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Problemas de Estadística - 2ºBachillerato CT - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Problemas de Estadística - 2ºBachillerato CT

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Vamos a realizar ahora unos cuantos problemas que son de interpretación de enunciados 00:00:01
y que mezclan todos los resultados de estadística que hemos estado dando estos días en clase. 00:00:08
Para la grabación y leer bien el enunciado. Después os recomiendo que lo planteéis o resolváis. 00:00:14
Y ya por último podéis escuchar la corrección. 00:00:25
Bien, corregimos. Antes de nada, observamos que tenemos primero un problema de probabilidad y después problemas que involucran a la binomial e incluso a la normal aproximando a la binomial. 00:00:28
eso es un típico problema donde se mezclan varias cosas y así aparece en el EBAU 00:00:44
la única diferencia es que aquí tenemos un problema encadenado donde tenemos 00:00:48
una probabilidad y con esa probabilidad después 00:00:53
pues utilizamos la binomial 00:00:56
mientras que en la EBAU pues en general cuando se utiliza 00:01:00
la binomial es utilizando un dato 00:01:05
del problema, pues quizás para evitar que 00:01:08
pues que si fallas el primer problema 00:01:11
pues tengas también mal el segundo 00:01:14
bueno, pues vamos a empezarlo 00:01:16
Resuelvo primero el apartado A 00:01:18
nos hablan de una enfermedad 00:01:22
que se curan dos fases 00:01:24
y nos piden la probabilidad de que una persona 00:01:26
enferma sane en alguna de las fases 00:01:28
para ello pues utilizamos un árbol 00:01:31
en la primera fase hay un fármaco A 00:01:34
y la posibilidad es que 00:01:37
una persona sane o que siga enferma 00:01:41
Si enferma, hemos dicho que le aplicamos el espermato B, en cuyo caso también hay dos posibilidades, que si sane o que siga enferma. 00:01:44
Además, conocemos las probabilidades porque cuando aplicamos el experimento A, sanan 3 de cada 5 personas, es decir, que la probabilidad de que una persona sane es 3 quintos, que es 0,6. 00:01:56
Por tanto, la probabilidad de que siga enfermo sería 2 quintos, que es 0,4. 00:02:08
Aplicando el tratamiento B, la probabilidad de que una persona sane ahora sería 3 cuartos, ya que sanan 3 de cada 4 personas. 00:02:16
3 cuartos, que es 0,75. 00:02:24
Por tanto, la probabilidad de que siga enfermo sería 1 cuarto, que es 0,25. 00:02:26
Así pues tenemos tres opciones, que es sanar a primera, que es sanar a segunda o que se mantenga enfermo. 00:02:31
Si se quisieran distinguir, pues sanar nueva a segunda, una buena anotación sería poner S1 y S2 y aquí por ejemplo S1 y S2. 00:02:41
pero como en este caso es un problema muy sencillo 00:02:51
donde solamente nos piden que sale 00:02:55
pues por ahora esa notación es innecesaria 00:02:56
y podemos tranquilamente borrar los subíndices 00:02:59
bien 00:03:01
en el apartado A 00:03:06
nos preguntan la probabilidad de que sale 00:03:09
y para ello 00:03:11
completamos el árbol de probabilidades 00:03:13
en este caso 00:03:16
pues aquí sería 0,6 00:03:20
aquí sería 0,4 00:03:22
por 0,75 00:03:25
que es 0,3 00:03:26
y aquí sería 0,4 00:03:31
por 0,25 00:03:33
que es 0,1 00:03:35
se puede observar que en total suman 00:03:40
0,6 más 0,3 más 0,1 00:03:43
que es 00:03:45
así pues la probabilidad de que una persona 00:03:47
quede sana sería 00:03:50
0,6 más 00:03:52
0,3 00:03:55
que es 0,9 00:03:56
y así podemos responder ya 00:03:59
la primera pregunta, que es la probabilidad de sanar, que es 0,9. 00:04:01
Continuamos con el apartado B. Bien, entonces, ahora mismo, tenemos una lista de 20 enfermos 00:04:12
y nos preguntan la probabilidad de que sean cierto número de ellos, 16, 18, 19, 18 más, etc. 00:04:26
Y entonces, pues eso es claramente una binomial. De modo que ahora trabajamos con una variable x, que es una binomial de parámetros n y p, donde n es 20 y p sería 0,9. 00:04:34
Lo pongo en conjunto para que no se confunda con la coma y pongo en rojo la n y la p, bueno, porque eso no se escribirá un problema. 00:04:57
Entonces, recordamos que la fórmula de la binomial es que la probabilidad de k era el número combinatorio n sobre k por p elevado a k por q elevado a n menos k. 00:05:05
En este caso, p es 0,9 y q es 0,1, que es 1 menos 0,9. Por lo tanto, la probabilidad de k sería 20 sobre k por 0,9 elevado a k por 0,1 elevado a n menos k. 00:05:19
Y así podemos empezar ya con los apartados. A ver, apartado A. Nos piden la probabilidad de que sanen entre 16 y 19 personas. Esto es que 16 sea menor o igual que X, menor o igual que 19. 00:05:41
Y eso sería la probabilidad de 16 más la probabilidad de 17 más la probabilidad de 18 más la probabilidad de 19. 00:06:00
¿Y eso cuánto vale? Pues eso es explicar la fórmula. 00:06:08
por 0,1 al cuadrado más 20 sobre 19 por 0,9 elevado a 19 por 0,1 elevado a 1. 00:06:40
Y recordamos que para realizar estas cosas lo mejor es la calculadora 00:06:57
y que la calculadora puede calcular directamente números combinatorios 00:07:01
que nosotros tengamos que resolverlos. 00:07:05
En concreto, empleamos la tecla NCR. De modo que, por ejemplo, 20 sobre 16 sería la tecla 20 NCR 16. 00:07:07
Y esto nos haría mucho trabajo. 00:07:18
Entonces, si ponemos estos datos, sería únicamente sustituir en la calculadora cada dato. 00:07:22
Entonces, esto sería, voy a hacerlo con cuatro decimales. 00:07:28
Si ahora metemos estas cuatro expresiones en la calculadora, obtenemos lo siguiente. 00:07:40
Y redondeando, obtendríamos 0,8353. 00:07:46
También es verdad que si nosotros metiéramos directamente todo entero a la bestia en la calculadora, 00:07:56
obtendríamos directamente esto, o en realidad un poquito menos, 0,8352 por un pequeño robo de redondeo. 00:08:00
Pero bueno, dejándolo así con los cuatro valores queda muy claro. 00:08:08
Ahora cogemos la b, la probabilidad de que x sea mayor o igual que 18, 00:08:14
pues nos piden la probabilidad de que salen 18 personas o más 00:08:19
y eso sería la probabilidad de 18 más la probabilidad de 19 más la probabilidad de 20 00:08:23
que poniendo la forma de la binomial sería 20 sobre 18 por 0,9 elevado a 18 por 0,1 al cuadrado 00:08:34
más 20 sobre 19, por 0,9 elevado a 19, por 0,1 elevado a 1, más, y el último término, que se puede poner directamente, 0,9 elevado a 20. 00:08:44
Porque aunque en la fórmula binomial lo que tenemos es 20 sobre 20, 0,9 lo da 20, por 0,1 elevado a 0, ya sabemos que este valor de aquí es 1 y este también es 1, de modo que sería esto. 00:08:58
Y así nos podemos ahorrar algún cálculo. 00:09:17
Bien, metiendo esos tres valores en la calculadora, obtenemos lo siguiente. 00:09:21
Bueno, en realidad estos dos datos no hace falta meterlos en la calculadora porque estaban ya calculados aquí 00:09:30
Bueno, la suma total nos da 0,677 00:09:38
Nuevamente hay un error de redondeo porque si metemos todo directamente a lo vez en la calculadora 00:09:48
Nos daría 0,6769, pero como veis es mínimo 00:09:56
Y ahora seguimos con el aparatado C. 00:10:01
Ahora nos piden la probabilidad de que salen 18 o menos, que sería la probabilidad de que X sea menor o igual que 18. 00:10:09
Pues eso es demasiado cálculo, lo más sencillo es hacer el total, que es 1, menos la probabilidad de 19 y menos la probabilidad de 20. 00:10:17
Voy a poner la fórmula aunque se podría poner directamente este valor y este valor, pero pongo la fórmula por comprensión, 1 menos 20 sobre 19, 0,9 elevado a 19 por 0,1 elevado a 1 menos y luego ya el 0,9 elevado a 20. 00:10:27
Y eso sería 1 menos 0,2702 menos 0,1216, lo cual nos da 0,6083. 00:10:57
Nuevamente hay un mínimo error de redondeo porque la última cifra sería un 2. 00:11:17
Veamos ahora la parte 12. 00:11:22
Ahora trabajamos con una binomial, pero donde n vale 400. 00:11:24
Por ser tan grande, vamos a poder aproximarla por una normal. 00:11:28
De ese modo, definimos una variable x, que es una binomial, donde n vale 400 y p vale 0,9. 00:11:32
Para poder aproximar la prueba normal, tenemos que ver su esperanza, que es mu, que es igual a n por p, que sería 400 por 0,9, y esto da 360. 00:11:45
La definición típica sería sigma, que es la raíz cuadrada de n por p por q, esto es la raíz cuadrada de 400 por 0,9 por 0,1, y eso nos da la raíz cuadrada de 36, que es 6. 00:11:58
De modo que esto se aproximaría por I, que es una normal de media mu igual a 360 y sigma igual a 6. 00:12:16
Si queréis ponemos en rojo los valores, que esto no sería parte del problema, NP, mu y sigma. 00:12:34
Bien, en general ese símbolo se utiliza para aproximar, significa aproximadamente, y este es para decir, se distribuye como. 00:12:42
Bien, entonces pues nada, ¿qué nos piden? 00:12:54
Nos piden la probabilidad de que salen entre 355 y 367, esto es la probabilidad de que 355 sea menor o igual que x, menor o igual que 367. 00:12:59
Y esto se va a aproximar por la probabilidad, aplicando la corrección de Yates, de que Y sea mayor o igual y menor o igual que, entonces aquí vamos a restar 355 menos 0.5 y aquí vamos a sumar 367 más 0.5. 00:13:18
Obteniendo aquí 345,5 y aquí 367,5 00:13:45
Y ahora pues hacemos el cambio para normal 00:13:55
Y cogeríamos la probabilidad de que 00:13:59
Ahora, como la media es 360 y la desventípica es 6 00:14:05
Pues haríamos 345 menos 360 partido por 6 00:14:09
menor o igual que 00:14:15
menor o igual que 00:14:16
y menos 360 partido por 6 00:14:18
menor o igual que 00:14:27
327 con 5 00:14:28
menos 360 00:14:32
partido por 6 00:14:33
y ahora calculamos esos valores 00:14:35
obteniendo 00:14:39
menos 0,83 00:14:42
menor o igual que z 00:14:46
porque lo de en medio es z 00:14:48
menor o igual 00:14:50
que 00:14:52
1,17 00:14:53
en realidad hemos obtenido 00:14:55
0,83333 00:14:58
el 1,17 sería 00:15:02
1,1666 etc 00:15:03
entonces pero redondeando 00:15:05
serían esos dos números a dos decimales 00:15:08
que son los que podemos calcular en la tabla de la normal 00:15:10
bueno pues esto ya aplicando 00:15:12
a la tabla de la normal sería 00:15:16
la probabilidad 00:15:18
de que Z sea menor o igual que 1,17 00:15:21
menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que menos 0,83 00:15:28
y para ello pues tenemos que ir a normal 00:15:38
pero como no tenemos valor negativo 00:15:45
pues entonces este valor 00:15:46
recordamos que es lo mismo que la probabilidad de que z sea mayor o igual que 0,83 00:15:50
con la regla del cambio de signo 00:15:59
y esto es igual a la probabilidad 00:16:01
quiero decir, a 1 menos la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,83 00:16:04
y ahora tendremos que calcular estos dos valores 00:16:13
cosa que vamos a hacer ahora 00:16:16
Necesitamos calcular las probabilidades de que z sea menor o igual que 0,83 y la probabilidad de que z sea menor o igual que 1,17. 00:16:20
Buscamos en la tabla la primera, 0,8, y sería 0,83, 0,7967. 00:16:33
Y la 1,17 sería el 1 y ya está el 7, sería 0,8790. 00:16:46
Y ahora ponemos los datos que nos hacen falta. 00:17:01
Bueno, los datos que hemos tomado, este dato de aquí sería 0,8970 y el otro sería este de aquí, que hemos igualdado con esto, y que sería 1 menos 0,7967. 00:17:04
Esto nos daría 0,8970 menos 0,2033 y esto es igual a 0,6757 y ese sería el resultado final. 00:17:34
Y con esto hemos terminado el problema. La primera probabilidad es 0,8353, la segunda 0,677, la tercera 0,6083 y la última 0,6757. 00:17:55
Para la grabación leed bien el enunciado y después podéis plantear o resolver el problema 00:18:25
Por último, pues miréis la corrección 00:18:36
Correjamos, en el problema no conocemos el número de tiros que se lanzan a la canasta 00:18:38
Con lo cual, sea una binomial donde la n es desconocida 00:18:45
Si que sabemos que la probabilidad B acercada en la canasta es 0,57 00:18:50
Luego esa sería la P 00:18:57
p es 0,57 y 40q que es 1 menos p vale 0,43 00:18:59
lo que nos piden en el problema es que la probabilidad de acertar al menos una vez 00:19:06
en la binomial x es la cantidad de aciertos 00:19:14
pues nos pide que en la probabilidad de que x sea mayor o igual que 1 00:19:18
que eso ha de ser mayor o igual que el 99,9% 00:19:27
Es decir, 0,999 00:19:32
Ahora bien, ¿cuánto vale esto? 00:19:36
Sería la probabilidad de 1 más la de 2 más la de 3 hasta n 00:19:46
O más sencillo, 1 menos la de 3, que es el total 00:19:49
Menos la probabilidad de 0 00:19:52
Esto es 1 menos q elevado a n 00:19:53
Ya que, en general, la probabilidad de 0 00:19:57
Es n sobre 0 00:20:00
P elevado a 0, q elevado a n 00:20:02
Y esto vale 1, esto vale 1, con lo cual es mejor ponerlo así. 00:20:06
De modo que la ecuación que tenemos es que, o mejor dicho, en la ecuación, 1 menos Q elevado a n es mayor o igual que 0,9999. 00:20:15
Si pasamos al otro lado, Q elevado a n, tenemos que 1 menos 0,999 ha de ser mayor o igual que Q elevado a n. 00:20:24
Cambio de orden las cosas, q elevado a n menor o igual que 1 menos 0,999 que es 0,001 00:20:33
Por último, si sustituimos q por 0,43, esta es la desigualdad que estamos buscando 00:20:42
El problema es cómo se puede resolver esta desigualdad 00:20:55
Entonces aquí hay tres opciones 00:21:00
Una es hacerlo a la bestia, es decir, probando números con la n, 1, 2, 3, 4, hasta que salga, cosa que es válida. 00:21:03
Otra es hacer con logaritmos, pero con logaritmos hay que tener un poco de cuidado con la desigualdad, ya que va a aparecer un logaritmo negativo, cosa que diré en su momento. 00:21:12
Y luego, pues la tercera opción sería, pues si no queremos arriesgarnos con la parte del logaritmo negativo, o bien sustituirlo pronto para evitarnos el problema. 00:21:22
O bien, pues, hacer una igualdad y luego una desigualdad 00:21:29
Bueno, empezamos con la solución más sencilla 00:21:33
Vamos a hacer solución 1 00:21:37
Y sería, pues, ir haciendo 0,43 elevado a 1 00:21:40
0,43 al cuadrado 00:21:46
0,43 al cubo 00:21:48
Etcétera, vamos a rellenarlas todas 00:21:51
Bueno, he puesto esto 9 porque la solución va a ser en igual a 9 00:21:53
Y nada, pues hay que cogernos la calculadora e ir probando 00:21:59
Lo lógico sería escribir los datos que hemos sacado 00:22:03
No poner directamente igual a 9 y punto 00:22:05
Porque hay que explicar por qué lo hacemos así 00:22:07
Con lo cual, con la calculadora en mano 00:22:10
Esto sería 0,43 00:22:12
Esto sería 0,1849 00:22:15
Y si ponemos las demás redondeando 4 decimales 00:22:22
Obtendríamos los siguientes valores 00:22:25
Entonces vemos que va decreciendo y siempre es, en todos los casos, mayor que 0,01, pero aquí ya es menor que 0,01. 00:22:29
De modo que lo que tendríamos es que tendría que tirar 9 tiros. 00:22:44
Entonces n tendría que ser mayor o igual que 9. 00:22:49
Y la solución que nos pedirían sería, tendría que realizar nueve lanzamientos. 00:22:52
Bueno, nueve o más. 00:23:08
Si la pregunta nos dijeran como mínimo, pues serían nueve. 00:23:11
Si nos piden cuándo se tiene que realizar, pues nueve o más. 00:23:15
Bien, pasemos a la solución dos. 00:23:18
La segunda solución sería resolver la desigualdad empleando logaritmos. 00:23:24
Pero aquí hay que tener cuidado. Ahora veremos por qué. 00:23:34
Si yo pongo el logaritmo de 0,43 elevado a n menor o igual que el logaritmo de 0,001, cosa que se puede hacer porque la función logaritmo es creciente y entonces mantiene las desigualdades. 00:23:39
si aplicamos la regla de los logaritmos 00:23:52
la n pasa afuera 00:23:55
y tenemos que n por el logaritmo 00:23:56
de 0,43 00:23:58
ha de ser menor o igual que el logaritmo 00:24:00
de 0,001 00:24:03
y aquí hay un problema 00:24:05
porque 00:24:07
lo lógico es despejar al otro lado 00:24:09
el logaritmo de 0,43 00:24:10
pero 00:24:12
hay que tener cuidado porque ese logaritmo es negativo 00:24:13
entonces 00:24:16
vamos a comprobarlo 00:24:19
Si sustituyo, yo tengo que n por el logaritmo de 43, que es menos 0,3665, tiene que ser menor o igual que el logaritmo de 0,001, que es menos 3. 00:24:21
¿Y qué es lo que pasa? Que en una desigualdad, cuando yo paso al otro lado un número negativo, entonces la desigualdad cambia de signo. 00:24:44
Entonces tenemos que n es mayor o igual que menos 3 partido por menos 0,3665. 00:24:55
Y entonces ya tenemos, calculamos esto en la calculadora, que nos daría 8,1848. 00:25:05
Como no tiene que ser un número natural, tendríamos que n es mayor o igual que 9. 00:25:14
De modo que, si operásemos directamente aquí, podríamos caer en el despiste de poner que n menor o igual que el logaritmo de 0,01 entre el logaritmo de 0,43, cosa que estaría mal, porque esto es negativo. 00:25:20
con lo cual o bien advertimos que es negativo desde el principio 00:25:43
o bien sustituimos los números y lo hacemos 00:25:51
bueno, por último hacemos la solución 3 00:25:55
y la solución 3 sería, bueno pues 00:25:59
si observamos que 0,43 elevado a n es decreciente 00:26:08
pues bastaría calcular la igualdad 00:26:13
0,43 elevado a n igual a 0,001 00:26:18
En cuyo caso, pues lo mismo, tenemos logaritmos, logaritmo de 0,43 al lado n igual al logaritmo de 0,001, n logaritmo de 0,43 es igual al logaritmo de 0,001, n es igual al logaritmo de 0,001 entre el logaritmo de 0,43. 00:26:25
o directamente, que esto es aplicar también la definición directamente 00:26:46
porque esto también es el logaritmo 00:26:50
en base 0,43 de 0,001 00:26:54
pero bueno, y de aquí podemos llegar directamente también aquí 00:26:57
y esto sería 00:27:02
pues lo de antes, menos 3 entre 0,3665 00:27:03
lo que nos da 8,1848 00:27:13
y como n tiene que ser entero y mayor o igual que esto, pues n 00:27:17
serían los enteros mayores o iguales que 8,18 00:27:21
que son n mayor o igual que 9. Y ya está. 00:27:25
Pero bueno, hay que utilizar 00:27:33
que n es decreciente. Esto último es más útil 00:27:37
si no queremos liarnos con las igualdades y los signos. 00:27:41
Bien, pasemos al siguiente. Este es un problema largo y que de hecho vamos a dividir en varias fases porque tampoco nos cabe toda la solución en la pantalla. 00:27:48
Vamos a dividirlo en ABC, DIE y por último GIF. Efectivamente alguna vez utilizaremos datos anteriores, por ejemplo la probabilidad de aprobar. 00:27:59
entonces 00:28:14
podéis leer el enunciado entero 00:28:18
o bien si queréis 00:28:21
pues leed primero el enunciado 00:28:22
con los apartados A, B y C 00:28:25
que es lo que corregiremos 00:28:26
para ir a la grabación lo leéis 00:28:29
lo planteáis o intentáis resolverlo entero 00:28:31
y veis la corrección 00:28:34
después 00:28:36
si queréis en la siguiente 00:28:37
transparencia donde pongamos 00:28:40
los apartados D y E 00:28:41
pues podéis 00:28:43
volver a leer esos apartados bien 00:28:45
plantear y resolver, etc. 00:28:50
y lo mismo con el f y el g al final 00:28:52
empecemos a corregir los apartados a, b y c 00:28:54
empezando por el a 00:29:02
nos dicen que tenemos una variable aleatoria x 00:29:05
que es la puntuación en un examen 00:29:11
y que x se distribuye como una distribución normal 00:29:15
donde mu vale 5,5 y sigma vale 1,2 00:29:24
En el apartado A nos preguntan por la probabilidad de aprobar y de sacar sobresaliente 00:29:30
indicándonos que en ambos casos es sacar una nota mayor o igual que 5 00:29:40
es decir, la probabilidad de que la nota que es X sea mayor o igual que 5 00:29:57
o mayor o igual que 9 en el caso de sobresaliente 00:30:01
Y una vez que se ha todo traducido al lenguaje de la normal, solo hay que calcular. 00:30:06
Esto es la probabilidad de que X menos 5,5 partido por 1,2 sea mayor o igual que 5 menos 5,5 partido por 1,2. 00:30:13
Y esto es la probabilidad de que X menos 5,5 partido por 1,2 sea mayor o igual que 9 menos 5,5 partido por 1,2. 00:30:25
Y sabemos que esto es Z y que esto es Z. 00:30:35
Por lo tanto, esto es la probabilidad de que Z sea mayor o igual. 00:30:39
Si calculamos esto, nos daría menos 0,416 periodo, que redondeando a dos decimales es menos 0,42. 00:30:46
En cambio esto sería 2,916 periodo, de modo que redondando a dos decimales tendríamos la probabilidad de que z sea mayor o igual que 2,92. 00:30:58
La primera es negativa, de modo que sería la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,42 00:31:18
Con la regla del signo 00:31:28
Y la otra, pues hay que aplicar la otra regla 00:31:32
Porque tenemos un mayor o igual y queremos un menor o igual 00:31:34
De modo que eso sería 1 menos la probabilidad de que z sea menor o igual que 2,92 00:31:37
Y ya está, lo que tenemos que hacer es buscar en la tabla estos dos valores 00:31:43
como no nos cabe la tabla completa de forma que sea grande 00:31:50
pues hemos puesto el final y el principio 00:31:55
que es lo que nos hace falta 00:31:57
nos piden la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,42 00:31:59
cosa que calculamos fácilmente 00:32:04
eso es 0,6628 00:32:09
y también nos pide la de que sea menor o igual que 2,92 00:32:12
que también calculamos fácilmente siendo 0,9982 así pues completamos los datos aquí directamente 00:32:18
hay que poner 0,6628 y aquí 1 menos la probabilidad de la tabla que era 0,9982 lo que nos daba 00:32:34
calculando 0,0018. Así pues, la probabilidad de aprobar es 0,6628 y la probabilidad de 00:32:46
sacar sobresaliente es 0,0018. Vayamos al apartado B. El apartado B es una probabilidad 00:32:59
condicionada. En efecto, nos dicen que si una persona ha aprobado, calcular la probabilidad 00:33:15
de que haya sacado sobresaliente. Esto es, sabiendo que una persona ha probado, nos piden 00:33:21
la probabilidad de sacar sobresaliente. Y eso sería la probabilidad de sacar sobresaliente 00:33:27
sabiendo que ha probado. Y eso es la probabilidad de sacar sobresaliente, intersección haber 00:33:32
probado, entre la probabilidad de haber probado. En este caso, conjuntamente, se puede saber 00:33:44
que el conjunto escarzo o exaliente está dentro de haber aprobado. 00:33:56
En efecto, haber aprobado es haber sacado 00:34:05
una nota mayor o igual que 5. Y haber sacado un suave saliente 00:34:07
es haber sacado una nota mayor o igual que 9. Si se ha sacado un suave saliente 00:34:12
particularmente se ha aprobado. 00:34:16
Entonces la intersección de los dos conjuntos 00:34:21
es el suave saliente. 00:34:24
Bien, por cierto, si tenemos siempre en cualquier otro ejemplo una variable donde tengamos x mayor o igual que un número 00:34:27
y otro conjunto que sea x mayor o igual que otro, pues ¿cuál va a ser la intersección? 00:34:46
La intersección va a ser, puede ser mayor de los dos, x mayor o igual que 8 00:34:55
Y lo mismo, si x menor o igual que 5 es un conjunto intersección x menor o igual que 8 00:35:02
pues los que son menores o iguales que 5 son menores o iguales que 8 00:35:07
será el menor 00:35:11
bueno, borro esta cosa para no liar 00:35:12
esos datos los tenemos de antes 00:35:16
porque la probabilidad de sacar el sobresaliente 00:35:21
era 0,0018 00:35:23
y la de probar 00:35:26
era 0,6628 00:35:28
la división nos da 00:35:31
0,0027 00:35:33
por tanto, en el segundo tenemos 00:35:35
que la probabilidad de 00:35:37
sacar sobresaliente 00:35:38
sabiendo que he probado 00:35:42
Sería 0,0027 00:35:45
Sigamos con el aparato C 00:35:50
En este caso también es una probabilidad condicionada 00:35:55
Lo que nos dicen que si una persona ha probado 00:35:59
Esto es, nos piden calcular una probabilidad sabiendo que ha probado 00:36:02
En este caso lo que nos piden calcular es que la nota sea menor que un 7 00:36:06
Por supuesto que estamos en una distribución continua 00:36:10
En cuyo caso sacar menos de un 7 es lo mismo que sacar algo menor o igual que 7 00:36:14
porque nos han dicho que se distribuye como normal 00:36:19
entonces ir a la probabilidad de que X sea menor o igual que 7 00:36:24
sabiendo que ha probado 00:36:27
en este caso es mejor escribirlo así 00:36:29
y aplicando la definición 00:36:32
pues ir a la probabilidad de la intersección 00:36:40
como son conjuntos los ponemos entre llaves 00:36:42
X menor o igual que 7 00:36:44
intersección X mayor o igual que 5 00:36:46
y abajo ponemos la probabilidad de que X sea mayor o igual que 5 00:36:49
esa intersección se escribiría así 00:36:54
los números de modo que x está entre 5 y 7 00:36:59
visto de otro modo, si cogemos la recta 00:37:06
aquí el 5 y aquí el 7 00:37:12
estamos tomando los números que son por una parte mayores o iguales que 5 00:37:14
por otra parte los que son menores o iguales que 7 00:37:19
la intersección son los que están 00:37:25
entre 5 y 7 00:37:27
así pues sería la probabilidad 00:37:31
de que 5 menor o igual que x 00:37:38
menor o igual que 7 00:37:40
entre la probabilidad de que x 00:37:41
sea mayor o igual que 5 00:37:44
la de abajo ya la conocemos 00:37:45
lo hemos calculado antes 00:37:47
sería 0,6628 00:37:49
nos falta la calculada de arriba 00:37:52
que sería la probabilidad 00:37:54
de que 5 menor o igual que x 00:37:58
menor o igual que 7. Una pequeña observación. Fijaos que en el caso anterior 00:38:02
teníamos una intersección, ¿vale?, donde 00:38:08
un conjunto está metido delante de otro. Aquí no ocurre lo mismo. 00:38:12
El conjunto de x menor o igual que 7 no está metido en x mayor o igual que 5. 00:38:18
Esta es la diferencia entre los apartados b y c. 00:38:23
Bueno, pues eso sería la probabilidad de que x sea menor o igual 00:38:28
que 7 menos la probabilidad de que x sea menor o igual que 5. 00:38:32
bien, lo he dividido así en vez de calcular primero la z 00:38:36
porque nos hagamos unos cuantos cálculos 00:38:42
a ver, si la probabilidad de que x sea mayor o igual que 5 00:38:44
es de 0,6628 00:38:49
pues la probabilidad de que x sea menor o igual que 5 00:38:54
es 1 menos la probabilidad de que x sea mayor o igual que 5 00:38:59
que es 1 menos 0,6628 00:39:02
que es 0,3372 00:39:06
nos falta la otra 00:39:13
la probabilidad de que x sea menor o igual que 7 00:39:17
aquí sí que hay que hacer cambio de variable 00:39:21
si la probabilidad de que x menos 5,5 entre 1,2 00:39:22
sea menor o igual que 7 menos 5,5 partido por 1,2 00:39:29
como esto es z 00:39:34
Z sería la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1,5 entre 1,2. 00:39:36
Y eso es la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1,25. 00:39:45
Y esto es lo que vamos a calcular en la tabla. 00:39:50
Nos piden pues la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1,25. 00:39:56
Buscamos el 1,2. 00:40:03
Y con eso buscamos el 1,5. 00:40:05
y nos da 0,8944. Introducimos pues el dato que hemos tomado de la tabla que es 0,8944 00:40:08
y entonces pues esto sería 0,8944 menos 0,3372 y eso nos da 0,5572. 00:40:19
Continuando pues esto, tendríamos aquí un 0,5572 y al calcular esto en la calculadora sería 0,8407. 00:40:38
Por tanto, la probabilidad de sacar menos de un 7 sabiendo que ha probado sería 0,8944. 00:40:53
Procedemos a corregir los apartados D y E. Como decimos al principio, podéis ahora parar la corrección y aprovechar para leer bien estos enunciados ahora. 00:41:08
Incluso después podéis plantearlos o resolverlos y ya por último escuchar la corrección. 00:41:25
Lo que vamos a ampliar de los ejercicios anteriores va a ser que la probabilidad de aprobar es 0,6628. 00:41:32
Procedemos a corregir el apartado D. 00:41:47
Nos hemos tomado una licencia y es, sin haber nombrado antes la variable aleatoria X, 00:41:50
nombrar aquí las variables aleatorias X' y X''. 00:41:56
Bueno, pues es para que no se confunda ninguna variable con ninguna otra 00:42:00
Nos piden identificar cuál es la distribución de dicha variable aleatoria 00:42:06
Naturalmente que es una binomial porque tenemos 10 personas 00:42:14
Contamos el número de éxitos, que es el número de aprobados 00:42:19
Conociendo la probabilidad de aprobar, que es 0,6628 00:42:23
Pues nada, es escribir dicha información 00:42:28
x' se distribuye como una binomial b de, ahora ponemos la n que es 10, y ahora la p que es 0.6628. 00:42:31
Y este apartado ya está. En cuanto acabe el apartado, os pongo una imagen de cómo en un modelo de Levau aparece esta pregunta y esta respuesta. 00:42:54
Bien, la segunda parte es calcular la probabilidad de que provengan 8 o menos personas. 00:43:11
Entonces, ¿qué estamos calculando? La probabilidad de que X sea menor o igual que 8. 00:43:18
¿Y eso cuánto es? Pues, como no vas a calcular la probabilidad desde 0 hasta el 8, 00:43:26
cogeremos el total, que es 1, la probabilidad total, menos la probabilidad de 9 y menos la probabilidad de 10. 00:43:32
Para esto nos va a ser útil, bueno, vamos a ver, tenemos que p es 0,6628, n es igual a 10, nos va a dar que calcular q, que no la tenemos aquí delante, si antes que era 0,3372. 00:43:41
La probabilidad de la binomial, recordamos que es n sobre k, p elevado a k, q elevado a n menos k. En este caso, 10 sobre k, 0,6628 elevado a k, 0,3372 elevado a 10 menos k. 00:44:02
Y nada, pues lo hacemos. Esto es 1 menos 10 sobre 9, 0,6628 elevado a 9, por 0,3372 elevado a 1. 00:44:23
Y menos, pues ya el caso de igual a 10 que ponemos directamente, 0,6628 elevado a 10. 00:44:40
A ver, recordamos que esto es también 10 sobre 10, 0,6628 elevado a 10, por 0,3372 elevado a 0, pero es suficiente poner lo anterior, porque esto es 0, perdón, quería decir 1, y esto es 1. 00:44:50
Entonces, nos agarramos tiempo y lo ponemos así directamente. 00:45:16
Metemos los datos en la calculadora y esto nos da que es igual a 1 menos 0,08324 menos 0,01636 y eso nos da 0,9004. 00:45:20
Bueno, pues ahora os pongo una imagen del enunciado de la EBAO del modelo de Madrid de 2021 y la solución que ponen. 00:45:42
Es el modelo que no suele ser igual que los exámenes luego que aparecen, pero como veis se podría responder de forma muy sencilla. 00:45:59
Ya sabéis que esto significa distribuido como. 00:46:16
Bueno, pues, seguimos con el problema, borro ahora esto, pues necesito escribir el siguiente apartado E. 00:46:19
Procedemos a resolver el apartado E y empezamos por el subapartado A. 00:46:33
Nos piden justificar que la brevatoria X' se puede aproximar por una normal. 00:46:40
Lo único que hay que decir es que X' se distribuye como una binomial B, donde N es 500 y P es la probabilidad que tenemos arriba, que es 0,6628. 00:46:48
Después, si se quiere, se pueden calcular su esperanza y diversión típica, por ejemplo, 00:47:22
o bien ya decir que se puede aproximar por una normal diciendo cuáles son los datos. 00:47:32
Por ejemplo, se puede poner que la esperanza de x' es igual a n por p, que sería 500 multiplicado por 0,6628, y eso es igual a 331,4. 00:47:35
Y luego, pues que la derivación típica sea la raíz cuadrada de n por b por q, que sea la raíz cuadrada de 500 por 0,6628 por 0,3372. 00:48:02
Eso es la raíz cuadrada de 111,748 y eso es igual a 10,571. 00:48:31
Y entonces podemos poner que x' se puede aproximar por la variable y que se distribuye como una normal y ahora ponemos la media que era 3, 3, 1, 4 y ahora la desviación típica que es 10, 571. 00:48:47
Y ya habíamos terminado. 00:49:38
Bueno, se puede poner de forma un poco más sencilla, pero ahora os muestro cómo se resuelve en el modelo de la EBAU, que es como se supone que es para que aprendáis. 00:49:41
Y así veis cómo se puede poner, por ejemplo. 00:49:54
Os pongo ahora la imagen. 00:49:58
Esta respuesta es de un modelo de examen de la EBAU, concretamente del modelo de examen de la EBAU de Madrid de 2019. 00:50:03
Es decir, que es como se supone que los que ponen dichos exámenes dicen que tienen que responderse las preguntas. 00:50:11
A ver, habitualmente ya sabéis que los modelos no suelen ser exactamente iguales a los exámenes después, 00:50:19
pero más o menos es como nos indican cómo podría resolverse el ejercicio o cómo expresarse. 00:50:23
Entonces, únicamente, para justificar, según sus criterios, 00:50:30
solo hay que decir que la variable X es una binomial 00:50:35
y que se aproxima a una normal 00:50:40
señalando cuáles son los parámetros y cómo se calculan 00:50:43
y ya está 00:50:48
bueno, aquí sería 300 porque es 300 por un medio 00:50:54
por eso pone 300 medios porque P es un medio 00:51:01
y aquí 300 por 0,25 porque es 300 por un medio 00:51:04
promedio. Muy bien, pues ya está. Sigamos con el problema. Borro ahora todo esto porque 00:51:09
si no, no puedo escribir aquí. Hagamos el apartado B. Antes de nada, hay que observar 00:51:18
que nos piden la probabilidad de que ponen más de 340 personas. Es decir, nos piden 00:51:29
la probabilidad de que x' sea mayor que 340. x' es una distribución binomial, o sea, se 00:51:38
aproxima por y, que es normal y que es continua, pero x es discreta, lo cual quiere decir que 00:51:49
este menor estricto importa. Y esto coincide con la probabilidad de que x' es mayor que 00:51:57
o igual que 341. Si estuviésemos con una variable normal nos daría igual o mayor que 00:52:08
o mayor o igual, pero aquí no es el caso. Ahora sustituimos, mejor dicho aproximamos 00:52:20
por la variable continua y. Y eso sería aproximadamente la probabilidad de que y sea mayor o igual 00:52:27
que 341 menos 0,5. Si os leía este detalle y tal, porque tenemos mayor o igual, podéis 00:52:41
poner aquí un 341 después, quiero decir, como igual, esto igual a menor o igual que 00:52:52
x'', y así tenéis que esto es aproximadamente la probabilidad de que 341 menos 0,5 es menor 00:53:00
igual que x prima prima. Perdón, quería decir de y. Ya operáis, probabilidad de que 00:53:09
340,5 menos o igual que y, y si queréis luego le dais la vuelta para trabajar con más facilidad. 00:53:27
Bueno, yo sigo por aquí y eso es la probabilidad de que y sea mayor o igual que 340,5 y eso 00:53:36
es igual, bueno pues ahora ya hacemos el cambio de variable, a la probabilidad de que I menos 00:53:45
331,4 entre 10,571 sea mayor o igual que 340 menos 331,4 entre 10,571. Y esto es la probabilidad 00:53:57
de que z sea mayor o igual que 0,86, redondeando con dos decimales. Y nada, pues aplicamos 00:54:19
las reglas que conocemos, es un mayor o igual, con lo cual pondríamos, pues, 1 menos la 00:54:35
probabilidad de que z sea menor o igual que 0,86. Y ahora calculamos este valor en la tabla. Pues 00:54:45
nos piden calcular la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,86. Lo buscamos en la tabla, 00:55:01
aquí tenemos el 0,8 y aquí tenemos el 0,86 y esto nos da 0,8051. Continuamos por donde 00:55:10
íbamos y si añadimos el dato que nos falta, eso sería el 1 menos 0,8051 y eso es igual 00:55:26
Y ya tenemos el apartado B completo. 00:55:38
Pasemos ahora al apartado C. 00:55:48
Aquí nos piden calcular la probabilidad de que aprueben 400 personas o más. 00:55:53
La cosa cambia. Aquí nos están pidiendo la probabilidad de que X' sea mayor o igual que 400. 00:56:02
De modo que ya no hay que hacer lo que hemos hecho antes. 00:56:13
Ya directamente hacemos la aproximación por la normal empleando la corrección de Yates. 00:56:17
Que sería la probabilidad de que Y sea mayor o igual que 400 menos 0,5. 00:56:23
Igual que antes, si no queréis liaros con esto, podéis poner aquí debajo o al lado, bueno, al lado mejor que debajo, un igual, que esto es la probabilidad de que 400 sea menor o igual que x' y así ya os sale el que 400 menos 0.5 menor o igual que x, perdón, que y. 00:56:35
Y esto es lo mismo que esto. Bien. Y eso sería igual a la probabilidad de que I sea mayor o igual que 399,5. 00:57:00
Y ahora ya hacemos el cambio de variables. La probabilidad de que I menos 331,4, que es la mu, entre 10,571, que es la sigma, sea mayor o igual que 399,5 menos 331,4 entre 10,571. 00:57:17
Y esto es igual a la probabilidad de que Z sea mayor o igual que 6,44, aproximando por dos decimales. 00:57:43
El problema es que este número no aparece en la tabla. 00:57:57
Pero bueno, vamos a hacer el siguiente cambio. 00:58:03
Esto es 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que 6,44. 00:58:08
Y vamos a ver que pasaría en la tabla 00:58:16
Os he puesto la tabla de la distribución normal 00:58:21
Que es distinta de la de la de la PAU 00:58:26
Porque es un poco más grande 00:58:28
La de la PAU tiene sus ventajas 00:58:31
Y es que divide en grupos de cada 5 00:58:33
Lo cual facilita las cosas 00:58:36
Pero esa ventaja que le quita espacio 00:58:37
Pues hace que no pueda llegar hasta el valor 4 00:58:41
Cosa que se ocurre con esa tabla 00:58:44
Entonces podéis comprobar que a partir del 3,9 00:58:48
Y aparece todo el rato 1. Eso no es porque la probabilidad sea 1, porque la disolución normal es infinita y siempre hay una probabilidad muy pequeña, por muy pequeña que sea. 00:58:51
La razón es que el redondeo hasta el cuarto decimal es 1. De hecho, este número, si estuviera con 7 decimales, sería 0,999519. 00:59:07
Esto se redondea con 4 decimales hasta el 1. Y como las probabilidades son crecientes, pues a partir de ahora se van a aproximar hasta el 1. 00:59:22
Entonces, a partir del 4, todas las probabilidades con 4 decimales se aproximan al 1. 00:59:34
Entonces, la probabilidad que buscamos, que es la probabilidad de que z sea menor o igual que 6,44, 00:59:41
esta se va a aproximar por 1,000, o si queréis, por 1. 01:00:00
No es que sea igual, es que se aproxima por 1. 01:00:07
Entonces, eso es lo que vamos a hacer en el problema. 01:00:12
Ponemos entonces lo que hemos obtenido, y es que esto es 1 menos 1, que vale 0. 01:00:19
A ver, si cogemos el resultado de Excel que nos da de esta cantidad con todos los decimales, 01:00:29
obtendríamos la siguiente cantidad. 01:00:37
Nos preguntan cuál es el valor b, de modo que la probabilidad de que z sea menor o igual que b es 0,9 01:00:38
Buscamos el 0,9 en la tabla y el valor más cercano es este 01:03:59
De modo que dicho valor sería 1,28 01:04:05
b vale 1,28 01:04:11
Por lo tanto, b es igual a 1,28 01:04:15
Y como tenemos que B es igual a A menos 5,5 partido por 1,2, también tenemos que A es igual a 5,5 más 1,2B. Esto es 5,5 más 1,2 por 1,28, lo que nos da 7,036. 01:04:21
Por lo tanto, ya tenemos la respuesta. Este A es 7,036 y la respuesta va a ser, hay que sacar una nota mayor o igual que 7,036. 01:04:41
Pasamos al apartado G 01:05:15
Es una probabilidad condicional 01:05:19
Nos dicen, si una persona ha probado, calcular la probabilidad de que haya sido becado 01:05:24
Es decir, sabiendo que ha probado, nos preguntan la probabilidad de que haya sido becado 01:05:29
Es decir, probabilidad de ser becado sabiendo que ha probado 01:05:35
A ver, este problema se puede resolver directamente si uno piensa 01:05:41
Y un poco más lento se lo hace mecánicamente 01:05:48
entonces voy a hacer los dos razonamientos 01:05:52
pasamos al razonamiento mecánico 01:05:55
sería la probabilidad 01:05:58
X sea mayor o igual que 01:06:03
7,036 01:06:12
sabiendo que X sea mayor o igual que 0,5 01:06:14
y esto es 01:06:20
la probabilidad de 01:06:22
X mayor o igual que 7,036 01:06:24
intersección x mayor o igual que 0,5 01:06:28
entre la probabilidad de que x sea mayor o igual que 0,5 01:06:33
Esa intersección es la probabilidad de que x sea mayor o igual que 7,036 01:06:40
A ver, si tenemos el intervalo, aquí está el 5, aquí el 7,036 01:06:54
Un conjunto es este, los que son mayores o iguales a 0,36 01:07:03
el otro es mayores o iguales que 5 01:07:08
la intersección es ser mayor o igual que 0,36 01:07:13
por tanto esta es la probabilidad 01:07:15
de que X es mayor o igual que 7,036 01:07:18
entre la probabilidad de que X es mayor o igual que 0,5 01:07:22
arriba pues sabemos que es el 0,1 01:07:28
porque así se ha definido el 7,036 01:07:33
con esta igualdad 01:07:39
Y abajo, ya lo hemos calculado desde el principio del problema, esto es 0,6628. 01:07:42
Y el resultado con cuatro decimales sería 0,166. 01:07:55
Lo que pasa es que el cuarto decimal es cero. 01:08:00
Con lo cual, ya está. 01:08:02
El siguiente apartado sería pensando un poco más. 01:08:06
Pensando un poco más. 01:08:10
Vamos a ver, conversando un poco más me refiero al siguiente 01:08:13
Hemos utilizado, y está bien, que la probabilidad de estar pecado es la probabilidad de que X sea mayor o igual que 7,036 01:08:18
Porque ya lo teníamos del apartado F 01:08:29
La pregunta es, y si no tuviéramos ese número, ¿podríamos haber calculado igualmente todo? 01:08:32
¿Dónde hemos utilizado ese número? Lo hemos utilizado aquí 01:08:38
cuando hemos visto que la intersección son los X que es mayor o igual que 7,036. 01:08:42
Entonces, lo que habría que hacer es calcular lo mismo, pero sin ese número. 01:08:52
Tenemos que esto es la probabilidad de estar pecado, intersección haber aprobado, entre la probabilidad de haber aprobado. 01:08:58
¿Qué tenemos que ver? Tenemos que ver que si tenemos el conjunto de los aprobados, pues que este conjunto es mayor que el de los becados. 01:09:15
Hombre, en este problema es de sentido común. Pero bueno, habría que verlo matemáticamente hablando. 01:09:28
¿Y eso cómo se podría ver? Pues, muy fácil, si cogemos la normal, los becados son los que están aquí. 01:09:35
¿Cuál es la probabilidad de aprobar? La probabilidad de aprobar es 0,6628. Eso está normal donde la media está en 5,5. Aquí está el 5. 01:09:46
La razón por la cual tenemos esto es porque los aprobados, efectivamente, que es el intervalo señalado en naranja, o sea, contienen los becados, porque esta probabilidad es 0,6628, que es mayor que el 0,1. 01:10:10
Bueno, entonces ya tenemos que este conjunto de arriba es el conjunto de los becados, ya que tenemos pues esta inclusión. Entonces eso sería la probabilidad de becado. La probabilidad de becado por definición es 0,1, el 10% superior. Los aprobados es 0,6628 y esto igual que antes nos da 0,166. 01:10:40
¿Cuándo nos haría esto cierto? Pues cuando alguien pudiera ser becado habiendo suspendido 01:11:15
Por ejemplo, si fuesen becados el 80% de la gente que está por encima 01:11:20
Entonces ahí tendríamos lo contrario, tendríamos que el conjunto de los becados 01:11:25
continúan los aprobados, en cuyo caso la probabilidad de excepción sería la probabilidad de ser aprobado 01:11:30
y nos daría 0,6628 ante 0,628 que sería 1 01:11:36
Bueno, con esto ya hemos terminado este problema 01:11:41
Pasemos al siguiente 01:11:46
Para la grabación y después realizáis o planteáis el problema 01:11:47
Este problema es de la EBAU en Madrid 01:11:54
Del curso 2022-2023 01:11:58
Corrijamos 01:12:02
Bien, nos están diciendo que X, que es la brevedad que tenemos, es una distribución normal, donde la media es 175 milímetros, y la desviación típica 25,75 milímetros. 01:12:08
Eso significa que en lo sucesivo lo más loco es trabajar en milímetros. 01:12:29
Entonces, si aquí tenemos 16 centímetros, serán 160 milímetros, y lo mismo aquí, si aquí son 15 centímetros, serán 150 milímetros. 01:12:32
Bien, empezamos a resolver, apartado A. 01:12:44
Bueno, nos dicen que una planta envasadora son las mismas sardinas de una longitud superior de 10 centímetros. 01:12:53
vale, y nos dicen que porcentaje de las sardinas capturadas 01:12:59
cumplen esa propiedad, es decir, nos preguntan 01:13:05
por la probabilidad de que X sea mayor o igual que 01:13:09
16 centímetros, pero ojo, estamos 01:13:12
con milímetros, sería X mayor o igual que 160 01:13:15
pues no es más que hacer un calculo con normales 01:13:19
esto sería, esto es la probabilidad 01:13:24
de que x menos mu, que es 175, partido por sigma, que es 25,75, sea mayor o igual que 160 menos 175 entre 25,75. 01:13:28
Y ahora ya es utilizar la calculadora. 01:13:43
Es la probabilidad de que z sea mayor o igual que menos 0,58. 01:13:46
Bueno, es 0,5825, etc. 01:13:54
Pero como en la normal vamos a calcular todo con dos decimales, pues ponemos el redondeo con dos decimales. 01:13:58
Por la volvedad del cambio de signo, esto es la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,58. 01:14:05
Podemos borrar esto. 01:14:12
Vamos a la tabla y entonces obtenemos lo siguiente. 01:14:16
Si buscamos en la tabla la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,58, obtenemos que el valor es 0,7190. 01:14:20
por lo tanto ponemos ese valor 0,7190 01:14:33
hagamos apartado B 01:14:41
nos piden hallar una longitud T 01:14:45
de modo que la probabilidad de que T sea menor o igual que X 01:14:48
menor o igual que 175 01:14:53
esto sea 0,16 01:14:55
bien 01:14:59
hay varias formas de apagar el problema 01:15:01
Y además hay que observar una cosa importante, y es que el 675 es la media, y eso puede significar las cosas. 01:15:05
Eso se puede plantear de un modo más geométrico y también de un modo más mecánico. 01:15:14
Voy a hacer antes el método geométrico. 01:15:19
Con el método geométrico, si dibujamos la normal, el 675 está en el centro. 01:15:22
Eso quiere decir que la probabilidad que hay a la derecha es 0,5. 01:15:34
Por otra parte, la posición de la T nos indica que la probabilidad que hay entre medias es 0,18. 01:15:41
Entonces, si queremos hallar esta probabilidad, lo que tenemos que hacer es restar 0,5 menos 0,18 y eso nos da 0,32. 01:15:54
Así pues, tenemos que la probabilidad de que X sea menor o igual que T ha de ser 0,32 01:16:06
Ahora bien, esto también se puede hacer más mecánicamente 01:16:17
Si 0,18 es la probabilidad de que T menor o igual que X es menor o igual que 175 01:16:22
Podemos coger y poner esto como la desigualdad y como la resta 01:16:36
resta la probabilidad de que x menor o igual que 175 menos la probabilidad de que x sea 01:16:41
menor o igual que t. Con la solución geométrica eso puede calcular muy fácilmente, porque 01:16:50
si el máximo que hay en la normal es 175, eso quiere decir que la probabilidad de que 01:16:56
x se va a ver igual que esto, es la mitad, es 0.5. 01:17:02
Bueno, si es la casualidad de que no tenemos aquí un 175 sino otro número, 01:17:08
podríamos poner aquí otro número y ya calcularlo normal y corriente 01:17:16
con los métodos que ya conocemos. 01:17:19
Quiero decir que este problema se puede responder con cualquier número 01:17:22
aunque aquí no tuviésemos el 175 porque con esta igualdad ya se puede calcular. 01:17:25
Y de hecho, si hiciésemos el cálculo de variable, pues ¿qué haríamos? 01:17:32
¿El cambio de variable qué haríamos? 01:17:36
Pues la probabilidad de que x-175 partido por 25,75 menor o igual que 01:17:37
175 menos 175 partido por 25,75 01:17:45
Esto es la probabilidad de que z sea menor o igual que 0 y eso es 0,5 01:17:51
Entonces, aunque no haga falta calcularlo, si nos desvistásemos 01:17:57
O tuviéramos otro número diferente. Lo podríamos calcular. Bien, sigamos. Entonces, de aquí llegamos a una igualdad. Aquí tenemos el 0,18 y aquí tenemos esto de aquí que es 0,5 menos la probabilidad que x sea menor o igual que t. 01:18:00
Despejando esto tenemos que la probabilidad de que X sea menor o igual que T es 0,5 menos 0,18 01:18:27
Pasamos una cosa a la izquierda y la otra a la derecha, que nos da 0,32 01:18:35
Y tenemos lo mismo que el otro método 01:18:39
Ahora lo único que tenemos que calcular es esta T 01:18:42
Hagámoslo 01:18:46
A ver, nos dicen que la probabilidad de que X sea menor o igual que T es 0,32 01:18:49
Hacemos el cambio de variable, eso es decir, la probabilidad de que x menos 175 partido por 25 con 75 sea menos o igual que t menos 175 partido por 25 con 75, esto ha de ser igual a 0,32. 01:19:00
Y esto ocurre si y solo si la probabilidad de Z menor o igual que B es igual a 0.32, donde B es igual a T-175 partido por 25.75. 01:19:29
Si hacéis este cambio de variable, lo suyo es poner esto también para explicarlo. 01:19:47
Sigamos. 01:19:55
Para calcular esta variable b 01:19:55
Poner esto, poner con o lo que sea 01:20:00
Sigamos, entonces 01:20:03
Si la probabilidad de que z sea menor o igual que b 01:20:05
Es 0,32 01:20:08
Ahora resulta que este 0,32 01:20:09
No está en la tabla 01:20:12
Porque es mayor que 01:20:14
Es menor que 0,5 01:20:15
Y en la tabla están los que son mayores que 0,5 01:20:17
Lo único que podemos hacer 01:20:20
Es emplear las reglas para quitarlo 01:20:22
Entonces sea 01:20:24
La regla 1 menos 01:20:25
cogemos que la probabilidad de que z 01:20:27
sea mayor o igual que b, fijaros aquí no hay signos 01:20:31
es 1 menos 0,32 que es 01:20:35
0,68 01:20:38
y ahora tenemos 01:20:47
que la probabilidad de que 01:20:50
z sea, entonces, pero que tenemos mayor o igual con lo cual 01:20:56
Hacemos todo con menos 1 01:21:02
Menor o igual que menos b 01:21:04
Es 0,68 01:21:05
Y ahora buscamos esto en la tabla 01:21:07
Pues nada, busquemos en la tabla 01:21:09
El valor menos b 01:21:14
Igual a 0,68 01:21:16
Buscando lo tenemos 01:21:20
Aquí, es el más cercano 01:21:23
Con lo cual sería 0,47 01:21:26
Entonces menos b 01:21:31
de C es el 0,47. Por lo tanto, menos B es igual a 0,47, lo que significa que B es menos 01:21:32
0,47. Por otra parte, si tomamos esta igualdad, es decir, que B es igual a T menos 175 partido 01:21:46
por 25,75, entonces T ya sabemos que es igual a 175 más 25,75B y eso es igual a 175 más 01:21:58
25,75 por menos 0,47 01:22:14
Si calculamos esto en la calculadora 01:22:19
Obtenemos 01:22:22
162,89 01:22:23
Bueno, de hecho en la EBAU 01:22:34
Lo redondean como 163 milímetros 01:22:35
Con lo cual 01:22:41
Ya tendríamos la segunda respuesta 01:22:42
La respuesta sería T es igual a 163 milímetros. 01:22:46
Veamos ahora el aparato C. 01:22:58
Bueno, con cierto rodeo en el enunciado, lo que nos piden es que hay por la probabilidad de que en un lote de 10 sardinas haya al menos una de menos de 15 centímetros. 01:23:02
Bien, vamos a verlo. 01:23:18
Entonces, lo primero que hay que calcular es la probabilidad de que una sardina mida menos de 15 centímetros. 01:23:19
Recordemos que, como dijimos al principio, hay que pasarlo a milímetros, con lo cual serían menor que 150 milímetros. 01:23:30
Haciendo el cambio de variables, eso sería la probabilidad de que x-175 entre 25,75 sea menor o igual que 150-175 entre 25,75 01:23:38
Y esto es igual a la probabilidad de que z sea menor o igual, redondeando hasta los dos decimales, de menos 0,97 01:23:53
Como tenemos aquí un menos, pues lo convertimos en más haciendo el cambio normal 01:24:05
Probable de que z sea mayor o igual que 0,97 01:24:14
Y ahora aquí tenemos un mayor o igual, hacemos lo de siempre 01:24:17
1 menos la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,97 01:24:22
Y ahora buscamos este valor en la tabla 01:24:26
Vamos a buscar la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,97 01:24:30
Vamos a 0,9, buscamos el 7 y nos da que es 0,8340. 01:24:37
Continuando, esto es 1 menos la probabilidad que acabamos de conseguir, 0,8340, y esto nos da 0,166. 01:24:48
Por lo tanto, esta probabilidad de 0,166 es la probabilidad de que una sardina sea de una longitud menor o igual que 150, o lo que es lo mismo de que sea una sardina pequeña. 01:24:59
Nuevamente, el problema se puede resolver de dos maneras, una más rápida, en la que hay que estar un poco más abezado, y la otra más mecánica. 01:25:17
La más mecánica es la que ya estéis acostumbrados a pensar 01:25:25
Y es que tenemos un lote de 10 sardinas 01:25:30
Y nos piden por una probabilidad 01:25:33
De que al menos una de ellas sea pequeña 01:25:35
Entonces, ¿qué tenemos? 01:25:38
Pues tenemos una binomial 01:25:40
Vamos a llamar la variable y para que no se confunda por la x 01:25:41
Una binomial de 10 sardinas 01:25:45
y donde la probabilidad de que sea pequeña es 166 01:25:51
y nos estamos preguntando por la probabilidad de que en el lote de 10 01:25:57
al menos una haya una que sea pequeña 01:26:01
o sea, la probabilidad de que Y sea mayor o igual que 1 01:26:05
y eso es 1 menos la probabilidad de 0 01:26:07
y eso se puede hacer pues 1 con la fórmula 01:26:11
bueno, en este caso la fórmula es directamente 01:26:15
Si aquí P es esto, 1 menos P, que es Q, es lo que hemos calculado antes, 0,834, con lo cual sería 0,834 elevado a 10. 01:26:18
También se va a poner con la formulita A, 10 sobre 0 por 0,166 elevado a 0 por 0,834 elevado a 10. 01:26:38
Y esto es directamente, pero es mejor poner directamente esto. Y metiendo esto en la calculadora sería 1 menos 0,1628, lo que nos da 0,8372. 01:26:50
Y el método más rápido sería directamente hacerlo desde el principio 01:27:15
A ver, la probabilidad de que al menos una sea pequeña es 1 menos la probabilidad de que todas sean grandes 01:27:19
Y eso sería 1 menos la probabilidad de que sea más grande, que es 1 menos esto, ya no me cabe 01:27:31
La probabilidad de que todas sean grandes sería el 0,834 elevado a 10 01:27:44
Y nos tendría que dar esto de aquí 01:27:55
Con lo cual ya tendríamos resuelto. No me cabe ya, pero bueno, el resultado sería lo dicho. 01:27:57
El resultado sería la probabilidad, habría que escribir la probabilidad de que una sardina se devuelva, es de 0,8372. 01:28:04
Bueno, lo borro para poner el resultado 01:28:15
La probabilidad de que al menos una sardina sea devuelta es de 0,8372 01:28:21
Y ahí se habríamos terminado 01:28:42
Para la grabación, lees bien el enunciado 01:28:44
Y ya después lo recomendable es plantearlo o resolverlo 01:28:49
Y ya por último, podéis escuchar la corrección. 01:28:53
Correjamos. 01:28:58
Tenemos una distribución normal de media 500 y desviación típica desconocida que llamamos como sigma. 01:29:00
En apartado A nos piden hallar esa sigma, sabiendo que el 72% de los caballos pesan más de 460 kilos. 01:29:11
Bien, si la variable x es el peso, lo que estamos diciendo es que la probabilidad de que x sea mayor o igual que 460 es precisamente 0,72, que es el 72%. 01:29:19
Y aquí aparecerá la sigma cuando hagamos un cambio de variable. 01:29:33
porque esto significa que la probabilidad de que x menos 500 partido por sigma 01:29:37
sea mayor o igual que 460 menos 500 partido por sigma 01:29:45
esto ha de ser 0,72 01:29:50
y esto es la variable z 01:29:53
y a esto le podemos llamar b 01:29:56
de modo que lo que tendríamos es que la probabilidad de que z sea mayor o igual que b 01:29:59
es 0,72 01:30:05
si estamos en la pizarra 01:30:08
nos va a ser como haber puesto la b aquí 01:30:10
pero si tuviéramos que 01:30:11
escribirlo, diríamos 01:30:14
donde 01:30:16
b es igual a 01:30:18
460 menos 500 01:30:21
partido por sigma 01:30:23
que vale menos 40 partido por sigma 01:30:24
bueno pues calculemos b 01:30:27
calculemos b 01:30:29
entonces 01:30:36
Si la probabilidad de que Z mayor o igual que B es 0,72, a ver, esto ya es mayor que 0,5, con lo cual no va a haber que hacer ningún 1 menos tal. 01:30:38
Pero aquí tenemos un mayor o igual que y nos interesa un menor o igual que. 01:30:50
Entonces, ¿qué hacemos? Pues lo que hacemos es que la probabilidad de que Z sea menor o igual que menos B es 0,72. 01:30:55
Y ahora ya buscamos el menos b de la tabla. Buscamos un valor b de modo que la propiedad de cp sea menos o igual que menos b sea 0,72. 01:31:07
Así pues, buscamos el 0,72, que el valor más cercano sería este, y eso es 0,58. 01:31:20
De modo que lo que tenemos es que menos b ha de ser 0,58. 01:31:35
Por lo tanto, menos b es igual a 0,58, lo que significa que b es menos 0,58. 01:31:42
Y ahora ya tenemos esto de aquí, puesto que menos 0,58 que es b, eso es igual a menos 40 partido por sigma, entonces pasando la sigma al otro lado, menos 0,58 sigma es igual a menos 40, por lo tanto sigma es igual a menos 40 partido por menos 0,58. 01:31:49
Y eso nos da 68,97 si redondeamos a dos decimales. 01:32:16
Bueno, pues entonces ya tenemos la sigma. 01:32:24
Ya tendríamos que sigma es igual a 68,97. 01:32:30
Vamos al apartado B. 01:32:36
Calcular el valor de C tal que el 40% de los caballos pesen entre 500 menos C y 500 más C kilos. 01:32:40
Tenemos entonces que la probabilidad de que un caballo pese entre 500 menos c y 500 más c ha de ser 0,4 01:32:46
Bien, aquí hay varias formas de resolverlo 01:33:03
La mecánica funciona bastante bien, pero también una un poco más geométrica 01:33:08
Empezamos con la mecánica 01:33:12
Eso significa, haciendo un cambio de variable 01:33:14
que es la probabilidad de que 500 menos c menos 500 partido por sigma, que ya sabemos lo que es, 68,97, menor o igual que x menos 500 partido por 68,97 01:33:19
y es menor o igual que 500 más C menos 500 partido por 68,97, esto ha de ser 0,4. 01:33:39
Y ahora ya sabemos que esto es Z. 01:33:50
Entonces, haciendo el cálculo, lo que tenemos es que menos C partido por 68,97 01:33:54
T menor o igual que Z menor o igual que C partido por 68,97. 01:34:03
Esta probabilidad es 0,4. 01:34:11
Si queremos ahorrarnos tinta de hora de escribir, podemos llamarle a esto igual a A y esto igual a menos A. 01:34:16
Eso se puede escribir así. 01:34:28
Y poniendo que A es igual a C partido por 68,97, tenemos que la probabilidad de que menos A menor o igual que Z menor o igual que A tiene que ser igual a 0,4. 01:34:29
Y con esto podemos continuar, porque eso significa que la probabilidad de que Z menor o igual que A menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que menos A ha de ser 0,4. 01:34:46
Ahora bien, ¿esto cuánto vale? Esto es la probabilidad de que Z sea mayor o igual que A. 01:35:04
Y esto es 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que A. 01:35:12
Entonces, ¿qué tenemos? Que la probabilidad de que Z sea menor o igual que A, menos 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que A, esto es 0,4. 01:35:16
y eso significa que la probabilidad que z sea menor o igual que a 01:35:28
menos 1 más la probabilidad que z sea menor o igual que a 01:35:35
esto debe ser 0,4 01:35:39
luego dos veces la probabilidad que z sea menor o igual que a 01:35:42
menos 1 debe ser igual a 0,4 01:35:46
siguiendo, vamos a 01:35:49
entonces despejando esto 01:35:53
tendríamos que dos veces la probabilidad de que Z sea menor o igual que A es igual a 0,4 más 1 que es 1,4 01:35:59
luego la probabilidad de que Z sea menor o igual que A es 0,7 01:36:10
y con esto podemos buscar A en la tabla 01:36:15
calculamos A de modo que la probabilidad de que Z sea menor o igual que A es 0,7 01:36:18
y aquí tenemos que el lugar más cercano a 0,7 es este 01:36:26
realmente está en el centro 01:36:31
y yo personalmente buscaría más 01:36:34
el lugar intermedio o interpolaría 01:36:36
pero bueno, el abao coge más cercano 01:36:38
pues hacemos lo del abao 01:36:40
entonces A es igual a 0,52 01:36:41
por tanto 01:36:46
A es igual a 0,52 01:36:51
y ya con esto 01:36:53
podemos despejar 01:36:55
entonces como 01:36:58
A es igual a 0,52 01:37:01
que es A, esto es igual a C 01:37:05
partido por 68,97, entonces C es igual a 68,97 multiplicado por 0,52 y eso nos da 35,86. 01:37:07
De modo que C sería 35,86. Bien, ¿cuál sería el método un poco más simétrico? 01:37:26
vamos a aprovechar el poco espacio que nos queda 01:37:36
a ver 01:37:39
igualmente 01:37:41
habría que calcular 01:37:45
Z está en de menos A y A 01:37:46
entonces haciendo eso 01:37:50
pues aquí tenemos aquí 01:37:52
menos A y aquí A 01:37:56
entonces pues 01:37:58
si es 0,4 01:38:02
la mitad está en cada uno, 0,2 y 0,2 01:38:03
entonces 01:38:07
¿cuándo se dan los bordes? 01:38:08
pues aquí está la mitad que es 0,5 01:38:10
aquí por ejemplo estaría 0,5 menos 0,2 que es 0,3 01:38:12
y automáticamente podremos hacer con este dibujo 01:38:18
sumando 0,3 más 0,2 más 0,2 01:38:22
que A es el valor de modo que la probabilidad de que Z sea menor o igual que A 01:38:29
vale 0,7 01:38:33
en este caso ahorramos unos cuantos pasos 01:38:35
nos hemos ahorrado concretamente todo esto 01:38:38
Para la grabación, leed bien el enunciado y ya después lo recomendable es plantearlo o resolverlo y ya por último podéis escuchar la corrección. 01:38:42
Correjamos. X sería el peso de los burros, ¿no? Y aquí se distribuye como normal mu sigma que desconocemos. 01:39:02
Entonces en el apartado A nos piden calcular muy sigma 01:39:17
Diciéndonos los datos 01:39:21
El primero que se deduce de esta frase es que la probabilidad de que X, o sea el peso, sea mayor o igual que 350 kilos es 0,7 que es el 70% 01:39:25
Y el segundo dato, que se deduce de esta otra frase, es que la probabilidad de que el peso sea menor o igual que 370 kilos es 0,6. 01:39:39
Bien, luego, igual que antes, aparecerá mu y sigma como un cambio de variable. 01:39:54
Entonces tenemos que la probabilidad de que x menos mu partido por sigma sea mayor o igual que 350 menos mu partido por sigma, eso es 0,7. 01:39:59
y que la probabilidad de que x menos mu partido por sigma sea menor o igual que 360 menos mu partido por sigma, esto es 0,6. 01:40:11
Naturalmente, esto es z, esto es z, y esto lo vamos a llamar a, por ejemplo, y esto b. 01:40:26
En la pizarra o con palabras ya sabemos cuáles hay y cuáles no, pero si lo escribimos lo sería decirlo de este modo. 01:40:34
Entonces la probabilidad de que Z sea mayor o igual que A es 0,7 01:40:42
Donde A es igual a 350 menos mu partido por sigma 01:40:48
Y la probabilidad de que Z sea menor o igual que B es 0,6 01:40:54
Donde B es igual a 370 menos mu partido por sigma 01:40:59
Bien, sigamos 01:41:07
Entonces vamos a calcular A y B 01:41:11
Lo que tenemos es que la probabilidad de que Z sea mayor o igual que A es 0,7 01:41:17
Y que la probabilidad de que Z sea menor o igual que B es 0,6 01:41:24
Aquí tenemos que un 0,7 tiene que cambiar porque es mayor que 0,5 01:41:30
Y lo mismo ocurre con un 0,6 01:41:35
Aquí tenemos un menor o igual, tenemos que cambiar, la segunda frase es correcta y eso hay que cambiarlo 01:41:37
Y lo cambiamos con el cambio de signo, la probabilidad de que Z sea menor o igual que menos A es 0,7 01:41:44
Y ahora buscamos estos dos valores en la tabla 01:41:55
Necesitamos calcular A y B de modo que la probabilidad de que Z sea menor o igual que menos A sea 0,7 01:41:59
y la probabilidad de que Z sea menor o igual que B 01:42:10
sea 0,6 01:42:13
En el primer caso tenemos que buscar 0,7 01:42:15
y el más cercano es este dato 01:42:20
Está casi en el medio, pero como en la EBAU redondean 01:42:24
pues aquí también redondeamos 01:42:26
Y con esto obtendríamos 01:42:29
que menos A vale 0,52 01:42:31
Para la B, el valor más cercano 01:42:36
sería 01:42:39
a0,6 es este 01:42:41
de modo que tendríamos que b 01:42:44
será igual a 01:42:46
0,25 01:42:48
por lo tanto 01:42:51
hemos obtenido que 01:42:57
menos a es igual a 0,52 01:42:59
y que b es igual a 0,25 01:43:02
bueno, esto es lo mismo que decir que 01:43:05
a es igual a 01:43:07
menos 0,52 01:43:08
y con esto ya tenemos todo 01:43:10
porque 01:43:12
esto es igual a menos 0,52 01:43:14
y eso es igual a 0,25 01:43:17
y ahora es cuestión de despejar 01:43:19
350 menos mu partido por sigma 01:43:21
es igual a menos 0,52 01:43:26
es lo mismo que decir despejando 350 01:43:29
que 350 es igual a mu 01:43:32
menos 0,52 sigma 01:43:35
y eso es una ecuación 01:43:37
370 menos mu partido por sigma 01:43:39
es decir que es igual a 0,25 01:43:44
equivale a decir despejando el 370 01:43:46
que esto es igual a mu más 0,25 sigma 01:43:50
y ya tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 01:43:55
ahora se trata únicamente de despejar sigma y mu 01:43:59
lo cual es muy fácil 01:44:02
porque por ejemplo por reducción 01:44:04
Tenemos que menos 350 es igual a menos mu más 0,52 sigma y que 370 es igual a mu más 0,25 sigma. 01:44:06
De modo que 20 es igual a 0,77 sigma. 01:44:22
Y así sigma es igual a 20 entre 0,77, lo que nos da 25,974. 01:44:26
Sustituyendo por ejemplo aquí la mu, tenemos que mu es igual a 350 más 0,52 sigma, esto es 350 más 0,52 por 25,974 y esto nos da 363,506. 01:44:37
De modo que ya tenemos el resultado y es que mu es igual a 363,506 y sigma es igual a 25,974. 01:45:04
Nos queda para todo B que es muy sencillo. Tenemos 5.000 burros y hay que hacer una estimación. 01:45:20
Bueno, para hacer esta estimación lo primero que hacemos es calcular la probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que un burro pese entre 350 kilos y 370 kilos? 01:45:29
Bueno, pues sería la probabilidad de que X sea menor o igual que 370 menos la probabilidad de que X sea menor o igual que 350. 01:45:44
Y resulta, bueno, lo que se hace con la Z se puede hacer con la X tranquilamente. 01:45:55
Y entonces, pues resulta que esto lo tenemos calculado ya prácticamente 01:45:59
Porque este dato ya lo tenemos, eso es 0,6 01:46:06
Mientras que este, lo que tenemos es el cual mayor o igual 01:46:12
Pues nada, esto es 1 menos la probabilidad de que X sea mayor o igual que 350 01:46:16
Y ahora sí que podemos calcularlo, porque esto es 0,6 menos, y esto de aquí es 1 menos 0,7, como tenemos aquí. 01:46:23
De modo que sería menos 1 menos 0,7, que es 0,6 menos 0,3, y esto vale 0,3. 01:46:37
Y ya está. Entonces, ahora como lo estimamos, pues vamos a ver. Si tenemos 5.000 burros y x minúscula sería el número de burros que hay, pues aproximadamente eso es 0,3. 01:46:46
Por lo tanto, X sería los 5.000 por 0,3, es decir, 1.500 burros. 01:47:05
El resultado sería, hay aproximadamente 1.500 burros. 01:47:16
Y con esto hemos terminado este problema. 01:47:31
Bien, para la grabación, leed bien el enunciado, después plantearlo, que en este caso es muy fácil, o resolverlo, y corregimos. 01:47:35
Bueno, aquí la corrección es muy sencilla 01:47:43
Vamos a ver, tenemos una normal 01:47:45
Y resulta que nos piden calcular la mu 01:47:47
Pero nos dicen que la mitad de los osos pesa más de 250 kilos 01:47:55
¿Y dónde está la mitad? 01:48:00
Pues resulta que siempre en la mu 01:48:03
A la derecha tenemos 0,5 y a la izquierda tenemos 0,5 01:48:05
De modo que si la mitad pesa más de 250 kilos 01:48:11
Es que mu es 250 01:48:13
Y ya hemos terminado. 01:48:16
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
5
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Problemas de Estadística - 2ºBachillerato CT
Duración:
1h′ 48′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.61

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