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PAU Matemáticas II 2014 Junio coincidentes A 3a Geometría

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Subido el 17 de marzo de 2018 por Pablo Jesus T.

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estábamos haciendo el otro día este ejercicio en clase y se nos resiste un 00:00:03
poquito y por eso he realizado este vídeo es un ejercicio de la pau de 00:00:08
madrid de junio del 2014 del examen de coincidentes en el modelo a el ejercicio 00:00:13
3 el apartado a porque el apartado b era de esferas y ya no merece la pena si 00:00:21
quiera ponerlo. Entonces, bueno, pues nos dan un plano y nos piden obtener las rectas 00:00:27
que pasan por el origen de coordenadas, son paralelas a este plano y cortan al plano Z0 00:00:32
con un ángulo de 45 grados. Al final es un problema de geometría que se convierte en 00:00:40
un problema de álgebra. Si pintamos el plano 2X menos Y más Z igual a 1, ahí le tenemos, 00:00:45
en realidad lo que queremos es que las rectas 00:00:52
tienen que estar en un plano paralelo a este que pasan por el 0, 0, 0 00:00:55
solo existe uno, que es este 00:00:58
así que resulta que obligamos 00:01:01
lo sacamos haciendo que pase por el 0, 0, 0 00:01:04
y sea paralelo 00:01:08
y obligamos a que las rectas que buscamos 00:01:10
estén en este plano 00:01:14
ahí tienen que estar las rectas que buscamos 00:01:16
también hemos pintado el plano Z0 00:01:20
pero como coincide con el plano gris 00:01:22
he preferido ponerle oculto 00:01:24
aunque dejarlo ahí creado 00:01:26
para si hay que hacer algún cálculo 00:01:28
de acuerdo 00:01:31
entonces 00:01:32
pues he preferido dejarlo así 00:01:33
bien 00:01:37
para hacerlo con GeoGebra 00:01:38
para que los chicos lo entendieran 00:01:40
se me ocurrió pintar un punto P 00:01:42
que esté obligatoriamente 00:01:44
con la opción de GeoGebra 00:01:47
punto en el plano, de acuerdo 00:01:49
ese punto solo se puede mover por el plano 00:01:52
hacerle una recta que pase por el 0,0,0 y vemos que 00:01:56
efectivamente forma 45 grados, pero bueno, ese punto P 00:02:01
yo lo he obtenido, digamos que así 00:02:04
jugando, hasta que me dio 00:02:07
a veces es fácil, a veces es difícil 00:02:11
Pero vemos que por aquí debería haber otro también que diera 45, o sea que realmente buscamos dos rectas, ¿no? 00:02:16
También podemos ver con GeoGebra, lo bueno que tiene, que si yo hago la representación en 2D, pues se entiende bien, ¿no? 00:02:25
Aquí el punto P también se puede mover hasta que estuvieran las coordenadas que quisiéramos para los 45. 00:02:39
No me va a salir, o sea que... 00:02:48
Bien, pero bueno, esto evidentemente no se puede hacer así y no vale para un examen de la PAU. 00:02:50
Lo que nosotros vamos a hacer es convertir esto en un ejercicio de álgebra, 00:02:59
He utilizado la fórmula de autoescalar, cogiendo el vector director de la recta, que me lo he inventado, 1, 2 o 3, y el vector normal al plano z igual a 0, que es 0, 0, 1. 00:03:02
Bueno, pues haciendo sus cuentas, el coseno de 90 menos alfa es el seno de alfa, os recuerdo que es 90 menos alfa porque el vector normal es perpendicular al plano, entonces para que forme el ángulo con el plano, pues es 90 menos alfa, que en este caso es indiferente porque al ser 45 grados su complementario vuelve a ser 45 grados. 00:03:16
Pero bueno, trabajamos con esta ecuación y llegamos a esta ecuación. 00:03:39
U1 al cuadrado más U2 al cuadrado menos U3 al cuadrado tiene que ser cero. 00:03:45
Esto lo hemos obtenido elevando aquí al cuadrado y pasando todo a un lado. 00:03:51
Entonces ya tenemos una ecuación. 00:03:57
Si hacemos ahora lo mismo sabiendo que tiene que formar 90 grados con el vector normal a este plano 00:03:58
para ser paralelo, para estar incluido en el plano verde, 00:04:05
Bien, pues hacemos exactamente lo mismo, lo único que aquí al estar igualado a cero los denominadores se van, sale bastante más sencillo, ¿verdad? 00:04:09
Y nos queda que la tercera componente del vector director del plano tiene que cumplir esto para ser perpendicular. 00:04:19
Entonces parece que tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas, lo cual nos indica un sistema de ecuaciones que tendrá solución con parámetros que efectivamente serán las dos rectas que buscamos, aunque no es evidente desde luego ni geométricamente ni para los alumnos. 00:04:27
si hacemos por sustitución 00:04:46
metemos U3 aquí 00:04:49
y trabajamos un poquito 00:04:50
pues llegamos a la conclusión 00:04:52
de que el producto de estas dos cosas 00:04:55
tiene que ser cero 00:04:57
por el teorema de Varsinson que llamo yo 00:04:58
o la primera es cero o la segunda es cero 00:05:01
así que 00:05:03
si la primera es cero 00:05:05
sustituyendo aquí 00:05:07
si U1 es cero 00:05:10
pues U3 nos queda U2 00:05:11
y parametrizando pues nos queda 0 lambda lambda 00:05:13
que sería la primera recta solución 00:05:17
y si el paréntesis es 0 00:05:20
menos 3u sub 1 más 4u sub 2 es igual a 0 00:05:22
despejando u sub 2 en función de u sub 1 00:05:25
y sustituyendo esto en esta fórmula 00:05:28
pues nos queda también u sub 3 en función de u sub 1 00:05:33
parametrizando con mu 00:05:36
pues nos queda la recta mu 3 cuartos de mu menos 5 cuartos de mu 00:05:37
A esto, que sería la parte del vector, habría que sumarle el punto, pero como el punto es 0, 0, 0, pues más sencillo. Estas son las dos rectas. Si las pinto, pues como podemos ver aquí, las he puesto, tenemos las dos rectas, con el vector 0, 1, 1 y con el vector 1, 3 cuartos menos 5 cuartos. 00:05:42
1, 3 cuartos menos 5 cuartos 00:06:09
y aquí tenemos, ya da igual que se vea que no 00:06:11
nuestras dos rectas y vemos como forman con el plano 00:06:14
fijaros como son los ángulos 00:06:18
los ángulos no están sobre el plano verde lógicamente 00:06:19
sino son, de hecho podríamos ocultar el plano verde 00:06:24
y vemos que son con el Z0 00:06:27
ahora podríamos poner el Z0 00:06:31
aunque yo creo que se ve mejor sin él 00:06:34
porque como es el gris, pues ahí están los ángulos y que hemos aceptado que es la solución. 00:06:37
¿De acuerdo? Pues ya tenemos un ejercicio menos que se nos resiste. 00:06:44
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
220
Fecha:
17 de marzo de 2018 - 19:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
06′ 50″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
24.84 MBytes

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