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Examen de ecuaciones y polinomios del 21-12-21 - Contenido educativo

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Subido el 17 de enero de 2022 por Pablo V.

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Buenos días, hoy vamos a explicar cuál es la solución al examen y polinomios, o sea, a ecuaciones y polinomios que realizamos el pasado día 21 de diciembre de 2021. 00:00:02
Como veréis, en la solución que yo aporto aquí hay más ejercicios de los que finalmente había en el examen, porque la última hora decidí quitar unos cuantos ejercicios, ¿vale? 00:00:18
Por lo tanto, podéis cambiar la numeración y la puntuación. 00:00:28
Por ejemplo, este primer ejercicio no lo teníais, pero aún así lo voy a comentar. 00:00:33
Porque ya que hice la solución a estas novedades, pues lo dejo. 00:00:38
Entonces, en el primer ejercicio lo que se nos pedía era utilizar la regla de Ruffini para llegar al valor de este polinomio en el punto x igual a menos 3. 00:00:45
¿Vale? Entonces muchos de vosotros lo que haríais directamente sería comprobar, es decir, calcular el valor del polinomio sustituyendo la x por menos 3. 00:00:56
Es decir, como nos piden el valor del polinomio, el valor numérico del polinomio del punto menos 3, se puede sustituir x por menos 3 y nos daría menos 162. 00:01:08
¿Vale? Pero no es eso lo que nos pide el ejercicio. El ejercicio nos pide hacerlo por fin. 00:01:19
Entonces voy a recordar un poco qué es el teorema del resto. 00:01:23
Entonces todos sabéis, desde primaria incluso, que cuando nosotros hacemos una división entera de un número entre otro número, 00:01:28
podemos decir que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. 00:01:40
¿Cuál es nuestro divisor? 00:01:46
Pues en nuestro caso, cuando estamos dividiendo polinomios entre monomios del tipo x menos a 00:01:47
El dividendo es x menos a, ¿vale? 00:01:54
Bien, pues si mi dividendo es de este tipo, yo puedo decir 00:01:57
O sea, el divisor, si mi divisor es del tipo x menos a 00:02:00
Yo puedo decir que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto 00:02:04
Pero en este caso el dividendo es p de x 00:02:09
Es decir, yo puedo decir que un polinomio cualquiera, cuando lo divido entre x menos a 00:02:12
lo puedo expresar el polinomio como dividendo 00:02:16
es decir, divisor x menos a por el cociente más el resto 00:02:21
si en esta expresión del polinomio 00:02:26
como divisor por el cociente más el resto 00:02:32
sustituyo la x por a 00:02:34
que es lo que me va a quedar 00:02:37
me va a quedar que p de a es igual 00:02:38
y donde dice x pongo a 00:02:41
A menos A por el cociente más el resto 00:02:43
A menos A es 0 00:02:46
Por lo tanto, toda esta multiplicación es 0 00:02:48
¿Qué es lo único que me queda? 00:02:53
P de A es igual a R 00:02:55
Es decir, que el valor numérico del polinomio en el punto A 00:02:56
Es igual al resto de dividir un polinomio entre X menos A 00:03:01
Ese es el teorema del resto 00:03:06
El valor numérico del polinomio en a es el resto de dividir un polinomio entre x menos a, ¿vale? 00:03:07
¿Cuánto será el valor numérico del polinomio en el punto x igual a menos 3? 00:03:18
Pues lo hacemos por fin. 00:03:23
Vamos a dividir el polinomio. 00:03:24
Pongo aquí sus crucientes, que eran 3 menos 8 y 3, 3 menos 8, 3 y 0, 00:03:26
porque le falta el término independiente, ¿vale? 00:03:34
3 menos 8, 3, 0, y aquí pongo menos 3, porque me lo piden en el punto menos 3, es decir, aquí no cambio el signo, porque estoy dividiendo entre x menos a, es decir, estoy dividiendo entre x más a, ¿vale? 00:03:36
Por lo tanto, aquí tendría que poner el mismo signo del punto en el que queremos hallar el valor numérico. 00:03:54
Realizo la regla de Ruffini. 00:04:01
Bajo el 3, 3 por menos 3, menos 9, menos 9, menos 8, menos 17, menos 17 por menos 3, 51. 00:04:04
Y a la 3, más 51, 54, 54 por menos 3, menos 162, más 0, menos 162. 00:04:14
por lo tanto el valor numérico del polinomio en el punto x igual a menos 3 sería menos 162 00:04:22
y eso mismo se podría calcular sustituyendo x por menos 3 en la expresión del polinomio 00:04:29
que era 3x al cubo menos 8x al cuadrado más 3 por x y vemos que nos daría menos 162 00:04:40
¿Vale? Bien, pues recordad que el valor numérico de un polinomio en un punto dado se puede calcular de dos maneras distintas. 00:04:49
¿Vale? Bien, ahora ya el segundo ejercicio de los que estaban inicialmente planteados y este era el primero de vuestro examen. 00:04:58
¿Vale? El primero del examen. Nos dice, indica sin realizar ninguna operación, es decir, y eso nos lo subraya, 00:05:11
solo fijándote en el término independiente, si x igual a menos 3 podría ser raíz de cada uno de estos polinomios. 00:05:19
Explica la razón. El primer polinomio es p de x es igual a x a la cuarta más 2x al cuadrado menos x más 8. 00:05:25
El segundo polinomio es q de x que es igual a x al cubo más 3x al cuadrado menos 5x menos 27. 00:05:32
¿Por qué nos dicen que comprobemos si podrían ser raíces sin realizar ninguna operación? 00:05:41
Vale, porque no nos están pidiendo que digamos si son raíces o no, solamente si podrían serlo. 00:05:50
Entonces, para eso nos vamos a fijar en una condición necesaria. 00:05:58
¿Cuál era la condición necesaria para que un número entero fuera raíz de un polinomio? 00:06:02
Para que un número entero, un número entero de menos 7, menos 5, 1, 8, sea raíz de un polinomio, 00:06:09
tiene que ser ese número divisor del término independiente del polinomio. 00:06:15
¿Cuál es el término independiente del primer polinomio? 00:06:21
Más 8. 00:06:23
Y el del segundo polinomio, menos 27. 00:06:25
Esta condición es necesaria, pero no es suficiente. 00:06:28
Nos centramos en el caso A. 00:06:31
¿Podría ser menos 3 raíz del polinomio p de x? 00:06:33
Pues vamos a ver si menos 3 es divisor del término independiente, que es 8, 00:06:38
pero menos 3 no es divisor del término independiente, que es 8, 00:06:44
por lo tanto, x igual a menos 3 no es raíz del polinomio, no satisface esa condición necesaria. 00:06:47
¿Qué tienen que cumplir? Las raíces enteras. 00:06:55
Sí que podría tener una raíz fraccionaria, pero sabemos que esta raíz entera no va a ser nunca raíz del polinomio. 00:06:59
En el segundo caso, menos 3 sí que es divisor del término independiente, menos 27. 00:07:10
¿Por qué? Porque menos 27 es igual a menos 3 por 9. 00:07:18
menos 3 es divisor del término independiente 00:07:23
por lo tanto, x igual a menos 3 00:07:26
podría ser raíz 00:07:28
pero habría que comprobarlo 00:07:29
por la condición anterior es necesaria 00:07:31
pero no es suficiente 00:07:33
con esto bastaba para resolver 00:07:34
este segundo ejercicio 00:07:36
que era muy sencillo 00:07:38
ahora, el tercer ejercicio 00:07:39
de los que aquí os planteo 00:07:43
era el segundo 00:07:44
de los que finalmente 00:07:50
se pusieron en el examen 00:07:52
Y nos dice, simplifica esta fracción algebraica, 2,5 puntos. 00:07:53
Entonces, tenemos en el numerador un polinomio de grado 3 y en el denominador otro polinomio de grado 3. 00:07:58
Antes de nada, voy a comentar, os he puesto aquí la cara de susto o de pánico de Edvard Munch, muy famoso en este cuadro, 00:08:05
porque he visto que algunos de vosotros, y no pocos, habéis simplificado esta fracción de esta manera, ¿vale? 00:08:17
Entonces, os vuelvo a recordar, solo se puede simplificar numerador y denominador si están factorizados tanto el numerador como el denominador, ¿vale? 00:08:25
Al igual que en la aritmética no simplificáis esto, no se os ocurre simplificar un numerador que tenga 3 al cuadrado más 5 al cubo menos 7 00:08:36
y un denominador de 2 menos 5 al cubo más 7, no se os ocurre hacer esto, ¿vale? 00:08:45
En algebra tampoco. 00:08:53
Solamente se puede simplificar numerador y denominador si están factorizados, ¿vale? 00:08:54
Es decir, si todo es un producto de factores y no tenemos ningún signo más que no esté metido dentro de paréntesis, ¿vale? 00:08:59
Esto no se puede hacer nunca, ¿vale? 00:09:09
Por lo tanto, y además, ¿qué es que nos lo decía el enunciado? Porque el enunciado era, en el examen que finalmente se puso, el enunciado era un poquito diferente, porque decía, factoriza, numerador y denominador, y simplifica esta fracción algebraica. 00:09:11
Lo primero que nos pedían era factorizar. Nos daban más pistas para que ninguno hiciera esto. Cambié el enunciado y dije factoriza, numerador y denominador y simplifica esta reacción. Por lo tanto, lo primero que hay que hacer es factorizar, numerador y denominador. 00:09:29
Recordamos los pasos para factorizar. 00:09:49
Primero, sacábamos factor común si es que lo había. 00:09:51
Segundo, buscábamos posibles identidades notables. 00:09:54
Tercero, si nos quedaba un polinomio de grado 3 o superior, aplicábamos Ruffini. 00:09:57
Y si tenemos un polinomio de grado 2, aplicábamos la ecuación de segundo grado. 00:10:02
Bien, entonces esta es la fracción algebraica que tenemos que simplificar. 00:10:06
He puesto de un color naranja el numerador y de un color verde el denominador. 00:10:15
En el numerador, ¿qué podemos hacer? En el primer paso, buscar factores comunes. 00:10:22
Entonces tenemos x cubo menos 5x cuadrado más 6x. 00:10:26
¿Hay algún factor común? Sí, la x. Por lo tanto, pongo aquí la x y a continuación un paréntesis. 00:10:30
¿Qué tengo que poner dentro del paréntesis para que al multiplicarlo por x me dé este numerador? 00:10:38
Muy fácil, x cuadrado menos 5x más 6, de esa manera, x por x cuadrado me da x cubo, x por menos 5x me da menos 5x al cuadrado, y x por 6 me da 6x. 00:10:43
Hasta ahí, todo sencillo. 00:10:57
Siguiente paso que aplicaríamos, porque el primero ha sido sacar factor común. 00:10:59
El segundo, buscar posibles identidades notables. 00:11:04
¿Tenemos aquí alguna identidad notable? 00:11:07
No. ¿Por qué? Porque esto sería x al cuadrado menos 5x, ya no podría ser una identidad notable, no podría ser el cuadrado de una suma, porque el cuadrado de una suma, bueno, sí podría ser, pero tendría que ser el 6 al cuadrado del segundo término y ya esto sería raíz de 6. 00:11:08
x más raíz de 6 al cuadrado, y no puede ser porque aquí no nos tendría que aparecer una raíz. 00:11:32
Luego, esto no aparece una identidad notable. 00:11:38
Y el tercer paso sería, si nos queda un polinomio de grado 3 o superior, aplicamos Ruffini. 00:11:42
No es nuestro caso, pero si es el cuarto, nuestro caso sería el cuarto paso. 00:11:48
Si tenemos un polinomio de grado 2, por lo tanto, aplicaríamos la fórmula de la ecuación del segundo grado. 00:11:54
Tenemos que factorizar lo que está dentro del paréntesis 00:11:58
Para eso igualamos a 0 00:12:03
Y hallamos las raíces de x al cuadrado menos 5x más 6 igual a 0 00:12:04
Esto es menos b 00:12:08
Que b es menos 5 00:12:11
Por lo tanto sería menos menos 5 más menos b al cuadrado 00:12:14
Que es menos 5 al cuadrado 00:12:17
Con paréntesis, no olvidéis los paréntesis 00:12:19
Tanto aquí como dentro de la raíz 00:12:23
que eso muchos de vosotros se los ha olvidado, menos 4ac, menos 4 por a, que a es el coeficiente de x al cuadrado, por c, c es el término independiente, partido por 2a, como a es 1, nos queda solamente 2, ¿vale? 00:12:25
Es decir, esto es 5 más menos la raíz de 25 menos 24, 25 menos 24 es 1, es decir, 5 más menos la raíz de 1 que es 1, 5 más menos 1 partido por 2, y esto da 5 más 1, 6 entre 2 a 3, 5 menos 1, 4 entre 2, 4. 00:12:43
Es decir, tenemos, ¿qué raíces va a tener el numerador? Pues va a tener por un lado x igual a 0. ¿Por qué? Porque como tenemos una x aquí delante, x igual a 0 va a ser una raíz de este polinomio. 00:13:05
Pues lo pongo, x igual a 0. ¿Cuál será el factor que corresponde a x igual a 0? Pues x, ¿no? Porque es x menos 0. Bien, ahora pongo x igual a 3, que es otra raíz, y x igual a 2. 00:13:20
¿Cuáles son los factores que corresponden a esos valores? x igual a 3 y x igual a 2, pues será x menos 3, x menos 2, ¿vale? Por lo tanto, ¿cómo quedaría factorizado el numerador? Quedaría x, aquí está, por x menos 3 y por x menos 2, ¿vale? 00:13:36
Ahí lo tenéis. Y he puesto en rojo los signos de multiplicación, ¿vale? Entre factores, para que os fijéis muy bien que solamente vamos a poder simplificar si tenemos el numerador y el denominador factorizados. 00:13:57
Por eso les he cambiado el signo, o sea, de color a las operaciones. Ahora vamos a factorizar el denominador, que lo he puesto en verde, ¿vale? 00:14:13
Entonces, el primer paso para factorizar un polinomio era ver si había factores comunes. 00:14:23
En este denominador, en este polinomio, no tenemos ningún factor común, ¿vale? 00:14:28
No tenemos la x como factor común, porque el 24, el término independiente, no tiene x, 00:14:34
y los coeficientes tampoco van a tener ningún factor común, porque aquí tengo un 1, ¿vale? 00:14:41
Es decir, el único factor común que podría haber es un 1. 00:14:48
Es decir, nada, no tenemos ningún factor común. 00:14:52
El segundo paso es ver si tenemos una identidad notable. 00:14:56
Aquí no la tenemos, es evidente, porque esto es un polinomio de grado 3 y eso no es una identidad notable. 00:15:00
Entonces, vamos al tercer paso para factorizar un polinomio. 00:15:07
Si nos queda un polinomio de grado 3 o superior, aplicamos Ruffini. 00:15:12
Vale, pues vamos a aplicar fin a este polinomio. 00:15:15
¿Por qué valores comenzábamos a probar? 00:15:20
Pues vamos a probar con los divisores del término independiente, 00:15:24
porque tal y como hemos explicado en el primer ejercicio, 00:15:32
si un polinomio tiene raíces enteras, tienen que ser divisores del término independiente. 00:15:35
¿Qué divisores tiene 24? 00:15:41
Pues tiene, en primer lugar, más menos 1 00:15:43
¿Y con quién iría emparejado un divisor que fuera más menos 1? 00:15:48
Pues con más menos 24 00:15:53
Porque si 1 es divisor, pues 24 es su pareja 00:15:55
Porque 1 por 24 es 24 00:16:01
O menos 1 por menos 24 da 24 00:16:05
Siempre que probamos los divisores de un número cualquiera 00:16:10
En aritmética, esto es de aritmética básica 00:16:13
Siempre lo probamos por las parejas 00:16:16
Es decir, 2 es divisor de 24 00:16:18
¿Y con quién iría el 24? 00:16:21
Asociado con 12 00:16:24
¿Por qué? Porque 2 por 12 es 24 00:16:25
Y menos 2 por menos 12 es 24 00:16:27
El 3 es divisor del 24 también 00:16:30
¿Con quién me ha emparejado? Con el 8 00:16:32
Porque 3 por 8 es 24 00:16:34
Y menos 3 por menos 8 es 24 00:16:37
El 4 también es divisor 00:16:39
Porque 4 por 6 es 24 00:16:41
Y menos 4 por menos 6 también lo es 00:16:44
Y ya no hay más divisores 00:16:46
El 5 no sería divisor 00:16:48
El 7 tampoco 00:16:50
El 6 sí, pero ya lo tenemos aquí 00:16:51
Ya habríamos comprobado todos 00:16:54
Es decir, todos los divisores 00:16:56
Todas las raíces enteras 00:16:58
Si es que las tiene 00:17:01
Van a estar entre estos números 00:17:02
Vamos a empezar probando por alguno 00:17:04
Con el 1, por ejemplo 00:17:06
El 1 antes de hacer Ruffini 00:17:09
Echamos un vistazo aquí y sustituimos a ojo el valor numérico del polinomio del denominador. 00:17:11
Si probamos con 1, para ver si hay raíz, es muy fácil. 00:17:18
1 al cubo es 1, menos 1 al cuadrado, que es 1, esto sería 0. 00:17:22
Y luego, menos 14x, para x igual a 1 sería menos 14. 00:17:28
Menos 14 más 24 va a dar 10. 00:17:33
Luego, ya vemos muy fácilmente que 1 no va a ser raíz del polinomio. 00:17:36
de denominador. Probamos con menos 1 y esto quedará 00:17:41
menos 1 y esto, porque menos 1 al cubo 00:17:44
es menos 1, menos y menos 1 al cuadrado 00:17:49
es 1. Luego esto va a ser menos 1, menos 1 00:17:53
menos 2 y menos 14 por menos 1 00:17:57
va a dar 14. Luego 14 menos 2 00:18:01
12 más 24, nada, no va a ser tampoco 00:18:05
igual a 0. Lo hemos probado con 1 y con menos 1. Vamos a probar con 2 abajo. Esto sería 00:18:09
2 elevado a 3, que es 8, menos 2 elevado al cuadrado, que es 4. Esto nos daría 4. Y luego 00:18:14
menos 14 por 2 sería menos 28. Menos 28 más 4, porque esto era 4, daría menos 24. Más 00:18:23
24 sí daría 0. Vamos a comprobarlo de todos modos por fin. Entonces empezamos por 2. 00:18:33
Y ponemos aquí, para x igual a 2, vamos a ver cuál sería el valor numérico del polinomio, ¿vale? 00:18:39
Entonces, aquí vamos a hacer lo mismo que hemos hecho en el segundo ejercicio. 00:18:48
Vamos a calcular el valor numérico del polinomio en x igual a 2. 00:18:53
Y para eso aquí no cambiamos de signo, ¿vale? 00:18:57
Lo tenéis aquí arriba. 00:19:02
para calcular el valor numérico del polinomio 00:19:03
en este número no cambiamos 00:19:08
del valor aquí, cuando cambiamos es cuando dividimos entre x menos a 00:19:11
entonces 00:19:16
ponemos aquí los coeficientes del polinomio denominador 00:19:18
como es x cubo menos x cuadrado será 1 00:19:25
menos 1, vemos que no hay ningún término que falte 00:19:28
Está el de x cubo, el de x cuadrado, el de x y el de 24, ¿vale? 00:19:33
No tengo que poner un 0 en ningún sitio porque no me quedan huecos. 00:19:38
Entonces, el primer coeficiente es 1, el segundo es menos 1, el tercero es menos 14 y este es el término independiente, 24, ¿vale? 00:19:42
Ponemos la cruceta de Ruffini y aquí pongo 2, porque voy a empezar por 2, bajo el 1. 00:19:52
1 por 2, 2. Lo pongo debajo del menos 1. 00:19:59
Menos 1, más 2, 1. 1 por 2, 2. Y lo pongo debajo del menos 14. Menos 14, más 2, menos 12. Menos 12 por 2, menos 24. Y ahora, menos 24, menos 24, es 0. 00:20:02
Vemos que el resto de dividir entre x menos 2, es decir, el valor numérico del polinomio en x igual a 2, es 0. Por lo tanto, base raíz, ¿vale? 00:20:17
Bien, en vez de seguir con Ruffini, es más interesante o más fiable ver cuál es el cociente de la división, que sería el polinomio x al cuadrado más x menos 12, igualarlo a cero para hallar las raíces. 00:20:28
Entonces, ¿cuáles serían las raíces que nosotros tendríamos aquí? 00:20:42
aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado 00:20:45
y sería menos b 00:20:48
porque b es el término 00:20:49
el coeficiente del término lineal 00:20:51
el término en x 00:20:53
que sería menos b que es menos 1 00:20:55
más menos 1 al cuadrado 00:20:56
menos 00:20:58
aquí no he puesto al cuadrado 00:21:00
pero esto porque es un 1 00:21:01
menos 4 por a que es 1 00:21:03
y por c que es menos 12 00:21:06
eso sería menos 1 más menos 00:21:08
1 menos 00:21:10
4 por 1 es 4 00:21:12
por 12, menos 48. Como lleva este signo menos, se convierte en 1 más 48, que es 49. Luego 00:21:13
quedaría menos 1 más menos la raíz de 49, que es 7. Es decir, una solución sería menos 00:21:22
1 más 7, 6, entre 2 a 3. Esa sería la solución de abajo. Y menos 1 menos 7 sería menos 8. 00:21:28
Por lo tanto, las raíces del polinomio denominador serían x igual a 2 00:21:39
¿Vale? Porque sabemos que 2 va a ser raíz porque el valor numérico es 0 en ese punto 00:21:48
Entonces, x igual a 2 es raíz 00:21:57
¿Cuál es el factor que le corresponde a x igual a 2? 00:21:59
Pues x menos 2 00:22:03
Luego, hemos visto que menos 4 es raíz 00:22:06
Por lo tanto, el factor que le corresponde a x igual a menos 4 es x más 4 00:22:10
Y aquí hemos visto que x igual a 3 es raíz 00:22:16
Por lo tanto, el factor x menos 3 también habría que incluirlo para hacer nuestra factorización 00:22:19
Entonces, ¿cómo quedaría factorizado el denominador? 00:22:29
El denominador que diría x menos 2 por x más 4 por x menos 3. 00:22:32
Y aquí también he recalcado con color rojo la operación que liga a todos estos factores. 00:22:39
Solamente tenemos multiplicaciones en el numerador y en el denominador. 00:22:48
Hay signos más y menos, pero están dentro de los paréntesis. 00:22:52
Yo, lo primero que me encuentro en el numerador y en el denominador es multiplicación de factores, sólo multiplicación de factores. 00:22:58
Si aquí tuviera un signo más, es decir, si aquí hubiera más un número o una expresión algebraica, ya no podría simplificar. 00:23:09
Solamente tengo multiplicaciones. En ese caso, busco los factores que están arriba y abajo. 00:23:18
Aquí tengo x menos 3, que se iría con este x menos 3, y aquí tengo x menos 2, que se iría con este x menos 2. 00:23:23
Lo tacho y lo tacho y me queda x partido por x más 4, ¿vale? 00:23:30
Esa sería la solución a este ejercicio. 00:23:35
Bien, pasamos al siguiente ejercicio, que dice, resuelve las ecuaciones siguientes, ¿vale? 00:23:40
Este sería vuestro tercer ejercicio, el tercer ejercicio del examen, y cambia las puntuaciones, por ejemplo, este en el examen valía dos puntos, ¿vale? 00:23:45
Bien, entonces, ¿cómo se resuelve esta ecuación en la que nos encontramos en el miembro de la izquierda una fracción algebraica y en el miembro de la derecha dos fracciones algebraicas, ¿vale? 00:23:57
Bueno, pues lo primero que vamos a hacer es operar y sumar las dos fracciones algebraicas que se encuentran a la derecha. 00:24:13
Para ello hacemos el mínimo común múltiplo de los denominadores, que son x menos 2 y x más 1. 00:24:23
¿Cuál es el mínimo común múltiplo o el común denominador? Pues el producto de estos factores. 00:24:35
Entonces hacemos x menos 2 por x más 1 00:24:40
dividido entre este denominador, x menos 2 00:24:45
¿Qué me va a quedar? Pues x más 1 00:24:49
Entonces en el numerador tengo que poner 00:24:51
2x por lo que me queda, x más 1 00:24:56
¿Vale? Repito, ya sabemos que este va a ser 00:25:00
x menos 2 por x más 1 va a ser el mínimo común múltiplo 00:25:04
Es como cuando estábamos en una aritmética. Entonces, esto, es decir, el común del denominador entre este denominador me va a dar x más 1 multiplicado por 2x, me va a dar 2x por x más 1. 00:25:08
Y es esencial que pongáis paréntesis. Esencial. Muchos de vosotros os habéis comido los paréntesis. ¿Vale? Es esencial ponernos aquí y aquí. Siempre. 00:25:25
Para la segunda fracción, que tenemos x menos 2 por x más 1, dividido entre este denominador, que es x más 1, me va a quedar x menos 2. 00:25:36
Y ahora lo multiplico por el numerador de la segunda fracción algebraica. 00:25:47
Por lo tanto, me queda x menos 2 por x más 3. 00:25:52
Todo con sus correspondientes paréntesis. 00:25:56
Y ahora, tengo dos fracciones algebraicas iguales. 00:25:59
Tengo una a la izquierda, que sería esta fracción algebraica, y esta fracción algebraica a la derecha. 00:26:04
Los denominadores son iguales. 00:26:11
En el de la izquierda tengo x-2 por x más 1 y en el de la derecha tengo x-2 por x más 1. 00:26:14
Es decir, este numerador y este denominador son iguales. 00:26:21
Por lo tanto, si dos fracciones son iguales y sus denominadores son iguales, 00:26:25
Eso quiere decir que sus numeradores tienen que ser iguales, por lo que escribo. 00:26:31
1 menos x es igual a 2x por x más 1 más x menos 2 por x más 3. 00:26:36
Y ahora aplico la propiedad distributiva. 00:26:43
Este monomio lo multiplico por este binomio. 00:26:46
Entonces, el primero por el primero, el primer término, por el primer término, más, porque aquí tengo más, el primer término por el segundo término, es decir, 2x por x, 2x al cuadrado, más, 2x por 1, 2x, más. 00:26:50
Y ahora aquí tengo el producto de dos binomios, que tienen cada uno de ellos dos términos. 00:27:10
O sea, el primero por el primero, el primer término por el segundo término, 00:27:15
el segundo término del primer binomio por el primer término del segundo binomio, 00:27:21
y el segundo por el segundo, x por x, x al cuadrado, x por 3, 3x, 00:27:28
menos 2 por x, menos 2x, menos 2 por 3, menos 6. 00:27:35
Veo que tengo un 2x sumando y un 2x restando 00:27:38
Los puedo simplificar, ¿vale? 00:27:43
Dejo en el lado de la izquierda 00:27:46
Es decir, voy a pasar estos dos términos al lado de la derecha 00:27:49
¿Vale? 00:27:57
Para buscar la ecuación canónica del segundo grado 00:27:59
¿Vale? 00:28:02
Entonces, como tengo aquí 2x al cuadrado más x al cuadrado 00:28:02
eso va a ser 3x al cuadrado. Y ahora aquí tengo un 3x. Junto con esta x que estaba a la izquierda 00:28:06
y pasaba sumando, voy a tener 4x. Y aquí tengo menos 6, menos 1, menos el 1 que estaba a la izquierda 00:28:14
y que pasa restando, se me convierte en menos 7. Y aplico la ecuación de segundo grado. 00:28:24
la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado 00:28:29
x es igual a menos b más menos b al cuadrado 00:28:34
con paréntesis, porque b aquí es 00:28:38
menos b más menos 00:28:41
b al cuadrado, ese signo no nos sobra 00:28:48
porque b es 4, y los paréntesis también, perdón que me he equivocado 00:28:52
aquí sí es menos b más menos 00:28:56
La raíz cuadrada de b cuadrado 00:29:01
Menos 4 por a 00:29:03
Que es 3 00:29:05
Y por c que es menos 7 00:29:05
Aquí sí que hay que poner el paréntesis 00:29:07
Entonces te quedaría menos 4 más menos 00:29:09
16 menos 4 00:29:12
Por 3, 12 00:29:14
Por menos 7 sería menos 84 00:29:15
Con este signo menos 00:29:18
Menos menos da más 84 00:29:20
Y 16 más 84 00:29:23
Es 100 00:29:25
Es decir, menos 4 más menos la raíz de 100 00:29:26
Lo que es lo mismo 00:29:28
menos 4 más menos 10. Y en el denominador ponemos 6 porque en la fórmula nos pide que pongamos 2a. 00:29:29
Como a es 3, eso va a ser 6. Luego menos 4 más 10 es 6. Entre 6 a 1. 00:29:37
Menos 4 menos 10, menos 14. Entre 6 da menos 14 sextos. 00:29:46
Y menos 14 es esto, se puede simplificar a menos 7 tercios. 00:29:53
Ahora comprobamos si en alguno de los denominadores se anularía para estos valores. 00:29:57
Porque si se anula el denominador para alguna de las raíces, o sea, de las soluciones de la ecuación, 00:30:07
esas soluciones no serían varias. 00:30:14
Entonces vemos que estos denominadores solamente se anulan en x igual a 2 y x igual a menos 1. 00:30:16
x igual a 2 y x igual a menos 1. 00:30:27
Es decir, si yo sustituyo la x por 1, este factor sería menos 2, este sería 2, luego no sería 0, 00:30:34
luego el 1 en principio valdría. 00:30:45
Y menos 7 tercios, lo mismo. 00:30:48
Si sustituyo la x por menos 7 tercios, aquí, aquí, aquí y aquí, no se van a anular los denominadores. 00:30:50
Luego, estas soluciones son válidas. 00:30:58
¿Vale? 00:31:01
Bien. 00:31:02
Ahora vamos a la siguiente ecuación, que es la ecuación con radicales. 00:31:03
¿Vale? 00:31:10
Es decir, tenemos aquí que la raíz cuadrada de x al cuadrado más 2x más 9, ¿vale? 00:31:11
La raíz llegaba hasta el 9, menos 7 es igual a 2x. 00:31:17
Esta era la segunda de las ecuaciones que vosotros tenéis, y valía un punto. 00:31:23
¿Cuál era el primer paso para resolver una ecuación con radicales? 00:31:27
Pues lo primero es dejar a la raíz sola, en un lado del igual. 00:31:31
Ahora mismo no está sola, porque tiene al menos 7. 00:31:37
Por lo tanto, el menos 7 lo tenemos que pasar al otro lado. 00:31:40
Lo pasamos al otro lado 00:31:42
Y pasa sumando 00:31:45
Y nos quedaría 00:31:47
La raíz cuadrada de x al cuadrado 00:31:48
Más 2x más 9 es igual a 2x más 7 00:31:50
Y en ese caso es cuando elevamos al cuadrado 00:31:53
Ahí ya sí elevamos 00:31:56
Antes no 00:31:58
Ha habido varios de vosotros que habéis elevado esto al cuadrado 00:31:59
Directamente tal y como estaba 00:32:02
Eso no está bien 00:32:04
Hay que dejar la raíz sola 00:32:05
¿Vale? 00:32:07
Entonces aquí elevamos al cuadrado 00:32:08
aquí tenemos una raíz al cuadrado 00:32:10
que a elevarla al cuadrado 00:32:13
la raíz va a desaparecer 00:32:15
y que vamos a tener en el segundo miembro 00:32:16
de la igualdad 00:32:19
un paréntesis en el que tenemos dentro 00:32:20
A, dos términos 00:32:23
A más B al cuadrado 00:32:25
y aquí os he puesto de broma 00:32:27
la cara de susto 00:32:29
de este dibujo japonés 00:32:31
que dice, oh no, identidad notable 00:32:33
¿por qué lo pongo así? 00:32:35
porque a muchos de vosotros os da pánico 00:32:36
O no veis muchas veces que estamos ante una identidad notable 00:32:38
Y hacéis muchos de vosotros, o cometéis muchos de vosotros, muchos errores 00:32:43
Le vais al cuadrado 1 más el cuadrado del segundo 00:32:47
Y os olvidáis del doble producto del primero por el segundo 00:32:51
Por eso os he puesto a esta chica ahí 00:32:55
Bien, lo aplicamos 00:32:58
x al cuadrado más 2x más 7, era la raíz al cuadrado 00:33:00
Y esto es el cuadrado del primero 00:33:04
¿Vale? Con paréntesis 00:33:07
Más el cuadrado del segundo 00:33:10
Más el doble producto del primero por el segundo 00:33:13
Del primer término por el segundo 00:33:16
Esto es lo que muchos de vosotros os olvidáis 00:33:18
¿Vale? El doble producto del primero por el segundo 00:33:20
¿Vale? Entonces, ¿cómo quedaría esto? 00:33:24
2x al cuadrado es 4x al cuadrado 00:33:28
7 al cuadrado es 49 00:33:30
Y 2 por 2x por 7 es 00:33:32
2 por 2, 4, por 7, 28x. Agrupando términos. Lo voy a pasar, todo lo de la izquierda lo voy a pasar a la derecha. 00:33:35
Voy a tener 4x al cuadrado menos x al cuadrado, 3x al cuadrado. 28x menos 2x me va a dar 26x. 00:33:45
Y 49 menos 9 me va a dar 40, igual a 0. Aplico la fórmula general de la ecuación de segundo grado 00:33:54
y entonces me queda menos b 00:34:03
que b es 26 00:34:06
me queda menos 26 más menos 00:34:08
la raíz cuadrada de b al cuadrado 00:34:10
menos 4 por a por c 00:34:12
26 al cuadrado 00:34:13
menos 4 por 3 00:34:16
12 por 40 00:34:18
por lo que d 00:34:21
y esto queda menos 26 00:34:21
más menos 14 dividido entre 6 00:34:24
que esto da menos 40 00:34:26
dividido entre 6 que es menos 20 tercios 00:34:28
Y menos 26 menos 14 dividido entre 6 va a dar menos 12 sextos, que esto es menos 2. 00:34:32
Y tenéis que recordar que cuando estamos resolviendo ecuaciones con radicales hay que comprobar si los valores que obtenemos son efectivamente solución de la ecuación. 00:34:40
Para ello hay que sustituir en la ecuación inicial, es decir, en esta, la x por los valores que nosotros hemos obtenido. 00:34:51
Pues vamos con ello. 00:35:01
Vamos a empezar por el de abajo. Para x igual a menos 2, ¿cuánto valdría la expresión de la izquierda? 00:35:02
Que era raíz cuadrada de x al cuadrado, lo tenéis ahí, x al cuadrado más 2x más 9 menos 7. 00:35:14
Por lo que hacemos x al cuadrado, o sea, raíz cuadrada de x al cuadrado y en vez de x pongo menos 2 como paréntesis. 00:35:24
muy importante los paréntesis 00:35:30
x al cuadrado más 2x 00:35:32
que es menos 2 00:35:34
aquí más 9 00:35:35
¿vale? más 9, eso sería 00:35:44
4 menos 4 00:35:46
¿vale? porque esto es 4 00:35:48
menos 4 00:35:50
más 9 00:35:52
eso es 3 00:35:54
aquí hay una cosa 00:35:56
que me he comido 00:35:57
porque la expresión era 00:35:59
x al cuadrado 00:36:02
más 2x más 9 00:36:06
Ah, que lo estoy haciendo, lo he hecho al revés, vale 00:36:08
Yo estoy comprobando 00:36:12
Eso sería el valor de la raíz, vale 00:36:14
Y en el segundo miembro he puesto el más 7 00:36:19
Que la ecuación original tendría que estar aquí restando, vale 00:36:24
Es decir, yo estoy comprobando en esta expresión 00:36:27
La raíz es igual a 2x más 7 en vez de en esta 00:36:31
Que es lo mismo, vale 00:36:35
Es decir, y ahora, lo otro que compruebo es 2x más 7, lo calculo a ver si me da lo mismo, y me sale menos 4 más 7, que es 3. Luego, x igual a menos 2 sería la solución, ¿vale? 00:36:38
El 7, en vez de ponerlo aquí restando, lo he puesto aquí sumando. Hubiera sido mejor, por no alterar nada la expresión, haber dejado aquí el menos 7 y aquí no haberlo puesto, pero bueno, en este caso da lo mismo. 00:36:56
Y ahora probamos con x igual a menos 20 tercios y vemos que por un lado obtenemos 19 tercios y por otro lado obtenemos menos 19 tercios. 00:37:08
Por lo tanto, los valores, aunque en valor absoluto es el mismo, su signo es distinto. 00:37:20
Por lo tanto, x igual a menos 20 tercios no sería la solución. 00:37:29
¿Vale? Bien. Ahora vamos con esta otra ecuación exponencial. ¿Vale? Aquí os he puesto que tenéis que repasar cómo se expresan las raíces como potencias de exponente fraccionario, porque muchos de vosotros os habéis liado. ¿Vale? 00:37:34
¿Cómo se expresa raíz cúbica de 4 como una potencia de exponente fraccionario? 00:37:53
Bueno, porque lo primero que hacemos es descomponer el radicando 00:38:02
Descomponer 4, 4 que es 2 al cuadrado, ¿vale? 00:38:07
Pues mi primer paso es expresar 4 como una potencia 00:38:11
Entonces, el miembro de la izquierda se queda igual 00:38:16
2 elevado a x más 1 es igual a la raíz cúbica de 2 al cuadrado 00:38:20
y ahora cuando tengo la raíz cúbica de 2 al cuadrado 00:38:24
eso como se expresa como una fracción 00:38:28
muy fácil, es decir, la raíz m 00:38:31
un segundo, que voy a poner aquí la ecuación que no la he escrito 00:38:35
vale, entonces lo que os he estado diciendo es 00:38:40
que tenéis que recordar que la raíz 00:38:46
m-ésima de a elevado a n es igual a a elevado a n partido por m, ¿vale? 00:38:50
Bien, por lo tanto, ¿eso qué significa? 00:39:04
Que la raíz cúbica de 2 elevado al cuadrado es igual a 2 elevado a 2 tercios, ¿vale? 00:39:08
Por lo tanto, tengo dos potencias iguales, una potencia igual a otra potencia, 00:39:16
en la que las bases son iguales, es decir, la base es 2, y aquí la base es 2. 00:39:23
Dos potencias iguales de la misma base tienen que tener exponentes iguales. 00:39:30
Yo puedo simplemente igualar x más 1 a 2 tercios, que es lo que hago aquí. 00:39:34
Algunos de vosotros tacháis las bases, eso no queda muy elegante, 00:39:41
Pero bueno, no es lo peor que se puede hacer. Quedamos en adelante simplemente igual a los exponentes. 00:39:44
¿Cómo se resuelve esta ecuación? Para mí lo más fácil y lo más sencillo es multiplicar tanto el lado de la izquierda como el lado de la derecha por el denominador común de las dos. 00:39:50
Es decir, este denominador es 1 y este denominador es 3. Multiplico todo por 3 para quitar el denominador de la derecha. Me queda 3x más 3 es igual a 2. Paso el 3 que está sumando a la izquierda, lo paso restando a la derecha. 00:40:04
Vale, aquí voy a poner el punto que se me ha olvidado, control F6, me falta un puntito, lo pongo, vale 00:40:20
Entonces me queda 3X es igual a 2 menos 3, 3X es igual a menos 1 o X es igual a menos 1 tercio, esa es la solución, vale 00:40:28
Siguiente ecuación exponencial, hay que hacer lo mismo o una cosa muy similar 00:40:39
Que es llegar a una igualdad de potencias de la misma base 00:40:44
por lo tanto como aquí la base en el lado de la izquierda es 5 00:40:49
voy a ver si el lado de la derecha lo puedo expresar con una potencia de 5 00:40:56
lo puedo hacer si descompongo 25 en factores 00:41:00
25 es 5 al cuadrado 00:41:06
pues entonces digo que el segundo miembro es 1 partido por 5 al cuadrado 00:41:09
Y un 1 partido por 5 al cuadrado, que es 5 elevado a menos 2. 00:41:13
Esto lo tenéis que recordar muy bien. 00:41:20
1 dividido entre una potencia es lo mismo que esa potencia elevado al exponente cambiado de signo. 00:41:24
Si aquí teníamos el exponente 2, ahora el exponente es menos 2. 00:41:33
Y la potencia ha pasado del denominador al numerador. 00:41:39
Entonces, ahora ya tengo dos potencias iguales de la misma base. 00:41:43
Es decir, 5 elevado a 3x más 7 es igual a 5 elevado a menos 2. 00:41:48
Por lo tanto, como las bases son iguales, los exponentes tienen que ser iguales. 00:41:55
Igual a los exponentes, 3x más 7 es igual a menos 2. 00:42:00
El 7 lo paso al otro lado y me queda menos 2 menos 7. 00:42:04
Es decir, 3x es igual a menos 9. 00:42:07
El 3 va saliendo, x es igual a menos 9 partido por 3. 00:42:10
x es igual a menos 3. Siguiente ecuación, x a la cuarta menos 10x al cuadrado más 9 00:42:13
es igual a 0. Tal y como digo, aquí se trata de una ecuación bicuadrada. Tenemos grado 00:42:21
cuarto, falta el término de grado 3, tenemos término de grado 2, no tenemos término lineal, 00:42:28
es decir, el término con x no existe, y si tenemos término independiente, estamos ante una ecuación b cuadrada. 00:42:40
¿Qué cambio realizamos? Pues realizamos el cambio x cuadrado igual a t. 00:42:50
Con lo cual, si esto lo elevamos al cuadrado, nos quedaría x a la cuarta es igual a t cuadrado. 00:42:57
Por lo tanto, ya sustituimos, nos queda t cuadrado menos 10x cuadrado, que pasa a ser menos 10t, 00:43:03
menos 10t más 9 es igual a 0 00:43:10
Resolvemos esta ecuación en t 00:43:14
que es muy sencilla 00:43:15
y obtenemos dos valores de t, 9 y 1 00:43:18
Es decir, t es igual a 9 00:43:23
por lo que es lo mismo x al cuadrado es igual a 9 00:43:25
Hago raíces cuadradas ahora en los dos lados de la igualdad 00:43:29
y me queda que x es igual a más menos la raíz de 9 00:43:33
¿Por qué ponemos más menos 9? 00:43:37
porque en esta ecuación de aquí, x al cuadrado igual a 9, nos vale tanto que pongamos más raíz de 9 00:43:39
como que pongamos menos raíz de 9, ¿sí? 00:43:49
t igual a 1, lo mismo, quiere decir que x al cuadrado es 1, ¿por qué? 00:43:53
porque habíamos hecho el cambio de variable x al cuadrado igual a t, ¿vale? 00:43:58
ahora tomamos raíces cuadradas y nos queda que x es igual a más menos la raíz de 1 00:44:03
Es decir, que tenemos cuatro soluciones. x es igual a 3, x es igual a menos 3, x es igual a 1, x es igual a menos 1. 00:44:08
Cuatro raíces que coinciden con el grado 4 de la ecuación, lo cual es correcto. 00:44:16
Por último, una ecuación logarítmica. Yo creo que es muy sencilla. 00:44:25
Tenemos dos logaritmos de x igual al logaritmo de x menos 1 más el logaritmo de x más 2. 00:44:31
Para ello, tenéis que recordar las propiedades de los logaritmos, que las voy a escribir aquí a continuación. 00:44:38
Bien, ya he escrito aquí las propiedades de los logaritmos que vamos a utilizar. 00:44:53
La primera es que si tenemos un número multiplicando a un logaritmo, podemos expresar ese producto como el logaritmo del argumento elevado al número por el que se estaba multiplicando el logaritmo. 00:44:58
Es decir, n logaritmo de a es igual al logaritmo de a elevado a n. 00:45:20
O si lo leemos de derecha a izquierda, se puede decir que el logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia n por el logaritmo de la base de esa potencia. 00:45:27
Luego, el logaritmo de un producto, el logaritmo de paréntesis a por b es igual al logaritmo de a más el logaritmo de b 00:45:41
O lo que es lo mismo que el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador 00:45:52
Bien, pues aplicamos la primera de las propiedades que he escrito aquí 00:45:58
2 logaritmo de x se puede expresar como logaritmo de x al cuadrado 00:46:02
Y ahora aquí en el segundo miembro, en el miembro de la derecha, tengo logaritmo de x menos 1 más logaritmo de x más 2. 00:46:07
Es decir, tengo una suma de dos logaritmos. 00:46:14
Una suma de dos logaritmos es igual al logaritmo del producto, lo expreso como un producto, logaritmo de paréntesis, 00:46:17
el primer argumento por el segundo argumento, logaritmo de x al cuadrado es igual a logaritmo de x menos 1 por x más 2. 00:46:28
Por lo tanto, como tengo dos logaritmos iguales y las bases son iguales, porque estos son logaritmos decimales, porque no nos dice aquí nada, 00:46:40
Eso quiere decir que los argumentos deben ser iguales. 00:46:51
Que x al cuadrado debe ser igual a x menos 1 por x más 2. 00:46:54
x al cuadrado tiene que ser igual a x menos 1 por x más 2. 00:47:01
Aquí aplico la propiedad distributiva. 00:47:07
El primer término del primer factor por el primer término del segundo factor. 00:47:09
el primer término del primer factor 00:47:16
por el segundo término del segundo factor 00:47:22
y ahora aquí hay continuación 00:47:24
en el segundo término del primer factor 00:47:26
por el primer término del segundo factor 00:47:29
y ahora la inversa 00:47:31
entonces esto me queda x cuadrado más 2x 00:47:33
menos x menos 2 00:47:36
lo tengo todo aquí 00:47:39
como tengo x al cuadrado a la izquierda y a la derecha 00:47:40
lo puedo simplificar 00:47:43
y ahora 2x menos x me da x menos 2 igual a 0 00:47:44
0 es igual a x menos 2, paso el menos 2 que está restando a la derecha, lo paso sumando a la izquierda, que me queda x igual a 2 y ya lo tendríamos. 00:47:48
Comprobamos que no se nos hace negativo ningún argumento, es decir, aquí tendríamos 2 logaritmo de 2 es igual a que al logaritmo de 2 menos 1, que es 0, 00:48:00
pero no se nos hace negativo 00:48:14
más el logaritmo de 2 más 2 00:48:16
que es 4 00:48:20
¿vale? 00:48:20
no es negativo 00:48:24
y sería correcto 00:48:25
porque 2 logaritmo de x sería lo mismo que 00:48:28
logaritmo de 2 al cuadrado 00:48:31
y esto sería 00:48:33
logaritmo de 2 más 2 que es 4 00:48:35
luego es correcta la solución 00:48:37
y con eso habría terminado el ejercicio 00:48:39
el examen 00:48:41
¿de acuerdo? 00:48:43
bien 00:48:44
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Pablo Valbuena
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Fecha:
17 de enero de 2022 - 5:22
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
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