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Lugares geométricos. Plano mediador. Semiplano bisector. - Contenido educativo

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Subido el 5 de diciembre de 2025 por Roberto A.

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Bueno, chavales, vámonos, venga, hoy es, qué día es hoy, venga, que llevamos premio 00:00:00
doble hoy, ¿vale? Venga, chavales, vamos a ver lugares geométricos, no todo, ¿eh? 00:00:14
Lugares geométricos. Entonces, ¿sabéis lo que es un lugar geométrico? ¿Os acordáis 00:00:22
de primero que visteis algo de lugares 00:00:29
geométricos? ¿Qué es un lugar 00:00:31
geométrico, chavales? 00:00:33
Hola. 00:00:39
Lugares geométricos. ¿Alguien sabe 00:00:41
decirme qué es un lugar geométrico? 00:00:43
Son los lugares de un plano que cumplen 00:00:45
con una condición. Efectivamente. 00:00:47
Muy bien. Como se nota, el chaval es dibujo 00:00:49
técnico, ¿sabes? Efectivamente. 00:00:51
Son los puntos del plano 00:00:53
si estamos en R2 o del espacio 00:00:55
si estamos en R3. 00:00:57
Cumplen una serie de condiciones, ¿vale? 00:00:59
Entonces, 00:01:02
Por ejemplo, está el plano mediador. El plano mediador realmente es un segmento perpendicular al plano que pasa por el punto medio de un segmento, ¿vale? 00:01:02
Tengo un segmento aquí, ¿vale? 00:01:22
Que va de A a B, ¿de acuerdo? 00:01:27
Yo tengo aquí A, tengo aquí B. 00:01:29
Esto es un segmento, ¿verdad? 00:01:34
Entonces, ¿qué ocurre? 00:01:36
Que el plano mediador es un plano perpendicular a ese segmento 00:01:38
que pasa precisamente por el punto medio. 00:01:43
Y eso es muy fácil, ¿no? 00:01:47
Tú tienes, chavales, al tener un segmento, 00:01:49
yo ya tengo una recta, ¿verdad? 00:01:52
¿Sí o no? Yo ya tengo un punto 00:01:54
y tengo el vector directo 00:01:56
que es precisamente A B. 00:01:58
Entonces yo hallo el punto medio 00:02:00
entre A y B 00:02:02
y lo que hago es hallar precisamente 00:02:03
un plano perpendicular 00:02:06
a este segmento que pasa por ese 00:02:07
por ese punto. 00:02:10
¿Sí o no? Es decir, que 00:02:12
cumplen todos los puntos 00:02:13
de ahí viene el lugar geométrico. 00:02:15
Que cumplen todos los puntos 00:02:18
de aquí. 00:02:20
Que están dentro del plano, sí, pero que cumplen todos los puntos de este plano. 00:02:22
Efectivamente, que tú coges cualquier punto de aquí y entonces, por ejemplo, si este es X, la distancia, bueno, está aquí escrito, este farfollé, está aquí escrito, la distancia entre X y A es igual a la distancia entre X y B, ¿de acuerdo? 00:02:30
¿Por qué? Porque yo al final esta distancia que tengo aquí es la misma que aquí. Estoy formando realmente con esto, chavales. ¿Un triángulo de qué tipo? Isósceles. Muy bien, estás on fire. ¿Vale? ¿Por qué? Porque no tiene por qué ser la misma distancia de A, B a X. ¿Vale? Lo que sí se cumple es que de A, X a X, B sí es la misma distancia. ¿Vale? 00:02:45
Entonces, por ejemplo, aquí, ¿cómo sería un ejemplito de esto? 00:03:14
Pues venga, vamos al punto de Martín, que es el 1, 2, 3, ¿no? 00:03:18
¿Sí? ¿Alguien me dice un punto? 00:03:23
Paula, di, ¿qué te pasa? 00:03:27
Uy, la Paula, la Paula está todavía dormida. 00:03:29
Te queremos, Paula. 00:03:31
El chicle, guía, el chicle. 00:03:33
¡Hostia, que ya! Yo pensaba que era cachondeo también. 00:03:37
Luego le pegas un ostión al Diego, ¿vale? 00:03:41
Dime, ¿otro punto? 00:03:44
¿Otro punto, chavales? 00:03:47
Venga, menos 4. 00:03:49
El Andrés viene fuerte. 00:03:50
1 y 5, ¿no? 00:03:52
Venga, estupendo. 00:03:54
Entonces, chavales, ¿qué es lo que ocurre? 00:03:55
Pues yo sé hallar ese punto medio. 00:03:58
Sí, ¿verdad? 00:04:01
Realmente el punto medio, ¿qué es? 00:04:02
1 menos 4 medios, ¿verdad? 00:04:04
2 más 1 medio. 00:04:06
3 más 5 medios. 00:04:08
Entonces, ¿esto qué es? 00:04:11
Esto es menos 3 medios, esto es carnaval 3 medios, esto es 4, ¿verdad? 00:04:12
Si no me he equivocado, ¿vale? 00:04:19
Entonces, ¿qué ocurre? 00:04:21
Yo sé cuál es la recta que contiene el segmento, chavales. 00:04:23
Sí, ¿verdad? 00:04:27
Mi recta R, ¿vale? 00:04:28
Mi recta R es que coge el 1, 2, 3, ¿no? 00:04:30
Que le mola a este hombre, o venga. 00:04:33
Y entonces, si yo hago el vector AB, 00:04:38
A, el vector A, B, respecto 00:04:40
Paula, hola 00:04:43
Paula, ¿estás enamorada aquí ya? 00:04:45
Ah, pues entonces ya 00:04:47
Enamórate de un vector 00:04:48
Paula, mi arma, si yo tengo A 00:04:50
y yo tengo B, tengo un vector, que es el 00:04:55
vector A, B, ¿sí o no? 00:04:57
¿Y el vector A, B, con qué coincide 00:04:59
con la resta que contiene ese segmento, Guilla? 00:05:01
Me encanta 00:05:08
que me hagas esa pregunta 00:05:09
¿qué crees que significa esto? 00:05:10
I don't know, I'm not from here 00:05:14
I'm not sure 00:05:16
another question 00:05:17
pasa palabra 00:05:19
¿sí? ¿alguien? ¿alguien me lo dice? 00:05:21
¿eh? 00:05:25
la pregunta es 00:05:28
yo tengo aquí un segmento A B 00:05:30
¿vale? un segmento A B 00:05:32
entonces, el vector A B 00:05:34
¿con qué coincide 00:05:36
la resta que está contenida 00:05:38
ese segmento, en la recta donde está contenida 00:05:40
ese segmento, ¿cómo? con el resto 00:05:42
directo, es Javier aquí 00:05:44
¿vale? entonces 00:05:46
¿cuánto es Javier? ¿sí o no? 00:05:48
¿Molino? ¡qué farsa, guilla! 00:05:50
no te veo convencida de nada 00:05:52
¿pero lo entendéis, chavales? 00:05:54
¿sí o no? 00:05:57
menos 5 lambda 00:06:01
menos lambda, más 2 lambda 00:06:02
¿vale? 00:06:04
lambda pertenece a los números reales 00:06:06
entonces, chavales, si yo ahora 00:06:08
tengo que conseguir ese plano mediador 00:06:10
¿vale? Ese plano mediador 00:06:12
se puede hacer de otra forma, ¿vale? Pero lo que yo quiero 00:06:14
que veamos geométricamente, ¿qué 00:06:16
significa? Pues 00:06:18
¿cuál es un plano perpendicular 00:06:20
a esta recta? ¿Cuál es 00:06:22
un plano perpendicular a esta 00:06:24
recta? Pues su vector 00:06:26
n sub pi. ¿Con qué va a 00:06:27
coincidir? 00:06:30
Con el director, es decir, con 00:06:32
a b, ¿verdad? ¿Vale? Esto 00:06:34
es proporcional a b 00:06:36
con lo cual es menos 5 00:06:38
menos 1, 2, con lo cual 00:06:40
yo que tengo aquí chavales 00:06:42
menos 5x menos y más 2z 00:06:43
más d 00:06:47
igual a 0 00:06:48
y ahora que ocurre, sd como lo hallo 00:06:49
con la m 00:06:52
esto es pi 00:06:56
entonces esto es pi 00:06:57
y resulta que 00:07:01
la m pertenece a pi 00:07:02
por lo tanto 00:07:04
esto que es menos 5 por 00:07:06
menos 3 medios 00:07:08
menos 3 medios 00:07:09
más 2 00:07:12
por 4 00:07:14
más d igual a 0 00:07:15
y aquí necesito descalcular 00:07:17
esto es 15 medios 00:07:19
más 3 medios 00:07:22
18 medios es 9 00:07:24
9 menos 8 00:07:26
es 1 00:07:28
es que pasa al otro lado 00:07:28
sumando 00:07:32
entonces esto pasa 00:07:34
entonces me lo comí 00:07:36
me lo comí entero 00:07:38
la D, ¿cómo la calculo? 00:07:39
porque pasa por el punto N 00:07:43
¿vale? entonces 00:07:44
¿de dónde la has sacado? 00:07:46
la ecuación del plano 00:07:50
vale, entonces esto es menos 15 medios 00:07:52
¿verdad? menos 15 medios 00:07:59
más 3 medios 00:08:01
esto que es menos 6 00:08:02
¿no? entonces menos 14 00:08:05
me lo corregí 00:08:06
esto es 00:08:08
menos 12, menos 12 entre 2 es menos 6 00:08:11
menos 14 00:08:14
¿vale? entonces ¿cuál es 00:08:15
el plano mediador? 00:08:18
menos 5x menos y 00:08:20
más 2z 00:08:22
menos 14 igual a 0 00:08:23
¿sí o no? 00:08:26
lo he pasado muy rápido ¿verdad? 00:08:38
perdón 00:08:41
Paula, venga que estamos 00:08:41
contigo 00:08:44
si te piden un plano mediador 00:08:45
es esto 00:08:52
o lo que te pueden pedir 00:08:54
guías 00:09:03
a lo mejor son las coordenadas de A 00:09:04
te dan por ejemplo las coordenadas de B 00:09:07
y te dan un plano mediador 00:09:13
tú coges cualquier punto 00:09:15
¿Sabes allá la distancia entre un punto y otro? 00:09:18
Sí. 00:09:21
Pues lo iguala. 00:09:22
¿Sí o no? 00:09:24
Noelia, ¿cómo vas, madre? 00:09:26
Hasta el EREL está de mate, ¿verdad, hija? 00:09:28
Sí. 00:09:31
Dime, hija. 00:09:32
¿Vas a hacer un ejercicio así? 00:09:33
¿Así? 00:09:35
¿En Telemadrid? 00:09:36
Venga, es que se nos va el tiempo, pero venga, vamos. 00:09:39
Más. 00:09:42
Me lo estoy inventando, ¿vale? 00:09:43
Entonces yo 00:09:45
¿Qué dice? Que yo tenga aquí el punto A 00:09:47
A ver 00:09:50
El A, B 00:09:52
Y me dan 00:10:00
El plano 00:10:04
Un momento 00:10:05
X menos Y 00:10:08
Venga, chavales 00:10:10
Hola, ¿qué tal? 00:10:12
¿Vale? 00:10:15
Y el punto B, Cuarco. 00:10:17
Venga, Paula, dime tres números. 00:10:19
¿Eh? 00:10:22
Paula, buenos días. 00:10:25
Hoy no eres persona. 00:10:29
Venga, dime tres números, guilla. 00:10:30
Dos. 00:10:33
Dos. 00:10:33
Seis. 00:10:35
Seis. 00:10:35
Menos uno. 00:10:36
Menos uno. 00:10:37
Esto es lo que me piden, es... 00:10:39
Este es más complicado, ¿eh? 00:10:41
Este es más complicado. 00:10:44
me dan 00:10:45
el plano mediador 00:10:46
me dan el punto B 00:10:49
y tengo que hallar el punto A 00:10:51
este es más complicado 00:10:53
pensarlo 00:10:54
el punto simétrico 00:10:57
el punto simétrico 00:11:03
claro 00:11:07
y ya está 00:11:08
es verdad 00:11:10
Lo pasa que, escúchame 00:11:11
No sabes esta recta 00:11:17
Pero bueno, la puedes hallar, sí, claro 00:11:21
Porque es perpendicular a este 00:11:24
Y pasa por el punto B, sí, sí, es una pollada 00:11:25
Es una pollada, sí, sí 00:11:28
El punto simétrico es A 00:11:30
¿Cómo hallas el punto medio, Claudia? 00:11:32
Buena pregunta. Si te das cuenta, me dan el plano, ¿no? Me dan el plano, ¿sí o no? 00:11:43
Entonces, yo esta recta, ¿qué pasa con esta recta? Que su vector director es igual al vector normal del plano. 00:11:48
¿Cuántas rectas perpendiculares al plano hay? Infinita. 00:11:56
Que pase por B, only one, ¿vale? Y entonces, ¿qué ocurre? Yo ya tengo esta recta de aquí, ¿verdad? 00:12:00
con lo cual yo ya puedo hallar la intersección 00:12:07
de esa recta con el plano 00:12:10
que es el punto medio 00:12:12
y una vez que tengo el punto medio al final 00:12:13
es hallar el punto simétrico 00:12:16
¿eh? 00:12:17
es lo mismo, ¿vale? 00:12:19
¿sí? 00:12:23
¿vale? lo dejo para que lo hagáis ustedes 00:12:24
el punto simétrico realmente 00:12:26
cuando, de lo que quiero que veáis 00:12:28
que por ejemplo si te piden 00:12:29
dado el plano mediador 00:12:31
el plano mediador del segmento AB 00:12:33
donde B son estas coordenadas 00:12:38
y el plano es este 00:12:39
haya el punto A 00:12:40
pues realmente lo que me están pidiendo 00:12:43
es el punto simétrico de B 00:12:44
respecto a este plano 00:12:46
¿vale? 00:12:47
¿qué dicen? 00:12:48
el normal del plano es igual a B 00:12:49
¿eh? 00:12:51
el normal del plano es igual a B 00:12:52
¿qué dicen? 00:12:53
el normal del plano es igual a B 00:12:54
venga 00:12:56
paso ¿vale? 00:13:02
Venga, el plano bisector, chavales, es el que divide a un ángulo diedro de dos ángulos iguales, ¿vale? 00:13:05
Es decir, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los semiplanos que forman el ángulo diedro. 00:13:18
Es decir, yo tengo aquí un plano pi y tengo un plano pi prima, pues entonces todos los puntos del plano, del semiplano bisector, ¿vale? Están a la misma distancia del plano pi que del plano pi prima. ¿De acuerdo? ¿Sí? 00:13:24
pesadilla 00:14:00
chavales, por ejemplo 00:14:03
si hacemos este ejercicio de aquí 00:14:15
aquí 00:14:17
fijaros, chavales, dice 00:14:23
haya lugar geométrico, LG 00:14:25
aparte de la marca, en lugares geométricos 00:14:27
de los puntos del espacio 00:14:30
que equidistan de los planos 00:14:31
pi, pi prima. ¿Eso realmente qué es? 00:14:33
¿Qué es lo que me están pidiendo, chavales? 00:14:36
Dice, 00:14:38
haya el lugar geométrico de los puntos 00:14:39
del espacio que equidistan de los planos 00:14:41
pi, pi prima. ¿Eso qué es? 00:14:43
El semiplano bisector. 00:14:46
¿Vale? 00:14:48
Semiplano bisector. 00:14:49
¿Y entonces qué ocurre? Pues que se cumple 00:14:54
que la distancia de x 00:14:56
es x 00:14:58
pertenece a un semiplano bisector 00:14:59
le vamos a llamar 00:15:02
sub b. ¿Vale? 00:15:03
Pues entonces, el punto X pertenece a pi sub v, a ese semiplano bisector. 00:15:05
Entonces, la distancia de X a pi es igual a la distancia de X a pi prima. 00:15:15
¿Cómo se hallaba la distancia de un punto a un plano, chavales? 00:15:26
Había una formulita to' guapa, ¿no? 00:15:29
¿Os acordáis? 00:15:31
Entonces, mi punto x realmente es xz, que es lo que yo tengo que averiguar, ¿verdad? 00:15:32
Y entonces, ¿cuál es la distancia de x a pi? Pues resulta que es x más y menos 1, el módulo, ¿verdad? 00:15:40
Igual a qué? A raíz de 1 al cuadrado más 1 al cuadrado más 0 al cuadrado. ¿Os acordáis de esto o no? 00:15:51
Yes, of course. 00:15:59
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:16:01
Esto es el módulo de x más y menos 1 partido de raíz de 2. 00:16:04
¿Todo el mundo? 00:16:10
¿Sí? 00:16:11
Es que el punto mío es x, z. 00:16:14
¿Qué quiere? 00:16:17
Y si no, if you want, venga. 00:16:18
Venga, para que sea así más bonito. 00:16:20
¿Vale? 00:16:25
Y así no genera confusión. 00:16:25
¿Vale? Uy, la Jimena ve menos que yo, guillo. 00:16:28
Ojo, Jimenilla, ya. 00:16:32
La distancia de x a pi prima era, pues, y sub cero menos z sub cero menos uno, ¿vale? 00:16:34
He cambiado el x a x sub cero y sub cero z sub cero, ¿vale? 00:16:43
Partido de qué? La raíz de uno al cuadrado más uno al cuadrado más cero al cuadrado. 00:16:47
¿Esto qué es? El módulo de y sub cero menos z sub cero menos uno partido de qué? De raíz de dos. 00:16:53
¿Y cómo son estas dos distancias, chavales? Iguales. ¿Verdad? ¿Lo veis? Las distancias aquí son iguales. 00:17:01
¿Lo veis? Yo he utilizado x sub cero, pero tengo exactamente lo mismo. ¿Lo veis? 00:17:12
¿qué es lo que ocurre? 00:17:18
que el raíz de 2 00:17:21
el raíz de 2 00:17:23
¿qué va a hacer? se me va a ir 00:17:24
¿verdad? y aquí tenemos que recordar 00:17:27
un poco, porque al final lo que vamos a tener 00:17:29
aquí es un sistema de dos 00:17:31
ecuaciones ¿verdad? esto es un 00:17:33
valor absoluto 00:17:35
x sub 0 00:17:36
más y sub 0 menos 1 00:17:39
valor absoluto 00:17:42
va a ser igual a qué? 00:17:43
a y sub 0 menos z sub 0 00:17:46
menos 1 en valor absoluto. 00:17:48
¿Y cuándo son dos valores 00:17:51
absolutos iguales, chavales? 00:17:53
¿Qué es lo que nos puede ocurrir? 00:17:54
Pues que, por ejemplo, x sub 0 00:17:56
más y sub 0 menos 1 00:17:58
sea igual a y sub 0 00:18:00
menos z sub 0 menos 1 00:18:02
o, ¿cuál sería la otra 00:18:04
alternativa? 00:18:06
Efectivamente, con el menos a todo. 00:18:09
¿Esto lo habéis entendido? 00:18:13
¿No? 00:18:16
Dime tu número favorito, Guilla. 00:18:17
el 4 a molino y los dos son iguales ocurre es verdad que me puede ser 4 00:18:20
y que otro valor me cumple esto de aquí que otro valor de m cumple que su valor absoluto 00:18:41
es 4 menos 4 vale pues exactamente lo mismo hago aquí son iguales para hoy vale y son 00:18:48
iguales pero con el signo cambiado 00:19:00
de uno de ellos 00:19:03
Paula 00:19:05
no, only one 00:19:05
vale 00:19:09
si lo cambias en los dos Maribel 00:19:10
obtienes al final esto de aquí 00:19:12
dime hija 00:19:15
como es el valor absoluto 00:19:18
igual el que 00:19:25
claro, claro, claro 00:19:26
Pero lo que hago es, yo siempre fijo uno de ellos y al otro lo dejo igual o le cambio el signo entero, ¿vale? Por esta explicación de aquí, ¿vale? 00:19:30
Si yo tengo que el valor absoluto de 4 es igual al valor absoluto de m, ¿qué ocurre? La m puede ser 4 o la m puede ser menos 4. 00:19:43
Entonces yo aquí, esta parte de aquí, oye, ¿qué puedo hacer? Le cambio, esto lo dejo igual y esto lo dejo igual, con lo cual tengo esto. 00:19:53
o a esto le cambio el signo 00:19:59
pero a esto no 00:20:01
¿vale? porque si yo le cambio el signo 00:20:02
tanto a esto como a esto 00:20:05
resulta que vuelvo aquí 00:20:07
a la primera 00:20:08
¿sí? 00:20:09
¿no? 00:20:12
¿no? 00:20:13
¿no? 00:20:13
¿no? 00:20:13
¿no? 00:20:14
¿no? 00:20:14
¿no? 00:20:15
venga 00:20:16
entonces chavales 00:20:16
¿qué ocurre que tengo aquí? 00:20:18
pues aquí tengo que x sub cero 00:20:20
es igual a menos z sub cero 00:20:22
¿estamos de acuerdo o no? 00:20:26
porque este es hasta luego maricarme 00:20:27
y este hasta luego maricarme 00:20:30
y de aquí ¿qué ocurre? 00:20:32
que aquí tengo 00:20:35
menos z sub 0 00:20:36
más i sub 0 00:20:39
¿verdad? 00:20:41
esto es menos 1 00:20:49
y esto es menos i sub 0 00:20:51
más z sub 0 00:20:54
más 1 00:20:55
o sea que esto es 00:20:57
2 i sub 0 00:20:58
es igual a 2z sub cero más 2. 00:21:00
La x está bien, gracias. 00:21:07
La he sustituido por z sub cero, ¿vale? 00:21:10
Porque de arriba obtengo esto de aquí, ¿vale? 00:21:13
Y entonces y sub cero es igual a z sub cero más 1. 00:21:16
¿Sí? 00:21:23
Y entonces, ¿cuál es? 00:21:29
Tengo, lo que quiero que veáis es una cosa 00:21:31
Que tengo este plano de aquí 00:21:40
Ah, no, perdón 00:21:42
A ver 00:21:43
Este plano de aquí 00:21:46
Lo voy a poner en azul, ¿vale? 00:21:49
Que es 00:21:52
X sub cero más Z sub cero es igual a cero 00:21:53
Esto es un plano, ¿verdad? 00:21:57
Sí 00:22:00
Y este de aquí que es 00:22:01
Y sub cero menos Z sub cero 00:22:03
es igual a 1 es otro vale porque porque cuando yo tengo no sé si lo veis aquí yo tengo mi plano 00:22:06
y tengo aquí mi plano pie está yo como dibujo fatal prefiero utilizar esto tengo mi plano 00:22:17
p original que es el que está tumbado y tengo mi plano p prima que es este de aquí lo veis 00:22:24
Entonces, plano mediador, ¿cuántos hay realmente? Hay dos. Está este que está entre medias de los dos, ¿vale? Y también está este sigma, este sigma prima, este sigma, que está en medio de este y de este, porque realmente los planos tienen un ángulo agudo y un ángulo obtuso, ¿sí o no? 00:22:30
Pues entonces, en la mitad del ángulo agudo tenemos un plano y en la otra mitad del ángulo obtuso también tenemos otro plano, que son los dos que hemos obtenido aquí. No os veo para nada convencidos. Esto es una pollada, Copetín. 00:22:54
no, lo que he hecho únicamente 00:23:12
yo al final que tengo que buscar 00:23:16
yo tengo que buscar un plano 00:23:18
un semiplano bisector 00:23:20
que se llama 00:23:22
bisector, plano 00:23:22
what is this 00:23:25
un semiplano bisector 00:23:28
entonces 00:23:32
lo que yo quiero que veáis es 00:23:33
que si yo tengo dos planos 00:23:35
que este es pi 00:23:38
y este de aquí es pi prima 00:23:38
Los ángulos que fueron 00:23:41
Espérate, voy a intentar hacer aquí 00:23:44
Lo que pasa es que yo dibujo fatal 00:23:45
¿Vale? 00:23:46
Entonces, yo tengo 00:23:47
Dime, hija 00:23:47
¿Has subido a un día de esto? 00:23:48
De esto los del libro 00:23:51
La verdad que están logrados 00:23:53
Entonces, chavales 00:23:54
Si yo tengo este plano de aquí 00:23:56
Y yo dibujo fatal 00:23:58
Y yo tengo, chavales 00:24:00
Este plano de aquí 00:24:08
Joder 00:24:10
A ver, si yo hago las proyecciones, imaginaros que estos son dos planos, ¿vale? 00:24:15
¿Veis que estos dos son dos planos? 00:24:28
Se me pasa que yo dibujo fatal. 00:24:32
Entonces, lo que quiero ver, imaginaros que esta es la proyección en un eje de los dos planos, ¿lo veis? 00:24:34
Entonces, ¿qué ocurre? 00:24:42
Yo tengo aquí un ángulo alfa, que es agudo, menor que pi medios, y un ángulo beta, que es mayor que pi medios. 00:24:43
¿Sí o no? 00:24:53
Entonces, yo voy a obtener también, daros cuenta que aquí yo tengo la proyección, ¿eh? 00:24:54
La proyección, el plano es todo esto, pero si yo lo veo de frente, yo tan solo veo esta línea y esta línea, pero esto es un plano, ¿vale? 00:25:00
Entonces, yo por un lado voy a obtener el semiplano de aquí, de la mitad de estos dos ángulos, y también voy a obtener el semiplano de la mitad de este ángulo obtuso. ¿Lo veis, chavales, o no? 00:25:08
pues entonces lo único que hago 00:25:23
es precisamente 00:25:26
sabiendo que la distancia de cualquier 00:25:27
punto de aquí 00:25:30
es igual, esta distancia 00:25:32
es igual que esta y que de aquí 00:25:34
cualquier punto, si yo hago la 00:25:36
perpendicular, porque esto es perpendicular ¿vale? 00:25:38
de aquí igual, si yo tengo 00:25:40
esto de aquí, hallo la 00:25:42
perpendicular aquí y aquí hallo la 00:25:44
perpendicular también, la distancia de este 00:25:46
punto a este y a 00:25:48
este, que aquí como está fatal dibujado 00:25:50
no se ve, ¿vale? es exactamente lo mismo 00:25:51
y eso que me va a dar, pues como hemos visto aquí 00:25:54
me da, chavales, dos planos 00:25:57
dos planos, ¿vale? 00:26:01
pero es muy fácil, yo hallo 00:26:04
claro, es muy fácil, siempre y cuando la verdad que el módulo 00:26:06
de los vectores directores sea igual, ¿vale? si no, bueno 00:26:10
pues va, no que sea más difícil otro 00:26:12
sino que al final pues tenemos que tener en cuenta estos factores 00:26:15
¿vale? pero que al final obtengo esos dos planos 00:26:18
vale, echarle un vistazo y lo vemos 00:26:21
claro, lo que me interesa más 00:26:24
es llegar a 00:26:25
y ya está, me dan dos 00:26:27
me dan dos, de una ecuación 00:26:29
tengo uno y de otra ecuación tengo el otro 00:26:32
vale, sí 00:26:34
venga, y lo que me interesa 00:26:36
esto de aquí, la superficie esférica 00:26:38
chavales, la superficie 00:26:40
esférica, lo que yo 00:26:42
creo que veáis es una cosita, vamos 00:26:44
a irnos de una superficie esférica 00:26:46
nos vamos a ir a una circunferencia 00:26:48
¿Alguien me sabe decir, chavales, si yo hago aquí una circunferencia? 00:26:50
¿Por qué se caracteriza una circunferencia? 00:27:01
¿Por qué se caracteriza una circunferencia, chavales? 00:27:08
El radio y el centro, ¿no? 00:27:11
Este es el centro. 00:27:15
Este es el radio. 00:27:17
¿Y qué cumplen, chavales, todos estos puntos de aquí? 00:27:19
¿Qué cumplen? 00:27:22
Precisamente, ¿qué definición tiene la circunferencia? 00:27:23
La circunferencia es el lugar geométrico donde todos los puntos de la circunferencia 00:27:29
equidistan respecto al centro la misma distancia. 00:27:35
¿Y esa distancia cuánto es? 00:27:39
El radio. 00:27:41
¿Eso lo veis, chavales? 00:27:43
¿Sí o no? 00:27:45
Entonces, si yo tengo aquí un punto X, un punto X que es XY, ¿vale? 00:27:46
Estoy en el plano, ¿eh? No estoy en el espacio. En el espacio yo tengo una esfera. 00:27:52
Entonces, chavales, ¿cuál es la distancia de X a C? ¿Cuánto es la distancia de X a C? 00:27:57
R, ¿verdad? ¿Sí o no? 00:28:08
Y entonces, ¿cómo hallo yo la distancia de X a C? Si C es CX, CY. 00:28:10
como hallo la distancia entre dos puntos 00:28:17
pero como se halla la distancia entre dos puntos 00:28:20
yo hallo 00:28:24
el vector 00:28:26
xc ¿verdad? o mejor 00:28:27
el vector cx que he hecho ¿vale? 00:28:30
es x menos cx ¿verdad? 00:28:36
y menos ci 00:28:38
¿alguien se me ha perdido? 00:28:40
¿por qué dos? 00:28:41
¿por qué dos? 00:28:43
tiene dos coordenadas 00:28:46
porque estoy en el plano 00:28:47
estoy en el plano, ¿vale? Por eso una circunferencia 00:28:48
si estoy en el 00:28:51
espacio ya es una esfera. Lo que pasa es que 00:28:53
os voy a explicar primero esto que yo creo que 00:28:55
se entiende mejor y luego nos vamos a ir 00:28:57
al espacio, ¿vale? 00:28:58
Entonces, chavales, si yo cualquier punto 00:29:01
de la circunferencia que es x y 00:29:03
que es genérico y yo tengo 00:29:05
un centro de la circunferencia que 00:29:07
es c, que es c, x, c y 00:29:09
y esa circunferencia 00:29:10
tiene un radio r 00:29:13
cualquier distancia 00:29:14
del punto de una circunferencia al centro es R, ¿sí o no? 00:29:17
Si un punto es XY y el centro es CXY, 00:29:21
pues ¿cuál es esta distancia de aquí? 00:29:27
Precisamente yo tengo el vector CX, ¿verdad? 00:29:30
¿Sí o no? ¿Lo veis o no? 00:29:34
Y CX es X menos CX menos CI, ¿verdad? 00:29:36
Si yo hallo, chavales, el módulo de CX, 00:29:41
¿Eso qué es? La distancia entre x y c, ¿verdad? 00:29:45
Bueno, ¿y cómo se halla el módulo de un vector? 00:29:50
La raíz cuadrada de la primera componente, que es c menos cx al cuadrado más y menos ci al cuadrado. 00:29:55
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:30:04
Además, ¿qué se cumple en toda circunferencia? 00:30:06
que la distancia de cualquier punto de la circunferencia, 00:30:10
la circunferencia, ¿cuánto es? 00:30:14
Entonces, todo esto de aquí, ¿cuánto es, chavales? 00:30:17
Si yo elevo al cuadrado ambos lados, 00:30:21
si yo elevo esto al cuadrado, 00:30:25
si yo elevo esto al cuadrado, ¿qué es lo que tengo? 00:30:27
¿Qué es lo que tengo? 00:30:31
Que x menos cx al cuadrado, ¿verdad? 00:30:32
más y menos ci al cuadrado es igual a r al cuadrado. 00:30:35
¿Y esto qué he hecho, chavales? 00:30:41
Esto es la ecuación de una circunferencia. 00:30:43
Para quitarme la raíz. 00:30:50
¿Vale? 00:30:53
Esa es la ecuación de una circunferencia. 00:30:54
¿Vale? 00:30:57
¿Os suena a ustedes x cuadrado más y cuadrado igual a r al cuadrado? 00:30:57
¿Os suena esa ecuación? 00:31:02
del año pasado 00:31:04
x cuadrado más y cuadrado igual a 00:31:05
r al cuadrado 00:31:08
esa que es 00:31:09
la ecuación de una circunferencia 00:31:12
que que ocurre 00:31:14
que está 00:31:16
si yo tengo 00:31:16
puedo pasar un momento 00:31:19
o no 00:31:22
si yo en vez de tener todo esto de aquí 00:31:22
lo voy a poner morado 00:31:25
x cuadrado más y cuadrado 00:31:27
igual a 00:31:29
yo que sé 00:31:32
Venga 00:31:33
¿Esto qué es, chavales? 00:31:37
¿Qué es x cuadrado más y cuadrado igual a 9? 00:31:40
¿Qué es lo que es? 00:31:43
Una ecuación 00:31:44
¿Pero de qué? 00:31:45
Geométricamente, ¿qué es? 00:31:47
¿Es una recta? 00:31:51
¿Es un plano? 00:31:53
¿Por qué no es un plano? 00:31:54
Porque está elevado al cuadrado 00:31:57
¿Vale? Comparamos esto con esto, chavales 00:31:59
¿Esto qué es? 00:32:01
La ecuación de una circunferencia. 00:32:02
Si yo lo comparo, ¿qué observo? 00:32:05
¿Cuánto vale ese x? 00:32:07
Cero. 00:32:10
¿Y la 6? 00:32:10
Cero. 00:32:12
¿Y el radio? 00:32:12
El radio. 00:32:14
Entonces, ¿esto qué es? 00:32:17
¿La ecuación de una qué? 00:32:18
Circunferencia. 00:32:21
Concentro en el origen. 00:32:22
Muy bien. 00:32:25
¿Y de radio? 00:32:26
¿Lo veis todos o no? 00:32:28
¿Sí? 00:32:30
¿Lo veis todos? 00:32:31
Entonces, ¿qué es lo que he hecho? 00:32:32
Únicamente aplicar la definición de una circunferencia, 00:32:35
de un lugar geométrico. 00:32:39
Todos los puntos de una circunferencia equidista, 00:32:40
equidista del centro, una distancia R. 00:32:44
¿Lo veis? 00:32:48
Todos los puntos de la circunferencia equidista. 00:32:50
¿Equidista en qué es? 00:32:53
¿Qué es equidista? 00:32:54
¿De qué viene la X? 00:32:56
Y no es de porno. 00:32:57
Es igual, ¿vale? 00:32:58
Cuando es algo equivalente. 00:32:59
¿Qué es algo equivalente? 00:33:03
Que va de lo mismo. 00:33:05
¿Habéis hecho alguna vez una quiniela? 00:33:06
¿Habéis hecho una quiniela? 00:33:08
¿Qué ocurre cuando empata? 00:33:10
Una X. 00:33:12
¿Y de dónde viene esa X? 00:33:14
De que es algo similar. 00:33:16
Han quedado iguales, los mismos goles. 00:33:17
¿Vale? 00:33:20
Todo tiene su relación. 00:33:20
¿Vale? 00:33:22
X distante, la misma distancia. 00:33:23
¿Vale? 00:33:25
Entonces, ¿veis cómo he llegado yo a esta fórmula, chavales? 00:33:26
He aplicado la definición, la definición de que todos los puntos de la circunferencia, su distancia al centro es el radio, ¿vale? ¿Sí o no? Pues ahora, ¿qué ocurre? Yo lo que tengo, chavales, en el espacio es una esfera, una esfera, ¿alguien me sabe decir un ejemplo de una esfera? 00:33:29
está chatá 00:33:51
pero no habéis jugado ustedes 00:33:54
habéis tenido una infancia muy mala 00:33:56
algo con lo que habéis jugado de chico 00:33:57
que bueno el globo terráqueo 00:33:59
una canica 00:34:04
una canica 00:34:06
no habéis tenido infancia ni nada 00:34:07
una canica 00:34:09
y yo un balón de furbo 00:34:10
un balón de furbo 00:34:13
de furbito 00:34:15
entonces sobre todo una canica 00:34:16
Una canica que es una esfera, ¿vale? Es una esfera. Y entonces, ¿qué cumplen, chavales, todos los puntos de la esfera que también equidistan del centro? ¿Cuánto el radio? ¿Qué es lo que ocurre ahora, chavales? 00:34:20
¿Qué es lo que ocurre ahora? 00:34:38
Que yo... 00:34:40
Venga, chavales. 00:34:41
¿Qué es lo que ocurre ahora? 00:34:43
Que yo en vez de tener en cada punto dos coordenadas, 00:34:44
tengo tres. 00:34:47
¿Veis la similitud, chavales, entre esto y esto? 00:34:49
¿Veis la similitud? 00:34:54
Es igual, pero con una coordenada más. 00:34:56
Es una farfollé. 00:34:58
¿Sí o no? 00:35:00
¿Sí? 00:35:01
Venga, pues. 00:35:02
A ver si encuentro aquí... 00:35:03
Justo. 00:35:05
No me va a dejar. 00:35:05
A ver. 00:35:06
ahora voy a quedar fatal 00:35:07
pero 00:35:13
es que hay un ejercicio aquí 00:35:15
que además es súper fácil 00:35:17
no, este no es 00:35:19
a ver 00:35:21
a ver 00:35:23
un ejercicio 00:35:25
de Bao 00:35:30
que está la verdad que 00:35:30
bastante bien, chavales 00:35:33
¿estáis haciendo estos ejercicios por curiosidad? 00:35:35
sí, ¿no? 00:35:39
yes, of course 00:35:39
Este de aquí, chavales 00:35:40
Mira 00:35:58
Examen de BAU 00:35:58
Hay más cosillas 00:36:01
Examen de BAU 00:36:03
Me dice 00:36:04
Determinar el centro y el radio 00:36:06
De la siguiente esfera 00:36:08
¿Vale? De la siguiente esfera. Entonces, ¿cuál es? Hemos dicho la distancia, ¿cuál es la ecuación de una esfera? 00:36:10
Eso lo tenemos que saber. O realmente, ¿cumplen todos los puntos de la esfera? Que si yo tengo un punto X y un punto C, 00:36:23
¿Su distancia cuánto es? El radio, ¿verdad? ¿Sí o no? Entonces, si x es x y z y mi centro es c sub x, c sub y, c sub z, ¿vale? ¿Cuál es la distancia entre x y c? 00:36:31
Pues la raíz cuadrada, ¿verdad? ¿De qué? De x menos cx al cuadrado más x menos ci al cuadrado más, ostia, esto es una i, perdóname, oh yeah, y menos aquí z menos z al cuadrado, ¿vale? 00:36:53
todo ello la raíz, igual a qué? Radio r. ¿Estamos de acuerdo? Sí o no. Si yo elevo al cuadrado, 00:37:14
que me queda x menos cx al cuadrado, ¿verdad? Más y menos ci al cuadrado, más z menos cz al 00:37:22
cuadrado, igual a qué? Al radio al cuadrado. ¿Esto qué es, chavales? ¿Esto qué es? Esto de aquí. 00:37:31
Una identidad notable, muy bien, Sendong, es el cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo, 00:37:42
más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo, 00:37:54
más el cuadrado del segundo 00:38:02
más cuadrado del primero 00:38:04
menos doble producto 00:38:07
del 00:38:08
del primero por el segundo 00:38:09
¿verdad? 00:38:13
más el cuadrado del 00:38:14
segundo 00:38:16
¿veis lo que estoy haciendo? 00:38:18
estoy aplicando definición 00:38:23
estoy desarrollando 00:38:25
todo esto de aquí y al final ¿qué me queda 00:38:27
chavales? me queda 00:38:29
2x, perdona x 00:38:31
al cuadrado más y al cuadrado 00:38:33
más z al cuadrado 00:38:35
es este, es este y es este 00:38:37
y que más me queda chavales 00:38:40
me queda 00:38:42
menos 2cx por x 00:38:42
menos 2ci 00:38:45
por y 00:38:48
menos 2cz por z 00:38:49
y esto me queda siempre para cualquier 00:38:52
esfera, lo veis 00:38:54
y ahora que me queda más 00:38:55
cx cuadrado 00:38:58
más ci al cuadrado 00:39:00
más cz al cuadrado 00:39:01
menos r al cuadrado igual a cero. 00:39:03
¿Lo veis? 00:39:06
¿Sí o no? 00:39:08
¿Y ahora qué ocurre? 00:39:09
Que lo voy a comparar con esto de aquí. 00:39:10
Tengo x cuadrado más y al cuadrado más z al cuadrado 00:39:15
menos 2x más 4y más 8z menos 4. 00:39:20
¿Y ahora qué voy a hacer, chavales? 00:39:29
Comparar, ¿verdad? 00:39:31
Comparar. 00:39:32
Esto es exactamente lo mismo, ¿sí o no? 00:39:34
¿Cuánto vale Cx? 00:39:38
Cx vale 1. 00:39:41
¿Sí o no? 00:39:46
Porque si yo además lo hago, chavales, sin problema. 00:39:47
Tengo menos 2Cx, Cx es igual a menos 2X. 00:39:50
Menos 2 se va con este. 00:39:57
La X se va con este. 00:39:59
Cx es igual a 1. 00:40:02
¿Lo veis? 00:40:03
Este de aquí, menos 2ci es igual a 4i, ¿verdad? ¿Cuánto vale ci? Menos 2. Menos 2zz es igual a 8z, ¿sí o no? ¿Cuánto vale zz? Menos 4. 00:40:05
¿Cuál es el centro de mi esfera, chavales? 00:40:24
¿Cuál es el centro de mi esfera? 00:40:30
1, menos 2, menos 4 00:40:33
¿Lo veis? 00:40:36
¿Y cuánto vale mi radio? 00:40:37
Fijaros 00:40:39
Todo esto de aquí 00:40:40
¿Cuánto vale todo esto de aquí? 00:40:42
Menos 4, ¿verdad? 00:40:46
¿Sí o no? 00:40:48
Ahora, ¿qué es lo que ocurre? 00:40:50
Lo voy a poner aquí esto en colorado 00:40:52
Px al cuadrado, ¿cuánto es? 00:40:54
Pi al cuadrado, ¿cuánto es? 00:40:57
Pz al cuadrado, ¿cuánto es? 00:41:00
16, ¿verdad? 00:41:02
Menos r al cuadrado es igual a menos 4. 00:41:04
¿Lo veis? 00:41:08
Ahora de aquí, ¿qué tengo? 00:41:10
21 más 4 es igual a r al cuadrado. 00:41:11
¿R cuánto vale, chavales? 00:41:15
¿Puede valer menos 5? 00:41:17
¿Puede valer menos 5? 00:41:20
No. 00:41:22
Entonces, este ejercicio es súper típico 00:41:22
Dime, ¿eh? 00:41:26
Porque el único elemento cuando yo 00:41:27
Que me dan, porque esto es la esfera que me dan 00:41:29
Realmente, chavales, es muy fácil 00:41:32
Es muy fácil 00:41:34
Siempre en la ecuación de una esfera 00:41:35
Voy a tener x cuadrado y cuadrado z cuadrado 00:41:38
Voy a tener un número multiplicado por x 00:41:41
Pues entonces el centro realmente es 00:41:44
2cx 00:41:48
tiene que ser igual a este 00:41:50
número de aquí. Luego 00:41:52
2cx tiene que ser 00:41:54
igual a este número que va multiplicando 00:41:57
a la y. 12z 00:41:58
menos 12z, perdonad, tiene que ser 00:42:00
igual al número que va multiplicando a la z. 00:42:03
Y ahora, cx al cuadrado 00:42:05
más c y al cuadrado más cz al cuadrado 00:42:07
menos la r al cuadrado 00:42:09
tiene que ser al elemento 00:42:10
independiente, al término independiente. 00:42:12
¿Vale? Este ejercicio, 00:42:15
chavales, perdón, un segundo, gallito. 00:42:17
Este ejercicio es súper típico y sigue, porque cuando, chavales, pasa una cosa, 00:42:18
cuando un plano corta una esfera, tengo precisamente una circunferencia, ¿vale? 00:42:25
¿Sí o no? Ni me callo. 00:42:34
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
5 de diciembre de 2025 - 13:09
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
42′ 40″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
85.40 MBytes

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