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Ecuaciones de la recta - Contenido educativo

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Subido el 31 de marzo de 2021 por Rafael O.

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En este vídeo vamos a hablar un poco de las ecuaciones de la recta. 00:00:00
Vamos a hablar de la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica, la en forma continua, la general y la explícita. 00:00:04
Para la ecuación vectorial vamos a empezar por la ecuación vectorial. 00:00:13
Una cosa que tenemos que saber es que para dibujar una recta necesitamos dos puntos. 00:00:16
E y Q, porque por dos puntos pasa una única recta. 00:00:20
Por lo que es equivalente un punto y un vector director. 00:00:24
porque el vector director, que si no tenemos el vector director 00:00:28
pues lo podemos sacar de las coordenadas del vector, del punto P y del punto B 00:00:34
tenemos, por ejemplo, tenemos una recta 00:00:39
fijamos, nos tenemos nuestro punto P y tenemos nuestro vector director 00:00:44
nos vemos que cualquier punto de la recta lo podemos poner como la suma 00:00:48
de las coordenadas del punto P 00:00:54
más un número por el vector D. 00:00:57
Si ese número es positivo, tendremos los puntos que van en el mismo sentido que el vector, 00:01:02
y si ese número es negativo, tendremos los de sentido contrario. 00:01:07
Entonces, para hablarlo de forma analítica, 00:01:12
vamos a llamar x y a las coordenadas del punto x, 00:01:15
de cualquier punto de la recta. 00:01:18
Puede ser este, puede ser este, cualquier punto. 00:01:19
Vamos a llamar P1, P2 a las coordenadas del punto P que sabemos ya de que pasa por ahí la recta 00:01:22
Y vamos a llamar D1, D2 a las coordenadas del vector director D 00:01:31
Una vez que ya sabemos estas cosas, pues como hemos dicho cualquier punto en la recta 00:01:37
lo podemos expresar como las coordenadas del punto P más un número por las coordenadas del vector director. 00:01:42
El T es un número que pertenece a R, a los reales. 00:01:54
Entonces, XI, XI igual a P2 más T por D1, D2, que pertenece a R, es la ecuación vectorial de la recta. 00:01:59
Pasamos a las ecuaciones paramétricas. 00:02:12
Para ver las ecuaciones paramétricas vamos a partir de la ecuación vectorial. 00:02:15
Ya hemos visto antes. 00:02:19
El punto más un número por el vector. 00:02:21
Lo que vamos a hacer para las ecuaciones paramétricas es separar las primeras coordenadas de las segundas coordenadas. 00:02:25
Vamos a obtener en este caso dos ecuaciones. 00:02:31
Una para la primera coordenada, x con p1 más t por d1, 00:02:33
y Y, P sub 2 más T por D sub 2, la segunda coordenada. 00:02:38
T, hemos dicho que pertenece a los reales, puede ser cualquier número. 00:02:46
Entonces, esto de aquí son las ecuaciones paramétricas de la regla. 00:02:51
Primeras coordenadas, del punto, por más un número por la primera coordenada del vector, 00:02:57
Y igual a la segunda coordenada del punto, más un número por la segunda coordenada del vector. 00:03:04
de las paramétricas vamos a pasar a la forma continua 00:03:08
como hemos visto vamos pasando de una a otra 00:03:13
tenemos las ecuaciones en forma paramétrica 00:03:18
y ahora lo que vamos a hacer es despejar la t 00:03:20
la incógnita, la t 00:03:23
la vamos a despejar de las dos ecuaciones 00:03:25
entonces para despejarlo vamos a empezar con la primera 00:03:28
el valor de p1 pasa al otro lado restando 00:03:32
y el d sub 1, como está multiplicando, pasa dividiendo. 00:03:36
Entonces ya tenemos la primera ecuación despejada a la t. 00:03:42
Vamos a hacer lo mismo con la segunda ecuación. 00:03:45
El p sub 2 pasa restando y el d sub 2 pasa dividiendo. 00:03:49
Una vez que ya tenemos dos cosas que son igual a t, pues lo que podemos hacer es igualar. 00:03:55
Como estas dos cosas son igual a t, significa que x menos p sub 1 partido por d sub 1 00:04:00
es igual a y menos p sub 2 00:04:05
partido por c sub 00:04:08
y esta es la ecuación en forma 00:04:09
contínua 00:04:11
fijaros es x menos la primera 00:04:17
coordenada del punto 00:04:20
partido por la primera coordenada del vector director 00:04:21
igual a y menos la 00:04:24
segunda coordenada del punto 00:04:26
partido por la segunda coordenada 00:04:28
del vector director 00:04:30
de la forma 00:04:31
continua vamos a pasar 00:04:34
a la ecuación general 00:04:36
Hemos dicho que estamos en la ecuación en forma continua 00:04:37
x menos p sub 1 partido por d sub 1 00:04:40
Igual a y menos p sub 2 partido por d sub 2 00:04:42
Y lo que vamos a hacer es quitar los denominadores 00:04:45
Y vamos a pasar todo a un lado del signo igual 00:04:48
Igualando a 0 00:04:52
Entonces lo primero que hacemos es 00:04:53
El d sub 2 pasa al otro lado multiplicando 00:04:55
Y el d sub 1 pasa al otro lado multiplicando 00:04:58
Lo que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando 00:05:01
Ahora quitamos los paréntesis 00:05:04
d sub 2 por x menos d sub 2 por p sub 1 igual a d sub 1 por y menos d sub 1 por p sub 2. 00:05:06
Aquí hay una rata, acabo de ver una rata, aquí debería poner p sub 2. 00:05:19
Bueno, si pasamos ahora todo al primer término, d sub 2 menos x menos d sub 2 por p sub 1 menos d sub 1 por y más d sub 1 por p sub 2. 00:05:26
Cuando cambiamos de lado, cambiamos el signo. Igual a 0. 00:05:37
Y ahora lo que vamos a hacer es agrupar, ponerlo en orden. 00:05:41
Primero lo que tiene X, luego lo que tiene Y y luego lo que no tiene nada. 00:05:45
Una vez que ya tenemos esto, para darle la forma general, lo que estamos haciendo en la forma general, 00:05:50
simplemente vamos a nombrarlo, que se llama A mayúscula, lo que multiplica la X. 00:05:55
B mayúscula, a lo que multiplica la Y. 00:06:01
Y C, a lo que no tiene ni X ni Y. 00:06:03
Y por tanto obtenemos la forma general, que la forma general es un número por x más un número por y más sub c igual a cero. 00:06:07
Y esta es la ecuación en forma general. 00:06:18
De la general pasamos a la explícita, muy fácil. 00:06:24
Tenemos la general y tenemos esto y para pasar a la explícita lo único que tenemos que hacer es desplazar la y. 00:06:28
Todo lo que no tiene y pasa al otro lado. 00:06:33
Como están sumando pasan al otro lado restando. 00:06:38
restando y ahora el número que está multiplicando a la y pasa dividiendo 00:06:40
para acabar lo que vamos a hacer es separarlo el b está dividiendo todo 00:06:45
ello entonces el b pasa dividiendo al menos a y pasa dividiendo a menos t 00:06:50
para aclararnos un poquito más vamos a llamar a lo que multiplica a la x 00:06:55
lo vamos a llamar m que es la pendiente de la recta y al término que no tiene x 00:07:00
que vamos a llamar n, que es la ordenada en el origen. 00:07:06
Y por tanto obtenemos que la fórmula en la ecuación explícita es y igual a mx más n, 00:07:10
donde hemos dicho que la m es la pendiente, la inclinación que tiene la recta, 00:07:16
y la n es la ordenada en el origen. 00:07:20
Aquí a altura del eje y nos corta la recta. 00:07:21
Y esto es la ecuación en forma explícita. 00:07:26
Vamos a ver un ejemplo. 00:07:30
Por ejemplo, nos dicen que hallemos las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos. 00:07:32
3, 2 y Q menos 1, 5. 00:07:36
Lo primero que vamos a hacer para sacar la ecuación vectorial es buscar un vector director. 00:07:40
Y entonces lo primero que elegimos es un punto, vamos a elegir el punto P que es más sencillo 00:07:45
y el vector director que va desde P hasta Q. 00:07:52
Para hacer el vector director que va desde P a Q, pues las coordenadas de Q le restamos las de P. 00:07:57
primera coordenada menos segunda coordenada 00:08:02
y segunda coordenada menos segunda coordenada 00:08:05
nos queda que el vector director es 00:08:07
menos 4, 3 00:08:09
y nuestro punto va a ser el punto 3, 2 00:08:10
entonces la ecuación vectorial nos queda 00:08:13
x, y igual a las coordenadas del punto 00:08:16
3, 2 más t 00:08:19
por las coordenadas de nuestro vector director 00:08:21
con t perteneciente a los números reales 00:08:24
una vez que tenemos esto 00:08:26
para pasar a las ecuaciones paramétricas 00:08:29
separamos primera coordenada por primera coordenada, y segunda coordenada por segunda coordenada. 00:08:31
La x es igual a 3 menos 4t, pasamos la t detrás del número para que quede más bonito escrito, 00:08:36
y la y es igual a 2 más 3 por t, con t perteneciente a y. 00:08:44
Una vez que ya tenemos las paramétricas, pasamos a la forma continua. 00:08:49
En la forma continua, pues lo primero que hemos dicho es que tenemos que despejar la t. 00:08:53
Puede ser 3 que está en un lado, lo pasamos al otro lado restando, hacemos lo mismo con el 2 00:08:57
Y ahora el número que está multiplicando a la t pasa dividiendo 00:09:04
Entonces tenemos que x menos 3 partido por menos 4 es igual a t 00:09:07
Y menos 2 partido por 3 igual a t 00:09:11
Entonces nos queda que la ecuación en forma continua es x menos 3 partido por menos 4 00:09:14
Igual a y menos 2 partido por 3 00:09:19
Siempre os he dicho que no puede haber números negativos en el denominador 00:09:22
Pero para dejarlo en forma continua, vamos a dejarlo para que se vea más claro cuál es el vector director. 00:09:26
Para que veamos que las coordenadas del vector director son menos 4, 3. 00:09:34
Y las coordenadas del punto es el 3, 2. 00:09:39
Una vez que hemos visto la ecuación en forma continua, vamos a pasar a la ecuación general. 00:09:43
Lo que hacemos, recordamos, el número que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando. 00:09:48
Y hacemos las multiplicaciones de los paréntesis. 00:09:52
3 por x, 3x, 3 por menos 3, menos 9, menos 4 por y, menos 4y y menos 4 por menos 2, más 8 00:09:54
pasamos todo a la izquierda y nos queda 3x, el menos pasa a ser más, más 4y, menos 9 y ese más pasa a ser menos, menos 8, igual a 0 00:10:03
y entonces nos queda que es 3x más 4y, igual a 3x más 4y, menos 17, igual a 0 00:10:14
esa sería la ecuación general 00:10:21
Y para la ecuación explícita pues despejamos la y, 4y es igual a menos 3x más 17 y la y nos queda menos 3x más 17 partido por 4 que separándolo en los dos términos nos queda que la y es igual a menos 3 cuartos de x más 17 cuartos. 00:10:23
Por tanto la solución será que la ecuación vectorial es esta, a continuación tenemos las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua, la general y la ecuación explícita. 00:10:43
Espero que con este ejemplo nos haya quedado un poco más claro y ya podamos seguir haciendo los ejercicios. 00:10:59
Autor/es:
Rafael Oliver Fernández
Subido por:
Rafael O.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
129
Fecha:
31 de marzo de 2021 - 11:50
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS AMÉRICAS
Duración:
11′ 08″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
3200x1800 píxeles
Tamaño:
40.91 MBytes

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