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VIDEO 5 TEMA 3 MATEMÁTICAS II - Contenido educativo

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Subido el 21 de enero de 2026 por Alberto T.

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VIDEO 5 TEMA 3 MATEMÁTICAS II

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Muy buenas, ¿qué tal estáis todo el mundo? Espero que estéis bien. 00:00:02
Bueno, que estéis teniendo un buen fin de, que vengáis con ganas, 00:00:06
porque vamos a terminar el tema 3 de matemáticas, tema 4 de vuestro libro. 00:00:10
Bueno, el anterior día estuvimos viendo lo que eran las progresiones, 00:00:16
bueno, estuvimos viendo las sucesiones numéricas, que era toda la familia de lo que vamos a ver ahora, 00:00:22
Como un término más amplio 00:00:27
Y luego vimos uno de los tipos de sucesiones 00:00:29
Que eran las progresiones aritméticas 00:00:33
¿Vale? 00:00:35
Acordaos que era 00:00:37
Se calculaba 00:00:38
Pues sumándole al término anterior 00:00:40
Pues una diferencia 00:00:42
¿Vale? 00:00:43
Pues hoy vamos a ver 00:00:45
Los que son las progresiones geométricas 00:00:46
Que en lugar de sumarle una diferencia 00:00:49
Le vamos a multiplicar por un número 00:00:51
¿Vale? 00:00:53
Es decir 00:00:56
A ver si se entiende. Por ejemplo, 2 lo multiplicamos por 10, luego por otros 10, así, ¿no? 00:00:57
2 por 10, 20, por 10, o sea, el resultado de 2 por 10 es 20, 20 por 10, 200 por 10, y así sucesivamente. 00:01:11
Mientras que en el otro íbamos sumando la misma diferencia, es decir, 2 o 3, o le sumábamos menos 3, etc., 00:01:19
pues ahora vamos a multiplicar todo el rato, ya sea por un número positivo o negativo. 00:01:26
Entonces, mientras que en el otro lado lo que sumábamos o restábamos era la diferencia 00:01:30
Lo que sumábamos, mejor dicho, pues podemos sumar algo negativo 00:01:35
Entonces, lo que sumábamos se llamaba diferencia 00:01:39
Aquí, lo que multiplicamos se llama razón 00:01:42
Entonces, la progresión geométrica es una sucesión de números, igual que la otra 00:01:45
Pero, ahora, cada término se obtiene multiplicando al número anterior un número fijo 00:01:52
denominado razón, es decir, este término se obtiene multiplicando 00:01:59
el anterior por un número que se llama razón 00:02:03
¿cuál es? 10, y se ve a simple vista, 2 por 10 00:02:06
este se obtiene multiplicando el anterior por la misma razón, por 10 00:02:09
¿vale? este se obtiene multiplicando esto 00:02:14
por 10 y así, ¿entendéis? igual que 32 00:02:19
32, de 32 pasaremos a 16 00:02:22
se ha dividido entre dos, lo que es lo mismo, se ha multiplicado por un medio 00:02:26
aquí multiplicamos por una razón, no se divide, igual que en la anterior sumábamos 00:02:30
no se restaba, cuando parece que se resta 00:02:35
cuando se suma algo negativo, cuando parece que se divide, cuando se multiplica por una fracción 00:02:39
¿entendéis la cosa? aquí se multiplica y en la progresión aritmética 00:02:43
se sumaba, lo que pasa es que podemos sumar algo negativo en la anterior 00:02:47
y aquí podemos multiplicar por una fracción, con lo cual una fracción es 00:02:51
Normalmente es sobre 1 00:02:54
Entonces 00:02:56
Es una multiplicación falsa 00:02:58
Entre comillas, porque se divide 00:03:01
Es igual que si sumamos un número negativo 00:03:02
Es una suma falsa, porque en realidad se resta 00:03:04
No sé si me entendéis 00:03:06
Pero aquí hablamos de multiplicación 00:03:08
Y en el anterior de suma 00:03:09
No hablamos ni de resta ni de división 00:03:12
¿Vale? 00:03:14
O sea, creo que quede claro 00:03:16
Entonces, más o menos se entiende 00:03:17
Cómo diferenciar la otra 00:03:20
En la otra, mientras que en la otra 00:03:22
vamos sumando pues un número 00:03:23
veis que va cambiando de 2 en 2 o 3 en 3 lo que sea 00:03:27
pues aquí vemos que los saltos son mucho más grandes 00:03:31
ya sea para aumentar o para disminuir porque ya que vamos 00:03:35
multiplicando y al multiplicar pues se agranda mucho más la diferencia 00:03:39
entonces aquí vemos que con que veáis que de aquí a aquí hay el mismo 00:03:43
número que de aquí a aquí pues será una progresión geométrica 00:03:47
ya que la razón, que es el número por el que se multiplica el número anterior 00:03:50
para dar el siguiente, es siempre la misma 00:03:55
entonces, igual que el anterior tenía un término general 00:03:58
para la progresión aritmética, pues vamos a ver cuál es la fórmula 00:04:04
para el término general de la progresión geométrica 00:04:08
para calcular, pues vamos a la definición 00:04:10
si queréis mirar esto, llegamos a esta fórmula 00:04:14
que es la fórmula del término general de una progresión geométrica 00:04:18
¿Vale? A n, ya sabéis, el término, está la fórmula general, ¿vale? A n, es decir, n, cualquier término, pues el primero, segundo, etcétera, pues es igual a el primer término por la razón elevada a n menos 1. 00:04:21
Es decir, a n términos que hay, imaginaos que hay 3 términos, ¿vale? Pues queremos, bueno, imaginaos que hay, yo que sé, 50 términos, pero queremos solo el término 3, pues a elevado, o a 3 es igual a 1 por r elevado a esta n, que es 3 menos 1, ¿vale? 00:04:40
Porque siempre nos va a pedir el último término, ¿vale? 00:05:01
¿Entendéis? 00:05:04
Esta n es la misma que esta. 00:05:05
Si este es el término 4, pues aquí será 4. 00:05:06
No sé si se entiende, ¿vale? 00:05:09
Entonces, vamos a verlo con algún ejemplo. 00:05:11
Ya nos podemos hacer ejercicios. 00:05:13
Esta clase va a ser más corta que la que tengamos luego de 10 días, ¿vale? 00:05:14
Justo la hora después. 00:05:20
Y aquí, pues esto solo nos queda dar esto. 00:05:22
Entonces, esto en media horita, yo creo que en 40 minutos se ha finiquitado fácil. 00:05:24
como encima luego subo la hoja escaneada 00:05:29
con todas las respuestas, que voy a subirlas todas a la vez 00:05:32
de sucesiones numéricas 00:05:34
progresiones aritméticas y progresiones geométricas 00:05:35
va a estar todo ya 00:05:38
cuando estoy viendo el vídeo 00:05:40
ya está subido, vale 00:05:42
entonces 00:05:43
cuáles son 00:05:44
vale, si una progresión geométrica 00:05:48
tiene como primer término, es decir, a 1 00:05:50
6, y su razón es 4 00:05:51
calcula los 8 primeros términos 00:05:54
pues, joder 00:05:55
es siguiendo la fórmula, o aquí incluso no haría falta hacer fórmula 00:05:57
simplemente es multiplicar el primer número por 4 00:06:02
y el siguiente por 4, es decir, primer término es 6 00:06:06
y la razón es 4, con lo cual hay que multiplicar por 4 sucesivamente 00:06:09
el siguiente 6 por 4 es 24, el siguiente pues el resultado por 4 00:06:13
24 por 4 es 96, el siguiente 96 por 4 00:06:18
o lo que es lo mismo, esto es igual a 6 por 4 00:06:20
Esto es igual a 6 por 4 por 4 00:06:26
Esto es igual a 6 por 4 por 4 por 4 00:06:29
¿Entendéis? 00:06:32
Vamos multiplicando por 4 sucesivamente 00:06:33
Hasta que al final 00:06:35
Pues hay que escribir el término 00:06:38
Para a elevado a 23 00:06:40
Entonces para los primeros términos 00:06:41
Vale esto 00:06:42
Pero para no comernos la cabeza 00:06:44
Vamos a aplicar la fórmula del término general 00:06:47
¿Vale? 00:06:50
Que es fácil de aprender igual que anterior 00:06:52
Solo tenéis que aprender estas dos formulitas 00:06:53
bueno, 4 si tenemos en cuenta 00:06:55
la fórmula de la suma 00:06:58
igual que la otra había una suma de los términos 00:07:00
pues aquí también habrá una suma de los términos 00:07:02
de la progresión geométrica 00:07:04
vale, entonces aquí tenéis que aprender 4 fórmulas 00:07:05
con esto, bueno, más las que luego 00:07:08
tenéis que aprender con otra cosa, sí que tenéis más fórmulas, vale 00:07:10
pero 00:07:12
es que es así 00:07:13
igual que cuando crezcáis pues tendréis 00:07:15
que tener en la cabeza más cosas 00:07:18
ya sea quebrar el hueso de cabeza o lo que sea 00:07:20
bueno, que muchos ya sois mayores 00:07:21
pero bueno 00:07:24
Entonces, un término cualquiera, el término n, es igual al término 1 por la razón elevado a el término que sea menos 1. 00:07:25
Entonces, como nos pide elevado a 23, pues será el primer término que es 6 por la razón que es 4 elevado a 23 menos 1. 00:07:39
n menos 1, es decir, 23 menos 1 que es 22. 00:07:48
pues multiplicamos esto y sale un número muy alto 00:07:51
por eso se ha dejado expresado así 00:07:54
tiene que tener en cuenta que 4 elevado a 3 00:07:55
ya es 64 00:07:58
imaginaos elevado a 22, que es por 4, por 4, por 4 00:07:59
una barbaridad 00:08:02
¿vale? sale un número pero 00:08:03
bastante más que millón 00:08:05
¿vale? del orden de 00:08:07
varios millones ¿vale? 00:08:10
entonces cuando salga un número muy 00:08:13
grande pues lo podéis expresar así 00:08:14
entonces pues 00:08:15
ese sería un tipo de ejercicio, luego hay otro que es este 00:08:17
Si los dos primeros términos de una progresión geométrica son A1 y A2, calcular la razón. 00:08:20
Es decir, puede ser que te den el primer término y la razón. 00:08:28
Y tienes que calcular el término 5 o los ocho primeros términos como aquí, etc. 00:08:32
Y luego queréis poner la fórmula del término general. 00:08:38
¿Vale? O que os dan 00:08:45
dos términos 00:08:48
normalmente lo más fácil es que tengan el primero y el segundo 00:08:50
y calcular la razón. Esto es muy sencillo, simplemente despejar 00:08:54
Vosotros no sabéis la fórmula esta 00:08:57
¿No? An es igual a 1 por r elevado a 00:09:00
n-1. Pues entonces 00:09:03
lo que tenéis que hacer es usarla, pero para el término 2 00:09:06
Tenemos el término a1. Pues ¿Cómo es el término a2? 00:09:08
¿Vale? Pues el término a2 será igual a 00:09:12
A1 por R elevada a 2 menos 1. 00:09:14
2 menos 1 es 1. 00:09:18
R elevada a 1 es R. 00:09:19
Entonces, A elevada a 2 es igual a A elevada a 1 por R. 00:09:21
A elevada a 2 es 375. 00:09:25
375 es igual a A elevada a 1, que es 75, por R. 00:09:27
Despejáis R. 00:09:32
Entonces, ecuación. 00:09:33
R será igual a, esto pasa dividiendo, con lo cual, 375 entre 5, 5. 00:09:34
Así de simple. 00:09:40
O también podéis ver que de aquí a aquí la diferencia es que hay que dividir entre 5, entonces esa es la razón, ¿vale? 00:09:41
Que habéis multiplicado de aquí a aquí por 5, ¿vale? Porque de aquí a aquí habéis dividido entre 5, entonces lo que tenéis que hacer es buscar la multiplicación, la división. 00:09:50
Entonces será que tenéis que multiplicar por 5. Entonces esa es la forma más de tanteo, pero a mí me gustaría que lo veáis de esta forma, ¿vale? 00:09:58
simplemente utilizar la fórmula esta, a n, pero como es 2, pues a 2 es igual a a elevado a 1 por r elevado a 2 menos 1, 2 elevado a menos 1 es 1, 00:10:06
por lo cual es r, ¿vale? Y ya está. Y luego nos pide, nos pide pues el término 7 y el término general, pues el término general es este y el término 7 00:10:15
pues será, el término general es este, pero hay que ponerlo con lo que valga a elevado a 1 y r, es decir, dejarlo así, 75 por 5 elevado a n-1, esta sería, porque esta es la ecuación, 00:10:25
como lo expliqué en la anterior clase con lo de las progresiones aritméticas, esta es la fórmula del término general de todas las progresiones geométricas, 00:10:40
pero de esta en concreto es esta 00:10:50
porque tiene su propio A1 00:10:52
su propio término 1 y su propia razón 00:10:54
¿vale? entonces 00:10:56
cuando os pido que calculeis términos generales 00:10:57
esto, no esto, que esto es general 00:11:00
pero genérico del todo, es decir 00:11:02
para todas 00:11:04
¿vale? cuidado con eso 00:11:05
y luego pues el término elevado a 7 pues es igual que aquí 00:11:07
elevado a 7 es igual a 00:11:10
término 1 que es 75 por 00:11:12
la razón que es 5 elevada a 7 00:11:14
menos 1, es decir 00:11:16
siempre el que hay aquí menos 1 00:11:18
¿Vale? Y veis que 00:11:19
Que número más alto sale 00:11:21
Imagínate si lo elevamos a 22 00:11:23
Como antes queríamos elevar 00:11:25
Aquí ya sale 1, 2, 3, 4 00:11:27
Aquí ya sale 1.171.875 00:11:29
O sea, ya sale 00:11:33
Más de un millón 00:11:34
Imaginaos 00:11:35
Bueno 00:11:36
Entonces, pues esto serán los ejercicios 00:11:37
Tipo, primero 00:11:41
Tenemos que indicar cuáles son progresiones geométricas 00:11:42
Lo que os he dicho, para daros cuenta 00:11:45
Si son progresiones geométricas 00:11:47
tenéis que ver si los siguientes 00:11:49
números son multiplicaciones 00:11:51
del número anterior por un número 00:11:52
y siempre se multiplica por el mismo número 00:11:54
por ejemplo aquí, menos 2, menos 4 00:11:57
menos 6, menos... podemos pensar 00:11:59
a lo mejor se multiplica por 2 00:12:01
menos 2 por 2, menos 4 00:12:03
de momento va bien, pero ¿qué pasa? 00:12:05
menos 4 por 2 00:12:08
ya es menos 8, no menos 6 00:12:09
con lo cual, de aquí a aquí, ¿qué está pasando? 00:12:11
que se está sumando 00:12:13
el número menos 2, es decir 00:12:14
se estaría restando, pero como solo se puede hablar 00:12:17
resumas o multiplicaciones, en el caso de geométricas, pues se está sumando un número 00:12:19
negativo. Entonces, esto no sería una progresión geométrica, sería una progresión 00:12:23
aritmética, en el que la diferencia es menos uno, o sea 00:12:27
menos dos. Luego, el apartado B. Dos menos ocho 00:12:31
treinta y dos menos ciento veintiocho. Normalmente, en las progresiones aritméticas 00:12:35
siempre va a haber la misma diferencia, pues es la misma diferencia, ¿no? Siempre de dos en dos, entre comillas. 00:12:39
En cambio, aquí veis que el salto es más grande. 00:12:44
Entonces, eso es una pista muy grande de que probablemente sea geométrica. 00:12:47
Entonces, vamos a ver. 00:12:54
Claro, aquí sale un número positivo, luego negativo, luego positivo. 00:12:57
Entonces, a lo mejor es que está multiplicándose por algo negativo, ¿no? 00:13:00
Porque positivo por negativo es negativo, pero luego negativo por negativo es positivo. 00:13:03
¿Entendéis? 00:13:07
Entonces, claro, del 2 al 8 hay una multiplicación. 00:13:09
¿O no? 00:13:12
Claro, 2 por 4 es 8. 00:13:13
A lo mejor se está multiplicando por menos 4, ¿no? 00:13:14
2 por menos 4 es menos 8 00:13:17
menos 8 por menos 4, menos por menos más 00:13:20
8 por 4 es 32 00:13:23
coño, y ahora 00:13:26
32 por menos 4, 32 por 4 00:13:28
128, pues se hace con la calculadora 00:13:30
con el menos, pues menos 128 00:13:32
pues me cuadra 00:13:35
completamente con una progresión geométrica 00:13:36
¿vale? y además 00:13:39
así al tuntún o al tuntún 00:13:40
por tanteo, hemos descubierto 00:13:42
la razón, ¿no? determina la razón 00:13:44
¿vale? 00:13:46
entonces, así veremos que esto es una progresión aritmética 00:13:47
esto también, porque está multiplicado por 3, esto no, porque esto está sumando 00:13:52
le cae 2, esto sí, porque está multiplicando por 10, y esto también 00:13:56
que está multiplicando todo el rato por 5 00:14:00
5 por 5 es 25, por 5 es 125, por 5 es 625 00:14:04
¿vale? es decir, entonces tenemos de progresiones geométricas 00:14:08
tenemos la parte esta, esta 00:14:12
y esta es 2, en cambio, esta y esta son aritméticas 00:14:19
¿vale? ¿cuál es la razón? pues aquí la razón 00:14:26
es igual a menos 4, aquí es igual a 3 00:14:29
aquí, esto yo lo hago de cabeza porque 00:14:34
se ve muy simple, pero si tenéis dudas 00:14:37
es igual que hemos hecho el otro, simplemente con la fórmula esta 00:14:41
a elevado a n es igual a 00:14:45
o sea, elevado a n 00:14:46
a n es igual a 1 00:14:49
es decir, el término cualquiera 00:14:51
es igual al término 1 00:14:52
por la razón elevado a n-1 00:14:54
entonces, vais aquí 00:14:57
esto se calcula así, ¿vale? 00:14:59
esto que he hecho de cabeza 00:15:02
como tenéis que poner es así 00:15:03
mediante esto se puede calcular 00:15:04
entonces, vamos a empezar por este 00:15:06
lo más fácil es coger el término 1 y 2 00:15:08
no vayáis al término 4 00:15:11
o lo que sea, ¿vale? 00:15:13
Aquí solo pone hasta el término 4, es el término 2, aunque sea negativo, no pasa nada. 00:15:14
Entonces, el término, vamos a poner este, a elevado a 2 es igual a e elevado a 1 por r elevado a 2 menos 1. 00:15:20
Y ahora sustituimos, menos 8 es igual a 2 por r elevado a 2 menos 1 es 1, es decir, 2 por r. 00:15:29
Y ahora sustituir. R es igual a menos 8 entre 2. R es igual a menos 4. ¿Veis? Lo mismo. Esto se hace con los otros 3. Aquí cogeréis el 24 y el 8. Aquí el 100 y el 10. Y aquí el 25 para acá y el 5 para acá. Y ya está. 00:15:39
se hace todo con esto 00:16:04
esta es la forma matemática de hacerlo 00:16:06
la otra es forma por tanteo 00:16:08
entonces quiero que lo hagáis así 00:16:10
con un ejemplo vale para todos 00:16:11
como la hoja lo tengo subido con todos para no perder tiempo 00:16:13
y entonces 00:16:16
y hallar el término general, pues el término general es 00:16:18
a partir del término general 00:16:20
de todas las progresiones 00:16:22
lo que pasa es que aquí no lo especifican para esta en concreto 00:16:24
es decir, la del apartado anterior 00:16:26
igual a elevado a 1 por 00:16:28
r elevado a n-1 00:16:30
Entonces, ¿cuál será el término general? Pues a elevado a n es igual a a1, entonces voy a especificar primero el apartado b, c, e y f, ¿vale? 00:16:31
Es decir, tengo que ponerlo para todas. A elevado a n será igual a a elevado a 1, que en este caso es 2, por la razón que es menos 4, elevado a n menos 1, ¿vale? 00:16:43
Este sería para este apartado, para el apartado c, sería a elevado a n por 8, que es el término 1, no sé por qué siempre digo a elevado a n, porque es que es muy típico en su matemática, es una potencia, es a n, el término n es igual a 8, que es el término 1, por la razón que es 3, por n, que no se ve aquí, menos 1. 00:16:56
Aquí el término n es igual a 10 por 10 elevado a n-1 00:17:20
Y aquí el término n es igual al primer término que es 5 por la razón que también es 5 00:17:31
Que no siempre coincide por elevado, mejor dicho, a n-1 00:17:37
Esto serían los dos ejercicios 00:17:42
Es sencillito, está todo el rato igual 00:17:45
entonces esto lo recuadro y ya está 00:17:47
esta sería la solución 00:17:51
¿se entiende más o menos? 00:17:52
claro, hay que calcular esta razón 00:17:59
yo solo calculo esta, pero es lo mismo, lo único que os he dicho 00:18:02
que tenéis que poner el término a2 00:18:05
con el que sea a2, este, este o este 00:18:08
es decir, depende para apartado y luego el término a1 00:18:11
que es este para el c, este para el e y este para el f 00:18:13
y ya está, y esto es rato igual 00:18:17
porque la r siempre queda así, por eso cojo 00:18:20
el término 1 y 2, para que la r quede r 00:18:22
no r al cuadrado, y luego tengáis que hacer raíces cuadradas 00:18:26
o lo que sea, entonces coger siempre el término 1 y 2, no os complique la vida 00:18:28
sed listos, ¿vale? 00:18:32
sed inteligentes, y a veces inteligentes es coger 00:18:34
el camino fácil, que sea legal, ¿vale? 00:18:37
no hay legal, me refiero 00:18:39
camino fácil en matemáticas y en esto, en las asignaturas 00:18:41
no el camino fácil en la vida 00:18:44
¿vale? 00:18:45
a ver si luego, vais a decir 00:18:47
el profesor me incita a que vaya por lo fácil 00:18:50
¿no? que robe o... no, no 00:18:52
me refiero a esto 00:18:54
¿vale? vale, pausa el vídeo 00:18:56
que voy a borrar 00:18:58
vale, esto sería 00:18:59
el término general de una progresión geométrica 00:19:06
los típicos ejercicios, y ahora vamos a ver 00:19:08
la suma de los términos 00:19:10
de n términos, ya sea de los 20 términos que haya o lo que sea, de una progresión. 00:19:12
A ver, es que las progresiones son hasta el infinito, entonces pues depende de los términos que haya. 00:19:17
Si hay 20 o 10 o lo que sea. 00:19:21
Igual que el día anterior, cuando vimos la suma de los términos de las progresiones aritméticas. 00:19:23
Todo esto es exactamente igual. 00:19:31
Si va esto, perfecto. 00:19:34
Entonces, bueno, mediante esto, jajaja. 00:19:36
Muy bien, entonces vamos a hablar de esto después para que veáis un poquito cómo va, cómo llegamos a esto. 00:19:43
Pero bueno, mientras os aprendáis esto no voy a hacer de ver de dónde se obtiene, no voy a ser tan cabrocete. 00:19:51
Entonces, igual que teníamos una suma para las progresiones aritméticas, que era esta, esta fórmula, ¿vale? 00:19:57
El primer término más el último partido de 2 por n, ¿vale? Por el número de términos. 00:20:04
Pues aquí tenemos esta, ¿vale? Es decir, la razón por el último término menos el primero partido de la razón menos uno. 00:20:10
Y luego podemos jugar con esto. ¿Por qué? Porque, claro, hemos visto la fórmula del término n, que es el término uno por la razón elevada a n menos uno. 00:20:23
Con lo cual, si sustituimos a elevado a n por esto, pues, es decir, cambiamos esto por esto, ¿vale? Lo de azul es lo que hemos sustituido, ¿vale? Veis que es lo mismo, menos a elevado a 1, r por, ¿vale? Es lo mismo, lo que pasa es que hemos cambiado término n por lo que es, el término 1 por la razón elevada a n menos 1. 00:20:37
Nos da esta expresión que es más sencilla. Más sencilla me refiero porque necesitamos menos datos. Es igual, incluso a lo mejor está más fácil de aprender. Pero está más útil, entre comillas, porque no tenemos necesidad de utilizar, de calcular el término general. 00:20:59
porque muchas veces no nos lo dan 00:21:23
entonces aquí con tener el término 1 00:21:25
y la razón ya podemos 00:21:27
no hace falta calcular el término general 00:21:29
aunque no se tarda casi nada 00:21:30
entonces aquí necesitamos el término general 00:21:32
la razón 00:21:35
y el primer término 00:21:36
aquí no, aquí con tener el primer término 00:21:38
y la razón se utiliza 00:21:41
por eso es importante que os aprendáis esto también 00:21:42
por eso la siguiente hoja os lo he igualado 00:21:45
esta es la fórmula que hemos visto aquí 00:21:47
y la he igualado a esta 00:21:50
para que podáis aprender las dos, ¿vale? 00:21:51
O si tenéis que aprender una, aprenderos esta, ¿vale? 00:21:55
Entonces, un ejemplo. 00:22:01
Calcula la suma de los 10 primeros términos de una progresión, en este caso geométrica, 00:22:02
cuyo término, bueno, os tienen que decir, en este caso como estamos dentro de la clase de geometría, 00:22:06
pues no lo pone, pero en el examen se tendrá, si cayera algo de esto, que todavía no lo sé, 00:22:10
pues se tendrá que decir si es aritmética o geométrica, ¿vale? 00:22:16
¿Por qué? Porque es distinta fórmula, aunque también lo que podría pasar es que no se diga y tengáis que, igual que aquí, se os pone aquí la progresión y tenéis que decir si es aritmética y geométrica, y luego decir, hállame el término no sé cuánto y luego hállame la suma, ¿vale? 00:22:21
son si queremos rizar el rizo 00:22:41
entonces en mi caso 00:22:43
pues no sé si lo hay 00:22:45
no creo 00:22:46
¿vale? 00:22:47
a lo mejor un ejercicio 00:22:50
con dos apartados 00:22:51
bueno 00:22:52
depende de 00:22:52
si hay tantas cosas 00:22:53
por preguntar 00:22:54
que ya veré 00:22:55
¿vale? 00:22:56
ya veré 00:22:56
pero de progresiones 00:22:57
a lo mejor que hay algo 00:22:58
pero no creo que rize 00:22:59
el rizo tanto 00:23:00
¿vale? 00:23:01
entonces 00:23:02
calcula la suma 00:23:02
de los 10 primeros términos 00:23:04
de una progresión 00:23:05
cuyo primer término 00:23:06
es 6 00:23:07
y la razón 00:23:07
es 1,3 00:23:08
¿vale? 00:23:09
también se puede multiplicar 00:23:11
por números decimales 00:23:11
no solo por 1 00:23:12
por 2, etcétera, o por fracciones. Entonces, ¿veis? Con esta fórmula, solo conociendo 00:23:12
el término 1, que es 6, y la razón, que es 1,3, podemos calcular la suma. Claro, si 00:23:18
multiplicamos por un número decimal, normalmente el resultado no va a salir decimal. Normalmente. 00:23:25
Puede ser que no, que al multiplicar se quiten los decimales. ¿Qué puede pasar? Igual que 00:23:29
3,5 por 2, 3,5 es decimal, pero al multiplicar por 2 es 7, 7,0. Entonces puede pasar. Entonces 00:23:35
de la suma de 10 términos es igual a el término 1, que es 6 por r elevado a n menos, no, lo 00:23:42
que ponemos aquí, siempre lo ponemos aquí, r elevado a 10 menos el primer término, partido 00:23:50
de r menos 1, es esta fórmula, ¿vale? 6 por la razón que es 1,3 elevado a 10 menos 00:23:55
6, partido de 1,3 menos 1, es decir, 0,3. Y esto da 255,6. Estos ejercicios son siempre 00:24:02
iguales, entonces 00:24:10
vamos a calcular, esto no lo he borrado 00:24:12
parece que hay aquí una línea, vale, ahí está 00:24:13
vale, vamos a calcular esto 00:24:16
y con esto terminamos la clase, que va a ser cortita 00:24:17
de media horita solo, así que 00:24:19
perfecto, porque ya que 00:24:22
en la siguiente clase, pues va a durar 00:24:24
voy a intentar que sea 00:24:26
de 45 minutos, pero a lo mejor 00:24:28
luego me enrollo y 00:24:30
tardo 50 o más, así que 00:24:31
pues sí que verá que en matemáticas 00:24:34
se va más tranquilo que en ciencias, que se dan muchísimas 00:24:36
cosas, vale 00:24:38
Entonces, vamos a ello. 00:24:40
Tenemos, lo primero dice, calcula la suma de los 10 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas. 00:24:43
¿Veis? 00:24:48
Aquí, por ejemplo, no nos dan... 00:24:50
Bueno, yo pensaba que los ejercicios serían más fáciles, pero no. 00:24:54
¿Veis? Este es un típico ejercicio que se puede poner. 00:24:58
Entonces, si lo pone el libro, yo lo puedo poner perfectamente. 00:25:00
Es que no me acordaba de esto. 00:25:02
Entonces, este ejercicio es muy completo, ¿vale? 00:25:05
¿Por qué? 00:25:07
Porque tiene que calcular. 00:25:09
Solo nos dan a 1, ¿no? 00:25:10
Que es esto y esto, ¿no? 00:25:12
A 1. 00:25:14
¿Vale? 00:25:15
Los dos sitios. 00:25:16
¿Pero qué pasa? 00:25:17
Tenéis que calcular la razón. 00:25:17
Y luego, a partir de la razón, ya calcular la suma. 00:25:19
Entonces, pues este ejercicio podría caer. 00:25:22
Así que aprendedlo bien, ¿vale? 00:25:27
Porque yo pensaba que no lo ponía, pero sí. 00:25:28
Que encima lo tengo hecho. 00:25:33
O sea, me tenía que acordar, ¿vale? 00:25:34
Entonces, lo primero es aprenderse la fórmula. 00:25:35
La fórmula de la suma, ¿vale? 00:25:38
La voy a poner aquí, ¿vale? El sumatorio o la suma es igual, de n términos es igual a a elevado a 1 por r elevado a n menos 1 menos a 1 partido de r menos 1, ¿vale? 00:25:40
Entonces, tenemos a, pero nos falta r. Entonces vamos a calcular r. Tanto aquí como aquí. ¿Cómo se calcula r? 00:25:56
igual que los ejercicios estos que nos daban el primer y segundo término 00:26:04
que en este caso nos dan primero y segundo, tercero y cuarto 00:26:08
pero vamos a ser listos, vamos a coger primero y segundo 00:26:10
entonces, ¿esto cómo era? 00:26:13
sabiendo esta fórmula 00:26:15
a elevado a n es igual a 00:26:16
a elevado a 1 00:26:19
por r elevado a n menos 1 00:26:20
entonces, sabiendo esto, sabemos que 00:26:24
el término 2 es igual al término 1 00:26:26
por r elevado a 2 menos 1 00:26:29
2 menos 1 es 1 00:26:31
Con lo cual, el término 2 es igual al término 1 por r. 00:26:33
Y aquí igual, el término 2 es igual al término 1 por r. 00:26:37
¿Veis? 00:26:41
Entonces, ya simplemente despejamos. 00:26:43
El término 2 es 1 medio. 00:26:45
1 medio es igual a 1 por r. 00:26:47
Y despejamos. 00:26:52
r será igual a, esto pasa aquí multiplicando es tontería, 00:26:54
1 medio por 1. 00:26:58
1 partido de 2 por 1. 00:27:01
Lo mismo, r es igual a 1 medio. 00:27:03
También se podría sacar así de cabeza, pero me gusta que lo hagáis matemáticamente. 00:27:07
Porque estamos multiplicando 1 por 1 medio, 1 medio, 1 medio por 1 medio, 1 cuarto. 00:27:11
Cada vez va... 00:27:15
Porque multiplicar por 1 medio es que se va haciendo cada vez más pequeño. 00:27:16
Entonces se ve que es una división. 00:27:19
Y aquí vemos a simple vista que multiplicar por 3, por 3, pues vamos a comprobarlo. 00:27:20
Porque hay que hacerlo matemáticamente. 00:27:25
Entonces esto es igual a 9 es igual a 3 por r. 00:27:27
Pues r es igual a 9 partido de 3 00:27:33
Es muy fácil 00:27:35
Lo que pasa es que hay que hacer este paso 00:27:36
Antes de calcular lo otro 00:27:38
¿Vale? 00:27:40
Entonces ya tenemos la razón aquí y aquí 00:27:40
Pues vamos a calcular el sumatorio 00:27:42
Suma de 10 términos 00:27:44
Será igual a 00:27:47
El primer término que es 1 00:27:48
Por 1 medio 00:27:50
Elevado a n-1 00:27:54
Que n-1 es 9, ¿no? 00:27:57
¿Vale? 00:28:01
Entonces 00:28:02
A ver, lo he puesto bien 00:28:02
Esperad, no, no, no, que, esperad, esperad, que creo que me he columpiado, que esto es n, no n-1, a ver, o yo creo que sí, voy a mirar en la anterior diapositiva, yo creo que sí, que es n, sí, es n, vale, yo creo que sí, vale, entonces, esto por un medio, menos 1, sí, es así, sí, sí, es así, está bien, vale, es así, o sea, antes lo había puesto mal, n-1, 00:28:07
que ya con tanto menos 1 me he equivocado 00:28:48
vale, entonces 00:28:50
pues es fácil equivocarse, cuidado con esto 00:28:51
entonces, lo mejor para comprobarlo 00:28:54
a ver, claro, si son 10 términos, nada más se está multiplicando 00:28:57
por 00:29:01
bueno, nada más se está sumando 1, más 1 medio, más 1 cuarto 00:29:02
yo esto lo comprobé, pues sumándose 00:29:05
hasta 10, es muy fácil, es simplemente ponerla 00:29:07
cada vez, multiplicar el denominador por 2 00:29:09
luego será más un 16avo 00:29:11
más un 32avo, así 00:29:13
más 1 partido de 64, más 1 00:29:15
partido de 128, etc 00:29:17
así hasta 1 partido de 512 00:29:18
y lo sumáis y así se ve si está bien la fórmula o no 00:29:20
pero bueno, no creo que a veces eso lo saben 00:29:23
porque se tarda tiempo 00:29:25
entonces, por eso 00:29:26
lo tengo bien calculado, o sea, no me he equivocado al ponerlo 00:29:28
vale 00:29:31
entonces, r que es un medio 00:29:32
elevado a n 00:29:35
es decir, elevado a 00:29:37
10 menos 1 00:29:39
entonces 00:29:40
esto partido de un medio 00:29:41
menos 1 00:29:47
Con lo cual aquí nos va a salir algo negativo y aquí algo negativo, con lo cual no va a salir positivo. Esto es igual a, me sale 1,998. Aproximadamente 2. 00:29:49
¿Vale? Y aquí me sale que esto es igual a 00:30:03
El primer término que es 3 por 00:30:07
La relación que es 3 elevado a 10 menos 1 00:30:09
Partido de 3 menos 1 00:30:17
Y esto me sale que esto es igual a 00:30:18
Bastante más alto 00:30:22
Pero aquí estamos multiplicando 00:30:23
88.572 00:30:25
¿Vale? Voy a poner aquí 00:30:28
Este es el apartado B 00:30:29
Y ahora aquí el apartado A. Aquí ese 10 es aproximadamente 2. Y aquí 88.572. ¿Vale? Esto es el ejercicio así más difícil que nos puedan preguntar de esto, de producción geométrica. 00:30:32
¿vale? bueno, más difícil, me refiero 00:30:59
que es completo porque tienes que calcular 00:31:01
la razón y calcular luego 00:31:03
la suma, no nos pide el término 00:31:05
general, entonces sería un ejercicio más largo 00:31:07
valdría más puntos, pero es sencillo 00:31:09
simplemente poner aquí a n 00:31:11
y aquí lo que sea a 1 00:31:13
que es 1, 1 por r 00:31:15
por n-1 00:31:17
es muy sencillo, aquí el término general 00:31:18
voy a hacerlo si queréis, a n sería igual a 00:31:21
1 por 00:31:23
r elevado a n-1 00:31:24
y aquí sería 00:31:26
perdón, la razón aquí es 00:31:27
un medio, con lo cual 00:31:30
un medio por n-1 00:31:31
y aquí sería 00:31:34
es igual a 00:31:37
3 por 3 elevado a n-1 00:31:38
o sea 00:31:41
muy sencillos los términos generales 00:31:41
¿vale? pero como no lo preguntan 00:31:44
lo borro 00:31:47
para que no os confundan 00:31:48
vale 00:31:50
y por último aquí que pone, la suma de los 7 primeros 00:31:53
números de una progresión da 3 00:31:57
aquí es algo parecido para calcular la razón 00:31:58
es como que mediante una fórmula 00:32:01
igual que aquí, luego despejamos 00:32:04
la razón, pues aquí despejamos 00:32:05
el término 00:32:07
por así decirlo 00:32:10
entonces, esto como se hace 00:32:11
nos dicen 00:32:14
que la suma de 7 términos es igual a 00:32:14
7651 00:32:17
que la razón son 00:32:20
3, hay que calcular a 1 00:32:22
con esto calculamos a 1 y luego hay que calcular 00:32:24
a 7, bueno a 7 se puede calcular luego 00:32:26
¿Por qué? Sabéis que esta fórmula tiene el sumatorio, la suma, luego el primer término y la razón 00:32:27
Pues aquí tenemos la suma, la razón y hay que calcular el término primero 00:32:35
Entonces luego el término 7 se calculará con la típica fórmula del término general 00:32:40
Entonces, nosotros tenemos que Sn es igual a elevado a 1, partido de la razón elevado a n, menos el término 1 partido de la razón menos 1. 00:32:45
Vale, entonces, esto es igual a 7651, que es esto, es igual a término 1, que no conocemos, por 3 elevado a 7, menos el término 1 partido de r menos 1, es decir, 3 menos 1, es decir, 2. 00:33:02
Con lo cual, esto es igual a 2 00:33:30
Siguiente paso 00:33:35
Esto que estáis viendo pasa multiplicando 00:33:36
Y así nos quitamos la fracción 00:33:38
7651 por 2 es igual a 00:33:42
A1 por 3 elevado a 7 00:33:46
Que 3 elevado a 7 es 00:33:49
A ver, bueno voy a ponerlo todo junto 00:33:50
A1 por 3 elevado a 7 es 00:33:53
A ver, que simplemente a este número ponerle a 1 00:33:55
Vale, pues 3 elevado a 7 es 00:33:58
21.000, no, 2.187 00:34:00
por A1, pues 2.187 00:34:06
A1, menos A1, o sea, simplemente hay que darle 1 a 1, es decir 00:34:10
esto quedará 2.186 00:34:14
A1, y esto da, esto por 2 da 00:34:18
7.651 por 2 00:34:22
da 15.302 00:34:26
pues 00:34:29
que nos quedaría 00:34:31
que esto es igual que esto 00:34:32
con lo cual a1 00:34:35
será igual a esto dividido entre esto 00:34:37
pasa aquí dividiendo 00:34:39
15302 00:34:41
voy a cambiar esto 00:34:44
voy a poner esto aquí ahora 00:34:45
a ver si puedo cambiar 00:34:48
vale, es que lo de la grabación 00:34:50
a ver, ahí 00:34:53
a1 es igual a 15302 00:34:54
partido de 2186 00:34:57
Y a1 es igual a 7 00:34:59
¿Vale? 00:35:02
No sé si se ve muy bien ahí 00:35:08
Y si no 00:35:09
A ver 00:35:11
Ahora 00:35:11
Ese es el término a1 00:35:20
¿Vale? 00:35:21
Ahora 00:35:22
A elevado a n es igual a 00:35:23
A elevado a 1 por 00:35:27
R elevado a n menos 1 00:35:29
¿Vale? 00:35:30
Joder, si puedo escribir tan pequeño por no borrar 00:35:34
A ver si lo copiáis todo luego el tirón 00:35:36
R elevado a n menos 1 00:35:39
vale, aquí que no quiero que esto se confunda 00:35:44
vale, entonces 00:35:49
¿qué queremos sacar? queremos sacar a elevado a 7 00:35:53
pues a elevado a 7 será igual a término 1, que el término 1 es 7 00:35:59
por la razón que es 00:36:03
3 elevado a n-1, es decir, 7-1 00:36:06
pues esto es lo mismo que 7 por 00:36:11
3 elevado a 6 00:36:15
o lo que es lo mismo 00:36:16
5103 00:36:17
es decir, a elevado a 7 es 00:36:20
5103 00:36:22
y ya estaría 00:36:24
¿vale? 00:36:27
así serían los ejercicios 00:36:30
yo aquí tengo poco espacio pero en un folio 00:36:31
se hace mucho más ordenado 00:36:34
porque quería ponerlo 00:36:35
con el... para que tengáis el 00:36:38
en enunciado delante 00:36:40
porque desde que he descubierto 00:36:42
que la pizarra digital se podía poner 00:36:44
aquí con las presentaciones 00:36:46
pues me estoy acostumbrando 00:36:47
y así por lo menos tenéis el enunciado para 00:36:49
volver a leer mientras que lo hago y no 00:36:51
que esté el papel en blanco, vale 00:36:53
que os creáis el enunciado por así decirlo 00:36:55
así que nada, esto es todo 00:36:57
mirad, menos de 40 minutos justo 00:36:59
así que es esto 00:37:01
los típicos ejercicios 00:37:04
luego, yo lo que haría 00:37:05
pues cuando suba la tarea 00:37:07
que seguramente sea 00:37:09
en breve, la semana que viene seguramente 00:37:11
voy a ver si este fin de puedo hacerla 00:37:13
Seguramente la semana que viene esté 00:37:16
Pues 00:37:17
O está, bueno, depende 00:37:18
Seguramente, bueno 00:37:22
La semana que viene seguramente esté 00:37:24
Yo mandaré una notificación de que ha subido, ¿vale? 00:37:25
Para que si tenga las notificaciones activadas 00:37:27
Pues os llegue 00:37:30
No sé si abriréis el 00:37:30
Moodle con el móvil 00:37:34
Pues si lo abrís con el móvil, pues seguramente os salga una notificación 00:37:35
Con el ordenador, pues, si no encendéis el ordenador 00:37:38
Pues no luego llegue nada 00:37:40
No lo digo porque como el móvil lo tenéis siempre encima 00:37:41
Pues es más fácil que lo veáis 00:37:43
Entonces, os aconsejo 00:37:45
Sabéis que las tareas no son obligatorias 00:37:48
Pero os aconsejo hacerlas 00:37:50
Aunque no me las queráis entregar 00:37:51
Por si sacáis peor nota 00:37:53
Que si luego hacéis el examen 00:37:56
Porque como si me la entregáis 00:37:58
Es un 20% 00:38:00
Pues a ver si voy a suspender y luego me va a bajar la nota 00:38:01
Prefiero hacer un 100% el examen 00:38:03
Pues la guardáis para vosotros 00:38:06
Pero por lo menos 00:38:08
Así es una manera de estudiar 00:38:09
Y de saber que entra en el examen 00:38:11
Porque ya os lo he dicho mil veces 00:38:13
Y yo lo vuelvo a decir. Mis exámenes se hacen con ejercicios que pongo en las tareas. Es decir, yo cojo unos tipos de ejercicios que he puesto en las tareas. En las tareas hay mucho más. Pues cojo, yo qué sé, 3 de aquí, 3 de la otra tarea. Es decir, este trimestre son la tarea 3 y tarea 4. Pues yo qué sé, cojo 3 y 4 del otro lado o 3 y 3. ¿Me entendéis? A lo mejor hay 7 ejercicios y cojo 3 de la tarea 3. 00:38:15
La tarea 4, pues cojo otros 3, ¿vale? De, yo qué sé, de 6 u 8 ejercicios. Y desde ahí hago el examen. Cambio los, por supuesto, cambio los números, etc. Pero en sí, la base es la misma. No sé si me entendéis. 00:38:43
así que eso 00:39:03
por eso 00:39:05
por lo menos echarle un vistazo a las tareas 00:39:07
aunque no me las entregáis, para saber que puedo 00:39:09
preguntar, vale 00:39:11
así que si os pregunto algo así en progresiones 00:39:12
pues puedo 00:39:16
preguntaros algo, aunque bueno, luego en la clase de repaso 00:39:17
pues ya acoto un poco más 00:39:19
porque normalmente repaso las cosas 00:39:21
que suelo preguntar 00:39:23
es así, entonces es muy importante también que 00:39:25
vengáis a la última clase de repaso 00:39:27
que es la clase que grabo justo 00:39:29
el día antes, bueno, la semana 00:39:31
antes del examen, mejor dicho. Es decir, el miércoles antes del miércoles del examen, ¿vale? 00:39:33
Así que nada, que tengáis buen fin de estudiar mucho si podéis y nos vemos en la siguiente clase. ¡Hasta luego! 00:39:39
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Operaciones matemáticas
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      • Nivel II
Subido por:
Alberto T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
21 de enero de 2026 - 14:24
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB JOSE LUIS SAMPEDRO
Duración:
39′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
111.05 MBytes

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