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Bach1 - Bisectriz de un ángulo - Contenido educativo

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Subido el 28 de enero de 2020 por Pablo Jesus T.

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Hola, hoy vamos a aprender lo que es la bisectriz de un ángulo o de dos rectas, la bisectriz o bisectrices, y cómo calcularla. 00:00:13
Si a nosotros nos dan tres puntos que forman un triángulo, los vértices de un triángulo, y nos piden, por ejemplo, calcular las bisectrices, 00:00:26
La bisectriz, en realidad, es la línea, la recta, que divide un ángulo en dos partes iguales. 00:00:34
Entonces, si nosotros en este triángulo queremos dividir el ángulo en el vértice A en dos partes iguales, lo que me están pidiendo calcular es la bisectriz. 00:00:46
si nosotros tomamos las rectas AB y AC 00:00:58
en realidad lo que vemos son cuatro ángulos 00:01:02
con lo cual podríamos dar dos bisectrices 00:01:04
así que normalmente en un triángulo se calcula solamente 00:01:08
la interna al triángulo pero hay otra perpendicular a ella 00:01:13
porque esto es muy importante 00:01:18
las dos bisectrices son perpendiculares entre sí siempre 00:01:20
Por otro lado, la bisectriz admite una definición como lugar geométrico 00:01:24
como simplemente el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas dadas 00:01:30
Así que vamos a ver cómo calcular la bisectriz en los dos casos 00:01:38
La manera más habitual es utilizar la definición de lugar geométrico 00:01:43
Eso me permitiría, si yo tengo el segmento AB, serían las coordenadas de B menos las coordenadas de A, daría 4, 3. 00:01:51
Mientras que si calculo el segmento AC, pues me daría menos 1, menos 2, menos 3 y 5, menos 1, 4. 00:02:03
Ahí tengo los dos vectores de los lados del triángulo. 00:02:13
si ahora yo quiero calcular el ángulo en A 00:02:19
si yo defino un punto P de coordenadas X e Y 00:02:23
y quiero que esté a la misma distancia de estos dos segmentos 00:02:27
pues tengo que hacer la recta que pasa por A y por B 00:02:34
pero la recta que pasa por A y por B en forma normal es bastante sencilla de calcular 00:02:40
Si yo pongo 3 por x menos 2, ya que quiero que pase por a, menos 4 por y menos 1, igual a 0, ya tengo la recta que une a con b. 00:02:46
Bien, aquí lo he puesto en forma normal porque me habéis dicho que en los otros vídeos que lo calculaba a ojo pues que se entendía relativamente bien, pero que es más fácil así porque esto me daría ya simplemente 3x menos 4y y si operáis menos 6 más 4 menos 2 igual a 0. 00:03:04
Esta es la recta que pasa por A y por B. 00:03:26
De la misma manera podría hacer la recta que pasa por A y por C. 00:03:30
Cogiendo esto pues sería 4 por X menos 2 más 3 por Y menos 1. 00:03:37
Fijaros que lo que estoy haciendo en realidad es simplemente coger el vector 00:03:46
y darle la vuelta y cambiarle de signo para que el producto escalar sea 0, como sabemos de siempre. 00:03:52
Si lo opero, pues me queda 4x más 3y y menos 8 menos 3 menos 11 igual a 0. 00:03:58
Esa es la recta que pasa por a y por c. 00:04:07
Ahora, si yo utilizo la fórmula de la distancia para calcular la distancia de p a cada una de estas rectas 00:04:13
y igualarlas, lo que nosotros tendríamos sería, en este caso, la fórmula de la distancia, sería ax, es decir, 3 por este x0 y 0, vamos a llamarle así, 00:04:20
o lo dejamos con x e y para que nos salga la ecuación de la recta 00:04:34
3x menos 4y menos 2 00:04:39
partido por el módulo de la raíz cuadrada 00:04:43
de 3 al cuadrado más menos 4 al cuadrado 00:04:50
sería igual al valor absoluto 00:04:53
de 4x más 3y menos 11 00:04:56
partido por la raíz cuadrada 00:04:59
de 4 al cuadrado más 3 al cuadrado 00:05:06
en este caso pues yo he hecho trampa 00:05:11
para que los vectores en el denominador 00:05:14
me den 5, entonces esto da 5 00:05:19
esto da 5 e incluso además se podrían ir 00:05:23
de tal manera que la ecuación de la bisectriz pues quedaría 00:05:26
3x menos 4y menos 2 igual a 4x 00:05:30
más 3Y menos 11. Esta sería una de las dos ecuaciones. Si lo paso todo a la derecha, 00:05:34
por ejemplo, o a la izquierda y lo cambio de signo, 4X menos 3XX, 3Y más 4Y más 7Y 00:05:41
y menos 11 más 2 menos 9, igual a cero. Esta es una de las dos bisectrices que nosotros 00:05:50
buscábamos. Si quiero calcular la otra bisectriz 00:06:01
pues lo único que tengo que hacer ya es 00:06:05
este barra de valor absoluto, pues cambiarle de signo, porque aquí lo que he dicho es 00:06:08
si las dos son positivas, sean iguales. Ahora, si esta es positiva 00:06:13
y esta es negativa, pues me saldrá la otra bisectriz 00:06:17
3x menos 4y menos 2 igual a 00:06:21
menos 4x menos 3y más 11 00:06:25
Y si paso todo a la izquierda, me quedará 7x menos y menos 13 igual a 0, que es la ecuación de la otra bisectriz. 00:06:28
Quiero llamaros especialmente la atención de que las dos bisectrices son perpendiculares entre sí. 00:06:44
1 por 7 es 7, 7 por menos 1 menos 7 da 0. Esto es como tienen que ser las dos bisectrices, siempre perpendiculares entre sí. 00:06:51
De hecho, la segunda A la podríamos haber calculado simplemente haciéndola perpendicular y haciendo que pasara por A. 00:07:02
Sería otra manera, aunque es tan fácil hacerlo así, que no merece la pena. 00:07:10
en el siguiente vídeo, porque vamos a borrar 00:07:15
vamos en el mismo vídeo 00:07:21
vamos a ver cómo calcular la bisectriz de otra manera 00:07:23
y que por supuesto nos va a dar exactamente igual 00:07:26
vamos a seguir con el cálculo de la bisectriz de un ángulo 00:07:30
que tiene otra manera de calcularlo 00:07:35
y que se basa en calcular el vector director de la bisectriz 00:07:39
La explicación es bastante sencilla y la vais a ver ahí representada con GeoGebra 00:07:44
Cuando yo trazo en un cuadrilátero las diagonales 00:07:49
Evidentemente no dividen el ángulo en dos 00:07:56
Excepto en un caso 00:07:59
Y ese caso es el caso del rombo 00:08:01
Las diagonales de un rombo sí que dividen el ángulo en dos 00:08:04
¿Y qué tiene de característico un rombo? 00:08:08
pues que los lados miden lo mismo 00:08:11
de tal manera que si yo mido 00:08:15
o hago la suma de los dos vectores 00:08:17
de dos lados del rombo 00:08:19
me sale la diagonal del rombo 00:08:22
eso me va a permitir en este caso 00:08:26
calcular el vector director de la bisectriz 00:08:29
entonces lo que haré será 00:08:32
buscar vectores que tengan la misma longitud 00:08:35
En este caso la tienen, que sería una casualidad, pero eso no va a ocurrir normalmente. 00:08:39
Entonces lo normal será normalizar los vectores, valga la redundancia. 00:08:45
Entonces yo calcularé el vector AB dividido por el módulo de AB y me sale 4 quintos 3 quintos, 00:08:50
ya que el módulo no es muy difícil de calcular, por Pitágoras, 4 al cuadrado más 3 al cuadrado, 25 raíz cuadrada 5. 00:09:03
Y en el otro caso hago exactamente lo mismo. 00:09:11
Así que me queda en este caso menos 3 quintos, 4 quintos. 00:09:17
Una vez que ya tengo los dos vectores, que van a ser los dos lados de mi rombo normalizados, 00:09:23
porque tienen la misma longitud, que es longitud 1, estos dos vectores tienen longitud 1, 00:09:30
lo único que tengo que hacer es sumar esos dos vectores, de tal manera que me quedará 4 quintos menos 3 quintos y 3 quintos más 4 quintos, 00:09:36
lo cual me da un quinto, 7 quintos. 00:09:47
Y ese es el vector director de nuestra bisectriz. 00:09:52
lógicamente como ya tengo como vector director que lo que quiero es utilizarlo para una recta 00:09:59
lo puedo multiplicar o dividir por el número que me dé la gana 00:10:05
y realmente el vector con el que me quedaré para que salgan números redondos es 1, 7 00:10:08
una vez que tengo ese vector obviamente una de las bisectrices será del tipo 7x menos y 00:10:15
vamos a ponerlo en normal también para que lo veáis más fácil 00:10:23
7X menos 1 por Y igual a 0 00:10:28
y el otro como tiene que ser perpendicular 00:10:35
pues sería con estas mismas coordenadas 00:10:38
1X más 7Y 00:10:40
y ¿qué tengo que poner en el paréntesis? 00:10:44
pues lógicamente el punto por el que quiero que pase 00:10:49
si estoy haciendo las bisectrices que pasan por el punto A 00:10:51
pues será simplemente X menos 2 00:10:55
y menos 1 00:10:57
Si vosotros operáis esto, pues sale rápidamente 7x menos y, menos 14, más 1, menos 13, y x más 7y, menos 2, menos 7, menos 9. 00:11:00
Y vemos fácilmente que hemos llegado a las mismas ecuaciones que por el otro método. 00:11:23
De hecho, en un triángulo, este método de calcular las bisectrices es más rápido que el de las distancias, suele ser más sencillo. 00:11:31
Si nos dan dos rectas, ya normalmente es mejor el otro método. ¿Por qué? Fundamentalmente porque no sé por qué punto pasan las bisectrices y el otro método no lo necesita. 00:11:44
Este método necesita conocer un punto por el que pasan las bisectrices para que realmente sea sencillo. 00:11:57
Si ya tengo que estar resolviendo el sistema de las dos rectas que delimitan los lados del triángulo para calcular la bisectriz, 00:12:04
pues entonces me interesa más el otro método. 00:12:11
En cualquier caso, quería que veréis este método porque tiene cierta curiosidad, ¿no? 00:12:14
el fijarte que en un rombo la suma de los lados da la diagonal. 00:12:21
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
1765
Fecha:
28 de enero de 2020 - 0:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
12′ 29″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
182.55 MBytes

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