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2020_2021_MatemáticasII_0Modelo1_B2 - Contenido educativo
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Vamos a resolver ahora la opción B, el ejercicio 2 del modelo 1 de 2021.
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Y bueno, pues es un ejercicio de análisis relativamente sencillo.
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Lo primero que nos pide es el área de la región acotada, que está limitada por la función y la recta igual a 2x.
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para eso tenemos que saber que al ser un polinomio de segundo grado
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inmediatamente sabemos que esto es una parábola
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cóncava, ¿verdad?
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y bueno, pues si no lo vemos claro todavía
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podemos irnos a
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GeoGebra y aquí tenemos
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lo que nos pide el ejercicio, tenemos la función x más x cuadrado
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que es la función azul, la recta y igual a 2x
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y el área que está
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entre ellas
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para calcular el área morada
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pues recordar siempre que obviamente
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al ser una parábola cóncava
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la recta siempre va a ir por encima
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entonces ya sabéis que para calcular el área
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entre dos funciones o entre dos curvas
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hay que hallar los puntos de corte, adivinar cuál va por encima
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y hacer la integral de la que va por encima
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menos la que va por debajo entre los dos puntos de corte
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así de sencillo
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como nosotros no lo vamos a hacer con GeoGebra
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en el examen de la EBAU
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pues vamos a empezar a hacer lo que hemos dicho
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en el apartado A
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que repito sabemos que es una parábola cóncava
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pues lo primero que haremos será igualar
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x más x cuadrado a 2x
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es una ecuación muy sencilla
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en la que quedaría x cuadrado menos x igual a cero, x por x menos uno igual a cero, sacando factor común,
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y tenemos dos soluciones, que son los dos puntos de corte, que son cero y un.
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Por tanto, la integral tendrá que ser entre cero y un.
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Ya digo que la recta siempre va a ir por encima, por ser la parábola cóncava.
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Esto habría que escribirlo en el examen, no hay por qué darlo por hecho, pero si no, siempre podemos hacer f de 0.5 y nos daría 0.5 más 0.25, 0.75, mientras que g, vamos a llamarlo de 0.5, nos daría 1.
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Se ve que la recta va por encima. De tal manera que entonces el área que nos piden es la integral entre 0 y 1 de 2x menos x más x cuadrado.
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Otro paréntesis más, por diferencial de x.
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A ver, que se nos vuelve un poco loco.
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Si hacemos la integral de 0 a 1, 2x menos x, esto, bueno, por poner primero el polinomio ordenado,
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pues sería menos x cuadrado más x, diferencial de x es la integral de un polinomio.
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No creo que sea necesario explicar que la integral de x cuadrado es menos x cubo partido por 3, más x cuadrado partido por 2, entre 0 y 1, lógicamente al sustituir por 0 va a ser 0, y al sustituir por 1 pues tenemos menos un tercio más un medio.
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si queréis para que no se nos olvide
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la regla de barro
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voy a poner el menos 0
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menos 2 más 3 pues un sexto
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no creo que haga falta
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que tengáis que echar mano de la calculadora
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así que el área
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es ese, normalmente como es un área
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pues detrás se pone
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unidades cuadradas para que quede
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claro
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bueno, supongo que
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lo habéis visto
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claramente
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Y si lo hubiéramos con nuestro geogebra, pues lo que vamos a hacer, aquí hemos visto que igualan las funciones, nos salen entre 0 y 1, la primitiva, sustituimos por 1 y por 0 y nos queda un sexto.
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O sea que GeoGebra corrobora nuestra solución.
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Vamos a ver la segunda parte.
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Nos dice una partícula de movimiento, parte del origen,
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y sigue la trayectoria determinada por la gráfica de F.
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Se mueve según F.
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En el punto 1, F de 1, no 2, porque F de 1 es 2,
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la partícula sale despedida en la dirección de la recta tangente.
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Determinar en qué punto choca con la vertical X igual a 2.
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Bueno, vamos a empezar viéndolo porque siempre se va a entender mucho mejor.
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Si nosotros lo visualizamos con GeoGebra, vemos que la partícula sale del 0,0, se mueve según la línea azul y en el punto 1, f de 1 o 1,2 se sale por la tangente hasta chocar con la línea roja x igual a 2.
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Aquí ya vemos que la solución va a ser el punto 2, 5, ¿de acuerdo? Pero eso no nos vale en la EBAU, pero al menos creo que este dibujo sirve para entender el ejercicio y después, en otro momento, que os lo imaginéis vosotros.
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Lo que vamos a hacer, pues, va a ser el punto 1, f de 1, es el punto 1, 2.
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Vamos a hacer la ecuación de la recta tangente a f de x en 1.
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Bueno, recordar, vamos a poner x sub cero para que la fórmula es la fórmula de la recta a punto pendiente, pero que simplemente en este caso la escribimos como y menos f de x sub cero igual a la pendiente, que en este caso es f' de x sub cero, por x menos x sub cero.
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esta es la ecuación de la recta
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f' de x
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era x menos x cuadrado
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x más x cuadrado, perdón
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es 1 más 2x
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que f de x era x más x cuadrado
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¿vale?
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y que por supuesto entonces
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f' de 1
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pues es 3
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y la ecuación de la recta tangente
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queda 1 menos
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f de 1 que es 2
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igual a 3 por x
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menos 1
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esa es la ecuación de la recta
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ahora si hacemos el corte
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con x igual a 2
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consiste en sustituir
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la x por 2
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2 menos 1 es 1
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3 por 1 es 3
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más 2 es 5
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Así que igual a 5. El punto 2, 5 es el punto de corte buscado. ¿De acuerdo? Ahí está el punto que choca con la recta vertical.
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Podríamos corroborarlo, por supuesto, como vamos a hacer en todos los ejercicios con GeoGebra.
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Aquí tenemos la derivada, que era 1 más 2x, la ecuación de la recta tangente, la he puesto en tres formas diferentes,
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y el punto de corte, que es sustituir la x por 2, pues 5, y aquí lo tenemos.
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Y con esto, pues hemos terminado nuestro ejercicio.
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Gracias.
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- Autor/es:
- Pablo J. Triviño Rodríguez
- Subido por:
- Pablo Jesus T.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 89
- Fecha:
- 24 de agosto de 2021 - 19:57
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES JOSÉ GARCÍA NIETO
- Duración:
- 08′ 54″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 169.92 MBytes
