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Sistema compatible indeterminado - Contenido educativo
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Vamos a ver qué es un sistema compatible indeterminado. Ya vimos en su día que era una ecuación y cómo resolver una ecuación que tenía infinitas soluciones, que había que utilizar los parámetros.
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¿De acuerdo? Bien. Sistema compatible indeterminado es un sistema que tiene infinitas soluciones. Tiene solución, pero infinitas. Por ejemplo, simplemente, si yo quisiera resolver esta ecuación que os pongo aquí, por ejemplo, esta ecuación, ¿cuántas soluciones? ¿Tiene solución? Sí, infinitas.
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¿Cuántas tiene? Infinitas.
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¿Cuántos grados de libertad tiene la solución? Dos.
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Ya lo vimos el otro día, para resolver este sistema necesitamos utilizar dos parámetros.
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Porque si el valor de Z puede valer lo que quiera, pero imagínate que fijas su valor.
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Y el de Y también lo fijas. X está esclavizado ya.
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¿Cuántos, digamos, cuántos grados de libertad podemos repartir entre la terna numérica de solución, entre las incógnitas? ¿Entendéis? Dos, puedo repartir dos, porque la tercera ya no es libre. ¿Se entiende o no? Por eso tiene dos grados de libertad. ¿Se comprende?
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Y lo que he explicado en el vídeo anterior, una ecuación lineal en general, salvo que sea redundante con otras, como dijimos, pues reduce un grado de libertad a la solución. ¿Se entiende o no? Por ejemplo, si yo a esta le añado esta, otra ecuación, ¿cuántos grados de libertad tiene la solución de este sistema?
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Pues mira, la terna X y Z en principio tiene tres grados de libertad. Pero esta primera ecuación va a reducir a dos. Y esta segunda, que no es proporcional a la anterior, como veis, pues va a reducir una más. Por lo tanto, tiene un grado de libertad.
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Para resolver este sistema, para dar la solución necesitaría un parámetro, porque hay una incógnita que queda libre y las otras dos no. ¿Esto se entiende? Bien, en este caso estamos hablando de sistema compatible indeterminado. ¿Vale o no?
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Mirad, y mirad lo que pasa, lo que he explicado en el vídeo anterior.
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¿Qué pasa al aplicar el método de Gauss y al escalonar cuando hay ecuaciones redundantes?
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O sea, que son dependientes de las otras.
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Lo que hemos visto del ejemplo de, por ejemplo, si pienso en el alumno, en un alumno,
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y digo, es moreno, pues hay que quitar los rubios.
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Y luego digo, ¿tiene el pelo negro? Pues esta otra condición no me reduce las posibilidades.
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Si dijera, ¿es bajito? Pues sí, porque ser bajo es independiente de ser moreno.
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Pero tener el pelo negro y ser moreno no son independientes, son equivalentes.
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Entonces, ahí no estoy reduciendo las posibilidades, ¿entendéis?
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Eso es lo que pasa cuando tengo ecuaciones dependientes de las otras.
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Y en la práctica, ¿cómo reconocer qué ecuaciones son dependientes, o sea, que son redundantes, que no me reducen grados de libertad? Pues al hacer el método de Gauss, las ecuaciones que no aportan, que no reducen, desaparecen al escalonar el sistema, porque no aportan nada, ¿entendéis o no?
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Y mirad cómo aquí, al hacer el método de Gauss, pasa que finalmente hay una fila que se hace todo ceros. ¿Se comprende? Esto es porque, mira, al traducirlo al sistema, habría que añadir aquí abajo, ¿eh? 0x más 0y más 0z igual a cero. ¿Sí o no?
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Pero, ¿qué valores de X, Y y Z verifican esta tercera ecuación? Todos. Todos los posibles X y Z verifican esta tercera ecuación. Por lo tanto, ¿esta tercera ecuación reduce el grado de libertad? No.
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¿entendéis?
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no dice nada sobre la solución
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es como decir
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busco a un ser humano
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dime cosas de él
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pues es un ser humano
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pues no me ha dicho nada
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¿es rubio? sí, ahí sí
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además tiene el pelo amarillo
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oiga, no me dice nada, ya me lo ha dicho antes
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¿os dais cuenta o no?
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¿es alto? ahí sí
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¿os dais cuenta? cada vez que doy una información
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reduzco el campo
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de posibilidades, ¿no?
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Pues esto es lo que pasa aquí.
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Cada ecuación reduce
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un grado de libertad a la solución.
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¿Se entiende?
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Y pasa que algunas
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ecuaciones no reducen nada. Esta.
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Es que ha desaparecido.
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¿Se ha entendido la idea? Y esto es porque
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entre estas tres ecuaciones
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hay una que se podría considerar
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que sobra, porque no
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aporta nada. ¿Os dais cuenta?
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¿Se ve la idea, no? Muy bien. Y en este caso observamos que para resolver este sistema necesito parametrizar, por ejemplo, la Z y digo que Z sea igual a alfa, ¿se ve o no?
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Y a partir de aquí ya, aquí pongo alfa, saco y y ya pongo aquí alfa y aquí el valor de y que sale aquí, sustituyo y despejo x. ¿Se ha entendido? Este sistema es compatible indeterminado porque tiene infinitas soluciones.
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Y habría que añadir después, con un grado de libertad, que quiere decir que necesitas un parámetro, en este caso alfa, para expresar todas las soluciones.
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Si fuera de dos grados de libertad, pues sería dos grados de libertad. ¿Qué tiene que pasar para que un sistema así sea compatible e indeterminado con dos grados de libertad?
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Que desaparezcan dos ecuaciones al hacer Gauss
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¿Sí o no?
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¿Se entiende o no?
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Fijaos
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Una vez que hemos hecho Gauss aquí
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Una vez que hemos aplicado aquí, ¿lo veis?
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Una vez que hemos hecho Gauss
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Que ha desaparecido la tercera ecuación aquí
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Fijaros
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La solución es una terna X y Z
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Tiene tres grados de libertad de principio, por nacer.
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¿Sí o no?
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Pues cada...
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Si hay tres incógnitas, pues cada una puede ser...
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Cada una la que sea.
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Hay tres posibilidades.
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Lo que pasa es que esta primera ecuación, ¿qué me hace?
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Reducir a un grado de libertad.
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O sea, me quedan dos.
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Esta me reduce otra más.
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Me queda una.
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Ya no hay más para reducir.
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La solución tiene un grado de libertad.
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Por eso se usa un parámetro.
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¿Se ha entendido?
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¿Se entiende la idea o no?
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Bien, esto lo puedo determinar una vez que he hecho Gauss. Porque aquí, fijaros, aquí no se aprecia. Pero claro, si este sistema es equivalente a este, que solo tiene dos ecuaciones, porque hay una que ha desaparecido, es que aquí hay una que sobra. ¿Os dais cuenta o no?
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- 27 de enero de 2021 - 17:06
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