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4 ESO. Ejemplo de Dominio de función con raíces - Contenido educativo
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El dominio de definición de la función raíz cuadrada de x al cuadrado menos 2x menos 3 se calcula de la forma siguiente.
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Lo primero, nos preguntamos, ¿qué condición es la que hay que cumplir para que esta operación se pueda realizar?
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Pues la condición es que el radicando es una raíz cuadrada, por lo tanto el radicando debe ser mayor o igual que cero.
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¿Qué hacemos ahora? Vamos a plasmar esa condición en una inequación.
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Entonces, la inequación será erradicando, que es x al cuadrado menos 2x menos 3, mayor o igual que 0.
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Lo que vamos a hacer es resolver esta inequación.
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Entonces, recordamos, ¿cómo se resolvían estas inequaciones?
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Pues lo primero que vamos a hacer es factorizar.
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Eso es el tipo de ecuaciones en las que tenemos una expresión con polinomios o fracciones algebraicas y queremos ver cuándo esa expresión, en este caso es un polinomio, es positiva o negativa, es decir, mayor o menor que cero o mayor o igual o menor o igual que cero, siempre que cero.
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Lo primero es factorizar y buscar los puntos críticos.
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En este caso, como es un polinomio de segundo grado, resolvemos la inequación de segundo grado.
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x al cuadrado menos 2x menos 3 igual a 0.
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Y obtenemos los dos puntos críticos, que son los puntos que anulan esta expresión.
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Si aquí hubiera una fracción algebraica, tendrían que ser los que anulan el numerador y también los que anulan el denominador.
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en este caso solo tenemos un numerador
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es un polinomio, vale, y ya los tenemos
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3 y menos 1, entonces
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ahora factorizamos
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entonces teniendo los puntos críticos
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será el coeficiente principal
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que es 1 por
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x menos x sub 1
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x menos 3 por x menos
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x sub 2, x menos menos más
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x más 1, entonces tenemos
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que este 1, podríamos obviarlo
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tenemos x menos 3
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por x más 1
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Bien, ya tenemos factorizado y los puntos críticos
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¿Qué hacemos ahora?
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No tenemos solución todavía de la inequación
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¿Vale? ¿Qué es lo que hacemos ahora?
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Pues ahora lo que hacemos es
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Dividimos toda la recta
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La recta de todos los números reales
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En intervalos
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Utilizando los puntos críticos
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Y veremos en cada uno de estos intervalos
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¿Qué signo toma cada uno de los factores?
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Y luego multiplicándolos todos
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Veremos que signo toma el producto
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¿Vale? Vamos aquí a hacer un poquito de sitio
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¿Vale? Y entonces vamos a hacer este paso
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Entonces, si recordáis, aquí lo que tenemos que hacer es el siguiente cuadro
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Dividimos desde menos infinito hasta infinito por los puntos críticos que son menos 1 y 3
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Y ahora, colocamos aquí todos los factores, x menos 3, x más 1
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Y vamos viendo en cada intervalo que signo toma esta expresión
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Es decir, cuando x está entre menos infinito y menos 1, x menos 3 va a ser negativo.
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Esto lo podemos comprobar cogiendo un valor cualquiera aquí, por ejemplo el menos 2, sería menos 2 menos 3 menos 5.
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Entre menos 1 y 3 podemos coger por ejemplo el 0, 0 menos 3, negativo también.
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Y entre 3 e infinito cogemos por ejemplo el 4, 4 menos 3 es 1, positivo.
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también lo podemos ver como que x menos 3
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si dibujáramos esta función, la función y igual a x menos 3
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sabemos que es una recta creciente que se anula en 3
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por tanto si es creciente y se anula en 3
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a la izquierda de 3 la función es negativa, está aquí debajo
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y a la derecha de 3 la función es positiva
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porque en 3 se anula, pasa de negativa a positiva
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si fuera decreciente sería al revés, a la izquierda de 3 sería positiva
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y a la derecha sería negativa.
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Entonces, como vemos, a la izquierda de 3, menos menos, y a la derecha de 3 más.
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Con el mismo criterio, podemos considerar la x más 1, ahora es igual, es una recta creciente,
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se anula en menos 1, en x igual a menos 1, luego a la izquierda de menos 1 será negativo,
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y a la derecha será positivo.
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O dando valores en estos intervalos y sustituyendo aquí y viendo el signo.
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Una vez que tenemos el signo de cada factor, la siguiente fila la completamos multiplicando los signos, menos por menos más, menos por más menos y más por más más, porque esto de aquí, que es lo que tenemos en el primer miembro de la inequación, es el producto de estos dos factores.
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Por tanto, el signo será el producto de estos signos.
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Y por último ya vemos si estos intervalos están en la solución de la inequación o no.
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La inequación es que sea mayor que 0
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Por lo tanto tenemos que considerar como solución los positivos
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Pues este que es positivo sí, entre menos infinito y menos 1
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Y este que es positivo también, entre 3 infinito
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Y entre menos 1 y 3 no es solución de la inequación
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Quiere decir que un número que esté entre menos 1 y 3, por ejemplo 0
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Si lo sustituyo aquí la x no me va a dar mayor o igual que 0
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Efectivamente 0 al cuadrado menos 2 por 0, esto sería 0
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Menos 3 negativo, no es mayor que 0
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Por lo tanto, ya tenemos nuestra solución.
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Bueno, únicamente nos quedaría decir qué pasa con los extremos, el menos 1 y el 3.
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Bueno, pues en este caso se coge. ¿Por qué?
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Porque estos son los puntos críticos, recordemos, son los puntos que hacen que esto valga 0.
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De ahí lo hemos sacado, de igualar esto a 0 y resolver la ecuación.
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Y el 0 está incluido.
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Entonces, cuando x vale 3, esto vale 0, y el 0 aquí en la desigualdad está incluido.
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Y cuando x vale menos 1, esto vale 0, y el 0 está incluido.
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Por tanto, incluimos los dos, corchete en el menos 1 y corchete en el 3.
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Bien, pues con esto tenemos resuelta la inequación.
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Entonces ponemos aquí la solución, esta es la solución de la inequación.
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Entonces, volvemos a lo que estábamos haciendo.
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Estamos viendo el dominio de esta función, entonces hemos puesto cuál es la condición.
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La condición es que el radicando tiene que ser mayor o igual que 0.
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Hemos plasmado esa condición en una inequación y la hemos resuelto.
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tenemos la solución, ¿vale? pues ya está, entonces ¿cuál será el dominio?
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pues el dominio, ¿no? vamos ahora a expresar el dominio
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el dominio es los x que son solución de la inequación
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es decir, es este conjunto de aquí, pues simplemente lo escribimos
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como dominio de f es igual a las soluciones que hemos obtenido
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de menos infinito a menos uno, cerrado, unión de tres a infinito
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cerrado por el tres, ¿vale? y ahora si queréis
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interpretamos esto. ¿Qué quiere decir esto? Quiere decir que para cualquier x
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que esté en este conjunto, es decir, todos los negativos anteriores al menos 1
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y todos los positivos posteriores al 3, incluyendo el menos 1 y el 3
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yo puedo calcular esta función f de x existe
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y para todos los x que están entre menos 1 y 3
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sin contarlos, es decir, los que no están aquí
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la función no está definida. Y por último vamos a acompañar
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esto de la gráfica de la función para que veamos que efectivamente es así.
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Nosotros ya sabemos ver los dominios cuando tenemos la gráfica.
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Pues vamos a ver la gráfica y así comprobamos que esto es correcto.
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Esta es la gráfica de la función y efectivamente aquí vemos que esta función está definida
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desde menos infinito hasta menos 1, incluyendo el menos 1, en el cual f de x vale 0.
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Entre el menos 1 y el 3 no está definida, no hay función, no hay gráfica,
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y a partir del 3 vuelve a estar definida, incluyendo el 3.
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f de 3 vale 0 y después es creciente.
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Luego, efectivamente, el dominio está bien calculado.
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¿De acuerdo?
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Bueno, pues esto, así es como se calculan los dominios
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cuando tenemos la raíz cuadrada de una expresión.
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Es resolver en ecuación radicando mayor o igual que 0.
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Al final es un problema de resolver en ecuaciones.
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- Subido por:
- Gonzalo T.
- Licencia:
- Dominio público
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- Fecha:
- 21 de abril de 2022 - 22:26
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- IES LAS ROZAS I
- Duración:
- 08′ 10″
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