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Ejemplo de estudio Crecimiento de una función - Contenido educativo

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Subido el 24 de octubre de 2020 por Gonzalo T.

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bueno entonces aquí en los apuntes estos de derivadas tenemos al final de todo un 00:00:11
ejemplo de aplicación que vamos a hacer en este vídeo para estudiar los intervalos de 00:00:20
crecimiento y de crecimiento de esta función f de x igual a x al cubo partido por x al cuadrado 00:00:25
menos 1 vámonos a ello y tenemos estudiar los intervalos de crecimiento y de crecimiento de 00:00:30
la función f de x igual a x al cubo partido por x al cuadrado menos 1 aquí tenemos lo que hay que 00:00:35
hacer. Primero, calcular el dominio de la función. Segundo, derivar la función. Vamos 00:00:41
a hacer eso en dos partes. El dominio de f es igual a conjunto de números reales, tales 00:00:46
que x al cuadrado menos uno, que es el denominador, es distinto de cero. x al cuadrado menos uno 00:00:51
es igual a cero. Entonces x, tenemos dos soluciones, uno y menos uno. Por lo tanto, esto es el 00:00:56
intervalo que va de menos infinito a menos uno, unión de menos uno a uno, unión de uno 00:01:02
infinito. Es decir, todos los reales salvo el menos 1 y el 1. Bien, la segunda parte 00:01:07
es derivar la función. Es un cociente, entonces la derivada será en el numerador, derivada 00:01:11
del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador por la derivada del denominador 00:01:18
y en el denominador, el denominador al cuadrado. Bien, vamos a derivar estas dos cosas y colocarlas 00:01:24
ahí. Eso lo vamos a hacer en una parte. La derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y 00:01:30
Y la derivada de x al cuadrado menos 1 es 2x. 00:01:36
Llevamos estas dos cosas a la derivada que estábamos calculando. 00:01:40
Entonces esto será 3x al cuadrado multiplicado por x al cuadrado menos 1 menos x al cubo multiplicado por 2x. 00:01:46
Y partido por x al cuadrado menos 1 elevado al cuadrado. 00:01:55
Y esto lo dejamos así factorizado. 00:01:59
Siempre que derivemos una función racional, el denominador lo dejamos factorizado. 00:02:01
No hay que ponerse a hacer este cuadrado, ¿vale? 00:02:04
Lo que sí que vamos a tener que hacer es lo de arriba, porque en el siguiente paso vamos a ver que hay que resolver la ecuación f'x igual a 0. 00:02:08
Entonces me interesa tenerlo de arriba en forma polinómica. 00:02:14
Entonces vamos a desarrollar esta operación de polinomios, que es una operación de polinomios de las que hacíais en segundo de eso. 00:02:17
Entonces aquí todos lo sabemos hacer, hay que tener mucho cuidado de hacerlo bien. 00:02:23
3x al cuadrado por x al cuadrado será 3x a la cuarta menos 3x al cuadrado. 00:02:26
Y ahora aquí, menos x al cubo por 2x será menos 2x a la cuarta. 00:02:32
Y el denominador, x al cuadrado menos 1 al cuadrado. 00:02:37
Bueno, arriba ahora ya se nos queda 3x a la cuarta menos 2x a la cuarta será x a la cuarta menos 3x al cuadrado partido por x al cuadrado menos 1 al cuadrado. 00:02:40
Bien, vamos a ver los apuntes. Hemos hecho ya las dos primeras partes. 00:02:51
Primero, calcular el dominio. 00:02:53
Segundo, derivar la función. 00:02:55
Vamos a ver. Resolvemos la ecuación f' de x igual a cero y obtenemos las soluciones de esa ecuación, 00:02:56
que es lo que se llaman puntos críticos, los puntos que anulan la derivada. 00:03:02
Tercero, vamos a resolver la ecuación f' de x igual a cero. 00:03:06
Entonces, la ecuación es esto de aquí igual a cero. 00:03:10
Entonces, vamos a hacerla. 00:03:14
x a la cuarta menos 3x al cuadrado partido por x al cuadrado menos 1 al cuadrado igual a cero. 00:03:15
Bien, una fracción es igual a cero si el numerador es igual a cero. 00:03:23
Entonces solo tengo que resolver una ecuación polinómica que es el numerador x a la cuarta menos 3x al cuadrado igual a 0. 00:03:26
Y esta es de grado 4, es bicuadrada, pero además es incompleta. 00:03:34
Entonces factorizando directamente, sacando factor común x al cuadrado, me queda x al cuadrado por x al cuadrado menos 3 igual a 0. 00:03:37
Y de aquí sacamos por un lado una solución doble que es x igual a 0. 00:03:45
Y por otro lado, x al cuadrado igual a 3, luego sacamos las soluciones, x sub 1 igual a menos raíz de 3, y x sub 2 igual a raíz de 3. 00:03:48
Por lo tanto, 1, 2, 3, tenemos 3 puntos críticos. 00:03:57
Entonces tenemos ahí esos 3 puntos críticos, vamos a ver ahora qué hay que hacer con esos puntos críticos. 00:04:00
Ahí tenemos, analizamos el signo de f' de x, de la misma forma que resolvíamos sin ecuaciones. 00:04:04
Vamos a dividir el dominio de la función en intervalos, utilizando los puntos críticos, y vamos a analizar el signo de f' en cada uno de los intervalos. 00:04:10
Entonces, vamos a escribir el dominio, que va de menos infinito, 00:04:17
y lo vamos a ir partiendo por estos tres puntos críticos 00:04:21
y por los dos puntos que no son del dominio, que es menos uno y uno. 00:04:23
Es decir, en total vamos a tener cinco puntos en los que dividir el dominio, 00:04:26
que va a quedar dividido entonces en seis trozos. 00:04:30
Entonces, el primero será de menos infinito a menos raíz de tres. 00:04:32
Después de menos raíz de tres, el siguiente sería el menos uno. 00:04:35
Después el siguiente sería el cero. 00:04:38
Después el siguiente sería el uno. 00:04:40
Después el siguiente sería la raíz de tres. 00:04:42
Y ya nos iríamos a infinito. 00:04:44
Como digo, 1, 2, 3, 4, 5, 6 trozos con 5 puntos. 00:04:45
Voy a poner cuadrados en azul los puntos críticos, que son los puntos que anulan la derivada. 00:04:49
Y voy a poner en verde los puntos que no son del dominio. 00:04:55
Todos estos puntos los tenemos que poner aquí, pero tenemos que ver que unos están aquí por una cosa y otros por otra. 00:04:59
Unos son porque anulan la derivada, los que rodean en azul, y otros son los que anulan el denominador. 00:05:07
En este caso, es decir, los puntos en los que no está definida la función. 00:05:12
Bien, pues ahora ya tenemos dividido, aquí vamos a hacer la misma tabla que hacíamos para las inequaciones. 00:05:15
Tenemos dividido la recta real en 6 trozos y aquí ahora vamos a ver el signo. 00:05:21
¿El signo de qué? De la derivada, porque el signo de la derivada es el que me va a dar el crecimiento de la función. 00:05:26
Entonces aquí tengo que poner los diferentes factores que hay en la derivada. 00:05:34
Entonces observamos, el numerador tengo, si factorizo, lo tengo factorizado como x al cuadrado por x más raíz de 3 y por x menos raíz de 3. 00:05:39
Y el denominador ya lo tengo, bueno, el x al cuadrado menos 1 se podría factorizar más, pero bueno, realmente fijaos que como está elevado al cuadrado y solo me interesa el signo, lo podemos dejar así. 00:05:52
nos fijamos también en una cosa 00:06:01
x al cuadrado va a ser siempre positivo 00:06:02
con lo cual yo lo puedo poner aquí 00:06:05
ese factor, pero siempre aquí voy a poner 00:06:06
más, más, más, más, más, no va a aportar nada 00:06:09
entonces si lo pongo 00:06:12
no va a pasar nada, pero si nos damos cuenta 00:06:13
pues ese ya no lo ponemos 00:06:15
entonces únicamente tenemos que poner 00:06:17
x más raíz de 3 00:06:18
es uno de los factores cuyo signo 00:06:21
tengo que ver 00:06:23
el otro es x menos raíz de 3 00:06:24
y luego habría que poner los del 00:06:27
denominador 00:06:32
pero desde el denominador como al final está todo elevado al cuadrado 00:06:33
pasa lo mismo que con este x al cuadrado de aquí 00:06:36
si lo pongo no va a pasar nada 00:06:38
va a ser más, más, más, más en todo 00:06:41
el resultado va a ser el mismo 00:06:42
pero si me doy cuenta no lo pongo 00:06:44
y solamente realmente lo único que va a hacer que cambie el signo 00:06:46
son estos dos factores 00:06:49
la multiplicación de todos estos factores 00:06:51
de todos estos signos 00:06:53
me va a dar el signo de f' 00:06:54
y luego debajo vamos a añadir 00:06:57
y lo indicaremos con una flechita 00:06:59
que nos va a ayudar luego a visualizarlo mejor, si es creciente o decreciente la función. 00:07:01
Cuando f' sea positiva, la función será creciente. 00:07:06
Cuando f' sea negativa, la función será decreciente. 00:07:09
Bien, pues ahora se trata de ver el signo de aquí, el signo de aquí y el signo del producto. 00:07:13
Entonces, para ello, tomamos un valor cualquiera entre menos infinito y menos raíz de 3. 00:07:17
Por ejemplo, menos 5. 00:07:22
Entonces, menos 5 más raíz de 3 es negativo. 00:07:24
Menos 5 menos raíz de 3 es negativo. 00:07:27
Menos por menos, más positivo 00:07:29
Por lo tanto la función en este intervalo va a ser creciente 00:07:31
Siguiente intervalo entre menos raíz de 3 y menos 1 00:07:34
Pues cogemos por ejemplo el menos 1,5 00:07:37
Menos 1,5 más raíz de 3, positivo 00:07:40
Bueno, yo realmente ya veo que este factor se anula aquí 00:07:42
Por lo tanto, a la izquierda negativo, a la derecha positivo 00:07:49
Y va a ser siempre positivo 00:07:53
Si lo veo esto ya, pues lo pongo 00:07:54
Con este va a pasar lo mismo 00:07:57
¿cuál es su raíz? su raíz es raíz de 3 00:07:59
entonces a la izquierda de raíz de 3 00:08:02
esto es una recta, entonces cambia de signo 00:08:04
a la izquierda de raíz de 3 va a ser 00:08:06
negativo, a la derecha de raíz de 3 00:08:08
positivo, y entonces ya lo tengo todo 00:08:10
vale, no falta estar aquí dando valores 00:08:12
más por menos, menos, decreciente 00:08:13
vale, entre menos 1 y 0 00:08:16
bueno, ya lo tengo, pero bueno, si quisiéramos 00:08:17
si no vemos esto claramente 00:08:19
que he puesto yo, pues lo vamos comprobando 00:08:22
con cada uno 00:08:23
entonces bueno, aquí podríamos poner por ejemplo 00:08:25
menos 0,5 y comprobar que 00:08:27
efectivamente esto sale positivo y esto negativo 00:08:29
más por menos, menos, también 00:08:31
decreciente en este intervalo 00:08:33
fijaos que este menos 1 es un punto que no es del dominio 00:08:35
aquí seguramente va a haber una asíntota 00:08:37
y ya vemos que va a ser de ramas divergentes 00:08:39
porque es decreciente y luego sigue siendo decreciente 00:08:41
entre 0 y 1 y de nuevo 00:08:43
sale positivo y negativo, más por menos 00:08:45
menos, de nuevo 00:08:47
decreciente, entre 1 y raíz de 3 00:08:49
1,5, comprobaríamos 00:08:51
más por menos, menos, de nuevo 00:08:53
decreciente y entre raíz de 3 00:08:55
y infinito, pongamos por ejemplo 00:08:57
el 5, me va a salir positivo las dos 00:08:59
y aquí creciente. Entonces 00:09:01
observamos que este menos raíz de 3 00:09:03
que está rodeado de color 00:09:05
azul, es decir, es un punto que sigue 00:09:07
en el que la función sí que está definida 00:09:09
ahí no va a haber asíntota ninguna 00:09:11
pues va a ser un máximo. 00:09:12
A la izquierda es creciente la función, a la derecha es decreciente. 00:09:15
Y luego en este 00:09:18
0 era un punto crítico, podía 00:09:19
ser un candidato porque la derivada se anula 00:09:21
a ser un máximo o mínimo, sin embargo no es 00:09:23
ni máximo ni mínimo, porque la función 00:09:25
es decreciente y sigue siendo decreciente 00:09:27
y en este raíz de 3 00:09:28
va a ser un mínimo 00:09:31
porque pasa de decreciente a creciente 00:09:32
entonces ya por último, una vez analizado 00:09:34
el punto 4, el punto 5 concluimos 00:09:37
en los intervalos donde f' es positiva 00:09:39
la función es creciente 00:09:41
en los intervalos donde f' es negativa la función es decreciente 00:09:42
esto que he puesto aquí 00:09:45
con flechitas, ahora ya la concluimos 00:09:46
y damos la respuesta 00:09:48
creciente en menos infinito 00:09:49
menos raíz de 3 00:09:53
Unión, raíz de 3, infinito 00:09:55
Y decreciente, pues es 00:09:58
Cuidado aquí, porque podríamos decir 00:10:01
Ah, pues como aquí todos son la flechita hacia abajo 00:10:03
Pues desde menos raíz de 3 hasta raíz de 3 00:10:06
No, porque aquí tengo estos dos 00:10:07
Que no son del dominio, entre medias 00:10:10
Y los tengo que excluir 00:10:12
Por tanto, tengo que decir 00:10:13
Es decreciente, menos raíz de 3, menos 1 00:10:15
Unión, menos 1, 1 00:10:18
Unión, 1, raíz de 3 00:10:20
no tengo que poner menos 1, 0, 0, 1 00:10:23
porque en 0 sí que está definida 00:10:26
entonces sí que pongo desde menos 1 hasta 1 00:10:28
y aquí ya tendría completado 00:10:29
el estudio de la monotonía de una función 00:10:32
utilizando la derivada 00:10:34
bueno, vamos simplemente ahora a comprobar esto 00:10:35
esto lo vamos a utilizar para representar funciones 00:10:40
en el tema siguiente, con lo cual 00:10:42
tenemos que ser capaces de llevarnos esto 00:10:44
a un sistema de referencia para obtener la gráfica de la función 00:10:46
de momento lo vamos a hacer con GeoGebra 00:10:49
para que veamos que efectivamente es así 00:10:50
entonces si dibujamos la función f de x 00:10:52
o primero vamos a ir diciendo, bueno, yo sé que va a haber una asíntota en x igual a menos 1 00:10:54
la voy a ir dibujando, otra en x igual a 1 00:10:59
y como f de x es x al cubo partido por x al cuadrado menos 1 00:11:01
cuando x es 0, esto es 0, ¿no? 0 al cubo, 0, entre menos 1, 0 00:11:05
pues el punto 0, 0 tiene un punto donde la derivada se anula 00:11:10
pero pasa de decreciente a decreciente, es decir, no es un extremo 00:11:15
Bueno, pues el punto 0, 0 lo voy a señalar y luego veremos qué significa eso de que la derivada se anule sin que haya un mínimo ni un máximo. 00:11:21
Vale, pasa por ahí y luego sé que en raíz de, en menos raíz de 3, que está por aquí, y su imagen, que esa no la he calculado, 00:11:28
y raíz de 3, que es una imagen que no la he calculado, en 1 va a haber un máximo y un mínimo. 00:11:35
Vamos a ver cómo obtenemos eso. 00:11:38
Vamos a dibujar ya la función y vamos a ver cómo cuadra todo eso. 00:11:40
Vale, pues ahí tenemos la función. 00:11:44
Bueno, efectivamente aquí en este punto donde hay un máximo, esta es para el menor raíz de 3 y el mínimo está en más raíz de 3, ¿vale? 00:11:45
Y ahora aquí ya vemos una cosa que veremos a continuación, que es puntos donde la derivada se anula. 00:11:53
Fijaos que ahí la pendiente, o sea, la recta tiene una pendiente horizontal, la derivada se anula. 00:11:59
La pendiente llega a 0, pero luego es negativa y luego sigue siendo negativa, ¿vale? 00:12:03
Pues en esos puntos es un punto que tiene una característica y es que lo que cambia 00:12:11
no es el crecimiento sino la curvatura, que es lo siguiente que vamos a ver. 00:12:15
Autor/es:
Gonzalo Taboada Gelardo
Subido por:
Gonzalo T.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
79
Fecha:
24 de octubre de 2020 - 21:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS ROZAS I
Duración:
12′ 36″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
92.65 MBytes

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