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Trigonometría: 19.Formulario 2 - Demostraciones - Contenido educativo

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Subido el 30 de octubre de 2007 por EducaMadrid

2618 visualizaciones

- Demostración de las fórmulas.

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Bueno, pasamos ahora a las demostraciones de todas estas fórmulas, y todas estas 00:00:00
fórmulas tienen su demostración, que es la manera de asegurarnos que son 00:00:04
realmente ciertas. 00:00:11
Vamos a ir demostrándolas poco a poco y espero que se entienda bien. 00:00:15
Partimos del triángulo rectángulo en el cual hemos llamado a y b a los catetos y 00:00:20
h a la hipotenusa, y si colocamos las razones trigonométricas del ángulo alfa 00:00:24
pues sería seno del ángulo alfa, cateto opuesto a partir de la hipotenusa, a 00:00:29
partido de h, el coseno del ángulo alfa es lo que mide el cateto contiguo 00:00:34
dividido entre lo que mide la hipotenusa, b partido de h, y por último la tangente 00:00:39
sería a partido de b. Si nosotros queremos demostrar, por ejemplo, la primera de las 00:00:44
fórmulas, pues es claro de las definiciones que acabamos de colocar 00:00:50
aquí, que seno de alfa dividido entre el coseno de alfa sería lo siguiente. 00:00:54
Si nosotros cogemos que el seno de alfa es igual a a partido de h y lo colocamos 00:01:02
aquí, tendríamos que en vez de seno de alfa, pues yo coloco a dividido entre h, 00:01:08
eso dividido entre el coseno de alfa, pues sería ahora 00:01:15
b partido h, es decir, en vez de escribir seno de alfa entre coseno de alfa, yo cojo 00:01:22
mi triángulo y coloco pues estas dos fracciones, que son las definiciones del 00:01:27
seno y el coseno. Bien, si recordamos cómo se dividían 00:01:31
fracciones, resulta que el resultado de esa división será otra 00:01:37
fracción, la cual se obtiene de la forma siguiente. Multiplico a por h y lo 00:01:42
coloco arriba en el numerador, eso me da a por h, y multiplico h por b y lo coloco 00:01:47
en el denominador. Lo puedo escribir así también, b por h o h por b, y eso sería 00:01:54
lo que me resultaría. Puedo simplificar la fracción, entonces podría simplificar h 00:02:00
arriba y abajo, y me quedaría entonces que ese cociente da a partido por b, pero 00:02:08
justamente a partido por b es la tangente de alfa, de manera que tengo 00:02:15
justamente lo que quería, es decir, he empezado 00:02:20
calculando seno de alfa dividido entre el coseno de alfa, y después de un 00:02:26
desarrollo en el que todos los pasos son ciertos, pues he llegado a que es igual a 00:02:30
la tangente de alfa, por lo tanto pues he demostrado la primera de las relaciones. 00:02:34
Vamos a por la segunda. La segunda relación nos dice que seno al 00:02:42
cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa es igual a 1. Nosotros lo que 00:02:48
vamos a hacer es partir del seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado 00:02:55
de alfa, ir sustituyendo y ver si efectivamente da 1 o no. Bien, sustituimos el 00:02:58
seno al cuadrado de alfa por lo que debe ser, que sería a partido h elevado al 00:03:05
cuadrado más, y ahora colocamos en vez del coseno de alfa al cuadrado, pues 00:03:11
colocamos b partido por h al cuadrado, es decir, hemos sustituido por su valor. 00:03:17
Si ahora elevamos al cuadrado, la fracción pues sería el cuadrado del 00:03:23
numerador dividido entre el cuadrado del denominador, en ambos casos, en los dos 00:03:28
sumando, y puesto que estas fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumar 00:03:33
los numeradores y nos quedaría entonces arriba a cuadrado más b cuadrado y abajo 00:03:37
h cuadrado. Bien, ¿cuál sería ahora el resultado de sumar a al cuadrado más b al 00:03:43
cuadrado? ¿Cuál sería el resultado de eso? Pues, por el teorema de Pitágoras, a 00:03:50
cuadrado más b cuadrado justamente vale lo mismo que h al cuadrado. Recordemos 00:03:59
el teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al 00:04:03
cuadrado de la hipotenusa. Por tanto, a cuadrado más b cuadrado valdría h al 00:04:07
cuadrado y nos quedaría entonces que esa fracción sería igual a esta. Claro, h al 00:04:12
cuadrado dividido entre h al cuadrado es un número, dividido entre el mismo 00:04:19
número, pues daría 1. Vemos entonces cómo la segunda fórmula es cierta, pues 00:04:23
hemos partido de seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa y hemos 00:04:28
llegado a que eso tiene que valer 1. 00:04:31
De acuerdo, vamos ahora a demostrar la tercera de las relaciones trigonométricas 00:04:37
fundamentales. La tercera se obtiene a partir de la segunda. A partir de la 00:04:43
segunda, si dividimos esa igualdad entre el coseno al cuadrado de alfa, 00:04:50
tendríamos lo siguiente. Nosotros escribimos, esa sería seno al cuadrado de 00:04:56
alfa más coseno al cuadrado de alfa igual a 1, esa es la igualdad. Si dividimos 00:05:01
tanto un miembro como otro entre el coseno al cuadrado de alfa y ahora lo 00:05:05
desarrollamos, puesto que partimos de una igualdad cierta, pues llegaremos a 00:05:10
otra igualdad cierta. Aquí hay que tener un poco la precaución de comprobar que 00:05:13
el coseno al cuadrado de alfa no es nunca cero y efectivamente, si lo 00:05:18
pensamos un poquito, pues veremos que para los ángulos con los que estamos 00:05:24
trabajando es así, pero efectivamente el coseno al cuadrado de alfa pues no vale 00:05:27
cero. Bueno, si ahora colocamos la igualdad un 00:05:34
poquito mejor, vamos a ir separando convenientemente de el primer miembro, 00:05:40
vamos a colocar separado seno al cuadrado de alfa dividido entre el coseno al 00:05:45
cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa dividido entre el coseno al cuadrado de alfa. 00:05:49
Es decir, hemos escrito esa suma de fracciones de otra manera 00:05:54
y nos vamos a fijar en que 1 partido el coseno al cuadrado de alfa es 00:05:59
justamente, por la propia definición, pues la secante al cuadrado de alfa, puesto que 00:06:02
1 partido coseno es la secante, pues 1 partido coseno al cuadrado de alfa pues 00:06:09
es la secante al cuadrado. Ya vamos viendo un poco por donde va la 00:06:14
fórmula, ¿verdad? Si ahora nos fijamos aquí, tenemos que seno al cuadrado 00:06:18
dividido entre el coseno al cuadrado es justamente igual que, por la fórmula 00:06:23
primera, es justamente igual que la tangente al cuadrado de alfa, puesto que 00:06:29
seno al cuadrado entre el coseno al cuadrado, pues sería la tangente al 00:06:34
cuadrado y coseno al cuadrado entre el coseno al cuadrado, pues como un número 00:06:37
entre otro igual, pues eso es 1. De manera que hemos llegado a la tercera 00:06:44
de las relaciones trigonométricas fundamentales 00:06:51
y la cuarta, bueno, pues se demostraría de una forma parecida, como hemos 00:06:59
demostrado la tercera, pero en vez de dividir la igualdad entre el coseno al 00:07:02
cuadrado, pues se divide entre seno al cuadrado. Eso no lo vamos a hacer aquí, pero 00:07:07
podéis intentar hacerlo vosotros en vuestro cuaderno. 00:07:12
Valoración:
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2618
Fecha:
30 de octubre de 2007 - 14:11
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
07′ 20″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
8.43 MBytes

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