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La derivada 1 - Contenido educativo

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Subido el 27 de febrero de 2023 por Agustin M.

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concepto de derivada en un punto

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vamos a dedicar un primer tema a la derivada en 00:00:00
el que estudiaremos su significado el concepto de derivada 00:00:05
el concepto de derivada está relacionado con dos problemas clásicos 00:00:12
por un lado 00:00:18
el problema de la velocidad instantánea 00:00:20
y por otro de la recta tangente a una curva 00:00:23
en un punto ambos problemas responden al mismo patrón 00:00:27
el problema de la razón instantánea de cambio sin embargo 00:00:31
nosotros nos centraremos en el segundo problema que mantuvo ocupados 00:00:36
a los matemáticos en el siglo diecisiete 00:00:41
y nos dedicamos sobre todo a este problema en este 00:00:44
primer tema no por el valor anecdótico sino porque nos 00:00:47
va a proporcionar un significado geométrico que estará presente en 00:00:51
todos los problemas y aplicaciones de la derivada 00:00:57
históricamente ya desde los griegos el problema de calcular la 00:01:00
recta tangente a determinado tipo de curvas moviendo las curvas 00:01:06
cónicas estaba resuelto pero el problema general planteado en términos 00:01:09
de la geometría cartesiana daos unos ejes x y 00:01:16
y el gráfico de una función igual a f x 00:01:20
obtener la ocasión de la recta tangente era un problema 00:01:24
que permanecía abierto planteemos el problema del cálculo de la 00:01:28
ecuación de la recta tangente en términos generales dawson's ejes 00:01:33
cartesianos 00:01:37
tendremos el gráfico de una función sobre esa función un 00:01:39
punto 00:01:41
y deseamos obtener la ecuación de la recta tangente en 00:01:43
ese punto 00:01:48
esta gente tendrá una ecuación 00:01:50
para obtener esta ecuación vamos a proceder mediante aproximaciones sucesivas 00:01:54
para ello sobre el gráfico igual a x colocamos un 00:02:00
nuevo punto q 00:02:03
ambos puntos para definir una recta secante 00:02:06
esta recta secante podemos obtener su ecuación punto pendiente como 00:02:12
menos pedos igual a m por x menos uno 00:02:17
donde p 00:02:21
será el punto base de la recta y la pendiente 00:02:24
m vamos a terminar como la pendiente del vector que 00:02:27
une t co 00:02:31
esa pendiente viene dada a partir de las coordenadas de 00:02:34
p y q 00:02:38
como un consciente ser consciente de la diferencia de las 00:02:41
coordenadas y bueno es la diferencia de las coordenadas x 00:02:45
consciente de lo que la función sube o baja partido 00:02:51
por lo que avanza 00:02:55
si damos a los puntos unos valores para las coordenadas 00:02:58
x del siguiente modo x cero y x cero massachusetts 00:03:03
dónde va a ser la distancia que separa a las 00:03:10
coordenadas x de los puntos 00:03:15
tenemos que estas se pueden escribir ahora con ayuda 00:03:18
dc como x f x cero para el punto p 00:03:22
x cero massachusetts 00:03:28
f x hidromasaje para el punto q 00:03:30
nuestro consciente ahora quedará expresado 00:03:33
todo en función de la coordenada x cero y el 00:03:38
valor de 00:03:42
veamos ahora cómo las aproximaciones sucesivas nos permiten definir la 00:03:46
tangente 00:03:50
si vamos trazando rectas secantes en las que el punto 00:03:53
que co 00:03:56
se vaya aproximando al punto p 00:03:59
tendremos 00:04:03
que al final estas rectas secantes se aproximan 00:04:05
a la recta tangente 00:04:11
es decir 00:04:13
usando la terminología del cálculo infinitesimal que si q tiende 00:04:15
a p 00:04:21
las rectas secantes tienden a t a la recta 00:04:23
esta gente que queremos determinar 00:04:30
del mismo modo las pendientes de las rectas secantes tenderán 00:04:34
o se aproximarán 00:04:39
a la pendiente de la recta tangente que podemos denominar 00:04:42
en barra gracias a la fórmula que hemos definido 00:04:46
las coordenadas de los puntos los tres procesos 00:04:50
son equivalentes 00:04:54
a pedir que la distancia entre la coordenada x y 00:04:57
la coordenada x de q tiende a cero si se 00:05:02
hace pequeña 00:05:07
q se acerca p 00:05:09
y las rectas secantes 00:05:12
se acercarán a la recta tangente por lo tanto con 00:05:15
una dotación de límite tendremos que la pendiente que buscamos 00:05:18
vendrá expresada como el límite del cociente definido anteriormente 00:05:23
ese será el valor de la recta tangente 00:05:28
y este valor de m 00:05:33
lo escribiremos como efe prima de x w cero y 00:05:35
será lo que llamaremos la derivada de efe 00:05:39
en el punto x cero la derivada es en el 00:05:42
punto de equis cero será el valor de la tangente 00:05:46
de la pendiente de la recta tangente en dicho punto 00:05:51
pongamos en práctica 00:05:56
lo aprendido aplicándolo a un ejemplo 00:05:58
vamos a considerar una función cuadrática igual equis cuadrado 00:06:02
un punto que pertenece al gráfico de la función 00:06:07
los cuatro 00:06:12
nuestro objetivo es obtener el valor de rescatar gente 00:06:14
gráfico esta función es una parábola 00:06:18
sobre él colocamos el punto y queremos calcular esta receta 00:06:22
gente la fórmula obtenido anteriormente 00:06:26
en forma punto pendiente 00:06:32
es esta si sustituimos 00:06:35
los valores ahora conocidos p uno y p dos la 00:06:38
fórmula que era escrita como menos cuatro igual a efe 00:06:42
prima 00:06:45
de dos 00:06:47
por equis minutos 00:06:49
por lo tanto cuando tengamos el valor de la derivada 00:06:52
en el punto dos habremos determinado la ecuación de la 00:06:59
recta tangente este valor viene dado por un límite 00:07:03
y será el que nos permite calcular 00:07:11
efe prima dos para ello escribimos el límite cuando tiende 00:07:14
a cero 00:07:19
defe dedos massachusetts 00:07:20
menos efe de dos partido por ache sustituyendo 00:07:23
elevando 00:07:29
al cuadrado obtenemos 00:07:31
que este límite 00:07:34
se convierte 00:07:36
en una ocasión 00:07:39
en la que podemos 00:07:41
simplificar los valores cuatro y menos cuatro y a continuación 00:07:44
sacar factor común 00:07:49
simplificando vous haces el número y denominador obtenemos que el 00:07:53
límite es cuatro cero es decir 00:07:59
tenemos por lo tanto 00:08:04
el valor de la pendiente y habremos obtenido la ecuación 00:08:06
de la recta tangente 00:08:10
hm igual a cuatro por lo tanto la ecuación y 00:08:15
menos cuatro igual a cuatro x menos dos 00:08:18
cabe preguntarse ahora 00:08:23
sí igual que hemos obtenido el valor de la derivada 00:08:26
en el punto dos podríamos obtener el valor 00:08:30
tres en el punto menos uno y en general la 00:08:34
derivada en un punto cualquiera x 00:08:38
bien se trata de repetir el cálculo de este límite 00:08:43
si lo que queremos es 00:08:48
calcular efe prima de x o lo que es lo 00:08:51
mismo la derivada de la función x cuadrado 00:08:54
en el desarrollo 00:08:59
tendremos que sustituir el valor de dos por el valor 00:09:01
de x 00:09:06
i desarrollar los cálculos a partir de las expresiones de 00:09:08
nuestra función 00:09:13
sustituyendo estos valores de dos por x 00:09:15
obtenemos 00:09:20
qué límite 00:09:22
queda 00:09:24
volviendo a sacar factor común 00:09:26
doce x más cero es decir el valor de límites 00:09:30
dos x 00:09:37
hemos obtenido así 00:09:39
la derivada de la función x cuadrado 00:09:41
deriva de la función equis cuadrado es una función estas 00:09:46
funciones doce x 00:09:50
este proceso en general es un proceso laborioso el del 00:09:54
cálculo del límite 00:09:58
como veremos en el tema siguiente cada vez que hayamos 00:10:02
obtenido una derivada 00:10:05
a partir 00:10:09
de un proceso elemental en el que evaluamos un límite 00:10:11
lo convertiremos en una regla eso era una regla de 00:10:17
derivación 00:10:19
y a partir de ese momento siempre que nos aparezca 00:10:22
una función que responda a ese tipo aplicaremos la regla 00:10:24
derivación para calcular la derivada sin necesidad de tener que 00:10:29
hacer un cálculo con los límites 00:10:34
Subido por:
Agustin M.
Licencia:
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Fecha:
27 de febrero de 2023 - 13:25
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LAGUNA DE JOATZEL
Duración:
10′ 40″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
47.97 MBytes

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