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2020_2021_MatemáticasII_0Modelo2_A2 - Contenido educativo

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Subido el 24 de agosto de 2021 por Pablo Jesus T.

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Bueno, vamos a resolver el ejercicio del modelo que ha estado colgado en enero, desde enero en las universidades madrileñas, 00:00:12
del modelo 2, que lo llamo yo, la opción A, el ejercicio 2, que es de análisis. 00:00:24
Es un ejercicio, aquí tenemos el enunciado, se da la función, no funciona a trozos, hay que estudiar la continuidad, 00:00:31
en el apartado B hallar las asíntotas y en el apartado C hallar un valor menor que 1 00:00:39
es decir de la rama izquierda en la gráfica en el que la pendiente sea menos un medio 00:00:47
y escribir la ecuación de la recta tangente. 00:00:53
Para que lo veamos bien lo primero que voy a hacer como otras ocasiones es pintar la función en GeoGebra 00:00:57
aquí la tenemos, se ve claramente que es continua en 1 ¿verdad? 00:01:03
en realidad es esta función 00:01:08
no penséis que porque viene tan seguidito 00:01:11
simplemente querría decir que es continua y derivable 00:01:13
aunque en este caso no nos preguntan la derivabilidad 00:01:16
antes de ver las cuentas con GeoGebra 00:01:18
pues vamos directamente a hacerlas nosotros 00:01:20
y lo tengo aquí ya hecho 00:01:23
entonces para estudiar la continuidad 00:01:28
como en este caso que es muy importante 00:01:30
que nos piden que la estudiemos 00:01:32
en toda la función 00:01:35
pues hay que hablar de las ramas, para eso empezamos diciendo que si la x es menor que 1 00:01:37
la función f de x no es continua, en x igual a menos 1, ¿por qué? 00:01:45
porque anula el denominador, no existe límite, hay un salto de discontinuidad infinita 00:01:50
por tanto en menos 1 no es continua, si x es mayor que 1 la función es continua 00:01:55
Porque tendría dos candidatos a ser discontinua, tendría dos candidatos, el 1 que anula el denominador de esa rama derecha y el 0 que anula el logaritmo neperiano de x. 00:02:03
Entonces, como ninguno de esos dos puntos, ni 0 ni 1, están en el dominio de definición de la rama inferior o derecha, logaritmo neperiano de x partido de x menos 1, pues la función sí que sería continua. 00:02:16
La segunda rama sí que sería continua. 00:02:32
Además, ahora también, porque podríamos decir que una función es continua cuando es continua en todos sus puntos, 00:02:36
como es discontinua en menos 1, como que ya hubiéramos terminado, 00:02:41
pero yo pienso que hay que estudiar la continuidad en toda la función. 00:02:45
Nos falta en x igual a 1, donde haremos lo de siempre, ¿verdad? 00:02:48
¿Existe el límite cuando x tiende a 1 de f de x? 00:02:54
Sería lo primero que tendríamos que mirar. Bueno, pues vamos a verlo. Si nosotros hacemos el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x, tenemos que mirar en la rama superior o izquierda, que era 2 partido x más 1. 00:02:59
2 partido de x más 1 00:03:15
el límite aquí 00:03:19
1 más 1 es 2 00:03:20
y si hacemos el límite 00:03:21
cuando x tiende a 1 por la derecha 00:03:25
pues tenemos logaritmo neperiano de x 00:03:27
partido de x menos 1 00:03:29
bueno aquí lo que tenemos es un 0 partido por 0 indeterminación 00:03:30
es decir, aparentemente no sabemos hacerlo 00:03:35
porque además no se puede hacer descomponiendo 00:03:40
la única manera de hacerlo es por L'Hôpital, así que si nosotros hacemos L'Hôpital, pues lo que vamos a tener es la derivada, 00:03:43
recordad que para eso el logaritmo neperiano de x y x menos 1 tienen que ser continuas y derivables alrededor de 1, que lo son, 00:03:56
entonces el límite de las, si existe el límite de las derivadas, existe el límite del cociente de las funciones. 00:04:06
Bien, la derivada del logaritmo neperiano de x es 1 partido por x y la de x menos 1 es 1 00:04:13
Si yo hago el límite cuando x tiende a 1, no hace falta ni que lo escriba de otra manera, da 1 00:04:20
Como da lo mismo en los dos lados, pues es 1 el límite 00:04:25
Y dado que también existe f de 1, que se sustituiría en la primera y da 1 00:04:30
y que la tercera condición, los dos pasos coinciden, el límite cuando x tiende a 1 de f de x es igual que f de 1, 00:04:38
pues la función es continua en x igual a 1. 00:04:48
Resumiendo, que la función no es continua porque no es continua en menos 1, 00:04:54
pero sí que es continua la rama de abajo en todo su dominio y es continua en. 00:05:03
¿Vale? Pues ya tenemos el apartado A. Antes de terminarlo, pues lo podemos ver en GeoGebra. Aquí tenéis la rama superior, la rama inferior y en menos uno veis que da menos infinito e infinito y por tanto no tiene límite y por tanto es discontinua, 00:05:08
mientras que en uno sí que es contínuo. 00:05:39
Esto además nos va a valer ya para hallar la asíntota, 00:05:42
que era la siguiente pregunta, 00:05:45
que calcularamos las asíntotas, el apartado B. 00:05:47
Entonces empezamos, como siempre, 00:05:51
por estudiar las asíntotas verticales, 00:05:54
y por supuesto tendríamos que... 00:05:56
Sabéis que a mí me gusta poner siempre x igual a... 00:05:59
donde el límite cuando x tiende a f de x, 00:06:03
pues tiene que dar más o menos infinito. 00:06:07
Ya hemos visto, repito, que cuando x tiende a 1 00:06:11
lo vamos a hacer, el límite cuando x tiende a menos 1 00:06:16
está aquí, arriba, si no me equivoco lo hemos hecho, 00:06:20
lo veis ahí, menos infinito, infinito, 00:06:27
pero bueno, lo vamos a volver a copiar, 00:06:30
el límite cuando x tiende 2 partido por x más 1 00:06:33
Hemos visto que era menos 1, algo 00:06:38
Menos infinito 00:06:41
Y el límite cuando x tiende a menos 1 por la derecha 00:06:43
Más infinito 00:06:48
Yo pondría que lo hemos hecho como se podría ver en el apartado 00:06:51
Así que hay una asíntota vertical 00:06:55
Que es una recta, recordad una asíntota siempre es una recta 00:06:58
En x igual a menos 1 00:07:02
y no hay ninguna 00:07:04
asíntota vertical más 00:07:07
ni para mayores que 1 00:07:09
las asíntotas 00:07:10
horizontales 00:07:13
pues serían 00:07:14
del tipo igual a b 00:07:24
y aquí ya sabéis que yo 00:07:25
siempre digo que en realidad 00:07:27
deberíamos poner dos fórmulas 00:07:29
por este más menos infinito 00:07:31
en realidad son dos ejercicios 00:07:32
completamente diferentes 00:07:35
es más, eso se ve perfectamente 00:07:37
en un ejemplo como este 00:07:39
porque tenemos que son funciones diferentes 00:07:41
el límite cuando x tiende a menos infinito 00:07:46
de 2 partido x más 1 00:07:49
pues como veis sería 0 00:07:54
que por cierto, por si la quisiéramos pintar 00:07:59
sería 0 y sería negativo 00:08:02
así que 0 es súper menos 00:08:07
y el límite, y por tanto habría ya una asíntota en y igual a cero, que quede claro, 00:08:08
y el límite cuando x tiende a más infinito del logaritmo neperiano de x partido por x menos uno, 00:08:15
pues el logaritmo neperiano de infinito es infinito, pero crece más lento que x, 00:08:23
y por tanto esto también se va a acercar a cero, ¿de acuerdo? 00:08:31
Esto también se va a acercar a cero. También lo podríamos hacer por lo pital, porque ya sabéis que demostramos que los límites infinito, partíbulo infinito, pues también se pueden hacer por lo pital. 00:08:35
Siempre que cumplan las condiciones, las funciones. Pues es cero, pero aquí lo de arriba es positivo, lo de abajo es positivo, pues cero es súper más. 00:08:48
Así que hay una asíntota en Y igual a cero. 00:08:57
Al haber dos asíntotas horizontales, aunque tengan la misma ecuación, 00:09:03
ni siquiera tiene sentido buscar las oblicuas, 00:09:12
porque no puede coincidir en cada lado, en cada lado, horizontal y oblicua. 00:09:19
Lo que sí que puede haber es una horizontal cuando X tiene menos infinito 00:09:25
y una oblicua cuando X tiene más infinito. 00:09:28
Muy bien, pues con esto habríamos terminado el apartado B. 00:09:31
Vamos como siempre a verlo con GeoGebra, el A ya lo hemos hecho, ¿verdad? 00:09:36
O sea, perdón, el B pero la vertical ya lo hemos hecho y el A pues sería ni igual a cero 00:09:42
porque el límite de la rama izquierda cuando tiende a menos infinito es cero 00:09:48
y cuando tiende a más infinito es cero, por tanto ya tenemos el apartado B. 00:09:52
Y nos queda simplemente el apartado c, que como recordáis es un poquito más elaborado, era el valor de la rama 2 partido por x más 1 que hace que la pendiente sea menos 1. 00:09:58
Bueno, pues para hacer el apartado C, obviamente, lo primero que tenemos que hacer es la derivada, 00:10:13
si vamos a llamar g de x a 2 partido de x más 1, pues necesitamos g' de x. 00:10:22
Ya sabéis que a mí esto no me gusta derivarlo por la fórmula del cociente. 00:10:30
Esto es, en realidad, si voy a hacer un poco de hueco, esto es en realidad 2 por x más 1 elevado a menos 1. 00:10:34
Entonces, con la regla de la cadena es mucho más fácil decir que esto queda 2 por menos 1 por x más 1 a la menos 2 y por la derivada de adentro que es 1. 00:10:43
O sea, que esto es menos 2 partido x más 1 al cuadrado. 00:10:57
¿Vale? Pues ahora lo que hay que hacer es que esa derivada, menos 2 partido x más 1 al cuadrado, sea igual a menos 1 medio, que es lo que me piden. 00:11:04
Esta ecuación se puede resolver muy fácil, sería x más 1 al cuadrado igual a 4, así que x más 1 sería igual a más menos 2 y por tanto x sería igual a menos 3 o a 1, ¿vale? 00:11:21
Sería 2, menos 1, 1 y menos 2, menos 1, menos 3. 00:11:44
Esta no vale porque lógicamente no está entre los valores menores que menos 1, 00:11:49
así que el punto buscado es el menos 3. 00:11:57
Y una vez que hemos encontrado el menos 3, pues nos piden que demos la ecuación de la recta tangente. 00:12:01
Recuerdo a todos que es la fórmula de la recta en forma punto pendiente, 00:12:07
simplemente que la escribimos con unos valores concretos, ¿vale? Así que lo ponemos por x menos x, f de menos 3, pues si lo sustituimos, 00:12:10
por menos 3 más 1, menos 2, 2 entre menos 2, más 1, igual al menos 1 medio, que ya teníamos, por x más 3. 00:12:29
Y esta es la ecuación que me pide, y el punto que me pide. 00:12:43
Si lo hacemos, como siempre, en GeoGebra, pues la tenemos aquí, como veis, en menos 3, menos 1, 00:12:49
pues tenemos que esta recta tangente 00:12:59
y como veis pues tiene dos cuadritos a la derecha 00:13:04
un abajo pendiente menos un medio 00:13:06
y hemos terminado 00:13:10
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
83
Fecha:
24 de agosto de 2021 - 19:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
13′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
253.04 MBytes

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