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Matrices - Contenido educativo

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Subido el 22 de septiembre de 2020 por Juan Pablo P.

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Tema 2. Matrices

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Hola, buenos días. Vamos a empezar a hacer un pequeño repaso de lo que es el tema de matrices, ¿de acuerdo? 00:00:01
He pensado grabaros este vídeo para que, aparte de lo que comentemos en clase, podáis echarle un vistazo y ver qué es lo que podéis aprender de nuevo. 00:00:09
Lo que vamos a seguir es el libro de Matemáticas 2, de Apuntes de la Marea Verde, y es el primer capítulo que se llama Matrices. 00:00:22
Bien, entonces aquí vienen, para que sepáis quiénes son los que lo han escrito y demás, este sería como un resumen de lo que va y lo primero sería el concepto de matriz. 00:00:30
Las matrices, aunque ahora os parezca como algo nuevo que os contamos, en realidad simplemente es disposición en filas y columnas de número, funciones, objetos. 00:00:46
Bien, entonces estamos acostumbrados a ver tablas de este tipo de doble entrada que al final lo que dan es una representación de una matriz. 00:00:57
Operando con esas matrices se podrían resolver un montón de problemas como los que plantean ahí arriba. 00:01:05
Si queréis lo leéis lentamente y lo reflexionéis un poco. 00:01:10
Lo que me interesa fundamentalmente es la definición de matriz. 00:01:14
Es un conjunto de m por n elementos que están ordenados en m filas y en n columnas. 00:01:18
Os remarco aquí las filas y las columnas. 00:01:30
M filas, n columnas. 00:01:36
Es muy importante que tengamos claro cómo nos vamos a referir a los puntos. 00:01:40
Por ejemplo, ¿qué significa una matriz de este estilo? 00:01:49
Bueno, pues las matrices, como hemos dicho, tienen m filas, n columnas, pues dimensión de una matriz es m por n. 00:01:53
Si la matriz fuera lo que se dice cuadrada, es decir, si m es igual a n, muchas veces veréis que dice dimensión de la matriz m, 00:02:01
simplemente porque las dos son iguales en este caso el ejemplo que me dan es a madrid 2 por 3 00:02:09
y lo que me interesaría saber por ejemplo es como yo nombro a los elementos bien entonces por 00:02:16
ejemplo que es el elemento 1 3 pues el a 13 es un elemento que está en la fila 1 posición 3 00:02:25
Pues el A13 es el número 4. Por ejemplo, ¿qué es el ASU22? El ASU22 es el 5. ¿De acuerdo? Es decir, cada uno de estos tiene una posición. Eso es lo que se llama elemento ASUIJ. ¿De acuerdo? 00:02:36
dos matrices son iguales vamos a borrar visto esto vamos a borrarlo dos matrices son iguales 00:03:04
si tienen iguales sus elementos entonces aquí si comparo esta y esta pues tiene que de primera 00:03:20
posición igual a la primera lo que sería la segunda de la primera fila igual a la segunda 00:03:29
la tercera igual a la tercera, ¿de acuerdo? 00:03:33
Entonces, en general, por ejemplo, estas dos matrices serán iguales, 00:03:37
bueno, pues yo veo que tienen que tener el mismo número de filas y de columnas, 00:03:45
para que no me sobre nada, y para que sean iguales, la A, que es la 1,1, 00:03:48
tiene que ser igual a 3, la B, que está en la posición 1,2, 00:03:53
tiene que ser igual a menos 1, ¿de acuerdo? 00:03:58
Vamos a coger algo para remarcar, que lo veáis. La posición 1-1 sería la B. Aquí la 2-2 debería de valer 5, ¿de acuerdo? Y así sucesivamente. 00:04:02
seguimos 00:04:23
vamos a borrar esto 00:04:30
porque marca 00:04:33
luego, ejercicios, dimensión de las siguientes matrices 00:04:47
pues esta es una matriz 00:04:52
que es 00:04:53
esta es 2 por 3 00:04:55
esta es 1 por 4 00:04:59
esta es 3 por 1, esta es 3 por 3 00:05:03
¿de acuerdo? si 00:05:07
nos fijamos las matrices según su forma, veremos que se les va 00:05:10
dando una serie de nombres, entonces 00:05:15
tipos de matrices 00:05:18
matriz fila, una de este tipo, matriz columna 00:05:32
¿de acuerdo? solo por la forma ya se ve, matriz cuadrada, que la m y la n 00:05:36
coinciden, como ya había dicho antes. Una matriz que es cuadrada 00:05:40
tiene dos diagonales. La a sub 1, 1, a sub 2, 2, a sub 3, 3 00:05:45
sería la diagonal principal. Y las 00:05:50
a sub 3, 1, a sub 2, 2, a sub 00:05:53
1, 3 sería la diagonal secundaria. ¿Vale? Si 00:05:57
os fijáis, estaríamos hablando de esta diagonal 00:06:01
principal y de esta diagonal secundaria. 00:06:05
Vamos a moverlo esto para tenerlo más cerca 00:06:08
Bien, entonces, a ver si puedo pillarlo aquí 00:06:13
Ahora lo ponemos aquí más cerquita y así no tenemos que andar moviendo tanto 00:06:23
Bueno, pues seguimos 00:06:32
¿Qué es una matriz triangular? 00:06:34
Pues es una matriz cuadrada en la cual por debajo de la diagonal son todos ceros o por encima de la diagonal son todos ceros. 00:06:37
Por lo tanto, si los ceros están por debajo se llama triangular superior, si los ceros están por encima se llama triangular inferior. 00:06:46
Bueno, una matriz se llama escalar, si es cuadrada y todos los números de la escuadrada tienen todos ceros, salvo los elementos de la diagonal y los elementos de la diagonal son el mismo número. 00:06:57
De las escalares la más importante es la matriz identidad, que se le llama matriz unidad para el producto de matrices, que ya contaremos cómo se resuelve dicho producto de matrices. 00:07:15
¿De acuerdo? Luego está la matriz nula, que es la que tiene todos ceros, y a partir de aquí tenéis este ejercicio, lo echáis un vistazo, vamos a ver, ejemplos de matrices, ¿cómo se suman dos matrices? 00:07:27
Bueno, pues lo primero, para poder sumar dos matrices tendrán que tener el mismo tamaño 00:07:48
Solo puedo sumarlas si tienen el mismo número de elementos 00:07:53
ordenados con el mismo número de filas y el mismo número de columnas 00:07:58
¿Y cómo se suman? 00:08:02
Pues se suma el a sub 1, 1 con el b sub 1, 1 00:08:03
el a sub 2, 2 con el b sub 2, 2 00:08:06
como vais viendo aquí, ¿de acuerdo? 00:08:09
Es decir, que se suman elementos que ocupan la misma posición 00:08:11
Si os fijáis, resulta que como en realidad estoy sumando números reales, pues se cumple la propiedad asociativa 00:08:14
Si yo cojo tres matrices iguales, puedo sumar A más B y lo que salga sumarlo con C 00:08:23
O puedo coger y sumar B más C primero y lo que salga sumarlo con A 00:08:29
¿De acuerdo? La propiedad asociativa 00:08:35
¿Cuál será el elemento neutro? 00:08:37
Pues el elemento neutro es lo que se conoce como la matriz nula 00:08:40
Si yo a la matriz A, por ejemplo, la sumo una matriz que tiene todos ceros, pues al sumar si tiene todos ceros me vuelve a quedar A. 00:08:43
Por eso, eso sería la matriz nula. 00:08:56
¿Y qué es el opuesto? Pues si a A le sumo una matriz que tenga todos estos mismos números, pero con todos sus signos cambiados, pues al sumarlo me saldrá la matriz cero. 00:08:59
Eso es lo que se llama opuesto. 00:09:10
Y luego tenemos la propiedad conmutativa. Si os fijáis, da lo mismo sumar A más B que B más A, porque al final, como sumo los elementos que están en las mismas posiciones, ¿de acuerdo? 00:09:11
Bueno, siguiente operación con matrices. Multiplicar por un número escalar una matriz. 00:09:23
Bien, ¿cómo multiplicaríais esta matriz, esta, por 2? 00:09:31
Bueno, pues si la queréis multiplicar por 2, diríais, ¿qué multiplico? ¿Solo 1? 00:09:38
No, lo normal es multiplicar todos los elementos por 2. 00:09:42
Por ejemplo, aquí lo tenéis multiplicado por 5, pues si veis, 5 por 1, 5. 00:09:47
5 por 2, 10, 5 por 4, 20. 00:09:55
Bueno, pues esta operación tiene también una serie de propiedades. 00:10:01
La propiedad distributiva respecto de la suma de matrices. 00:10:05
¿Qué hago primero? 00:10:09
¿La suma y multiplico por el número o el número por una matriz más el número por la otra? 00:10:10
Bueno, pues esa es la distributiva. 00:10:17
Da igual hacer una cosa o la otra. 00:10:20
La distributiva con respecto a la suma de números. 00:10:22
Da igual sumar primero los dos números, puedo sumar primero los dos números y luego multiplicarlo por la matriz, o el primer número por la matriz, el segundo número por la matriz. 00:10:24
Y luego la asociativa de producto, que se ve más o menos lo que dice, que es muy sencillo, ¿no? 00:10:37
Puedo multiplicar los números o ir multiplicando uno y luego el otro, ¿de acuerdo? 00:10:43
Y una propiedad, y es que si cojo el elemento neutro de la multiplicación de escalares, que es el 1, y lo multiplico por una matriz, sale la misma matriz, ¿de acuerdo? 00:10:49
Bueno, pues a todo esto, al conjunto de matrices, verificando estas dos operaciones con sus respectivas propiedades, es lo que se llama espacio vectorial. 00:11:01
entonces el espacio vectorial que nosotros vimos el año pasado 00:11:14
pues era el de dimensión 2 00:11:18
eran todo vectores de dos coordenadas 00:11:21
este año vamos a usar mucho vectores de tres coordenadas 00:11:24
pero ya conocemos por ejemplo 00:11:28
que las matrices es un espacio vectorial 00:11:29
¿de acuerdo? ¿y de qué dimensión? 00:11:33
pues como es de dimensión en este caso 00:11:35
3 por 3, pues las matrices de esta forma 00:11:38
tienen dimensión 9, quiere decir 00:11:41
que cada una de las bases, como veíamos el año pasado, pues estaría formada por nueve elementos. 00:11:43
Bueno, continuamos. 00:11:52
Primera cosa que se sale un poco de lo normal, sería el producto de matrices. 00:12:00
¿Cómo puedo multiplicar dos matrices? 00:12:06
Bueno, pues lo primero, no se pueden multiplicar dos matrices cualesquiera. 00:12:08
No se pueden multiplicar tampoco dos matrices que tengan el mismo tamaño. 00:12:12
Aparte, tiene que cumplir una cosa muy importante y es que el número de filas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda. 00:12:19
¿De acuerdo? Entonces, el... lo he dicho mal, a ver, sí que el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda, perdonad. 00:12:35
Bien, bueno, pues, ¿y qué es lo que se hace? Lo que se hace es multiplicar filas por columnas. 00:12:51
Aquí viene expresado pero de una manera un poco complicada. Si quisiéramos desarrollar este sumatorio, si desarrolláramos este sumatorio que hay aquí, en realidad lo que viene a decir es que si yo quiero multiplicar la matriz A por la matriz B, 00:12:58
Lo primero que tengo que verificar es que aquí y aquí la cantidad coincide y lo que multiplicaré será toda esta fila por toda esta columna y esa será la primera posición. 00:13:15
Por eso aquí pone el 1 por 2, el 2 por 3 y el 3 por 4, ¿bien? 00:13:28
Para saber la posición de aquí sería toda esta por esta, por eso pone 1 por 1, 2 por 2, 3 por 1. 00:13:36
Para saber esta posición, la posición 1, 2 sería este por este, 4 por 2, 5 por 3, 6 por 4, y la última sería 4, 5, 6 por el 1, 2, 1, resultado, haciendo estas sumas, sale esta. 00:13:48
Y el resultado, como veis, es si tenía dos filas, tres columnas y tres columnas, dos filas, el resultado es una matriz 2 por 2. 00:14:12
Bueno, a la vista de esto ya nos damos cuenta de algo muy importante, y es que el producto de matrices no va a ser conmutativo, no va a ser lo mismo A por B que B por A. 00:14:22
Ahora, si yo multiplicara una matriz 3x2 por una 2x3, como estaría invertido el orden, me quedaría una 3x3, luego si sale una 3x3 nunca va a poder coincidir con una 2x2, ¿de acuerdo? 00:14:35
Entonces, primera cosa muy importante es el producto de matrices no es, vamos a borrar esta línea de aquí, el producto de matrices no es conmutativo. 00:14:55
Es más, veremos que hay veces donde las matrices no se pueden multiplicar. Yo puedo multiplicar la matriz A por B porque tiene tres columnas y esta tiene tres filas, pero no puedo multiplicar B por A, ¿de acuerdo? 00:15:10
Si este estuviera delante, no podría multiplicarla por esta. 00:15:31
Bien, sí que se cumple la propiedad asociativa, sí que se cumple la propiedad del elemento neutro, pero donde la matriz identidad, en este caso hay que tener muy claro que es una matriz cuadrada, 00:15:36
donde tiene 1, 1, 1, puntos suspensivos 1, por aquí encima todos son ceros, por aquí debajo todos son ceros, de acuerdo, vamos a borrar aquí un poquito, 00:15:57
que me ha salido un poco mal 00:16:16
de acuerdo 00:16:19
entonces, muy importante 00:16:24
y si veis, pone A por I 00:16:27
y por A 00:16:30
porque al no ser conmutativa 00:16:33
hay que hacer la multiplicación por los dos lados 00:16:35
lo bueno que tiene la identidad es que sí que es una matriz 00:16:38
que conmuta con cualquier otra matriz 00:16:42
y luego se da la propiedad distributiva 00:16:45
A por B más C igual a A por B más A por C, pero muy importante, la A está a la izquierda, luego la A queda a la izquierda de B y la A queda a la izquierda de C. 00:16:48
¿De acuerdo? Bueno, pues borramos esto para pasar a la siguiente hoja y lo siguiente que vamos a contar es matriz inversa. 00:17:07
Bueno, una vez que ya hemos visto que una matriz por otra matriz no tiene por qué ser conmutativo, pues resulta que hay determinados productores de matrices que nos interesaría saber si multiplicada por otra matriz me saldría la matriz identidad. 00:17:30
Eso es lo que se conoce como matriz inversa. 00:17:50
Bueno, pues, por lo que sabemos de las dimensiones, como debería de ocurrir que A por A menos 1 sea igual que A menos 1 por A e igual a la identidad, 00:17:52
la primera condición importante es que la matriz debe de ser cuadrada. 00:18:11
¿Vale? Y a estas matrices, si dada la matriz A existe A-1, se la llama matriz regular o inversible. 00:18:17
Y A es la inversa de A-1 o A-1 es la inversa de A. 00:18:29
¿De acuerdo? Si no tienen inversa y son cuadradas, se dice que es singular. 00:18:35
Bueno, propiedades, si yo calculo la inversa de la inversa, me queda la matriz que yo tenía 00:18:40
Si yo hago la inversa del producto, me queda el producto de las inversas, pero cambiados de orden 00:18:53
¿Esto por qué? Bueno, pues si yo tengo la matriz A por B 00:19:02
y la pongo multiplicada por la b menos 1, a menos 1, 00:19:10
¿qué es lo que ocurre si yo cojo estas dos? 00:19:23
Que como una es la inversa de la otra, me va a salir la identidad. 00:19:26
Y si esta es la identidad, me va a quedar a por la identidad y por a menos 1. 00:19:30
ya, pero A por identidad es A 00:19:39
y por A menos 1 queda la identidad 00:19:44
es decir, que es verdad que B menos 1 00:19:47
A menos 1 es la inversa de esta de aquí 00:19:51
bueno, y luego hay una operación 00:19:55
que contaremos un poquito más adelante, pero por si acaso 00:19:59
la cuento aquí, que es la transposición 00:20:03
es coger una matriz y cambiar las filas por las columnas, ¿de acuerdo? 00:20:07
Entonces, si yo cojo a la inversa y calculo y cambio filas por columnas, 00:20:13
sale lo mismo que si primero cambio filas por columnas y luego hago la inversa, ¿de acuerdo? 00:20:19
Bueno, pues en principio esas serían las propiedades básicas. 00:20:26
Lo borramos también, porque luego si no, al arrastrar, se vienen con nosotros las líneas. 00:20:31
Bueno, cálculo de matrices inversas, ¿bien? 00:20:45
Bueno, pues si yo tengo la matriz esta y quiero hallar la inversa, es encontrar una matriz de manera que cuando la multiplique por esta me salga la identidad, ¿vale? 00:20:50
bueno vamos a hacer aquí vamos a ver primero este ejemplo que es muy sencillito y luego vamos a hacer 00:21:00
otro ejemplo e incluso despejar en un en una ecuación de matrices vuelvo a repetir me dan 00:21:07
esta matriz y lo que quieren es hallar a menos o no pues se tiene que cumplir que a por a menos 00:21:17
1 sea igual a la identidad, ¿vale? Calculo aquí lo que vale a por a menos 1, sería esta por esta, 0 por a, 0, 1 por c, c, hago esta fila por esta columna, 0 por b, 0, 1 por d, d, esta por esta, que sale el 2a, y esta por esta, que sale el 2b. 00:21:25
como esto tiene que ser igual a la identidad 00:21:52
eso me sale que la C vale 1, que la D vale 0 00:21:58
que el 2A vale 0 y que el 2B vale 1 00:22:04
pues si el 2B vale 1 es porque la B vale un medio 00:22:09
entonces esta sería la matriz A-1 00:22:12
de acuerdo bueno vamos a hacer un caso un poquito más complejo 00:22:17
este método de cálculo de inversas solamente es útil si la matriz que yo 00:22:23
tengo es 2 por 2 o 3 por 3 con muchos ceros porque vais a ver que cuando yo 00:22:32
resuelva el sistema vamos las ecuaciones me va a quedar dos sistemas de 2 por 2 00:22:40
si la matriz A era 2 por 2. Y si la matriz A es 3 por 3, me saldría un sistema de 3 ecuaciones, 00:22:46
vamos, perdón, 3 sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. 00:22:54
Entonces, si no fuera fácil de resolver, pues quedaría el tema complicado. 00:22:58
Vamos a empezar entonces con el primer ejemplo. Sea A igual a la matriz 1, 2, 3, 5. Estoy buscando la matriz A menos 1, que no sé cuál es, que tiene A, B, C y D. 00:23:02
Sé que es cuadrada. Bueno, pues lo primero que tiene que cumplir es que el 1, 2, 3, 5, multiplicado por A, B, C, D, salga la matriz de identidad, que es 1, 0, 0, 1. 00:23:32
¿De acuerdo? Bueno, pues al igual que antes, tengo que saber que tengo que multiplicar esta fila por esta columna, esta fila por esta columna, esta fila por esta columna, ¿de acuerdo? 00:23:58
e igualarlo a esta matriz. Bueno, pues el resultado es el siguiente, 1 por A, A, 2 por C, 2C, y eso tiene que ser igual a la posición 1, 1, que es esta de aquí, 00:24:20
1 por B 00:24:41
2 por D 00:24:46
y esto tiene que ser igual a esta posición de aquí 00:24:52
que sería igual a 0 00:24:56
ahora hago esta fila por esta columna 00:24:59
más 5C 00:25:04
que tendría que ser igual a la posición de aquí, 0, y 3B más 5D, que tendría que ser a la posición 2, 2, que es 1. 00:25:09
Si os dais cuenta, aquí lo que me han salido son dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 00:25:24
Bueno, he elegido una matriz sencilla para no liarnos muchos en las cuentas. 00:25:33
Si a esta la multiplico, a esa ecuación la multiplico por menos 3, pues me queda menos 3A menos 6C igual a menos 3. 00:25:37
Y si ahora sumo estas dos, pues me queda menos C igual a menos 3, luego ya tengo que la C vale 3. 00:25:50
Y si la C vale 3, sustituida aquí, 2 por 3, 6, pasada al otro lado, la A vale menos 5. 00:26:05
De la misma manera, si multiplico esta por menos 3, me queda menos 3B menos 6D igual a 1. 00:26:18
Y si ahora sumo estas dos, este y este se van, me queda menos D igual a, perdón, aquí sería un 0, menos D igual a 1. 00:26:30
luego quedaría que la D vale menos 1 00:26:51
si la D vale menos 1 esto es menos 2 00:26:56
luego la B vale 2 00:26:58
por tanto la matriz A menos 1 00:27:01
es igual a menos 5 00:27:14
la B que vale 2 00:27:19
la C que vale 3 00:27:22
y la de que vale menos 1. 00:27:25
Bueno, en selectividad siempre piden el cálculo de una inversa, 00:27:30
suele ser una inversa 3x3. 00:27:35
Bueno, como no cuesta nada, lo que yo recomiendo siempre es comprobar. 00:27:38
No cuesta nada hacer una pequeña comprobación. 00:27:43
Cojo la matriz. 00:27:50
1, 2, 3, 5. 00:27:54
Y lo multiplico por la menos 5, 2, 3, menos 1. 00:27:59
Cuando hago este producto queda 1 por menos 5, menos 5, 2 por 3, 6, y 6, y menos 5, sale 1. 00:28:10
1 por 2 es 2, 2 por menos 1 es menos 2, 2 y menos 2 sale 0. 00:28:20
3 por 5, menos 15, 5 por 3, más 15, 0 00:28:26
3 por 2, 6, menos 5, 1 00:28:33
¿Vale? Bueno, pues esto ya me dice que no me he confundido 00:28:36
¿Vale? 00:28:42
Bueno, volvemos a otro tipo de ejemplo 00:28:44
Vamos a ver, para ello 00:28:49
Desplazamos esto un poquito para arriba 00:28:52
Bueno, creo que me va a salir más rentable abrir una nueva página. A ver, abrimos una nueva página y planteamos el siguiente problema. 00:28:55
Me dan, la quieren resolver, ahora calcular una matriz X tal que A por X sea igual a B, donde me dicen que la matriz A es la 1, 2, 3, 5, la matriz de antes, 00:29:13
y la matriz B es la 2, 3, 4. 00:29:42
B, 2, 3, 4, 5. 00:29:51
Si no, me he equivocado, para no... 00:29:58
Y hay que hallar lo que vale la matriz X. 00:30:00
Bueno, pues como yo sé que esta matriz es 2 por 2 00:30:03
y el resultado tiene que ser 2 por 2, 00:30:07
Esto me obliga a que esta matriz sea 2 por 2, ¿de acuerdo? Luego voy a tener que hallar 4 puntos, 4 elementos de esta matriz. 00:30:10
Bueno, pues podría hacerlo como antes, podría poner el 1, 2, 3, 5, por A, B, C, D, igual al 2, 3, 4, 5. 00:30:22
Esta sería como una primera forma, ¿vale? Y luego hay una segunda forma que es despejando. 00:30:43
Si a mí me dices que a por x es igual a b, si yo multiplico aquí por a menos 1, me quedará a menos 1 por a y por x igual a a menos 1 por b. 00:31:01
Como esto es la identidad, tendré que x es igual a a menos 1 por b. 00:31:26
como resulta que yo antes calcule lo que valía a menos 1 y a menos 1 resultó ser 00:31:35
ahí lo he borrado, a menos 1 era la menos 5 00:31:44
2, 3, menos 1 00:31:51
de acuerdo, menos 5, 2, 3, menos 1 00:31:59
Y ahora lo multiplico por la b, que es la 2, 3, 4, 5, y haciendo este producto ya tengo los cuatro elementos. 00:32:05
Entonces puedo hacerlo de esta forma, resolviendo este sistema, ¿de acuerdo? 00:32:18
O puedo hacerlo con solo la multiplicación de matrices. Menos 10 más 8, menos 2. Menos 15 más 10, menos 5. 6 menos 4, 2. 9 menos 5, 4. Bien, pues ya tengo que me sale el 2 menos 5, el menos 2 menos 5, 2, 4. 00:32:29
Si lo comprobáis, veréis que en este de aquí os sale que la A vale menos 2, que la B sale menos 5, que la C sale 2 y que la D sale 4, ¿vale? 00:32:55
Entonces, ¿qué hubiera pasado si me hubieran dicho que lo que tengo que hallar es una matriz que cumpla x por a igual a b? 00:33:17
Imaginaros que me ponen este otro ejercicio. 00:33:36
Pues tengo que tener mucho cuidado porque al no ser conmutativa voy a tener que multiplicar por aquí y por aquí por a menos 1. 00:33:39
Luego sería x por a por a menos 1 igual a b por a menos 1, o lo que es lo mismo que la x es b por a menos 1, ¿de acuerdo? 00:33:51
Bueno, pues esto es muy importante, ¿de acuerdo? 00:34:12
Aquí, según me encuentro aquí, para despejar, el A pasa al otro lado, pero a la izquierda como A menos 1 00:34:17
Para despejar aquí, el A pasa al otro lado como A menos 1, pero a la derecha de B 00:34:24
¿De acuerdo? 00:34:30
Ok, bueno, pues vamos a seguir con la teoría 00:34:33
y para ello continuamos aquí, bien aquí es otro cálculo de inversa, veis que la cosa ya aquí se complica y además en cuanto el sistema no sea tan fácil 00:34:38
me empiezan a salir fracciones y ya se complica. 00:35:00
Siempre que sea un 2x2, en ese caso no hay problema, 00:35:08
porque el 2x2 al final puede ser laborioso, 00:35:12
pero por igualación, sustitución o reducción lo resuelvo. 00:35:15
Bien, bueno, que sepáis que como hay sistemas que no tienen solución, 00:35:19
pues también cuando uno va a resolver hay matrices que no tienen inversa. 00:35:24
Cuando yo me pongo a resolver este, resulta que el 3A más 6C tiene que valer 3 y el 3A más 6C tiene que valer 0, eso es imposible, luego el sistema no tiene solución, la matriz A no tiene inversa, es lo que se llama una matriz singular. 00:35:28
Bueno, el método de Gauss-Jordan, que no lo vamos a ver, es el método de Gauss el año pasado, lo contaremos luego, para el cálculo de inversas de matrices, y esto ya sería lo último del tema que quería contaros. 00:35:49
¿Os acordáis que os dije que al final del tema hablaríamos de las matrices traspuestas? Pues la traspuesta de una matriz es invertir las filas por las columnas. 00:36:06
¿Veis aquí que pone el 1, 2, 3? Pues aquí pongo el 1, 2, 3. ¿Qué pone el 4, 5, 6? Aquí pongo el 4, 5, 6. Bueno, pues hay unas matrices un tanto especiales que son las matrices simétricas, que son matrices cuadradas y que cuando haya su traspuesta coincide con ella misma. 00:36:16
¿De acuerdo? Entonces, por ejemplo, esta matriz es una matriz simétrica y en realidad lo que tiene que ver es con una simetría respecto a la diagonal principal. 00:36:39
El 1, el 1, el 3, el 3, el 4, el 4. Cuando yo cojo el 1, 1, 3, lo paso aquí, 1, 1, 3. El 1, 2, 4, lo paso aquí, 1, 2, 4. El 3, 4, 5, lo paso aquí, 3, 4, 5. 00:36:49
Pero cuando comparo las dos matrices, estas son iguales, ¿vale? 00:37:05
¿Propiedades de las matrices traspuestas? 00:37:14
Pues si yo hago la traspuesta de una traspuesta, me sale la misma matriz. 00:37:16
Es decir, si cambio las filas por las columnas y lo vuelvo a cambiar, pues todo queda igual, ¿de acuerdo? 00:37:21
Si tengo una suma de matrices y luego hago la traspuesta, puedo hacer primero la traspuesta y luego la suma de matrices. 00:37:27
Sin embargo, hay que tener un pequeño cuidado con el producto de matrices 00:37:33
Pasa un poco parecido a lo de la inversa 00:37:40
Ya veremos luego en el siguiente tema 00:37:42
Que en realidad es que para el cálculo de inversa que nosotros vamos a contar 00:37:44
Se utiliza la traspuesta 00:37:49
Y entonces la inversa y la traspuesta van como muy unidas 00:37:50
Y si me lo aprendo una vez, pues ya me sirve para la otra 00:37:54
La inversa del producto era el producto de las inversas 00:37:58
invirtiendo el orden, la traspuesta del producto es el producto de las traspuestas 00:38:02
invirtiendo el orden. Bueno, luego hay una serie de matrices 00:38:06
que se llaman emisimétricas o antisimétricas 00:38:10
que son aquellas matrices que cuando hago la traspuesta no me sale ella 00:38:14
sino que me sale su opuesta, ¿vale? Entonces si una matriz 00:38:18
cuadrada es igual a la opuesta de su traspuesta 00:38:22
se dice que es antisimétrica, ¿vale? 00:38:26
esos son nombres que hay que irse aprendiendo 00:38:29
porque luego los enunciados vienen y yo tengo que saber hacerlo 00:38:32
¿de acuerdo? 00:38:36
y vamos a hablar un poquito del rango de una matriz 00:38:39
aunque en principio lo daremos mucho mejor cuando hablemos de determinantes 00:38:44
bueno, se llama rango de una matriz 00:38:50
al número de filas o de columnas que son linealmente independientes. 00:38:53
Si os acordáis, el año pasado, en realidad lo que quería decir era 00:39:00
que no podía construir una usando las columnas de las otras. 00:39:04
El año pasado era con vectores, pues eran dos vectores, 00:39:10
eran linealmente independientes, si a partir de uno no podía sacar el otro. 00:39:13
Bien, entonces el año pasado nuestras bases eran de dos vectores linealmente independientes porque eran de dos coordenadas. 00:39:18
Este año, pues, como serán de tres coordenadas, pues serán tres vectores linealmente independientes. 00:39:31
Bueno, en realidad, para ver cuál es el rango de una matriz, la mejor manera es aplicar el método de Gauss. 00:39:37
¿De acuerdo? Como hacíamos el año pasado. Si aplicamos aquí el método de Gauss, veréis, nos saltamos esto, es un poco rollo, a ver si viene por aquí, no, pues ya no, vale. 00:39:45
A ver, aquí. Calcula el rango de las siguientes matrices, ¿de acuerdo? Bueno, pues si os fijáis aquí, por ejemplo, esta, 333 es el triple de esta, ¿vale? 222 es el doble de esta. 00:40:08
Luego, el rango de D es 1, porque a partir de este vector puedo generar todos los demás. 00:40:30
Da igual que lo mire por filas, que por columnas, el 1, 2, 3, el 1, 2, 3, el 1, 2, 3, ¿de acuerdo? 00:40:37
Si nos fijamos en este igual, el doble de esta es esta, ¿vale? 00:40:44
Por ejemplo, para ver estos de aquí, podría aplicar lo que nosotros hacíamos el año pasado, 00:40:50
que es, multiplico esta por menos 2 y sumo, y al sumar me va a quedar aquí, si lo hacéis despacito, bueno, lo podemos hacer si queréis, con el boli, aquí sería el 1, 1, 1, y luego si multiplico esta por menos 2, me va a quedar aquí, menos 2, menos 2, menos 2, 00:40:55
Que al sumar con esta va a salir 0, 0, menos 4. Y si multiplico esta por 3 y sumo con esta, me va a quedar 0, 6, 6. 00:41:22
¿De acuerdo? 3, 3, 3 al sumar. Entonces, si ahora estudio el rango de esta matriz, veo que esta y esta son linealmente independientes, porque multiplicando esta por el número que yo quiera, nunca me va a salir un 6. 00:41:42
y esta es linealmente independiente con estas dos 00:42:02
porque multiplicando las dos por los números que yo quiera 00:42:06
y sumando, me va a salir siempre 0 aquí, nunca voy a poder obtener un 1 00:42:10
luego el rango de B 00:42:14
es igual a 3, ¿de acuerdo? 00:42:17
ya digo que ya lo contaremos mucho más despacio y yo creo que 00:42:21
es más fácil de aprender cuando tenemos los determinantes 00:42:25
Bueno, vamos a borrar esto de aquí para que no quede para la posteridad, y con esto acabamos 00:42:28
lo que sería el vídeo de matrices, aquí está todo lo que hay que aprenderse del tema 00:42:40
Subido por:
Juan Pablo P.
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Fecha:
22 de septiembre de 2020 - 17:38
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Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
42′ 49″
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1.91:1
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1024x536 píxeles
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