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Modelo PAU 2425 - CLM - EJERCICIO 1 - Contenido educativo
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Hola, soy Pedro Lomas y voy a resolver el ejercicio 1 del modelo que ha propuesto la Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha
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para la PAU del curso 2024-2025.
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En el ejercicio 1 nos plantean construir unos envases con forma de prisma de base cuadrada
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cuyo volumen sea un decímetro cuadrado y que tengan la mínima superficie.
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Bien, estos envases son prismas de seis caras, dos de las caras son cuadrados del lado X y las otras dos caras son rectángulos de base X y altura Y, es decir, esto mide X, esto también mide X, esto mide X y esto mide Y.
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y lo que necesitamos son dos cuadrados y cuatro rectángulos de este tipo
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con lo cual la función que queremos optimizar tiene dos variables
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y es la función de las superficies 2x al cuadrado más 4x por y
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como esta función tiene dos variables necesitamos poner una variable en función de la otra
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para tener una función de una única variable y poder derivar
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Hay un dato que todavía no hemos utilizado del enunciado, que es este.
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Nos dice que el volumen del prisma es de un decímetro cúbico.
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Sabemos que el volumen de un prisma es la superficie de la base por la altura del prisma.
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En el caso que tenemos es x al cuadrado por y.
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Por tanto, sabemos que x al cuadrado por y tiene que valer 1,
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que es lo mismo que decir que la y es 1 partido por x al cuadrado o x a la menos 2.
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Si en la función de la superficie escribimos donde nos aparezca una y el valor x a la menos 2
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ya tenemos la función que vamos a tener que optimizar
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que podemos simplificar escribiéndolo de la forma 2x cuadrado más 4x
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sabemos que el óptimo de esta función va a estar donde la primera derivada sea 0
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por tanto hacemos la primera derivada de la función que es 2 por 2x más 4
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hay una errata aquí, disculpad, 1 menos 2, esto es x a la menos 1
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2 por x a la menos 1 por 4 por menos 1x a la menos 2, ya lo hemos derivado y es 4x menos 4 por x a la menos 2, con lo que es lo mismo 4x menos 4 partido por x al cuadrado.
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La primera derivada se anulará cuando 4x menos 4 partido por x al cuadrado vale 0
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Que es lo mismo que decir que 4x es igual que 4 partido por x al cuadrado
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Si el x al cuadrado lo pasamos multiplicando será x al cubo
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Es lo mismo que 4 partido por 4, es decir 1
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Necesitamos que x al cubo sea 1, lo cual ocurre cuando la x vale 1
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Así que cuando la x es 1, esta función tiene un punto de tangente horizontal
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Que puede ser un máximo o un mínimo
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¿Cómo sabemos si es máximo o mínimo?
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Pues utilizando la segunda derivada
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La segunda derivada es 4 menos 4 por menos 2 por x elevado a menos 3
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O lo que es lo mismo, 4 más 8 partido por x al cubo.
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La segunda derivada en el 1 vale 4 más 8 partido por 1 al cubo, que es 12.
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No importa tanto su valor como su signo, como 12 es positivo, de aquí podemos deducir que x a la 1 es un mínimo de esta función.
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así que el prisma que estamos buscando es aquel cuya base cuadrada tiene lado 1
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y la altura será, tenemos aquí que la y es 1 partido por x al cuadrado
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pues 1 partido por 1 al cuadrado es 1, es decir que el prisma en realidad es un cubo de arista 1
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solo nos falta el apartado C en el que nos pide
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cuál va a ser la superficie de cada envase y su coste
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bien, si volvemos ahora a la función superficie que hemos creado al principio
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y vemos su valor cuando la x y la y valen 1, tenemos que es 2 por 1 al cuadrado
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más 4 por 1 y por 1
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esto es 2 más 4
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que son 6 decímetros cúbicos, perdón
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6 decímetros cuadrados
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es la superficie del prisma y ahora el coste
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pues será 6 por 5
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porque nos decía que era 5 euros
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cada decímetro cuadrado
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30 euros es lo que nos costará
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cada envase
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ahí tenéis el problema completo
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- Subido por:
- Pedro L.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 19
- Fecha:
- 12 de octubre de 2024 - 20:35
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ATENEA
- Duración:
- 05′ 52″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 13.95 MBytes
