P.F1 Balística - Introducción | Mediateca de EducaMadrid

Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de física y química de primero de bachillerato en el IES 00:00:15

arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:22

dedicada a las prácticas de laboratorio virtual. En la práctica de hoy introduciremos el estudio 00:00:27

de la balística. El primer objetivo de esta práctica es introducir el estudio de la balística, 00:00:38

El movimiento de un proyectil sometido a la acción de un campo gravitatorio. En principio, el campo gravitatorio terrestre, si estamos pensando en proyectiles sobre la superficie de la Tierra. 00:00:50

A la balística llegamos a través de dos unidades de nuestro temario de la física y química de primero de bachillerato. 00:01:00

En la primera unidad de cinemática, en la unidad 8, hablamos de sistemas de referencia y de las magnitudes que permiten describir el movimiento de los cuerpos en referencia o en relación con estos sistemas de referencia. 00:01:06

cuáles son el tiempo la posición la velocidad y la aceleración en la siguiente unidad la segunda 00:01:19

de cinemática en la unidad número 9 pasamos a estudiar movimientos concretos en primer 00:01:25

lugar movimientos unidimensionales movimiento rectilíneo uniforme rectilíneo y uniformemente 00:01:31

acelerado el primero sometido una aceleración nula el segundo sometido una aceleración constante no 00:01:36

nula y por fin llegamos a la balística que es un movimiento bidimensional como la composición de 00:01:41

por un lado un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo la aceleración la del campo 00:01:48

gravitatorio, de tal manera que este movimiento se corresponderá con la dimensión vertical, 00:01:54

y por otro lado en la dimensión horizontal un movimiento rectilíneo y uniforme. Nosotros 00:02:00

estudiaremos la balística desde dos puntos de vista distintos. En primer lugar nos vamos a 00:02:05

plantear alcanzar un cierto objetivo que estará sobre la superficie de la Tierra a una cierta 00:02:11

distancia del sistema de lanzamiento y nos preguntaremos por cuál debe ser la configuración 00:02:16

del sistema de lanzamiento para poder alcanzar dicho objetivo, siendo la configuración del 00:02:21

sistema de lanzamiento dada por la altura con respecto a la superficie de la Tierra, 00:02:26

el ángulo de elevación o de presión del sistema y la velocidad inicial con la cual 00:02:31

se produce el lanzamiento del proyectil. Este estudio lo haremos en primer lugar desde el 00:02:35

punto de vista experimental, manipulando el sistema de lanzamiento y viendo cuál debe 00:02:40

ser la configuración probando que permite alcanzar el objetivo y por otro lado desde un punto de vista 00:02:44

analítico. Utilizaremos las ecuaciones del movimiento para desde el punto de vista analítico 00:02:51

utilizando el álgebra determinar cuál debe ser la configuración del sistema de lanzamiento. Así 00:02:57

pues desde el punto de vista experimental y analítico determinaremos la configuración del 00:03:02

sistema de lanzamiento para alcanzar un cierto objetivo. Por otro lado nos aproximaremos a la 00:03:07

balística desde un segundo punto de vista, un tanto más geométrico. Lo que tendremos será una 00:03:14

imagen donde tendremos la trayectoria de un proyectil desde que sale de la boca del sistema 00:03:21

de lanzamiento hasta que alcanza un cierto objetivo y nos preguntaremos por cuál es la aceleración de 00:03:25

la gravedad del cuerpo planetario en el cual se produce ese movimiento balístico, porque vamos 00:03:32

a pensar que tal vez no estemos sobre la superficie de la Tierra. De tal manera que midiendo sobre 00:03:38

la imagen la altura máxima, la coordenada horizontal que se corresponde con la altura máxima, el alcance 00:03:44

máximo y los tiempos en los cuales se alcanzan esos puntos y utilizando asimismo las ecuaciones 00:03:52

de movimiento podremos determinar cuál es la aceleración de la gravedad sobre el cuerpo 00:03:58

planetario. El segundo objetivo va a ser comparar, en el caso en el que los tengamos, los resultados 00:04:02

experimentales y analíticos, de tal manera que podamos comprobar hasta qué punto los resultados 00:04:11

experimentales se corresponden con la realidad. Nosotros haremos esta comparación utilizando los 00:04:18

errores absolutos y relativos que hemos estudiado en las matemáticas de la educación secundaria 00:04:24

obligatoria. Para iniciar el estudio de la balística necesitamos, como mencioné al hablar de los 00:04:29

objetivos, un sistema de referencia espaciotemporal dentro del cual poder definir las magnitudes que 00:04:37

van a permitir caracterizar el movimiento del cuerpo, el movimiento de los proyectiles. Este 00:04:43

sistema de referencia espacio-temporal constará de una magnitud temporal, el tiempo, y tendremos 00:04:48

que definir cuál es ese instante que utilizaremos como origen de tiempos. En lo que respecta a la 00:04:55

parte espacial, el movimiento balístico es bidimensional, así que además de un punto del 00:05:00

espacio que actúe como origen de coordenadas, necesitaremos definir dos ejes coordenados, 00:05:06

dos ejes ortogonales que llamaremos X e Y, cuya dirección y sentido positivo vendrá dado por estos 00:05:12

vectores unitarios I y J. El sistema de referencia a espacio temporal, la parte espacial, nos permite 00:05:18

caracterizar las posiciones de los cuerpos, cuáles son los puntos del espacio que son ocupados por el 00:05:25

cuerpo a lo largo de su desplazamiento. La colección de todos estos puntos del espacio que son ocupados 00:05:32

por el cuerpo en su movimiento se denomina trayectoria, y si ligamos la trayectoria, 00:05:38

las posiciones, al tiempo, lo que tendremos será la ecuación de posición, que nos permitirá, 00:05:43

dado un cierto instante de tiempo, determinar cuál es la posición que ocupaba el móvil en ese instante, 00:05:49

o bien, al revés, si nos preguntamos por una determinada posición del espacio, podemos 00:05:55

determinar en qué instante del tiempo, si es que lo hubo, el cuerpo ocupó dicha posición. 00:06:00

además de la posición en este sistema de referencia nosotros podremos definir la velocidad y la 00:06:04

aceleración la velocidad es la magnitud que da cuenta de cómo varía la posición a lo largo del 00:06:12

tiempo mientras que la aceleración es esa magnitud que nos va a permitir caracterizar cómo cambia la 00:06:17

velocidad a lo largo del tiempo al igual que nosotros tenemos una ecuación de posición para 00:06:24

indicarnos cuáles son los puntos del espacio que son ocupados por el móvil en cada instante de 00:06:29

tiempo, nosotros también trabajaremos con una ecuación de velocidad que nos dará cuál es la 00:06:34

velocidad, en este caso no la posición, la velocidad del móvil en cada instante de tiempo. En nuestro 00:06:39

caso concreto, nosotros lo que vamos a hacer es utilizar un sistema de lanzamiento de proyectiles 00:06:46

que va a venir dado por este cañón, que va a estar ubicado sobre una plataforma móvil que va a poder 00:06:53

elevarse sobre un sueno que es plano horizontal. Nosotros consideraremos siempre como instante 00:06:58

inicial, como origen de la coordenada temporal, el instante en el que se produce el lanzamiento. 00:07:06

De ese instante lo denotaremos T sub cero igual a cero. En lo que respecta al origen de la coordenada 00:07:12

espacial, O va a ser este punto sobre la superficie de la Tierra que está justo en la vertical del 00:07:19

punto inicial que ocupa el móvil en el instante del lanzamiento. Nosotros utilizaremos como 00:07:26

sistema de referencia los dos ejes coordenados X e Y. Y va a ser un eje vertical sobre el 00:07:32

origen del sistema de referencia y el sentido positivo será hacia arriba. Y utilizaremos 00:07:42

como eje X aquel eje horizontal que se encuentre en la proyección del movimiento, o sea, que 00:07:47

se encuentre en la dirección general del movimiento y el sentido positivo será el 00:07:55

que corresponda al movimiento. Para el estudio analítico del movimiento del proyectil necesitamos 00:08:00

las ecuaciones del movimiento, que son las ecuaciones por un lado de la posición y por 00:08:07

otro lado de la velocidad. Como indiqué al hablar de los objetivos, el movimiento balístico 00:08:12

es un movimiento bidimensional que se estudia como composición de un movimiento rectilíneo 00:08:17

uniforme en la componente horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, 00:08:22

siendo la aceleración la correspondiente a la aceleración de la gravedad, en la componente 00:08:27

vertical. Aquí tenemos las ecuaciones generales de un movimiento rectilíneo uniforme y de un 00:08:32

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En el primer caso utilizamos la coordenada x, 00:08:38

puesto que se va a tratar de la componente horizontal. En el segundo caso utilizamos la 00:08:44

coordenada y, puesto que se va a tratar de la componente vertical. Y así vemos que la posición 00:08:48

horizontal en función del tiempo vendrá dada por la posición horizontal inicial más un término que 00:08:53

se corresponde con el producto de la velocidad horizontal inicial por t menos t sub cero, t sub 00:09:01

cero, el tiempo inicial. En cuanto a la ecuación de la velocidad horizontal, se trata de una constante 00:09:05

por definición. Recordemos que es un movimiento rectilíneo y uniforme, la aceleración es nula, 00:09:12

la velocidad es constante, igual a la velocidad horizontal inicial. En lo que respecta a la 00:09:16

componente vertical, aquí tenemos la posición en función del tiempo, que viene dada por la 00:09:22

posición vertical inicial, el término que va con la velocidad vertical inicial por el tiempo menos 00:09:28

el tiempo inicial y el componente, el término que lleva la aceleración, un medio de la aceleración 00:09:34

por tiempo menos tiempo inicial al cuadrado. 00:09:41

En lo que respecta a la velocidad, esta ya no será constante, 00:09:44

puesto que se trata de un movimiento acelerado, aunque sea uniformemente, 00:09:47

la velocidad cambiará en el tiempo. 00:09:51

Y en este caso, para la velocidad vertical, en función del tiempo, 00:09:53

lo que tenemos es, primero, la constante, la velocidad vertical inicial, 00:09:57

y un término que incluya la aceleración, multiplicada por el tiempo menos el tiempo inicial. 00:10:01

puesto que en esta práctica nosotros vamos a considerar siempre 00:10:06

que el instante inicial t sub 0 se corresponde con el instante de lanzamiento 00:10:11

estas expresiones se van a simplificar puesto que t sub 0 va a ser 0 00:10:17

por otro lado, dado que nosotros hemos ubicado el origen del sistema de referencia 00:10:21

justo en la vertical del sistema de lanzamiento 00:10:27

la posición horizontal inicial va a ser siempre 0 00:10:29

La posición vertical probablemente no lo sea, si nosotros tenemos el sistema de lanzamiento configurado por encima de la superficie de la Tierra, incluso por debajo, 00:10:34

si hubiéramos acabado un hoyo y hubiéramos colocado el sistema de referencia por debajo del nivel de la vertical, pero insisto, la posición horizontal inicial va a ser siempre cero. 00:10:42

La velocidad inicial tendrá dos componentes que serán cero o no en función de cuál sea la configuración del sistema. 00:10:53

lo vamos a ver inmediatamente dentro de un momento. Y en cuanto a la aceleración, el vector 00:11:02

aceleración va a tener el componente horizontal nula, obviamente, y la componente vertical va a 00:11:08

ser igual a menos g. g, el módulo de la aceleración de la gravedad, 9,81 metros partido por segundo 00:11:13

cuadrado en el caso de la superficie de la Tierra. Y este signo negativo lo que indica es que la 00:11:20

gravedad está actuando en el sentido negativo del sistema de referencia. Recordad que hace un momento 00:11:25

definimos como positivo el sentido vertical hacia arriba y la aceleración en la gravedad está 00:11:30

actuando hacia abajo, siendo esa la razón por la cual aquí podemos observar este signo menos. 00:11:36

Si nosotros sustituimos estos valores conocidos dados por nuestro sistema de referencia y cuál 00:11:43

es la configuración general del movimiento en estas ecuaciones generales, lo que vamos a obtener 00:11:50

son, como ecuaciones del movimiento, esta colección de cuatro. 00:11:55

En primer lugar, para la posición, la componente horizontal x en función del tiempo 00:11:59

viene dada únicamente por este término, que tiene la velocidad horizontal inicial por el tiempo. 00:12:03

Y en cuanto a la posición vertical, y, viene dada por la posición inicial, 00:12:10

el término de la velocidad inicial por el tiempo, 00:12:15

y el término de la gravedad entre dos, con este signo menos, por el tiempo al cuadrado. 00:12:18

En lo que respecta a la velocidad, la velocidad horizontal es una constante, no depende del tiempo, 00:12:22

será siempre igual a la velocidad horizontal inicial. 00:12:28

Y en cuanto a la velocidad vertical, tiene dos términos, por un lado la velocidad vertical inicial 00:12:32

y por otro lado el término que tiene la aceleración de la gravedad, con este signo menos que ya hemos discutido anteriormente. 00:12:37

Decía hace unos instantes que las componentes de la velocidad inicial, v0x, v0y, 00:12:45

la velocidad inicial en la dirección horizontal y en la dirección vertical, serían o no nulos 00:12:52

dependiendo de cuál fuera la configuración del sistema de lanzamiento. Nosotros podremos 00:12:58

caracterizar nuestro sistema de lanzamiento mediante los dos parámetros ángulo de elevación, 00:13:03

que aquí tenemos denominado alfa, y velocidad inicial, que nosotros podremos caracterizar como 00:13:08

el módulo v sub cero. Conocido el ángulo de elevación o de depresión si fuera negativo y 00:13:15

a esta velocidad inicial. Nosotros podremos calcular la velocidad inicial, las componentes 00:13:21

de la velocidad inicial en el eje x y en el eje y utilizando la trigonometría. La velocidad 00:13:27

inicial horizontal v0x es el producto de v0 por el coseno de este ángulo alfa, mientras 00:13:32

que la componente vertical de la velocidad v0y va a ser el producto de v0 a la velocidad 00:13:38

inicial por el seno de alfa, como podemos ver en esta figura. Así pues, conocido el 00:13:43

ángulo de elevación o de depresión y la velocidad inicial, nosotros podremos en cualquier momento 00:13:49

determinar las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial. Al revés, también podemos 00:13:54

hacerlo. Si nosotros conociéramos cuáles son las componentes de la velocidad, podríamos determinar 00:14:00

el módulo de la velocidad y el ángulo de elevación o de depresión. En primer lugar, utilizando el 00:14:06

teorema de Pitágoras, v sub 0 al cuadrado, que es la hipotenusa de este triángulo rectángulo, va a ser 00:14:13

igual a v sub cero x cuadrado más v sub cero y al cuadrado, esta expresión que 00:14:18

tenemos aquí. Cuando vayamos a calcular v cero, por cierto, utilizando una red 00:14:23

cuadrada, recordad que la velocidad inicial es un módulo, es una magnitud, en 00:14:27

este caso definida no negativa, puesto que no va a tener sentido un valor cero 00:14:32

de la velocidad inicial, no teníamos movimiento, pero desde luego nos admite 00:14:36

valores negativos. En cuanto al ángulo de elevación, podemos utilizar distintas 00:14:40

posibilidades la más sencilla es utilizar la tangente de este ángulo alfa que es el cociente 00:14:46

del cateto opuesto entre el cateto contiguo sería v sub 0 y dividido entre v sub 0 x teniendo en 00:14:52

cuenta que el ángulo de elevación va a estar siempre comprendido entre menos 90 grados siendo 00:14:58

un ángulo de presión y 90 grados estos intervalos van a estar siempre abiertos y es que no tiene 00:15:03

sentido un lanzamiento con un ángulo de menos 90 grados sería vertical hacia abajo estaríamos 00:15:11

destruyendo el sistema de lanzamiento y no llegaría el proyectil a ningún sitio y tampoco 00:15:15

tendría sentido utilizar un ángulo de idénticamente 90 grados porque tendríamos un lanzamiento 00:15:20

vertical y hacia arriba. El proyectil ascendería y descendería cayendo sobre el sistema de 00:15:25

lanzamiento, no se alejaría y nosotros estaríamos destruyendo el sistema de lanzamiento. En 00:15:30

cuanto a valores de alfa mayores de 90 grados, sería un lanzamiento en sentido hacia atrás, 00:15:36

no tendría sentido intentar alcanzar un objetivo que tenemos hacia adelante del sistema de lanzamiento 00:15:41

con un tiro hacia atrás, con lo cual vamos a considerar únicamente ángulos comprendidos entre menos 90 y 90 grados. 00:15:47

La trayectoria de un cuerpo que realiza un movimiento balístico es siempre una parábola. 00:15:55

Y aquí tenemos un ejemplo gráfico de un lanzamiento de un proyectil desde una cierta altura 00:16:01

con un ángulo de elevación el que tenemos aquí y podemos ver cómo el cuerpo una vez que es emitido 00:16:06

por el sistema de lanzamiento y conforme va avanzando a lo largo de la coordenada horizontal 00:16:13

en primer lugar asciende, alcanza un punto donde la altura es máxima y este punto se va a corresponder 00:16:17

con el vértice de la parábola y a partir de aquí el cuerpo desciende hasta finalmente colisionar 00:16:23

contra la superficie de la tierra en donde supondremos que el movimiento finaliza. Podemos 00:16:28

comprobar que a partir del vértice hacia la derecha y hacia la izquierda estas dos ramas 00:16:34

presentan simetría especular como corresponde a una parábola. Sobre esta trayectoria nosotros 00:16:39

vamos a poder distinguir tres puntos de especial interés. El primero es el punto donde se inicia 00:16:45

el movimiento, el punto inicial. Tal y como hemos definido nuestro sistema de referencia con el 00:16:50

origen aquí sobre la superficie de la tierra y en la vertical del punto inicial, este punto va a 00:16:55

tener siempre coordenada horizontal x cero igual a cero y la coordenada vertical y cero será la que 00:17:00

se mida la distancia que separa el origen del sistema de referencia del punto inicial y el 00:17:06

tiempo que corresponde a esta posición va a ser t sub cero igual a cero también por definición tal 00:17:11

y como hemos definido el origen de tiempos en nuestro sistema de referencia temporal. El segundo 00:17:16

punto de interés es el punto de altura máxima que como hemos dicho se corresponde con el vértice de 00:17:21

la parábola. ¿Cómo podemos caracterizar desde el punto de vista algebraico el vértice de la 00:17:26

parábola, el punto de altura máxima? Pues bien, la idea es la siguiente. En los instantes anteriores 00:17:32

a alcanzar este punto, el cuerpo se encuentra ascendiendo. Como podemos ver, conforme va 00:17:37

avanzando el proyectil para alcanzar el punto de altura máxima, el cuerpo se va cada vez separando 00:17:44

de la superficie de la Tierra, va ascendiendo. Y eso quiere decir que está animado por una 00:17:50

velocidad cuya componente vertical es positiva, puesto que va ascendiendo y hemos definido como 00:17:54

positivo el sentido hacia arriba. En instantes posteriores a haber alcanzado el punto de altura 00:17:59

máxima, en cambio, el cuerpo, como podemos ver, se encuentra descendiendo y eso quiere decir que 00:18:04

tiene una componente vertical de la velocidad que es negativa, puesto que descendiendo tiene un 00:18:09

sentido opuesto al que hemos definido como positivo hacia arriba. Así pues, si antes de alcanzar el 00:18:14

punto de altura máxima la componente vertical de la velocidad es positiva y a partir del punto de 00:18:19

altura máxima la componente vertical de la velocidad es negativa justo en este punto la 00:18:25

componente vertical de la velocidad va a ser idénticamente nula y así pues existirá un cierto 00:18:30

instante de tiempo que vamos a denotar como vemos aquí tiempo de máxima tiempo de altura máxima en 00:18:36

el cual la componente vertical de la velocidad se anula y esta es la condición que impondremos para 00:18:41

poder caracterizar el punto de altura máxima, el vértice de la trayectoria de 00:18:47

la parábola. Por supuesto este punto tendrá unas 00:18:52

tetas coordenadas x e y con respecto a nuestro sistema de referencia y la forma 00:18:55

algebraica de poder caracterizarlas consiste en utilizar las ecuaciones del 00:18:59

movimiento, las ecuaciones para la posición y sustituir en ellas este 00:19:03

tiempo de altura máxima que nosotros podemos determinar con la condición de 00:19:06

la componente vertical de la velocidad es nula. Una vez que tengamos este tiempo 00:19:10

nosotros podríamos determinar la altura máxima, que es la distancia que separa el vértice de la 00:19:14

parábola, el punto más alto de la trayectoria, con respecto al eje x, el suelo, la superficie de la 00:19:20

tierra, sustituyendo la coordenada para y el tiempo de altura máxima. Y eso nos daría, como he dicho, 00:19:26

la altura máxima. Por otro lado, este punto tiene una coordenada horizontal, aparte de la 00:19:31

coordenada vertical que ya hemos caracterizado. Se corresponde con la distancia que separa la 00:19:38

proyección vertical de este punto sobre la superficie de la tierra del sistema de referencia, 00:19:43

del origen del sistema de referencia, esta distancia que tenemos aquí. Algebraicamente la podríamos 00:19:48

determinar análogamente a como hemos discutido la coordenada vertical sustituyendo en la ecuación 00:19:53

para x, en la ecuación para la coordenada x, ese tiempo de altura máxima y el valor de x que 00:19:58

obtengamos se corresponde con la x de altura máxima, la coordenada horizontal del punto de 00:20:03

altura máxima. Análogamente, el tercer punto en el cual vamos a tener interés se trata de este de 00:20:09

aquí, el punto en el cual el cuerpo, el proyectil, alcanza la superficie de la Tierra. Vamos a 00:20:16

denominar alcance, en algunas ocasiones alcance máximo, a la distancia que separa este punto que 00:20:22

es alcanzado por el proyectil en la superficie de la Tierra del origen del sistema de referencia. 00:20:28

Esta distancia entre este punto y el origen del sistema de referencia. 00:20:33

¿Cómo podríamos determinarlo? ¿Cómo podríamos caracterizarlo desde el punto de vista algebraico? 00:20:38

Pues bien, este punto es el único en toda la trayectoria en donde la coordenada vertical es igual a cero, 00:20:44

donde la coordenada y es igual a cero. 00:20:49

Fijaos en que en todos los demás puntos de la trayectoria el proyectil se encuentra sobre la superficie de la Tierra 00:20:52

y justo al alcance, en el punto de alcance, de alcance máximo. 00:20:58

Así pues, lo que vamos a hacer en esta práctica en concreto es caracterizar el punto del alcance como aquel, el único, en el cual la coordenada Y es igual a cero. 00:21:01

Y existirá un cierto valor de tiempo que vamos a denotar, tiempo de vuelo, como vemos aquí, en el cual la coordenada Y sea igual a cero. 00:21:10

Ese tiempo de vuelo es el que va a caracterizar este punto, el punto de alcance máximo. 00:21:18

La coordenada Y es cero, por definición, es lo que va a caracterizar el alcance máximo. 00:21:22

pues bien, ¿cómo podríamos calcular el alcance máximo, la coordenada x que le corresponde a este punto? 00:21:27

Pues de forma análoga a como hemos discutido anteriormente, sustituyendo el tiempo de vuelo en la ecuación para la coordenada x. 00:21:33

x del tiempo de vuelo se va a corresponder con el alcance, el alcance máximo. 00:21:41

La discusión que tengo aquí escrita se corresponde a una situación genérica, 00:21:46

en la cual nosotros consideremos el alcance como el punto en el cual el proyectil alcanza una cierta altura y de destino. 00:21:50

En este caso concreto, la altura de destino es la superficie de la Tierra, pero la y de destino, en un planteamiento más genérico, podría tomar otro valor diferente. 00:21:59

Para finalizar esta introducción teórica, vamos a hacer referencia al segundo de los objetivos de nuestra práctica. 00:22:11

Y es que en un momento dado vamos a querer comparar los valores de una magnitud que hayamos determinado experimentalmente, manipulando el laboratorio virtual, valores que vamos a considerar aproximados, con aquellos valores analíticos que obtengamos utilizando, resolviendo algebricamente las ecuaciones del movimiento y que vamos a considerar reales, valores exactos. 00:22:16

Para ello vamos a utilizar dos magnitudes que se definían en las matemáticas de la ESO. 00:22:38

En primer lugar, el error absoluto, que como veis se define como el valor absoluto de la diferencia 00:22:44

entre el valor aproximado y el real de la magnitud, el valor determinado experimentalmente 00:22:50

y el valor determinado analíticamente. 00:22:55

Tiene comunidades, como veis, las de la magnitud estudiada. 00:22:59

Así que si esto fuera una velocidad en metros partido por segundo, 00:23:02

su error absoluto se mediría en metros partido por segundo. 00:23:05

Y si se tratara de un ángulo de elevación medido en grados sexagesimales, 00:23:09

pues el error absoluto tendría como unidades grados sexagesimales. 00:23:14

El error absoluto tiene un valor mínimo que es 0, que es el valor óptimo. 00:23:18

Un error absoluto idénticamente nulo se corresponde con un valor experimental 00:23:23

que coincide idénticamente con el valor analítico, lo cual es óptimo. 00:23:27

En ese caso, la aproximación coincide con el valor real, la aproximación es la mejor posible. 00:23:32

A partir de aquí, cuanto mayor sea el error absoluto, peor va a ser la aproximación, 00:23:37

puesto que el valor aproximado, el valor experimental, se va a diferenciar más con respecto del valor analítico, del valor real. 00:23:41

El problema que tiene el error absoluto, así definido, es que no me permite hacer comparaciones entre distintas magnitudes 00:23:49

Y para eso se utiliza el error relativo, que como veis aquí, se define como el valor absoluto de la razón entre el error absoluto y el valor real. 00:23:56

El error relativo se suele expresar como un porcentaje y por eso aparece este factor 100 aquí multiplicando. 00:24:07

De tal forma que este error relativo, multiplicado por 100, se va a expresar siempre como un porcentaje. 00:24:13

Un error absoluto idénticamente nulo, el caso óptimo, se va a corresponder también con un error relativo idénticamente nulo. 00:24:19

Va a ser el caso óptimo. Y a partir de aquí, cuanto mayor sea el error absoluto, mayor va a ser el error relativo. 00:24:25

Lo bueno que tiene, una vez más, insisto, el error relativo es que, dado que es adimensional, estoy dividiendo magnitudes con las mismas unidades, 00:24:33

se va a poder comparar los errores relativos de distintas magnitudes entre sí. 00:24:42

Nuestro espacio de trabajo es uno de los laboratorios virtuales de la Universidad de Colorado, cuya dirección web tenemos aquí. 00:24:48

Y al abrirse en el navegador podemos entrar a él pulsando sobre este botón de introducción. 00:24:55

Aquí tenemos nuestro espacio de trabajo, nuestro laboratorio virtual, tal y como nos lo vamos a encontrar de forma estándar. 00:25:05

A la izquierda podemos ver nuestro sistema de lanzamiento que viene representado como este cañón de circo. 00:25:13

Podemos ver esta lectura 10 metros, que es la altura de esta cruz, que va a representar la posición inicial del proyectil con respecto a esta línea que representará la superficie horizontal de la Tierra. 00:25:20

Puesto que, como recordaréis, hemos definido en la introducción teórica nuestro sistema de referencia con el origen justamente aquí, en la vertical del sistema de lanzamiento, justamente en la superficie de la Tierra, este 10 metros es la lectura directa de I0, la posición vertical inicial del proyectil. 00:25:34

La podemos modificar sin más que pinchar y arrastrar hacia arriba hasta un valor máximo de 15 metros 00:25:55

o hacia abajo hasta un valor máximo de 0 metros y que se corresponde con un lanzamiento desde la superficie de la Tierra. 00:26:00

Como podéis ver, estos incrementos son de 1 en 1 metro, así que vamos a poder seleccionar una altura de 5 metros, 00:26:08

una altura de 6 metros, pero no una altura de 5,5 metros ni ningún otro valor decimal intermedio. 00:26:16

En cuanto al ángulo de elevación o de depresión, lo tenemos aquí. 00:26:22

En este caso está seleccionado un ángulo de 25 grados y podemos variarlo sin más que pinchar sobre la boca del cañón 00:26:25

y desplazarlo hacia arriba hasta un valor máximo de 90 grados. 00:26:32

Aquí tenemos un tiro horizontal con un ángulo de 0 grados y ángulos de depresión, 00:26:37

que podemos ver porque son negativos, hasta un valor mínimo de menos 90 grados. 00:26:42

En cuanto a la velocidad inicial, la podemos seleccionar con este deslizador, pinchando y arrastrando hasta un valor mínimo a la izquierda del todo de 0 mts partido por segundo a un valor máximo a la derecha de todo de 30 mts partido por segundo. 00:26:47

También podemos variarlo utilizando estos pequeños pulsadores con pasos hacia abajo o hacia arriba de 1 mts partido por segundo. 00:27:04

ahora que tenemos seleccionado esta configuración del sistema de lanzamiento 00:27:13

por ejemplo, 6 metros de altura, un ángulo de elevación de 35 grados 00:27:17

y una velocidad inicial de 14 metros partido por segundo 00:27:22

podemos producir el lanzamiento sin más que presionar sobre este botón rojo 00:27:25

y aquí vemos representado en azul la trayectoria 00:27:29

del cuerpo que hemos lanzado, no solo tenemos la trayectoria 00:27:34

sino que tenemos más información, en la trayectoria tenemos unos cuantos puntitos 00:27:38

de color azul, un puntito de color verde y algunos circulitos. El puntito de color verde representa 00:27:42

un punto geométrico que es la altura máxima. Se corresponde con el vértice de la trayectoria, 00:27:50

que es una parábola, y se corresponde con la altura máxima del proyectil. Los puntitos azules 00:27:56

y los circulitos constituyen la traza de tiempos y es que la posición inicial del proyectil es 00:28:01

justamente esta cruz, con pasos de 0,1 en 0,1 segundos el laboratorio virtual va representando 00:28:07

la posición del cuerpo. Así que cuando el tiempo era 0,1 segundos el cuerpo se encontraba aquí, 00:28:13

0,2 segundos, 0,3 segundos, 0,4 segundos, etc. Los circulitos representan un segundo, dos segundos 00:28:19

y están para ayudarnos a la hora de determinar tiempos. Por ejemplo, en este caso podemos ver 00:28:27

que el tiempo de vuelo es aproximadamente de 2,2 segundos y me imagino que aquí habría un segundo 00:28:33

puntito azul y que el tiempo de I máxima, utilizando la notación que utilizamos en la introducción, 00:28:40

es aproximadamente un poquito más de 0,8 segundos. Nosotros podemos producir distintas trayectorias 00:28:47

con distintos lanzamientos sucesivos y como podéis ver, la diferencia entre una y otra trayectoria 00:28:58

es que conforme vamos produciendo trayectorias nuevas, la trayectoria más antigua se va atenuando. 00:29:06

De tal forma que podemos ir un poco siguiendo cuál es la trayectoria más antigua, la más tenue, 00:29:12

y cuál es la más reciente, la última va a ser la que sea más oscura. 00:29:17

Nosotros vamos a poder tener simultáneamente en un momento dado hasta cinco trayectorias, como podéis ver. 00:29:21

Y es que cuando queramos producir la sexta, el aula virtual, el laboratorio virtual, lo que va a hacer es borrarnos la última que hayamos producido, perdón, la primera que hubiéramos producido. 00:29:26

De tal manera que en un momento dado vamos a poder obtener hasta cinco trayectorias únicamente. 00:29:37

Si queremos borrar todas las trayectorias que tenemos ahora, porque queremos empezar una representación nueva, no tenemos más que pulsar sobre esta goma de borrar. 00:29:43

Y entonces desaparecen todas. 00:29:52

Esto que tenemos aquí a la derecha es un blanco. 00:29:55

Lo podemos desplazar hacia la derecha, es una especie de alfombra, 00:30:00

que podemos desplazar a la izquierda del todo hasta un valor de menos 3,3 metros 00:30:04

y hacia la derecha del todo hasta casi 31 metros. 00:30:09

Como podéis ver, con pasos de 0,1 en 0,1 metros. 00:30:11

Tiene una utilidad doble. 00:30:16

Si nosotros producimos un lanzamiento y queremos ver cuál es el alcance, 00:30:18

Una opción es coger el blanco y desplazarlo hasta que el centro del blanco correspondiera con el punto del alcance donde ha llegado el proyectil. 00:30:21

Y en este caso, si así lo consideramos, podemos expresar que el alcance es 17,3 metros. 00:30:33

Otra opción es colocar el blanco en una determinada posición, 20 metros, e ir modificando los parámetros que constituyen la configuración del sistema de lanzamiento 00:30:39

para ver en qué momento vamos a alcanzar el blanco. 00:30:50

Por ejemplo, si queremos modificar la velocidad, 00:30:54

incrementando la velocidad a, en lugar de 11, 12 metros partido por segundo, 00:30:57

llegamos hasta el blanco. 00:31:02

Mientras que si nos pasamos a 13 metros partido por segundo, 00:31:03

nos excedemos del blanco. 00:31:07

Es una posibilidad alternativa de uso de este blanco. 00:31:08

Otra herramienta que podemos utilizar para medir distancias 00:31:14

es esta que tenemos aquí y que es una cinta métrica 00:31:18

y que se utiliza como todas ellas. 00:31:22

Si tiramos de este extremo, alargamos la cinta métrica 00:31:24

y la lectura la tenemos aquí. 00:31:27

Podemos medir en cualquier dirección, vertical, horizontal u oblicua 00:31:30

y, por ejemplo, podemos querer medir el alcance 00:31:33

colocando el inicio de la cinta métrica, que es esta cruz anaranjada, 00:31:37

en el origen de nuestro sistema de referencia 00:31:41

y tirando del extremo hasta la posición donde nosotros queremos ver que se ha encontrado el proyectil. 00:31:44

Y en este caso, tal y como lo hemos seleccionado, la lectura que tendríamos es 19,62 metros, 00:31:55

que no coincide con estos 20 metros, entre otras razones, porque en realidad el proyectil no ha llegado justo al centro del blanco 00:32:01

y esta pequeña diferencia se corresponderá, imagino, con esa distancia. 00:32:08

podríamos medir, en lugar del alcance, por ejemplo, la altura máxima. 00:32:14

En este caso vamos a hacer una medición en vertical. 00:32:18

Entonces lo que voy a hacer es, por ejemplo, colocar primero en vertical la cinta métrica, 00:32:21

más o menos, un poquito a la derecha, 00:32:27

para colocar el extremo este sobre la superficie de la tierra 00:32:30

y luego mover, mira por lo que he acertado, el otro extremo para alcanzar la altura máxima. 00:32:36

Si yo considero que esto es correcto, pues en esta última trayectoria la altura máxima resulta ser de 8,83 metros. 00:32:43

Cuando no necesite la cinta métrica, lo único que tengo que hacer es volver a colocarla en su sitio. 00:32:51

El resto de elementos de la pantalla, en principio, no los vamos a utilizar. 00:32:57

Vamos a describir únicamente alguno más. 00:33:03

Y es que, por ejemplo, tal y como lo tengo, me está costando bastante ver cuál es el punto donde ha llegado el proyectil. 00:33:05

Porque resulta que aquí tengo un montón de cosas anaranjadas que me ensucian un poco la imagen. 00:33:15

¿Por qué es eso? Porque el proyectil que he lanzado es una calabaza. 00:33:21

Eso lo tengo aquí en este desplegable. 00:33:24

Y al caer la calabaza contra el suelo, pues se ha roto. 00:33:27

Si yo lo que quisiera es ver como un punto claro el punto donde ha llegado el proyectil en la superficie de la Tierra, 00:33:31

lo que voy a hacer es utilizar como proyectil una bola de cañón. 00:33:40

Y en ese caso lo que voy a ver es un punto claro que me va a indicar el punto donde ha llegado el proyectil. 00:33:44

En este caso una bala de cañón. 00:33:52

Puedo utilizar otros objetos más o menos graciosos, por ejemplo un piano, 00:33:54

pero en el caso en el que yo lanzo un piano es bastante complicado ver cuál es el punto exacto donde se ha producido la llegada. 00:33:58

Así que yo personalmente, en todos los experimentos que vaya a realizar, voy a utilizar una bala de cañón. 00:34:08

Hay ocasiones en que utilizando ángulos de elevación grandes y o velocidades elevadas, 00:34:18

resulta que pierdo una parte de la trayectoria 00:34:26

porque o bien se sale por arriba 00:34:32

o bien se sale por los lados hacia la derecha. En este caso, tal y como lo tengo 00:34:36

la trayectoria se me ha salido hacia arriba. Me gustaría disminuir 00:34:40

un poco la escala para que la trayectoria entera cupiera 00:34:44

dentro de mi pantalla. Para eso tengo esta lupa menos y lupa más. 00:34:48

Si pulso sobre el menos disminuye la escala y puedo ver 00:34:51

un trozo mayor del espacio. Puedo ver más hacia arriba y más hacia la derecha de lo que puedo ver 00:34:56

con la configuración inicial. Al revés, si tengo un tiro con un ángulo de elevación pequeño o 00:35:02

incluso un ángulo de depresión y con una velocidad bastante pequeña, tengo trayectorias muy cortitas 00:35:11

y me puede costar ver bien qué es lo que está ocurriendo en este momento. Bueno, pues lo que 00:35:19

me puede interesar es utilizar la lupa de más para utilizar una escala más grande y poder ver 00:35:24

con un poquito más de precisión qué es lo que está ocurriendo. Estos son todos los elementos 00:35:31

que nosotros vamos a utilizar en un momento dado de nuestro espacio de trabajo. Me falta 00:35:36

únicamente comentar este botón que es el botón de reiniciar. Si he estado toqueteando y he cambiado 00:35:42

mucho la configuración y me gustaría volver a la configuración inicial, no tengo más que presionarlo 00:35:48

y vuelvo a la configuración inicial con la calabaza, que puedo cambiar por una bala de caña. 00:35:53

En la primera parte del procedimiento experimental se nos pide que determinamos 00:36:02

cómo debemos configurar el sistema de lanzamiento para alcanzar un cierto objetivo. 00:36:08

En este caso, el objetivo se encuentra sobre el suelo, una coordenada vertical igual a cero, 00:36:12

a 25 metros del sistema de lanzamiento, o sea que tendremos una coordenada horizontal igual a 25 metros. 00:36:18

El sistema de lanzamiento no está completamente sin determinarse. 00:36:26

Nos dice que tenemos que producir un lanzamiento horizontal, esto es con un ángulo de elevación igual a cero, 00:36:30

y que tenemos el sistema de lanzamiento situado a una altura de 10 metros, 00:36:36

de tal manera que la coordenada vertical inicial del proyectil va a ser 10 metros. 00:36:40

La variable que tenemos para poder jugar con ella es la velocidad inicial. 00:36:45

Tenemos que determinar cuál es la velocidad inicial del lanzamiento para, con un ángulo de creación, con un ángulo de elevación igual a cero y desde una altura de 10 metros, alcancemos un objetivo que estará situado sobre el suelo a una distancia de 25 metros del sistema de lanzamiento. 00:36:50

Lo primero que tenemos que hacer es configurar el laboratorio virtual para que reproduzca las condiciones que se nos han indicado en el enunciado. 00:37:11

En lo que respecta al sistema de lanzamiento, tanto el ángulo de elevación de 0 grados, que se corresponde con un tiro horizontal, como su altura de 10 metros, ya se corresponde con lo que se nos decía. 00:37:19

Así que lo único que tenemos que hacer en este momento es cambiar de posición el blanco. 00:37:30

Ya está sobre la superficie, no lo vamos a poder mover de ahí, pero en lo que respecta a la distancia horizontal, está situado a 15 metros del sistema de lanzamiento 00:37:35

y nosotros tenemos que llevarnos el blanco hasta la distancia de 25, que se nos indica en el enunciado. 00:37:43

Ya lo tenemos a 25 metros y vamos a producir un primer lanzamiento. 00:37:50

Vamos a dejar de momento esta velocidad configurada de 15 metros partido por segundo, 00:37:56

puesto que no sabemos cuál pueda ser, cualquier opción es igualmente buena, 00:38:01

y vamos a producir un primer lanzamiento, que como podemos comprobar se queda corto. 00:38:05

Puesto que lo único que podemos variar es la velocidad inicial, para conseguir un mayor alcance tenemos que aumentar la velocidad inicial. 00:38:09

Vamos a probar con 16 metros partido por segundo. 00:38:17

Podemos ver cómo el proyectil se acerca al blanco, se aleja del sistema de lanzamiento, pero todavía es corto. 00:38:21

Vamos a ir incrementando la velocidad. 00:38:28

Vemos cómo se alcanza bastante, da al blanco, pero todavía no llega al centro del blanco. 00:38:32

vamos a probar con 18 metros partido por segundo y en este caso lo que vemos es que nos hemos 00:38:36

pasado. Si seguiremos aumentando la velocidad llegaremos a pasarnos por completo del blanco. 00:38:43

Bien, nosotros queremos alcanzar el blanco que se encuentra a 25 metros del sistema de lanzamiento 00:38:52

Y hemos comprobado que con dos velocidades, 17 y 18 metros partido por segundo, pues casi, casi, casi llegamos al centro del blanco. 00:38:59

En el primer caso nos quedamos cortos, ligeramente cortos, y en el segundo caso nos quedamos largos, nos pasamos un poquito. 00:39:10

Parece razonable que nosotros pudiéramos decir que la velocidad es 18,5 metros partido por segundo. 00:39:18

Entre 18 y 19, pues 18,5. 00:39:24

No obstante, nosotros no podemos configurar de esa manera el sistema de lanzamiento y tenemos que elegir una de las dos, o bien 18 o bien 19, 00:39:27

puesto que no podemos más que configurar las velocidades iniciales con intervalos de 1 metro partido por segundo. 00:39:35

El criterio es, en mi caso voy a elegir la cercanía, tengo la sensación, viendo dónde están las balas de cañón de los 17 y de los 18 metros partido por segundo, 00:39:41

que ésta se encuentra ligeramente más cerca del centro del blanco que esta otra. 00:39:52

Así que voy a tomar como correcta, como respuesta, 00:39:58

que la velocidad inicial debe ser de 18 metros partido por segundo 00:40:03

y que el alcance, sé que no es 25 metros, es lo que yo desearía, 00:40:07

pero es lo más aproximado que puedo conseguir con este sistema de lanzamiento de que dispongo. 00:40:13

A continuación tenemos que repetir el experimento pero en este caso el sistema de lanzamiento viene ya configurado no sólo con el ángulo de elevación igual a cero, volvemos a tener un tiro horizontal, sino que en este caso lo que tenemos fijada es la velocidad inicial. 00:40:19

Tenemos una velocidad inicial de 25 metros partido por segundo. 00:40:38

Y el parámetro que nos queda para jugar experimentalmente es la altura inicial, 00:40:42

la altura a la cual tenemos que situar el sistema de lanzamiento 00:40:46

y que coincidirá con la coordenada vertical inicial del proyectil. 00:40:48

Bien, voy a borrar la trayectoria del caso anterior y vamos a volver a configurar nuestro sistema. 00:40:55

Ya tenemos el blanco a 25 metros, que es donde se nos indica que debe estar, 00:41:02

Puesto que el lanzamiento va a ser horizontal, el ángulo de elevación de 0 grados es correcto. 00:41:07

Y en este caso la velocidad inicial se nos dice que tiene que tomar el valor de 25 metros partido por segundo. 00:41:13

Y lo que tenemos que determinar es la altura a la que se tiene que producir el lanzamiento para alcanzar el blanco. 00:41:19

Si dejamos esta altura de 10 metros que teníamos del caso anterior, 00:41:26

podemos comprobar que nos pasamos bastante de la posición del blanco así que para conseguir 00:41:31

que el alcance sea 25 metros lo que tenemos que hacer es en este caso disminuir la altura 00:41:39

vamos a ir bajando desde los 10 metros vamos a probar por ejemplo con 9 nos acercamos al 00:41:44

blanco pero no lo suficiente. 8 metros. Todavía no. 7 metros. Todavía no. 6 metros. Casi. 5 metros. 00:41:53

Uy, yo creo que 5 metros va a ser la mejor opción. Hemos dado en el blanco casi, casi en el centro. 00:42:09

Si en lugar de con 5 metros probáramos con 4, pues efectivamente no llegamos al blanco. 00:42:16

No es que demos el blanco y nos quedemos cortos, es que directamente no llegamos al blanco. 00:42:23

Así que en este caso parece que la mejor opción es la de situar a 5 metros de altura el sistema de lanzamiento. 00:42:27

Una vez más, con 5 metros de altura nos pasamos un poquito, si bien es cierto solamente un poquito, del centro del blanco. 00:42:37

así que estaremos alcanzando un poco más de 25 metros. 00:42:44

Podemos estar tentados de dar como resultado 4,8 o 4,9 metros de altura, 00:42:47

pero nosotros no podemos configurar así el sistema de lanzamiento. 00:42:53

Nosotros únicamente podemos dar alturas con valores de 1, 2, 3, 4, 5 metros, valores enteros. 00:42:56

Así que en este caso la respuesta que tenemos que dar es que la altura del sistema de lanzamiento debe ser 5 metros. 00:43:03

Por último, vamos a repetir la experiencia jugando con la última variable que nos queda. 00:43:11

En este caso, el sistema de lanzamiento queda configurado a una altura de 5 metros. 00:43:16

La coordenada vertical inicial del proyectil es 5 metros. 00:43:22

El lanzamiento se va a producir con una velocidad de 15 metros partido por segundo, 00:43:25

así que el módulo de la velocidad inicial del proyectil va a ser 15 metros partido por segundo. 00:43:29

Y lo que queda por determinar es el ángulo de elevación o de depresión. 00:43:33

Vamos a borrar esta trayectoria del caso anterior y una vez más, en este caso, vamos a configurar el sistema. 00:43:37

Tenemos el blanco a 25 metros, que es lo que se nos pedía. 00:43:47

Tenemos ya el sistema de lanzamiento a una altura de 5 metros. 00:43:51

Vamos a configurar la velocidad inicial a 15 metros partido por segundo. 00:43:56

Y en este caso lo que tenemos que hacer es determinar cuál es el ángulo de elevación o de depresión para alcanzar el blanco. 00:44:01

En estas condiciones de lanzamiento a 5 metros de altura con una velocidad de 15 metros partido por segundo. 00:44:08

Vamos a probar con este ángulo de 0 grados. 00:44:14

Vamos a probar con un lanzamiento horizontal y podemos ver que nos quedamos cortos. 00:44:17

Así que lo que tenemos que hacer es ir incrementando el ángulo de elevación hasta poder alcanzar el objetivo. 00:44:23

Vamos a probar con un ángulo de 5 grados. 00:44:29

vemos que nos alejamos del sistema de lanzamiento, nos aproximamos al objetivo 00:44:32

pero nos quedamos cortos. Vamos a probar con 10 grados 00:44:37

nos vamos alejando, todavía no llegamos 00:44:41

15, poco a poco nos hemos aproximado 00:44:44

20, casi llegamos 00:44:51

al blanco, 25 grados 00:44:55

y justo con este valor no solamente 00:44:58

damos en el blanco, sino que casi llegamos al centro del blanco. Así que este valor de 25 grados es uno de los posibles para poder alcanzar 00:45:03

nuestro objetivo. Digo uno de los posibles porque con carácter general va a haber dos ángulos con los cuales se alcance. Este es uno de ellos, 00:45:16

el menor posible, vamos a ir incrementando el ángulo de elevación a ver qué es lo que ocurre. 00:45:24

30 grados. Nos vamos alejando del sistema de lanzamiento. 35 grados. Seguimos alejándonos. 00:45:30

Parece que lo que estamos haciendo es bastante absurdo. 40 grados. Fijaos lo que ocurre. Nos 00:45:39

vamos alejando pero cada vez menos. 45 grados. Y en este momento el alcance retrocede. Con el 00:45:46

valor de 40 grados parece que hemos conseguido el mayor alcance, pero conforme vamos aumentando 00:45:57

el ángulo de elevación por encima de esos 40 grados, el alcance va retrocediendo, se 00:46:04

va haciendo cada vez menor. Imaginamos que en algún momento vamos a volver a alcanzar 00:46:09

nuestro blanco a 25 grados. Vamos a probar ahora con 50 grados, vamos retrocediendo y 00:46:12

Tocamos el blanco, no en el centro, con 55 grados. 00:46:23

Llegamos al blanco. Una vez más, no es el centro, pero es bastante aproximado. 00:46:32

Hemos llegado al blanco, nos hemos aproximado al centro mucho más con 55 grados que con 50. 00:46:37

Si ahora continuáramos aumentando el ángulo de elevación con 60 grados, seguimos retrocediendo, ya no llegamos al blanco. 00:46:43

así pues en este caso hay dos soluciones hay dos ángulos con los cuales podemos alcanzar el blanco 00:46:51

de 25 a 25 metros una solución el ángulo mayor es con 55 grados donde vemos que casi llegamos 00:46:59

al centro del blanco y la segunda era 25 grados en cuyo caso es mucho mejor para que nos vamos 00:47:09

a engañar, nos acercamos mucho más al centro del blanco. Pero desde el punto de vista de 00:47:20

hay dos soluciones, las soluciones son 25 y 55 grados. Como podemos comprobar, una de 00:47:25

ellas, la que tenga el ángulo menor, va a ser mucho más horizontal, va a tener una 00:47:32

elevación máxima más pequeña que aquella que tenga el ángulo mayor, en cuyo caso lo 00:47:38

que tenemos es una parábola mucho más hacia arriba y tenemos el vértice a una altura 00:47:42

mayor. Así que aquí tenemos dos soluciones, 25 grados y 55 grados, para la configuración que se 00:47:46

nos daba en este apartado. A continuación, tras la parte experimental, vamos a pasar a la parte 00:47:52

analítica de esta primera parte de la práctica. Todo lo que hemos determinado experimentalmente, 00:48:00

a continuación lo vamos a hacer analíticamente, haciendo uso de las ecuaciones del movimiento. 00:48:05

Y vamos a comenzar con este primer caso, en el cual nos planteamos un objetivo situado sobre 00:48:10

el suelo y a 25 metros del sistema de lanzamiento, de tal forma que lo que nos vamos a plantear 00:48:15

es que el alcance sea igual a 25 metros, x máxima igual a 25 metros, con un sistema 00:48:21

de lanzamiento que produce lanzamientos horizontales, esto es con un ángulo de elevación igual 00:48:26

a 0 grados, situado a 10 metros sobre el suelo, de tal forma que la coordenada vertical inicial 00:48:31

del proyectil es igual a 10 metros. Queremos calcular el módulo de la velocidad inicial, 00:48:38

v0. Y lo que vamos a hacer es partir de las ecuaciones del movimiento que habíamos desarrollado 00:48:43

en la introducción teórica. Las tenemos aquí a la izquierda. La posición horizontal tiene un único 00:48:50

término, una única contribución, el producto de la velocidad horizontal inicial por el tiempo. La 00:48:57

coordenada vertical tiene tres contribuciones, la posición vertical inicial, el término de la 00:49:02

velocidad inicial por el tiempo y el término de la aceleración menos un medio de la gravedad por 00:49:09

el tiempo al cuadrado. Una vez más, este signo negativo lo que indica es que la aceleración de 00:49:14

la gravedad g tiene el sentido hacia abajo opuesto al positivo que habíamos decidido para nuestro 00:49:19

sistema de referencia. En cuanto a la velocidad, bien, la velocidad, la componente horizontal de 00:49:25

la velocidad tiene un único término, la velocidad inicial. La componente vertical de la velocidad 00:49:30

tiene dos términos, la velocidad inicial vertical y el término que va con la gravedad. 00:49:35

Bien, lo primero que vamos a hacer es considerar que el lanzamiento es horizontal, el ángulo 00:49:42

de elevación es igual a cero grados. Y en ese caso lo que va a ocurrir es que la velocidad, 00:49:47

el vector velocidad, es completamente horizontal. La componente vertical es idénticamente nula 00:49:53

y la componente horizontal va a coincidir con el módulo de la velocidad inicial. 00:49:59

Recordemos, tal como habíamos visto en la introducción teórica 00:50:04

que conocido el módulo de la velocidad inicial y el ángulo de elevación 00:50:09

podríamos calcular las componentes de la velocidad inicial 00:50:13

En el caso de la velocidad inicial horizontal, de la componente horizontal 00:50:16

lo que tenemos que hacer es multiplicar el módulo de la velocidad inicial por el coseno del ángulo de elevación 00:50:20

Si el ángulo de elevación es 0, su coseno es 1 00:50:25

de tal forma que en ese caso la componente horizontal de la velocidad coincide con el módulo de la velocidad. 00:50:28

Asimismo, en el caso de la velocidad vertical de la componente vertical, 00:50:35

tenemos que multiplicar el módulo de la velocidad por el seno del ángulo de elevación. 00:50:39

Si el ángulo de elevación es cero, el seno es igual a cero, 00:50:43

de tal manera que la componente vertical de la velocidad va a ser idénticamente nula. 00:50:47

Así pues, como decía, vamos a sustituir en las ecuaciones de movimiento 00:50:54

la velocidad inicial horizontal v0x que teníamos aquí y aquí 00:50:57

por el módulo de la velocidad inicial, como podemos ver. 00:51:05

Y por otro lado vamos a cancelar los términos que contenían la velocidad inicial vertical, 00:51:08

que serían este de aquí y este de aquí, 00:51:13

que como podéis ver han desaparecido en esta segunda versión de las ecuaciones del movimiento. 00:51:16

A continuación lo que vamos a hacer, una vez que hemos modificado estos valores algebraicos, 00:51:20

es sustituir valores numéricos. 00:51:25

Vamos a sustituir en primer lugar que la posición vertical inicial es 10 metros, la teníamos aquí en la ecuación para la coordenada Y, sustituimos 10 metros y además vamos a sustituir la aceleración de la gravedad por su valor 9,81 metros partido por segundo al cuadrado. 00:51:27

La tenemos en dos lugares, aquí dividida entre 2, 4,905, y aquí tal cual 9,81, insisto, metros partido por segundo al cuadrado. 00:51:44

Estas son, pues, las ecuaciones del movimiento, ecuaciones para la posición vertical y horizontal y velocidad vertical y horizontal, 00:51:54

para un proyectil lanzado desde una altura de 10 metros, un tiro horizontal, 00:52:02

y lo que nos vamos a plantear es cuál es el valor de la velocidad inicial v0 00:52:08

que hace que el alcance máximo sea 25 metros. 00:52:14

Que cuando el proyectil alcance el suelo, cuando el proyectil alcance la altura y de destino igual a cero, 00:52:18

tenga como x máxima, como x de destino igual a 25 metros. 00:52:26

Para ello tenemos que pasar por el tiempo de vuelo, que es el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el destino 00:52:31

y lo que vamos a hacer es imponer las condiciones correspondientes. 00:52:37

Nosotros queremos que cuando haya pasado ese tiempo de vuelo, la coordenada horizontal x tome el valor 25 metros 00:52:41

y eso se va a corresponder simultáneamente con una coordenada vertical igual a cero. 00:52:48

Insisto en que el tiempo de vuelo se define a partir de esta ecuación. 00:52:54

Es el tiempo en el cual el proyectil ha alcanzado el suelo. 00:52:58

y una vez que tengamos el tiempo de vuelo, bueno, pues lo que queremos es que la x, la coordenada x en ese tiempo, coincida con 25 metros. 00:53:01

Lo que vamos a hacer es utilizar, puesto que tenemos condiciones para la posición, las ecuaciones para la posición, estas que tenemos aquí. 00:53:10

Y vamos a sustituir las condiciones. Vamos a sustituir el tiempo por el tiempo de vuelo y en ese caso x queremos que valga 25 metros 00:53:18

y el tiempo de vuelo debe corresponderse con un valor de y igual a 0. 00:53:26

Eso es lo que tenemos aquí debajo. 00:53:31

Sustituimos x del tiempo de vuelo igual a 25 y la ecuación queda v sub 0 por tiempo de vuelo igual a 25. 00:53:33

Sustituimos que la y del tiempo de vuelo sea igual a 0 y lo que nos queda es que 00:53:39

10 menos 4,905 por tiempo de vuelo al cuadrado igual a 0. 00:53:43

Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que son el tiempo de vuelo 00:53:48

y la velocidad inicial, aquella en la que nosotros estamos interesados. 00:53:52

Como vemos, la velocidad inicial, la que nos interesa, aparece en la primera ecuación, 00:53:57

pero aparece junto con el tiempo de vuelo. Tenemos una ecuación con dos incógnitas. 00:54:02

No podemos determinar la velocidad inicial antes de determinar el tiempo de vuelo. 00:54:06

¿Cómo podemos calcular ese tiempo de vuelo? Bueno, pues con la segunda ecuación, 00:54:11

que la contiene como única incógnita. Aquí tenemos una ecuación cuadrática en el tiempo de vuelo. 00:54:15

Así que lo que vamos a hacer es, a partir de esta segunda ecuación, despejar el tiempo de vuelo y calcularlo, puesto que todos los parámetros que tenemos, aparte del tiempo de vuelo, son numéricos. 00:54:20

Haciendo esto, despejamos tiempo de vuelo igual a la raíz cuadrada de 10 entre 4,905 y obtenemos un valor de 1,428 segundos. 00:54:33

El tiempo de vuelo se obtiene de una ecuación cuadrática. 00:54:43

Tenemos dos soluciones, pero únicamente es físicamente admisible un tiempo positivo. 00:54:46

Y eso lo hemos marcado poniendo expresamente este signo más delante de la raíz. 00:54:50

Habitualmente esta disquisición no hace falta hacerla. 00:54:55

Es evidente que el tiempo tiene que ser positivo, puesto que hemos elegido como origen de tiempos 00:54:58

el momento de lanzamiento y tiempos negativos no tienen sentido para este estudio. 00:55:03

Una vez que hemos determinado que el tiempo de vuelo es 1,428 segundos, 00:55:08

como decía antes, nos vamos a por la primera ecuación, despejamos de ella la velocidad inicial, 00:55:12

sustituimos ese tiempo de vuelo igual a 1,428 segundos y podremos calcularla. Despejamos en 00:55:18

primer lugar velocidad inicial como 25 partido por el tiempo de vuelo, sustituimos 1,428 segundos y 00:55:25

obtenemos como valor para la velocidad inicial, en este caso, 17,5 metros partido por segundo. 00:55:31

Volvemos a repetir el mismo procedimiento para el segundo caso. 00:55:40

Volvemos a tener nuestro objetivo a 25 metros, así que volvemos a plantearnos una y de destino igual a 0, una x de destino igual a 25 metros. 00:55:44

Volvemos a tener un lanzamiento horizontal, luego el ángulo de elevación va a ser 0. 00:55:53

Recordemos que esto quiere decir que la componente horizontal de la velocidad inicial coincide con el módulo de la velocidad inicial y que la componente vertical de la velocidad inicial es idénticamente nula. 00:55:58

y el valor de esta velocidad inicial nos venía dado, era 25 metros partido por segundo. 00:56:07

Luego la velocidad, en este caso la velocidad inicial, es conocida. 00:56:13

La incógnita a calcular es, en este caso, la altura inicial del sistema de lanzamiento, la altura inicial del proyectil. 00:56:18

Hacemos exactamente el mismo procedimiento. 00:56:24

Partimos de las ecuaciones generales que habíamos deducido en la introducción teórica. 00:56:27

Consideramos que, puesto que el lanzamiento es horizontal, la velocidad vertical, la componente vertical de la velocidad es nula. 00:56:32

La componente horizontal de la velocidad coincide con el módulo de velocidad inicial. 00:56:40

Hacemos ese cambio algebraico en las ecuaciones. 00:56:44

Y ahora sustituimos los valores numéricos. 00:56:47

Sustituimos la gravedad por 9,81 m partido por segundo al cuadrado. 00:56:50

Aquí tenemos g partido por 2. 00:56:54

Sustituimos, en este caso, la velocidad inicial por 25 m partido por segundo. 00:56:56

aquí y aquí. ¿Cuál es la incógnita que nos quedaría? En este caso la incógnita que nos queda es la altura 00:57:00

inicial del proyectil. Imponemos la misma condición. Nosotros lo que sabemos es que queremos alcanzar un 00:57:06

destino que se encuentra a una altura de 0 metros sobre la superficie de la Tierra y que se encuentra 00:57:13

a 25 metros del sistema de lanzamiento. Así que vamos a imponer las mismas condiciones que antes 00:57:19

para el alcance. Y para el tiempo de vuelo es igual a cero, esta es la definición del tiempo de vuelo, 00:57:25

y lo que queremos es que en el tiempo de vuelo la x tome el valor 25 metros. Igual que antes, 00:57:32

estas condiciones se refieren exclusivamente a las coordenadas de posición, así pues vamos a 00:57:38

utilizarlas. Vamos a sustituir t por el tiempo de vuelo y vamos a sustituir la x del tiempo de 00:57:44

vuelo por 25 metros la y del tiempo de vuelo por 0. Haciendo eso llegamos a unas ecuaciones análogas 00:57:50

a las que teníamos en el caso anterior. Únicamente que en este caso la velocidad inicial es conocida 00:57:56

y la única incógnita que tenemos se encuentra aquí en la segunda ecuación. Esta es la incógnita que 00:58:01

queremos determinar, perdón, es la altura inicial. Tenemos dos incógnitas, el tiempo de vuelo y la 00:58:06

altura inicial. Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igual que antes. Lo que ocurre 00:58:12

que puesto que la incógnita que queremos determinar está en la segunda ecuación junto con el tiempo 00:58:17

de vuelo, ahora tenemos que partir de la primera ecuación para despejar de ella el tiempo de vuelo 00:58:21

y operando obtenemos el valor 1 segundo y tenemos que tomar la segunda ecuación para despejar en 00:58:27

primer lugar la incógnita que queremos determinar, la altura del sistema de lanzamiento, después 00:58:33

sustituiremos el tiempo de vuelo por el valor que hemos calculado y podremos calcular I0. 00:58:38

Haciendo esto, vemos que I0 se despeja como 4,905 por el tiempo de vuelo al cuadrado. 00:58:43

Sustituyendo este tiempo de vuelo por un segundo, obtenemos para la altura inicial del proyectil el valor 4,905 metros. 00:58:49

Vamos a finalizar esta sección de estudio analítico con el tercer caso. 00:58:59

En este caso, el sistema de lanzamiento viene caracterizado por la altura del sistema sobre el suelo, la altura inicial del proyectil, 00:59:03

y la velocidad por el módulo de la velocidad inicial. 00:59:12

Y nuestra incógnita era el ángulo de elevación. 00:59:15

Vamos a operar idénticamente igual a los dos casos anteriores, 00:59:18

pero vamos a comprobar que el hecho de tener como incógnita un ángulo en lugar de una posición o una velocidad 00:59:22

hace que el cálculo algebraico se complique ligeramente. 00:59:28

Eso se debe a que los ángulos como tales no nos van a aparecer nunca en las ecuaciones, 00:59:33

sino que en las ecuaciones nos van a aparecer funciones trigonométricas de estos ángulos 00:59:38

de tal forma que nuestras ecuaciones no serán en función de alfa 00:59:42

sino en función del coseno de alfa, el seno de alfa, la tangente de alfa 00:59:46

y ese paso intermedio, el tener no la incógnita sino una función de la incógnita 00:59:50

va a hacer que el tratamiento algebraico sea ligeramente más complicado. 00:59:55

Vamos a comprobarlo. 00:59:59

Partimos como siempre de las ecuaciones del movimiento para la posición y para la velocidad 01:00:01

que habíamos deducido en la introducción teórica. 01:00:06

Vamos a hacer la sustitución algebraica de las componentes de la velocidad 01:00:09

por las expresiones en función del módulo de la velocidad inicial 01:00:13

y el ángulo de elevación, que son aquellas variables que nosotros tenemos entre manos. 01:00:17

Vamos a hacer la sustitución general, la que habíamos comentado hace unos minutos, 01:00:23

de componente horizontal de la velocidad igual a módulo de la velocidad por coseno del ángulo de elevación 01:00:27

y componente vertical de la velocidad inicial igual a módulo de la velocidad inicial por el seno del ángulo de elevación. 01:00:33

Hacemos esta sustitución tanto en las coordenadas de la posición como en las ecuaciones de la velocidad. 01:00:41

A continuación, igual que en los casos anteriores, hacemos la sustitución de los valores numéricos que conozcamos. 01:00:48

En este caso, la aceleración de la gravedad, 9,81 metros partido por segundo al cuadrado, la coordenada vertical inicial y sub cero igual a 5 metros y el módulo de la velocidad inicial, 15 metros partido por segundo. 01:00:54

Y entonces obtenemos este par de ecuaciones para las coordenadas de posición y este par de ecuaciones para las componentes de la velocidad. 01:01:07

Igual que antes, la condición que nosotros vamos a imponer guarda relación con el alcance. 01:01:17

Nosotros queremos que se alcance el suelo a una distancia de 25 metros del sistema de lanzamiento. 01:01:23

Así pues existirá un cierto tiempo de vuelo en el cual el proyectil alcanzará el suelo. 01:01:29

En ese tiempo de vuelo la coordenada vertical será igual a cero y esto se debe corresponder con un alcance de 25 metros. 01:01:33

Así que la coordenada horizontal en ese tiempo de vuelo debe ser igual a 25 metros. 01:01:41

Igual que en los casos anteriores, estas condiciones atañen únicamente a las coordenadas de posición. 01:01:46

Así que vamos a trabajar con ellas. Vamos a sustituir el tiempo por el tiempo de vuelo y vamos a considerar que el valor de x debe ser 25 metros cuando en ese tiempo de vuelo la y valga 0. 01:01:52

Hacemos eso, igual que hemos hecho anteriormente. 01:02:03

Y obtenemos, igual que antes, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este caso el tiempo de vuelo y el ángulo de elevación. 01:02:06

Pero fijaos que el ángulo de elevación aparece como coseno de alfa y seno de alfa, como funciones trigonométricas del ángulo de elevación. 01:02:13

y aparece el ángulo de elevación y el tiempo de vuelo en las dos ecuaciones. 01:02:21

De tal forma que ahora ya no vamos a operar tan sencillamente como en la ecuación que tengamos una única ecuación, 01:02:26

la despejamos y la calculamos para poder sustituirla en la otra. 01:02:33

Tenemos que operar simultáneamente con estas dos ecuaciones. 01:02:37

La forma más sencilla de operar es tomar en la primera ecuación y despejar el tiempo de vuelo en función de, en este caso, el coseno de alfa. 01:02:43

Vuelvo atrás. ¿Por qué es mejor empezar despejando de la primera ecuación? 01:02:52

Porque en la segunda ecuación, en el tiempo de vuelo, lo que tengo es un polinomio de segundo grado. 01:02:57

Mientras que en la primera ecuación, en el tiempo de vuelo, tengo sencillamente un polinomio de primer grado. 01:03:02

Es mucho más fácil despejar de la primera ecuación que no de la segunda. 01:03:06

Igualmente, ¿por qué despejo el tiempo de vuelo en lugar del coseno de alfa? 01:03:11

Bien, podría operar análogamente de una u otra manera, pero mi idea es intentar eliminar en la segunda ecuación, cuando luego sustituya, este cuadrado del tiempo de vuelo al cuadrado. 01:03:15

Así que voy a despejar tiempo de vuelo de la primera ecuación, voy a sustituir en la segunda, en la idea de que se me simplifique lo suficiente. 01:03:26

Como decía, despejo el tiempo de vuelo de la primera ecuación, lo que obtengo es 25 partido por 15 coseno de alfa, y voy a simplificar la fracción 25 quinceavos por 5 tercios. 01:03:34

esta forma de despejar es correcta 01:03:44

voy a operar con toda la tranquilidad del mundo 01:03:47

sustituyendo el tiempo de vuelo por 5 tercios entre coseno de alfa 01:03:49

porque este denominador no se va a anular nunca 01:03:53

si el denominador se hiciera cero, tiempo de vuelo tendría infinito 01:03:56

tendría un problema, pero puesto que el ángulo 01:03:59

con el que egresa el proyectil del sistema de lanzamiento 01:04:02

va a estar comprendido entre 0 y 90 grados 01:04:05

el ángulo de elevación no va a ser cero porque no tendría 01:04:08

un tiro horizontal y no va a ser 90 grados 01:04:10

porque en ese caso, como comentaba en la introducción teórica, destruiría el sistema de lanzamiento. 01:04:14

Bien, puesto que alfa no va a tomar más que valores entre 0 y 90 grados, el coseno de alfa nunca se va a anular. 01:04:19

Como decía, tiempo de vuelo igual a 5 partido por 3 coseno de alfa, que he despejado en la primera ecuación, lo sustituyo en la segunda ecuación. 01:04:26

De tal manera que lo que me va a quedar es algo como esto. 01:04:35

Como podéis ver, ha desaparecido el tiempo de vuelo. 01:04:38

Me queda una única ecuación con una única incógnita, el ángulo de elevación. 01:04:41

Lo único que ocurre es que esta ecuación es trigonométrica. 01:04:46

No tengo alfa, sino que tengo funciones trigonométricas del ángulo alfa. 01:04:49

Voy a ver cómo puedo trabajar con ellas para conseguir algo que sea razonable. 01:04:54

Lo primero que voy a hacer es simplificar. 01:04:59

Aquí tengo 15 seno de alfa por 5 partido por 3 coseno de alfa. 01:05:02

Y lo que voy a hacer es simplificar. 15 partido por 3 es 5. 5 por 5 es 25. Lo tengo aquí. 01:05:06

Y por otro lado, seno de alfa partido por coseno de alfa lo tengo también aquí a continuación. 01:05:13

En cuanto al término cuadrático, también voy a operar. 4,905 por 5 al cuadrado entre 3 al cuadrado es este valor 13,625 que tengo aquí. 01:05:19

Y por otro lado voy a tener en el denominador coseno al cuadrado de alfa. 01:05:30

Parece que lo que tengo es muy complicado, que tengo seno de alfa, coseno de alfa, coseno al cuadrado de alfa 01:05:34

Pero en realidad esto se puede simplificar teniendo en mente las identidades trigonométricas 01:05:42

En concreto, seno de alfa partido por coseno de alfa equivale a tangente de alfa 01:05:49

Y por otro lado, 1 partido por coseno al cuadrado de alfa se puede expresar como 1 más tangente al cuadrado de alfa 01:05:54

Si tengo en cuenta estas identidades y produco esta sustitución, descubro que lo que me va a quedar es una ecuación, pero únicamente en tangente de alfa. 01:06:01

No tengo seno de alfa, coseno de alfa, dos funciones trigonométricas distintas. Tengo una única, tengo tangente de alfa. 01:06:12

Lo que voy a hacer es obtener una ecuación de segundo grado en tangente de alfa. 01:06:19

5 más 25 tangente de alfa. Lo que voy a hacer es multiplicar este menos 13,625 por este paréntesis, primero por 1. 01:06:23

este menos 13,625 que tengo aquí, y después por tangente cuadrado de alfa, este menos 13,625 tangente cuadrado de alfa. 01:06:31

Lo voy a ordenar todo, voy a agrupar estos términos independientes, los que no van con tangente de alfa, 01:06:39

para que tenga la aspecto de una ecuación de segundo grado canónica. 01:06:45

Aquí tengo 13,625 tangente cuadrado de alfa, menos 25 tangente de alfa, y al agrupar estos términos independientes, más 8,625. 01:06:48

He cambiado el signo a todos los términos de la ecuación. 01:06:58

Tengo una ecuación, insisto, en forma canónica, de segundo grado para la tangente de alfa. 01:07:02

Y lo que voy a hacer es resolver la ecuación de segundo grado con la fórmula típica. 01:07:09

Tangente de alfa, que es mi incógnita, igual a, recordad, menos b más menos la raíz cuadrada de b cuadrado menos 4 por a por c, 01:07:13

siendo a el coeficiente del término cuadrático, b el coeficiente del término lineal, c el término independiente. 01:07:21

Bien, pues lo que tengo es 25 más menos la raíz cuadrada de menos 25 al cuadrado, menos 4 por 13,625 y por 8,625, todo ello dividido entre 2 por 13,625. 01:07:27

Puedo calcular la tangente de alfa con la fórmula de la ecuación de segundo grado. 01:07:44

Primero opero la raíz, el discriminante es positivo, extraigo la raíz cuadrada y obtengo el valor 12,447 01:07:48

Y tengo dos posibles soluciones dependiendo de si tomo el signo más o el signo menos de la raíz 01:07:59

Tomando el signo más tengo esta expresión numérica que tengo aquí 01:08:04

Tomando el signo menos tengo esta otra expresión numérica que tengo aquí 01:08:08

De tal forma que la tangente de alfa va a tomar dos posibles valores para que se pueda cumplir esta ecuación. 01:08:11

O bien la tangente de alfa toma el valor 0,461, es el que se obtiene con la resta, 01:08:20

o bien tangente de alfa toma el valor 1,374, es el que se obtiene con el signo positivo. 01:08:26

Así pues, hay dos valores de tangente de alfa, 0,461 y 1,374, 01:08:33

que hace que se verifiquen las ecuaciones, las condiciones que habíamos expuesto anteriormente. 01:08:39

Yo lo que quiero es calcular alfa, necesito calcular el ángulo de elevación. 01:08:45

Bueno, pues lo único que tengo que hacer es calcular alfa como el arco cuya tangente es 0,461 o bien 1,374. 01:08:49

Voy a calcular alfa como tangente menos 1 de estos dos valores que tenía aquí. 01:08:58

Bien, os recuerdo que esta ecuación, alfa igual a tangente menos 1 de 0,461, tiene infinitas soluciones. 01:09:02

Nosotros estamos únicamente considerando valores de alfa comprendidos entre 0 y 90 grados, un ángulo de elevación entre 0 y 90 grados. 01:09:13

Así pues, cada una de estas dos ecuaciones va a tener una única solución, la que nos dé la calculadora. 01:09:20

y en el primer caso el valor del ángulo de elevación que se obtiene con tangente igual a 0,461 es 24,75 grados 01:09:25

y en el segundo caso, cuando la tangente de alfa es igual a 1,374, 01:09:34

se obtiene para el ángulo de elevación el valor de 53,95 grados. 01:09:39

Una vez que hemos determinado tanto experimental como analíticamente los valores de distintas magnitudes, 01:09:46

vamos a compararlas tal y como habíamos adelantado al introducir los objetivos de esta práctica. 01:09:51

Recogemos todos los resultados que hemos obtenido hasta este momento en esta tabla. 01:09:58

Teníamos tres experiencias, en todas ellas nos planteábamos alcanzar un objetivo 01:10:03

situado sobre la superficie y a una distancia de 25 metros, como podemos ver, del sistema de lanzamiento. 01:10:07

En la primera lo que producimos era un lanzamiento horizontal con un ángulo de elevación de 0 01:10:14

desde una altura de 10 metros y nos preguntábamos cuál debía ser la velocidad del proyectil 01:10:18

para alcanzar nuestro objetivo. 01:10:24

Experimentalmente, determinábamos una velocidad de 18 metros partido por segundo 01:10:26

y analíticamente calculábamos una velocidad de 17,5 metros partido por segundo. 01:10:30

En el segundo experimento, también con un lanzamiento horizontal, 01:10:36

pero en este caso con una velocidad inicial dada de 25 metros partido por segundo, 01:10:39

nos preguntábamos a qué altura debíamos situar el sistema de lanzamiento para alcanzar el objetivo. 01:10:43

experimentalmente determinábamos una altura de 5 metros y analíticamente calculábamos una altura 01:10:48

de 4,905 metros. Finalmente con nuestro sistema de lanzamiento situado a una altura de 5 metros y 01:10:55

emitiendo el proyectil con una velocidad de 15 metros partido por segundo nos preguntábamos cuál 01:11:03

había de ser el ángulo de elevación para alcanzar el objetivo. Experimentalmente determinábamos dos 01:11:08

valores posibles 25 y 55 grados y analíticamente calculábamos dos valores posibles 24,75 y 53,95 01:11:13

grados. Para comparar estos valores experimentales y analíticos utilizamos, tal y como habíamos 01:11:22

mencionado en la introducción teórica, los errores absoluto y relativo porcentual. El error absoluto 01:11:29

es el valor absoluto de la diferencia entre el valor experimental y analítico, puesto que pensamos 01:11:36

que el valor experimental es aproximado y el valor analítico es exacto, el error relativo es el valor 01:11:41

absoluto de la razón entre el error absoluto y el valor analítico multiplicado por 100, puesto que 01:11:47

queremos el error relativo porcentual. Si hacemos estas operaciones con estos resultados que acabamos 01:11:52

de exponer, obtenemos en la primera experiencia, donde determinamos la velocidad inicial, un error 01:11:58

absoluto de 0,5 metros partido por segundo y un error relativo del 2,8%. En la segunda 01:12:04

experiencia, donde nos preguntábamos por la altura inicial, obtenemos un error absoluto 01:12:11

de 0,095 metros y un error relativo del 1,9%. Y finalmente, en la tercera experiencia, donde 01:12:17

determinábamos el ángulo de elevación, obtenemos para el valor menor 0,25 grados 01:12:24

de error absoluto un 1% de error relativo y para el valor mayor 1,05 grados de error absoluto 1,9% 01:12:30

de error relativo. Estos resultados los podemos representar en esta tabla, donde para cada una 01:12:39

de las experiencias tenemos el valor experimental y analítico sólo del parámetro que queríamos 01:12:46

determinar y en las columnas de la derecha el error absoluto y relativo que se obtiene. Una vez 01:12:51

más, como habíamos mencionado en la introducción teórica, el error absoluto es útil cuando queremos 01:12:57

comparar magnitudes iguales. Por ejemplo, en el caso del ángulo de elevación podemos decidir que 01:13:02

la determinación experimental del ángulo más pequeño se comete un error más pequeño, es una 01:13:08

mejor aproximación que en la determinación experimental del ángulo más grande, sencillamente 01:13:14

porque 0,25 grados es más pequeño que 1,05 grados. Y aquí sí podemos comparar los errores absolutos 01:13:19

porque se refieren a la misma magnitud al ángulo de elevación. 01:13:25

No obstante, si queremos comparar los errores en la determinación de la velocidad inicial, altura inicial y ángulo de elevación, 01:13:29

no podemos utilizar errores absolutos, puesto que las unidades son distintas, 01:13:36

y no podemos comparar 0,5 metros partido por segundo con 0,095 metros. 01:13:40

Cosas distintas no son comparables. 01:13:45

En este caso, tenemos que recurrir a los errores relativos. 01:13:47

Y sí podemos decir, por ejemplo, que la determinación aproximada de la velocidad inicial en la primera experiencia es la menos aproximada posible, puesto que el error relativo es un 2,8% mayor que todos los demás. 01:13:50

El error relativo más pequeño se corresponde con el ángulo de elevación, con el menor valor del ángulo de elevación. 01:14:08

De tal forma que podríamos concluir que de todas las aproximaciones, la del ángulo más pequeño es la mejor y la de la velocidad inicial es la peor. 01:14:13

Para finalizar esta práctica, se nos pide que hagamos un análisis geométrico de una trayectoria. 01:14:23

La que tenemos aquí en esta imagen a continuación, donde podemos ver la trayectoria seguida por un proyectil desde que sale desde el sistema de lanzamiento 01:14:28

hasta que alcanza la superficie de este cuerpo planetario 01:14:36

porque tal y como se nos enuncia puede no ser la superficie de la Tierra. 01:14:40

Lo que se nos dice es que tomemos como referencias exclusivas dentro de la imagen 01:14:45

para las distancias la altura de esta estatua que es igual a 2 metros 01:14:50

y para los tiempos la traza de tiempos que tenemos sobre la trayectoria. 01:14:54

Ya habíamos indicado anteriormente que estos puntos indican la posición de proyectil cada 0,1 segundos 01:14:59

y estos círculos redondos, la posición del proyectil cada segundo. 01:15:05

Pues bien, lo que se nos pide es que determinemos, utilizando estas referencias, 01:15:11

cuáles son el ángulo de elevación con el que se ha producido el lanzamiento, 01:15:16

la velocidad inicial del proyectil y la aceleración de la gravedad en la superficie de este cuerpo planetario 01:15:21

que, insisto, puede no ser la superficie de la Tierra. 01:15:26

Para ello lo que vamos a hacer es tomar medidas sobre la imagen de tres puntos 01:15:29

En primer lugar, el punto inicial, la posición inicial del proyectil viene dada por esta cruz 01:15:36

tal y como habíamos comentado anteriormente 01:15:41

Nosotros sabemos que el tiempo en el cual el proyectil se encuentra en este punto es 0 01:15:43

por definición del origen de tiempos en nuestro sistema de referencia 01:15:48

Sabemos que la coordenada horizontal x0 va a ser igual a 0 01:15:51

también por definición porque habíamos colocado el origen del sistema de referencia justo aquí en la vertical del sistema de lanzamiento, 01:15:56

en la vertical de la localización inicial del proyectil, nos faltaría por determinar cuál es I0, la altura inicial del proyectil, 01:16:03

la distancia que separa la superficie de la Tierra, el origen del sistema de referencia y este punto que tenemos aquí. 01:16:11

Como segundo punto importante vamos a utilizar el punto de altura máxima que sobre la traza aparece como este punto de color verde. 01:16:17

Este punto vendrá dado por sus coordenadas y máxima, que se corresponderá con esta distancia, la altura de este punto con respecto a la superficie del cubo planetario, 01:16:25

y su coordenada horizontal, la coordenada horizontal del punto de altura máxima, x de y máxima, que se corresponde con la distancia entre la proyección vertical de este punto, 01:16:36

que caería aproximadamente aquí, y nuestro origen en el sistema de referencia. 01:16:46

Asimismo, sobre la traza de tiempos podremos determinar cuál es el tiempo en el cual el proyectil alcanza la altura máxima, TI máxima. 01:16:51

El tercer punto de importancia va a ser este de aquí, el punto en el cual el proyectil por fin alcanza la superficie del cuerpo planetario y que se va a corresponder con el alcance o alcance máximo. 01:16:59

Por definición, puesto que el cuerpo va a alcanzar la superficie del cuerpo planetario, 01:17:10

la coordenada Y va a ser cero y esa va a ser la condición que nosotros pudiéramos emplear 01:17:14

para trabajar con este punto de alcance. 01:17:19

Estaremos interesados, por supuesto, en determinar cuál es la coordenada horizontal, 01:17:22

el alcance per se, que se corresponderá con la distancia entre el origen del sistema de referencia 01:17:25

y este punto, aquel en el cual el proyectil alcanza la superficie de la Tierra. 01:17:30

En cuanto al tiempo en el cual ocurre esto, en el cual el proyectil alcanza la superficie de la Tierra, 01:17:35

es el tiempo de vuelo que nosotros podemos determinar igualmente contando los puntos a lo largo de la traza. 01:17:40

Si nosotros tomamos esta imagen y la introducimos dentro de un editor de imágenes, 01:17:47

lo que podemos hacer es lo siguiente. 01:17:52

En primer lugar, yo lo que he hecho ha sido marcar esta línea de color anaranjado 01:17:54

en lo que va a ser la superficie del cubo planetario, pasando por el pie de la estatua, 01:17:58

que se va a corresponder grosso modo con el eje X. 01:18:03

Trazando también una línea vertical que pasa por este punto, 01:18:08

que va a ser el punto inicial en el cual se cuenta nuestro proyectil 01:18:12

y que va a ser grosso modo el eje Y. 01:18:15

La intersección de mi eje X y mi eje Y, esta línea horizontal y esta línea vertical, 01:18:18

va a ser el origen de mi sistema de referencia. 01:18:22

También he trazado estos ejes auxiliares, 01:18:26

Puesto que en algún momento voy a tener que determinar las coordenadas del punto de altura máxima, lo que he hecho ha sido trazar pasando por él una línea horizontal que interseca con mi eje Y y una línea vertical que interseca con mi eje X, a fin de poder determinar de una forma cómoda las coordenadas Y máxima y X de Y máxima. 01:18:30

Y he aprovechado para, sobre este eje auxiliar, por ejemplo, trazar una línea horizontal que pasa por la cabeza de la estatua. 01:18:51

Haciéndolo así, yo ya sé que la distancia que separa este punto y este es 2 metros, se corresponde con la altura de la estatua. 01:19:00

Y lo que he hecho es tomar este segmento y dividirlo a la mitad, de tal forma que esta separación entre la superficie de la Tierra y este punto, 01:19:06

y la distancia entre este punto y la cabeza de la estatua, va a ser 1 metro. 01:19:13

Y he tomado este trocito, este segmento, como unidad de medida. Va a ser un metro. 01:19:18

Y la he trasladado al eje Y, partiendo del origen del sistema de referencia hacia arriba. 01:19:23

He utilizado la misma unidad en el eje auxiliar para ayudarme a tomar las medidas. 01:19:30

Después la he puesto en horizontal, el un metro lo he puesto en horizontal y lo he trasladado a lo largo del eje X. 01:19:35

E igualmente he hecho lo mismo en mi eje auxiliar para ayudarme a tomar las medidas. 01:19:42

Haciéndolo de esta manera y sin más que contar, puedo determinar cuáles son las coordenadas de esos tres puntos de especial interés que he mencionado anteriormente. 01:19:47

Si cuento a lo largo de mi eje Y a partir del origen del sistema de referencia, 1, 2, 3, resulta que la coordenada vertical inicial del proyectil y subcero es igual a 3 metros. 01:19:55

Si continúo, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, entre 13 y 14 metros me encuentro con la altura máxima. 01:20:09

Creo que está aproximadamente a la mitad entre 13 y 14. 01:20:20

Me voy a atrever a afinar diciendo que la altura máxima es 13,5 metros. 01:20:25

13 me parece demasiado poco, 14 me parece mucho. 01:20:30

No me voy a inventar un 13,25. 01:20:33

13,5 para mí es una buena aproximación para la altura máxima. 01:20:36

En lo que corresponde a la coordenada horizontal del punto de altura máxima, 01:20:41

pues igualmente a partir del sistema de referencia voy a contar unidades, 01:20:45

en este caso a lo largo del eje X, hacia la derecha. 01:20:48

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 metros, aproximadamente 9 metros. 01:20:52

Veo que es un poquito menos, pero no llega a ser, no me siento cómodo diciendo que son 8,5 metros. 01:20:59

No me voy a inventar 8,87 metros, me voy a quedar con 9 metros como buena aproximación para la coordenada horizontal del punto de altura máxima. 01:21:06

Si sigo contando a partir de aquí, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, casi en 19 un pelín menos, pero para mí en 19 tengo el alcance. 01:21:15

De tal forma que también voy a caracterizar el punto del alcance máximo como coordenada horizontal de 19 metros y la coordenada vertical 0. 01:21:26

Por definición, estoy alcanzando la superficie de la Tierra. 01:21:34

Ahora voy a contar a lo largo de la trayectoria la traza de tiempos para determinar el tiempo en el que se alcanza la altura máxima y el tiempo de vuelo. 01:21:38

Me faltan los puntos que estarían dentro del hipotético cañón, dentro del hipotético sistema de lanzamiento. 01:21:47

Pero no me preocupa porque aquí tengo lo que va a ser el primer circulito que se corresponde con un tiempo de un segundo. 01:21:53

Y ya contará a partir de él. Un segundo, 1,1, 1,2, 1,3 y 1,4. 01:21:59

El vértice, el punto de altura máxima, creo que está aproximadamente a la mitad. 01:22:05

Así que entre 1,3 y 1,4 voy a decir que el tiempo en el cual se alcanza la altura máxima es 1,35 segundos. 01:22:10

Voy a seguir contando para terminar el tiempo de vuelo. 01:22:18

Bien, este circulito es el segundo, son dos segundos. 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6, 2,7, este va a ser 2,8. 01:22:21

Y ahora veamos. Si imaginariamente tomara este segmento y lo trasladara aquí a continuación, 01:22:32

el punto que se correspondería si el proyectil pudiera penetrar por el interior de la Tierra, 01:22:40

con 2,9 segundos estaría más o menos creo aquí 01:22:45

donde tengo el cursor ahora mismo. Así que este punto 01:22:50

el que corresponde con la intersección con el choque de proyectil con la superficie 01:22:54

de la Tierra, para mí está entre este punto de 2,8 01:22:58

y el hipotético punto de 2,9, voy a asignar al tiempo de vuelo 01:23:02

un valor aproximado de 2,85 segundos. 01:23:06

Así pues, ya tengo caracterizados los tres puntos importantes 01:23:10

que junto con las ecuaciones del movimiento me van a permitir determinar todas las variables que necesito. 01:23:14

En primer lugar, el punto inicial va a tener x0 igual a 0 por definición, y sub 0 igual a 3, lo acabo de medir, 01:23:20

y t sub 0 igual a 0 también por definición, por definición insisto, de mi sistema de referencia. 01:23:27

En cuanto al punto de la altura máxima, tiene x de máxima igual a 9 metros, y máxima igual a 13,5 metros, 01:23:33

y el tiempo en el cual se alcanza la altura máxima, TI máxima, es 1,35 segundos. 01:23:40

Por último, el alcance, el punto donde la superficie, perdón, el proyectil alcanza la superficie de la Tierra, 01:23:46

bueno, en este caso del cuerpo planetario. 01:23:51

El alcance X máxima es igual a 19 metros, la altura de este punto va a ser 0 por definición, 01:23:54

y en cuanto al tiempo de vuelo, hemos medido 2,85 segundos. 01:24:00

Vamos a continuar con la parte analítica utilizando las mismas ecuaciones de movimiento 01:24:06

que habíamos utilizado en los casos anteriores, las que habíamos deducido en la introducción 01:24:11

teórica. Vamos a hacer igual que anteriormente la sustitución de las componentes horizontal y 01:24:15

vertical de la velocidad inicial por sus expresiones en función del módulo de la velocidad inicial y 01:24:21

del ángulo de elevación. v0x igual a v0 por coseno de alfa, v0y igual a v0 por el seno de alfa. Y 01:24:27

también en un solo paso vamos a sustituir la coordenada vertical del punto inicial y sub 0 01:24:33

por 3 metros el valor que habíamos medido anteriormente. Y obtenemos estas cuatro ecuaciones, 01:24:39

estas dos ecuaciones para las coordenadas x e y y estas dos ecuaciones para las componentes 01:24:44

horizontal y vertical de la velocidad. Nosotros vamos a sustituir ciertas condiciones, igual que 01:24:50

habíamos estado haciendo anteriormente, y en este caso lo que vamos a hacer es utilizar la altura 01:24:56

máxima, el punto de altura máxima. Como habíamos discutido en la introducción teórica, este punto 01:25:01

se caracteriza porque en el tiempo en el cual se alcanza la altura máxima, la componente vertical 01:25:06

de la velocidad debe ser idénticamente nula. Y esta es la primera condición que podemos imponer 01:25:12

en relación con la altura máxima. También podemos imponer, por supuesto, las coordenadas. Las hemos 01:25:18

medido anteriormente y nosotros sabemos en el tiempo en el que se alcanza la altura máxima cuál 01:25:24

es el valor de la coordenada vertical, la altura máxima que hemos medido en la imagen, y en ese 01:25:29

mismo tiempo cuál es la coordenada horizontal, la coordenada del punto de 01:25:33

altura máxima que habíamos medido en la imagen. Pues bien, si tomamos las tres 01:25:37

ecuaciones, la componente vertical de la velocidad y las dos de las coordenadas 01:25:41

de posición y sustituimos el tiempo de altura máxima 1,35 segundos, la velocidad 01:25:46

0 por definición y en cuanto a las coordenadas la altura máxima 13,5 metros 01:25:52

y la coordenada horizontal del punto de altura máxima 9 metros, lo que obtenemos 01:25:57

es este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que vamos a recolocar de esta manera 01:26:01

para poner los coeficientes numéricos delante de la parte literal como estamos acostumbrados. 01:26:08

Y vemos que tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas que son el módulo de la velocidad 01:26:14

inicial, el ángulo de elevación en forma de seno o coseno de alfa y la aceleración de la gravedad 01:26:18

en la superficie del cuerpo planetario, las tres magnitudes que se nos pide en el enunciado que 01:26:23

determinemos analíticamente. Para simplificar el sistema de ecuaciones e ir calculando nuestras 01:26:29

incógnitas, en primer lugar lo que vamos a hacer es tomar la primera ecuación v0 seno de alfa menos 01:26:35

1,35 g igual a cero y de ella despejar el módulo de la velocidad inicial. En función de g y el seno 01:26:40

de alfa de esta manera v0 igual a 1,35 g entre el seno de alfa. Y no nos preocupa estar dividiendo 01:26:46

entre el seno de alfa porque dado que el ángulo de elevación hemos visto en la imagen va a estar 01:26:52

comprendido entre 0 y 90 grados, seno de alfa nunca se va a anular y nunca vamos a estar dividiendo 01:26:57

entre 0. Esta expresión algebraica para la velocidad inicial la vamos a sustituir en la 01:27:02

segunda ecuación, que era 1,35 v0 seno de alfa menos 1,35 cuadrado partido por 2 por g igual a 01:27:07

10,5. Sustituimos v0 por esta expresión algebraica y vemos que, operando de esta manera, el término 01:27:15

que contenía el ángulo de elevación en forma de seno de alfa se simplifica. Este seno de alfa y 01:27:23

este seno de alfa dividiendo se van a cancelar y lo que va a quedar es una ecuación 1,35 al 01:27:29

cuadrado por g menos 1,35 al cuadrado entre 2 por g igual a 10,5, esta que tengo aquí, donde aparece 01:27:35

únicamente como incógnita la aceleración de la gravedad. Así pues lo que puedo hacer es agrupar 01:27:42

términos, despejar la aceleración de la gravedad y operar para obtener su valor numérico. Resulta 01:27:47

que la aceleración de la gravedad en la superficie de este cuerpo planetario es 01:27:52

11,52 metros partido por segundo al cuadrado. Así pues no estamos en la 01:27:56

Tierra, donde la aceleración de la gravedad es 9,81 metros partido por 01:28:00

segundo al cuadrado. Con esto hemos utilizado la primera 01:28:04

ecuación despejando v0 para operar en la segunda y calcular la aceleración de la 01:28:08

gravedad. ¿Qué nos queda? La tercera ecuación. Vamos en primer lugar a 01:28:12

sustituir en ella, igual que hicimos anteriormente en la segunda ecuación, la 01:28:17

expresión de v0 por la incógnita. La tercera ecuación era 1,35v0 coseno de alfa igual a 9, 01:28:21

pues bien sustituiremos v0 por esta expresión 1,35g partido por el seno de alfa y nos queda 01:28:28

esta ecuación que tenemos aquí, donde a su vez también podemos sustituir g por el valor numérico 01:28:34

que hemos determinado hace un momento, 11,52. Haciéndolo de esa manera nos queda esta ecuación 01:28:40

que tenemos aquí. Vamos a quitar los paréntesis, vamos a agrupar primero por delante 1,35 al cuadrado 01:28:45

por 11,52 los términos numéricos y vamos a dejar coseno de alfa partido por seno de alfa como la 01:28:52

parte literal igual a 9. Podemos despejar seno de alfa partido por coseno de alfa como el término, 01:29:00

la parte numérica, 1,35 al cuadrado por 11,53 partido por 9. Y esto es útil porque seno de alfa 01:29:07

partido por coseno de alfa equivale a tangente de alfa y resulta que nos queda una ecuación 01:29:14

para tangente de alfa y de aquí podremos calcular alfa, el ángulo de elevación, como 01:29:19

el arco cuya tangente toma el valor numérico resultado de 1,35 al cuadrado por 11,52 partido 01:29:26

por 9. Eso es lo que tenemos aquí, alfa igual a tangente menos 1 de esa expresión numérica 01:29:33

que es 2,333, y entonces tomamos para alfa el valor comprendido entre 0 y 90 grados. 01:29:38

Recuerdo que las ecuaciones trigonométricas tienen infinitas soluciones, 01:29:45

pero a nosotros nos interesa únicamente como físicamente aceptable para el problema con el que estamos 01:29:49

un ángulo alfa perteneciente al primer cuadrante, pues bien, alfa toma el valor 66,8 grados. 01:29:53

Así pues, despejamos v0 de la primera ecuación, sustituimos en la segunda y pudimos calcular g. 01:30:01

Sustituyendo todo esto en la tercera ecuación, pudimos calcular alfa. 01:30:08

Pues bien, nos queda calcular únicamente v0. 01:30:11

Vamos a utilizar para ello la expresión que despejamos de la primera ecuación 01:30:14

y lo que vamos a hacer es en ella sustituir g por el valor numérico 11,52 que habíamos calculado hace un momento 01:30:19

y alfa por 66,8 grados que acabamos de calcular ahora mismo. 01:30:25

Así pues, tomamos esa expresión, como he dicho, sustituimos g y alfa por los valores numéricos que acabamos de determinar, 01:30:30

y obtenemos como módulo de la velocidad inicial el valor 16,9 m partido por segundo. 01:30:37

Para recapitular, vamos a indicar lo que hemos ido haciendo a lo largo de esta práctica 01:30:45

y cuáles son los resultados que hemos ido obteniendo. 01:30:50

Comenzábamos determinando, tanto experimental como analíticamente, 01:30:53

la caracterización del sistema de lanzamiento, ciertos parámetros de lanzamiento. 01:30:57

Nos planteábamos tres experiencias. En las tres nos planteábamos alcanzar un objetivo situado sobre la superficie de la Tierra a una distancia de 25 metros del sistema de lanzamiento. 01:31:02

En la primera producíamos un lanzamiento horizontal con un ángulo de elevación igual a cero desde una altura de 10 metros y nos preguntábamos por cuál sería la velocidad con la cual tendríamos que producir el lanzamiento para alcanzar el blanco. 01:31:13

y determinábamos experimentalmente 18 metros partido por segundo 01:31:25

y analíticamente calculábamos 17,5 metros partido por segundo. 01:31:29

En la segunda experiencia, también con un lanzamiento horizontal, 01:31:33

pero con una velocidad inicial de 25 metros partido por segundo, 01:31:37

nos preguntábamos cuál es la altura del sistema del lanzamiento para alcanzar el blanco 01:31:40

y determinábamos experimentalmente 5 metros y analíticamente calculábamos 4,905 metros. 01:31:44

Finalmente, lanzando el proyectil con una velocidad de 15 metros partido por segundo desde una altura de 5 metros, 01:31:52

nos preguntábamos cuáles serían los ángulos de elevación 2 con los cuales alcanzaremos el blanco. 01:31:59

Experimentalmente determinábamos los ángulos de 25 y 55 grados. 01:32:05

Analíticamente calculábamos los ángulos de 24,75 y 53,95 grados. 01:32:10

A continuación se nos pedía comparar estos valores experimentales y analíticos considerados como aproximados y exactos utilizando los errores absoluto y relativo porcentual y determinábamos para las tres experiencias, para el parámetro que nosotros habíamos determinado, esos errores. 01:32:16

En la primera experiencia, determinábamos experimental y analíticamente la velocidad inicial del proyectil y calculábamos los errores absoluto y relativo. 01:32:35

En la segunda, la altura de lanzamiento y determinábamos los errores absoluto y relativo. 01:32:44

Y en la tercera, los ángulos de elevación, tenemos dos valores posibles y determinábamos los errores absoluto y relativo. 01:32:50

Recuerdo que dado que el error absoluto tiene unidades, únicamente nos es útil para comparar las aproximaciones de magnitudes con las mismas unidades. 01:32:57

Y entonces podemos comparar la aproximación que supone 25 grados para el ángulo menor frente a 24,75 o 55 grados para el ángulo mayor frente a 53,95. 01:33:06

Son magnitudes iguales, se miden en las mismas unidades, y dado que 0,25 grados es menor que 1,05 grados, 01:33:18

decimos que la aproximación del ángulo menor es mejor que la aproximación del ángulo mayor. 01:33:25

Para comparar magnitudes distintas que se miden en unidades diferentes, necesitamos hacer uso del error relativo. 01:33:30

Entonces, dado que 2,8% es el mayor de todos, podemos decir que la aproximación de la velocidad inicial 18 por 17,5 es la peor aproximación de todas, 01:33:36

mientras que dado que 1% es menor que todos los demás 01:33:47

podemos decir que la aproximación de 25 grados por 24,75 grados 01:33:51

en la determinación en la tercera experiencia del ángulo de elevación 01:33:56

es la mejor de todas. 01:33:59

El procedimiento experimental finalizaba con el análisis geométrico de una trayectoria. 01:34:01

Se nos daba una imagen donde teníamos la trayectoria de un cuerpo 01:34:07

lanzado en la superficie de un cuerpo planetario, 01:34:11

hipotéticamente podría no ser la Tierra, 01:34:13

y utilizando como referencias para la distancia la altura de la estatua y para los tiempos la traza sobre la propia trayectoria, 01:34:15

teníamos que determinar la caracterización del sistema de lanzamiento, el ángulo de elevación y la velocidad inicial 01:34:24

y también teníamos que determinar la aceleración de la gravedad en la superficie de este cuerpo planetario. 01:34:31

Lo que hacíamos era utilizar la imagen para caracterizar tres puntos importantes de la trayectoria. 01:34:38

El punto inicial que se corresponde con la posición del sistema de lanzamiento y aquí lo que determinábamos era la altura y subcero igual a 3 metros. 01:34:43

También caracterizábamos el vértice de la trayectoria, el punto de altura máxima. 01:34:53

La altura máxima medíamos 13,5 metros, su coordenada vertical del punto de altura máxima era 9 metros y el tiempo en el cual se alcanzaba este punto era 1,35 segundos. 01:34:58

En cuanto al punto donde el proyectil impacta contra la superficie del cuerpo planetario, la altura es cero, el tiempo de vuelo, el tiempo en el que ocurre esto es 2,85 segundos y el alcance, la distancia horizontal, la coordenada horizontal de este punto resultaba ser 19 metros. 01:35:09

Con estos valores y las ecuaciones del movimiento que habíamos deducido en la introducción teórica, 01:35:29

llegamos a determinar las magnitudes pedidas. 01:35:36

La aceleración de la gravedad en la superficie del cuerpo planetario, 11,52 m partido por segundo al cuadrado, 01:35:38

no estamos efectivamente sobre la superficie de la Tierra. 01:35:44

El ángulo de elevación, 66,8 grados. 01:35:48

Y la velocidad inicial del lanzamiento, 16,9 m partido por segundo. 01:35:51

En este momento voy a hacer un poco de trampa, porque yo sí sé cuáles son los valores de la aceleración de la gravedad, 01:35:57

el ángulo de elevación y la velocidad inicial con la cual se ha generado la imagen. 01:36:03

Y nos podemos permitir dar un paso más y determinar los errores absoluto y relativo 01:36:08

para ver cómo de bien o cómo de mal hemos aproximado esos valores. 01:36:12

La aceleración de la gravedad real con la cual se ha determinado la imagen es 11,67 m partido por segundo al cuadrado. 01:36:18

la aceleración media en la superficie de Saturno. 01:36:25

El error absoluto es 0,15 m partido por segundo al cuadrado 01:36:29

y el error relativo cometido es un 1,3%. 01:36:32

Bastante bien, francamente. 01:36:35

En cuanto a los parámetros de lanzamiento, 01:36:38

el ángulo de elevación real no era 66,8 sino 67 grados. 01:36:40

El error absoluto es 0,2 grados y el error relativo es 0,3%, 01:36:45

menor que el 1%. Muy bueno. 01:36:49

Y en cuanto a la velocidad inicial, 01:36:52

nosotros calculábamos 16,9 y el valor real era 17 metros partido por segundo. 01:36:53

El error absoluto es 0,1 metros partido por segundo 01:37:00

y el error relativo 0,6%. 01:37:03

Una vez más menor que el 1%, la aproximación resulta ser muy buena. 01:37:05

Para finalizar, podemos concluir que hemos alcanzado los objetivos 01:37:11

que nos habíamos propuesto al inicio de esta práctica. 01:37:15

En primer lugar, nos planteábamos estudiar la balística, 01:37:18

estudiar el movimiento bidimensional de un proyectil 01:37:21

en el seno de un campo gravitatorio. Y eso es lo que hemos hecho. Nos hemos planteado alcanzar un 01:37:23

cierto blanco a una cierta distancia sobre la superficie de la Tierra del sistema de lanzamiento 01:37:29

y hemos estudiado cuál debe ser la velocidad inicial con la que se produce el lanzamiento, 01:37:33

cuál es la altura del sistema de lanzamiento y cuál es el ángulo de elevación con el cual se 01:37:39

tiene que producir el lanzamiento para alcanzar dicho blanco. Y esto lo hemos hecho tanto 01:37:43

experimentalmente manipulando el laboratorio virtual como analíticamente utilizando las 01:37:47

ecuaciones del movimiento. Asimismo también se nos daba la imagen de la trayectoria de un cierto 01:37:53

lanzamiento de proyectil y utilizando una escala de medida para las longitudes y para los tiempos 01:38:00

hemos podido determinar cuál es la configuración del sistema de lanzamiento que ha producido esa 01:38:06

trayectoria, el ángulo de elevación y la velocidad inicial y asimismo cuál era la aceleración de la 01:38:11

gravedad en la superficie del cuerpo planetario, que en principio no era la Tierra y resultó que 01:38:17

efectivamente no lo era. Asimismo, como segundo objetivo nos planteábamos comparar resultados 01:38:21

experimentales y analíticos utilizando los errores absolutos y los errores relativos. Y eso es lo que 01:38:28

hemos hecho. Hemos aprovechado la primera parte en la que hemos determinado tanto analítica como 01:38:34

experimentalmente ciertos parámetros de lanzamiento para determinar los errores absolutos y relativos 01:38:39

cometidos considerando los valores experimentales como aproximados y los 01:38:44

valores analíticos como valores exactos y hemos podido comparar cuáles son las 01:38:48

distintas aproximaciones cuál de ellas era mejor y cuál de ellas era peor 01:38:53

la metodología de trabajo que hemos utilizado dentro del laboratorio 01:38:57

virtual a mi juicio es suficientemente realista los parámetros con los que 01:39:01

hemos configurado el sistema de lanzamiento son los reales los que 01:39:06

realmente necesitaríamos para producir la experiencia. Nosotros podemos medir y deberíamos 01:39:11

medir el ángulo de elevación, nosotros podemos medir y deberíamos medir la altura a la que 01:39:16

situamos el sistema de lanzamiento, cuál es la altura inicial del proyectil. Podríamos 01:39:21

exceptuar tal vez la velocidad inicial y es que en general y dependiendo de cuál sea 01:39:26

el sistema de lanzamiento que utilicemos, nosotros no podemos utilizar la velocidad 01:39:31

inicial como parámetro per se, sino que tenemos que utilizar otra magnitud auxiliar. Si estamos 01:39:37

pensando, por ejemplo, en un cañón tradicional donde la ignición de pólvora o de un combustible, 01:39:41

un explosivo cualquiera, produce una dilatación de gases que es la que genera el desplazamiento 01:39:50

del proyectil, nosotros lo que podemos controlar es la masa de pólvora, pero no directamente la 01:39:55

velocidad con la cual está saliendo el proyectil. Si en lugar de utilizar eso, utilizamos como 01:40:00

propulsión aire comprimido, nosotros lo que podemos controlar es la presión a la cual estamos 01:40:06

inyectando el aire o incluso el tiempo en el cual estamos dejando actuar la válvula y estamos 01:40:13

dejando inyectar el aire dentro de nuestro recipiente, pero no medimos como tal la velocidad 01:40:18

inicial. Algo que podemos criticar de nuestro laboratorio virtual es la poca precisión de los 01:40:23

parámetros de lanzamiento. Recordad que nosotros podíamos elegir la velocidad inicial con incrementos 01:40:32

de un metro partido por segundo, que nosotros podíamos elegir la altura inicial con incrementos 01:40:39

de un metro y que podíamos elegir el ángulo de elevación con incrementos de 5 grados. Y en muchas 01:40:44

ocasiones nos hemos planteado la circunstancia de entre 16 y 17 metros partido por segundo o entre 01:40:50

50-55 grados. Si hubiéramos tenido una precisión mayor, incrementos en la altura de, por ejemplo, 01:40:57

10 centímetros o incrementos en el ángulo de elevación de un grado, habríamos podido obtener 01:41:05

mejores resultados experimentales y los errores que nosotros hemos obtenido, que eran francamente 01:41:11

pequeños, los podríamos haber reducido incluso aún más. En cuanto al análisis de la imagen, 01:41:17

El análisis que hemos realizado es realista. 01:41:25

En cualquier momento, cuando tenemos una imagen, utilizamos un objeto cualquiera de altura conocida para poder caracterizar el resto de alturas. 01:41:28

La precisión de las medidas es mejorable desde el momento en el cual hemos utilizado como unidad de medida los dos metros de la estatua. 01:41:36

Podríamos haber utilizado una unidad de medida, una referencia menor que nos diera una mayor precisión. 01:41:45

Pero en cualquier caso, como hemos podido comprobar, los errores relativos que hemos obtenido son muy pequeños, así que el análisis que hemos realizado ha sido suficientemente bueno. 01:41:51

En cualquier caso, igual que he mencionado en todas las demás prácticas, desde luego hay que ser conscientes de que la manipulación de objetos en un laboratorio real no se puede sustituir con la manipulación en un laboratorio virtual. 01:42:03

las habilidades manuales que nosotros desarrollamos en un laboratorio real 01:42:17

no se puede entrenar en un laboratorio virtual. 01:42:22

En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos, ejercicios y cuestionarios. 01:42:28

Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 01:42:35

No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 01:42:39

Un saludo y hasta pronto. 01:42:44