras 00:03:09

que incluso podríamos simplemente demostrárselo a los chavales haciendo ahora las tres áreas. 00:03:19

La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. 00:03:26

Pero no es ese el objetivo en este momento porque vamos a hacer una demostración geométrica. 00:03:36

Así que voy a borrar estas fórmulas y vamos a ver cómo se haría la demostración de Perigal. 00:03:42

Lo primero que hago es elegir la herramienta punto medio centro y marco el centro de ese cuadrado. 00:03:53

También puedo ya, si quiero, ir marcando el centro de los otros tres cuadrados, 00:04:04

cuadrados porque los utilizaremos después. Vamos a limpiar esto un poco. Ahora cogemos 00:04:09

la herramienta paralela y marcamos en A la hipotenusa que pase por J. Ahora cogeremos 00:04:18

la herramienta perpendicular que pase por J. Y ahora con la herramienta de intersección 00:04:28

vamos a marcar los cuatro puntos de tal manera que hemos dividido el cuadrado sobre el cateto 00:04:37

mayor en 4 trapezoides. Si os dais cuenta, 1, 2, 3 y 4. Cada uno de los 4 se va a situar 00:04:45

en una de las esquinas del cuadrado sobre la hipotenusa. Este irá aquí, este irá 00:04:53

aquí, este irá aquí y este irá aquí arriba. Se dejará en un sitio justo en medio para 00:04:58

que quepa este rectángulo. Y esa es la demostración del teorema de Pitágoras por Perigal. 00:05:04

Pero vamos a hacer esto más bonito, vamos a hacer que esto se mueva. 00:05:15

Entonces, de momento, vamos a dar la vista algebraica 00:05:19

y voy a intentar utilizar en la entrada una variable tiempo. 00:05:22

Vamos a escribir t igual 1, 00:05:29

que va a ser la variable que luego va a determinar en la animación 00:05:33

cómo se mueven estos trapezoides. 00:05:36

Cuando doy Enter, fijaros lo que pasa. 00:05:39

Me dice error al definir. 00:05:42

¿Por qué? 00:05:44

Porque ya hay una cosa que se llama T y no es del mismo tipo, con lo cual no la puedo utilizar. 00:05:44

Bueno, pues vamos a buscar cómo me empeño en utilizar T. 00:05:53

Puedo buscar aquí y veo que no encuentro nada que se llame T. 00:05:59

¿Por qué es eso? 00:06:04

Bueno, pues porque si yo pincho aquí botón derecho, vista gráfica, 00:06:05

y pincho aquí en preferencia de álgebra 00:06:09

veo que están ocultos los objetos auxiliares 00:06:12

voy a cambiar el orden en vez de por orden de construcción 00:06:16

que me lo muestre por tipo de objeto que me interesa más 00:06:19

y que muestre los objetos auxiliares 00:06:22

ahora cuando yo bajo 00:06:24

resulta que me encontraré que hay un segmento que se llama T 00:06:27

este segmento que se llama T 00:06:30

le voy a renombrar y le voy a llamar 00:06:32

por ejemplo, yo que sé, pues T 00:06:35

Le doy OK, y ahora cuando yo en la entrada escriba T igual a 1, pues ya no tengo ningún problema para utilizarlo. 00:06:38

¿De acuerdo? Voy a quitar la vista algebraica, que ya os he enseñado lo que quería, 00:06:49

y para realmente meter todos los datos, me va a interesar mejor irme a que se vea la barra de entrada. 00:06:54

Sí, aquí abajo voy a poder ver mejor las cosas y además voy a poder utilizarlas para duplicarlas, ¿de acuerdo? 00:07:01

Antes de seguir vamos a cambiar un poquito las propiedades de lo que llevamos hecho. 00:07:14

entonces el triángulo por ejemplo le vamos a poner en negro 00:07:21

le vamos a hacer un poquito más opaco 00:07:24

y en estilo le vamos a poner un ancho de 5 a los bordes 00:07:29

por otro lado y para eso voy a utilizar la tecla control 00:07:35

voy a seleccionar los tres cuadriláteros 00:07:39

les voy a poner también un poquito más gruesos 00:07:45

pero ahora también les voy a poner negros 00:07:48

pero opacidad 0 00:07:52

de acuerdo 00:07:53

así que ya 00:07:55

lo tengo un poco más preparado 00:07:57

de como yo quería 00:07:59

ahora llegados aquí 00:08:01

pues vamos a coger 00:08:04

la primera pieza 00:08:06

por ejemplo esta 00:08:09

y la vamos a mover a esta esquina 00:08:12

para hacer eso 00:08:14

pues vamos a comenzar 00:08:15

o vamos a hacer uso de la herramienta traslada, que nos permite trasladar un punto o un objeto según un vector. 00:08:18

Así que necesitamos vectores. Voy a pintar los cuatro vectores a los que se va a trasladar J. 00:08:28

Cuando traslade esta pieza, que va a ser la primera, vamos a ir en sentido antihorario, va a ir a coincidir a C. 00:08:37

Luego esta pieza, bueno, ahora la renombramos, la vamos a hacer ir a coincidir a B. 00:08:47

Esta tercera pieza la vamos a hacer ir a coincidir a D y la última pieza que movamos la vamos a ir a hacer coincidir la J con E. 00:08:56

Para facilidad, simplemente a la hora de copiar 00:09:10

A esta la vamos a llamar U1 00:09:16

Fijaos como se pone los índices 00:09:19

Inmediatamente, bueno ha cambiado aquí otra 00:09:23

Pero no es precisamente la que queremos 00:09:28

La segunda era esta, vamos a renombrar a U2 00:09:30

Esta la vamos a renombrar a U3 00:09:35

Y casualidad del destino, el cuarto vector no le ha renombrado ya a U4 00:09:43

Ahora, con mucho cuidado, nos vamos a ir a la entrada 00:09:51

Y vamos a definir el punto P1, 11 00:09:55

Fijaros, por cierto, cómo se pone P11 00:09:59

Si no pusiera las dos llaves, solo pondría como su índice el primer uno, y el segundo uno aparecería en grande. 00:10:04

Entonces, así me garantizo que todo lo que escriba es su índice, poniéndolo entre llaves. 00:10:12

Pues digo que va a ser igual, llamo a la herramienta traslada, objeto según un vector, 00:10:18

el objeto que voy a mover 00:10:25

vamos a empezar por la letra J 00:10:29

y el vector va a ser un poquito complicado 00:10:32

porque lo que vamos a hacer 00:10:38

es realmente escribir un vector que cambia 00:10:40

según el parámetro T 00:10:46

entonces vamos a decirle que lo va a mover 00:10:48

con respecto al vector 00:10:51

abrimos corchete 00:10:53

y dentro vamos a poner 00:10:56

dos si's 00:10:59

si, condicional 00:11:00

la t es menor que cero 00:11:02

teóricamente 00:11:05

la t 00:11:07

no la hemos tocado todavía, pero la pondremos 00:11:08

entre cero y cinco, con lo cual nunca podría ser 00:11:10

menor que cero, pero nos interesa 00:11:12

para que 00:11:15

luego podamos 00:11:16

copiar y pegar 00:11:19

pues si t es menor que cero, valga cero 00:11:19

la traslación 00:11:22

Y si no, si la t es menor que 1, entonces valga t, pero si es mayor que 1, valga 1. 00:11:24

Así hemos hecho dos síes, salgo del primer sí, salgo del segundo sí, salgo de, vamos, no salgo más. 00:11:36

Ahora pongo el vector u1 y entonces el vector que estoy utilizando es un trozo de u1 y salgo de la herramienta traslada. 00:11:48

Si lo hemos hecho bien, cuando damos enter, nos ha creado un punto p11, no sé si lo veis aquí, que lógicamente es este vector trasladado, porque acordaros que dimos que t valía 1. 00:12:01

Así que el primero que vamos a hacer, que es esta pieza, va a salirnos aquí. 00:12:14

Ahora más fácil, solo tengo que dar a la tecla subir, a la tecla de ir hacia arriba, 00:12:21

recuperarlo y definir el punto P sub 12, que el punto que ahora voy a trasladar en vez de J va a ser P. 00:12:28

bueno, para hacerlo en sentido de antihorario 00:12:38

vamos a hacer O 00:12:43

si nos acostumbramos a hacer siempre las cosas en sentido de antihorario 00:12:43

aquí pondré 00:12:49

esto se quedará exactamente igual 00:12:51

o sea que solamente hemos cambiado 00:12:53

el P sub 12 00:12:55

y el punto a trasladar 00:12:56

perfecto, nos lo ha hecho 00:12:58

repetimos, P sub 13 00:13:00

ahora el punto a trasladar va a ser B 00:13:02

y P sub 14 00:13:06

y ahora el punto a trasladar va a ser P 00:13:11

como veis ya hemos trasladado los cuatro puntos 00:13:19

P1, P12, P11, P12, P13 y P14 00:13:29

ahora no os preocupéis que este como lo ha copiado de B sale en azul 00:13:33

ahora vamos a definir la primera pieza 00:13:38

pieza sub 1 00:13:41

De acuerdo, como el polígono de una lista de puntos 00:13:43

Cuidado, no poligonal, sino polígono 00:13:52

Y aquí vamos a poner P11 00:13:54

Si queréis, para que no sea muy pesado 00:13:58

Podemos seleccionar CTRL-C 00:14:01

Borramos 00:14:04

CTRL-V, CTRL-V, CTRL-V 00:14:10

Y ponemos P12 00:14:15

P13 00:14:18

y P sub 14, espero que lo veáis bien 00:14:20

cuando le demos enter 00:14:23

ya habéis visto la pieza arriba 00:14:25

tenemos la primera 00:14:26

pieza que es esta 00:14:29

este trapezoide movido 00:14:30

ahora vamos a repetir lo mismo 00:14:32

con las otras tres piezas 00:14:35

entonces 00:14:37

volvemos aquí 00:14:39

vamos a escribir P sub 21 00:14:40

ahora 00:14:45

vamos a trasladar otra vez 00:14:45

el punto J 00:14:48

pero ahora vamos a hacer que se mueva después de la otra pieza y eso lo hacemos haciendo esto 00:14:50

ahora si te es menor que 1 vale 0 si te es menor que 2 vale t menos 1 y el vector con respecto al 00:14:57

cual voy a trasladar va a ser un susto p 21 como te valía 1 nos sale ya directamente ahí podríamos 00:15:07

haber puesto T igual a 5 y nos hubiera montado ya todas las piezas, pero bueno, lo hemos 00:15:18

hecho así. Vamos con P22, me interesa más cogerlo así porque tengo que escribir menos, 00:15:23

si alguno ha pensado que porque no cogíamos P12 para cambiar, no, partimos de P21. Hemos 00:15:31

cogido la J, lo que vamos a hacer ahora es acordaros esta pieza, la que viene aquí, 00:15:38

eso quiere decir que es este trapezoide 00:15:44

y si hemos dicho que vamos en sentido antihorario 00:15:48

pues el siguiente punto va a ser P 00:15:50

ahora P sub 23 00:15:54

el siguiente punto va a ser A 00:16:04

y P sub 24 00:16:08

que va a ser M 00:16:15

ahora vamos a definir la pieza 2 00:16:19

Poniendo 21, 22, 23 y 24 00:16:26

Como veis es un poco repetitivo 00:16:38

Pero no es muy complicado 00:16:40

¿De acuerdo? 00:16:46

No sé si en algún momento se nos ha perdido la pieza 1 00:16:48

Ah, ya sé, fijaros, he vuelto a poner pieza 1 00:16:52

Se me ha olvidado aquí poner pieza 2 00:17:06

la he sobrescrito 00:17:08

¿qué quiero decir con esto? 00:17:10

que hay que tener mucho cuidado para no equivocarse 00:17:11

ya tengo la pieza 2 00:17:14

vamos ahora ya 00:17:17

con la pieza 00:17:20

o con el punto 31 00:17:21

que vamos a 00:17:24

trasladar como siempre 00:17:26

nuestro 00:17:27

punto J que es este 00:17:29

central 00:17:31

ahora 00:17:33

si T es menor que 2 00:17:34

si t es menor que 3 00:17:39

t menos 2 00:17:41

con respecto al vector 00:17:43

u sub 3 00:17:45

u sub 3 era este, esto era la pieza 00:17:46

así que esto se va a ir a d 00:17:49

ahora 00:17:51

ponemos p 32 00:17:54

que trasladaría 00:17:58

si vamos en sentido 00:17:59

antihorario m 00:18:01

otra vez 00:18:03

repetimos para el 33 00:18:04

que trasladaría h 00:18:12

y repetimos para el 34 00:18:14

que trasladaría N 00:18:21

muy bien 00:18:25

P34 debería haber salido aquí 00:18:32

así que algo hemos escrito mal 00:18:37

sí 00:18:38

que hemos puesto que P34 00:18:40

fuera el mismo 00:18:42

se nos ha olvidado o hecho algo mal 00:18:44

para N 00:18:46

ahora sí 00:18:48

y vamos a por la pieza 3 00:18:50

Que va a ser con los puntos 00:18:53

Que empiezan por 3 00:19:02

Si alguno está pensando 00:19:05

Que esto es muy complicado 00:19:07

Pues es la manera 00:19:08

Más simple de hacerlo 00:19:10

Así que 00:19:12

No es tan complicado 00:19:14

Ya veis que es copiar y pegar 00:19:16

Vamos ahora con el punto 41 00:19:18

Vamos a trasladar el J 00:19:20

Y lo vamos a llevar hasta ahí 00:19:23

Eso lo vamos a hacer 00:19:26

si t es menor que 3 vale 0 00:19:29

si t es menor que 4 00:19:31

vale t menos 3 00:19:34

y con respecto 00:19:35

al vector u sub 4 00:19:37

vale 00:19:39

vamos ya con el 42 00:19:41

que a lo que 00:19:44

haríamos es trasladar 00:19:47

la n 00:19:49

si no se ve bien 00:19:49

podéis 00:19:52

apartar 00:19:54

los puntos y se verá 00:19:59

vale 00:20:01

vamos con el 43 00:20:03

que sería 00:20:05

trasladar la I 00:20:07

y por último 00:20:08

el 44 00:20:16

que sería trasladar la O 00:20:18

vamos a poner ya la pieza 4 00:20:22

con los 00:20:32

P41 00:20:38

42 00:20:39

43 00:20:41

y 44 00:20:43

creéis que habíamos terminado 00:20:45

Pues no, nos falta mover el cuadrado, que es un vector que no pusimos. 00:20:47

De L a K vamos a mover ese cuadrado. 00:20:54

Le vamos a renombrar a U5 para que nos valga todo lo que hemos escrito hasta ahora. 00:20:59

Volvemos entonces a por P51. 00:21:07

A fin de cuentas nuestro puzzle tiene 5 piezas. 00:21:12

No vamos a trasladar ahora el punto J, sino las cuatro piezas estas, es decir, AC, FG. 00:21:15

Primero A, T menor que 4 vale 0, si T menor que 5 vale T menos 4, y con respecto a U5. 00:21:25

Ya hemos trasladado A, ahora C, cada vez nos resulta más fácil, ahora F, es importante hacerlo en orden porque si no la orden polígono que utilizamos después podría funcionar mal. 00:21:39

Y el último ya sí que creamos que es trasladar G y ya tenemos la quinta pieza, se acerca el final. 00:22:02

aquí tenemos ya todas las piezas, si ahora voy a poner, voy a quitar la barra de entrada y voy a marcar la vista algebraica, voy a buscar el número T, a ver por donde lo tenemos, segmentos, puntos, número T 00:22:22

Y le vamos a decir que el deslizador tome valores de 0 a 5, está bien, de 0,1 en 0,1, y vamos a hacer que se vea, que lo muestre aquí, ¿vale? 00:22:53

vamos a quitar la vista algebraica para que quede más bonito 00:23:11

ya lo veis 00:23:15

podemos incluso desplazar 00:23:16

y ahora fijaros el efecto cuando de animación 00:23:19

aquí tenemos que nuestro puzzle funciona ya perfectamente 00:23:23

y hemos demostrado de una manera visual 00:23:30

que se cumple el teorema de Pitágoras 00:23:37

utilizando el método de perigal 00:23:39

vamos a poner todo esto un poco adecentado 00:23:43

vamos a hacer que se vea la vista algebraica otra vez 00:23:48

y vamos a empezar por ocultar todos los puntos 00:23:52

tenemos suerte porque si yo se le pincho aquí en punto 00:23:56

veremos que se han seleccionado todos los puntos 00:24:00

si ahora doy botón derecho propiedades 00:24:06

lo que haga aquí afecta absolutamente a todos los puntos 00:24:10

voy a dar para que cambie, primero mostrar objeto y luego 00:24:14

ocultar objeto y deberían 00:24:18

haberse ocultado todos los puntos 00:24:22

está claro que no están mostrándose los 00:24:25

auxiliares, vamos a pinchar aquí, si que tenemos los objetos 00:24:30

auxiliares, ahora, bien 00:24:34

vamos a irnos otra vez a punto 00:24:38

vamos a volver a seleccionarlos 00:24:42

que no los había cogido 00:24:49

vemos que sí, que ahora parece que sí 00:24:53

que están seleccionados todos los puntos 00:25:00

volvemos a dar mostrar objeto y ocultar 00:25:02

y sí, ahora han desaparecido absolutamente todos los puntos 00:25:05

vamos a repetir lo mismo con los segmentos 00:25:09

Pero vamos, antes podemos si queréis mostrar otra vez los puntos A, B y C, que eso sí que queremos que se muestren, ¿verdad? 00:25:15

Bueno, pues vamos con los segmentos, que los teníamos aquí, ya les he seleccionado, lo único que se vuelve arriba cada vez que los seleccionamos, 00:25:24

Veis que están todos seleccionados porque está en grisecillo. Lo mismo, vamos a ocultar la etiqueta de todos los segmentos. 00:25:38

Ya las hemos ocultado. Luego podríamos volver a marcar el segmento A, B, que muestre la etiqueta. Con la tecla control podríamos seleccionarlos, 1, 2 y 3, botón derecho, propiedades, mostrar la etiqueta. 00:25:53

Ya las hemos recuperado, las tres etiquetas que teníamos. 00:26:22

Los polígonos, los cuadriláteros. 00:26:27

Esto sí que queremos que se vean. 00:26:31

Vamos a ver los polígonos aquí abajo. 00:26:36

Aquí están. 00:26:39

Este se muestra correctamente. 00:26:41

Los vectores ya no se ven. 00:26:45

ya lo podemos incluso hacer a mano las que nos quedan 00:26:49

de acuerdo, y tenemos ya todas las piezas 00:26:54

estos tres, click 1, click 2 y click 3 00:27:00

nos ha marcado las piezas 00:27:05

bueno, vamos a hacer que no muestre en el polígono 2 00:27:09

no nos lo deja seleccionar 00:27:17

La etiqueta nos pone la pieza, entonces vamos a buscarlo en cuadriláteros, en polígonos, punto polígono. 00:27:19

Va en orden alfabético, como veis. 00:27:33

Mostra etiqueta y el polígono 4 mostra etiqueta. 00:27:37

¿Qué os parece si añadimos color? 00:27:43

Voy a elegir la pieza 1 y la vamos a poner en rojo y fuerte. 00:27:45

Le podemos quitar el grosor también. 00:27:54

Ahora lo hacemos con la pieza 2. 00:27:57

Quitamos el grosor, ponemos un color, por ejemplo, azul. 00:28:01

La pieza 3, elegir color, vamos a elegir el naranja 00:28:06

y quitamos el trazo 00:28:17

y la pieza 4 00:28:25

pues vamos a elegir 00:28:26

el color verde 00:28:29

muy bien 00:28:31

por último para la pieza 5 00:28:36

pues podemos elegir 00:28:39

un morado 00:28:41

de acuerdo 00:28:42

o cualquier otro color 00:28:47

porque aquí 00:28:49

sois libres vosotros de hacerlo 00:28:50

quito la vista algebraica 00:28:52

si movemos esto a mano 00:28:54

pues hacemos el movimiento tranquilamente 00:28:57

y si le damos animación 00:29:01

pues lo va haciéndolo automáticamente 00:29:06

mirad que aunque yo lo mueva 00:29:09

el triángulo sigue siendo rectángulo 00:29:11

y la aplicación funciona 00:29:16

sin ningún problema 00:29:18

bueno, la última parte del vídeo 00:29:21

no he conseguido hacerla en la versión online 00:29:27

así que me he descargado el fichero y lo he guardado, lo he abierto en una versión de GeoGebra local 00:29:30

que es que vamos a terminar exportando esto como un GIF animado 00:29:38

entonces le damos a archivo, exportar, vista gráfica a GIF animado 00:29:42

nos dice con respecto a que deslizador, tiempo entre cuadros vamos a ponerle 50 00:29:50

le vamos a dar como bucle y le damos exportar 00:29:56

esto me va a permitir, dice que elijamos un nombre 00:30:01

voy a llamar otro perigal.gif 00:30:05

y va a crear que tarda un rato un gif animado 00:30:08

hasta que no se quite esto 00:30:14

el símbolo de que está pensando no habrá terminado 00:30:16

tarda bastante y es un poco pesado 00:30:20

y sobre todo recordar que solo funciona en la versión en local, en la versión online me ha dado error una vez, tras otra vez, tras otra vez, incluso cambiando el tamaño de la pantalla. 00:30:22

Ahora veríamos que tenemos en nuestra pantalla de descargas un GIF animado, que si le abrimos, ahí lo veis, como ejemplo, esto ya no es GeoGebra, 00:30:36

simplemente un GIF que después podríamos poner en cualquier fichero HTML 00:30:49

y ya si quedamos por terminada la clase de hoy 00:30:54