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Ejercicio resuelto con soluciones falsas en método ecuaciones irracionales - Contenido educativo
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Voy a resolver el ejercicio, el apartado J del ejercicio 1, porque me parece interesante, dado que, para ver un caso práctico en el que, al aplicar el método que se propone para la resolución de ecuaciones radicales, vemos que surgen soluciones falsas.
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por esta cuestión que veíamos en el vídeo anterior de que si a es igual a b entonces a al cuadrado es igual a b al cuadrado
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esto es cierto y este es el principio que utilizo para aplicar el método de la resolución de ecuaciones radicales
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Pero, ojo, porque resulta que si a al cuadrado es igual a b al cuadrado, no implica que a es igual a b.
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Y esto es lo que me lleva a ver que surgen, esta es la razón por la que surgen, a la hora de aplicar el método en estas ecuaciones, surgen soluciones falsas.
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porque un valor de x que verifica esta igualdad no necesariamente verifica esta.
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Si al revés, toda solución de la ecuación que quiero resolver lo será de esta, ¿vale?
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Pero no toda solución de esta ecuación lo será de esta.
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Y esto es lo que vamos a ver ahora, en este caso concreto, ¿de acuerdo?
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Está explicado esto en el tema, en el vídeo anterior, pero vamos a resolverlo en el caso concreto.
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Bien, pues resolvamos esta ecuación. Es irracional y por tanto voy a elevar ambos miembros al cuadrado, pero cuidado, porque como x más 1, como aquí hay un sumando,
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está estorbando porque si eleváramos al cuadrado ambos miembros
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de la ecuación tal y como lo tengo aquí
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pues veríamos que no se va a la raíz
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porque aquí si elevo al cuadrado, aplicando el principio
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a igual a b implica que a al cuadrado
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es igual a b al cuadrado, si aplico
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este principio aquí, que no estaría mal aplicado, lo que pasa es que
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no resuelve la ecuación porque no simplifica la ecuación
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porque aquí habría que hacer la fórmula del producto notable
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a más b cuadrado que es a cuadrado más 2ab más b cuadrado
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que desarrollando mediante el producto notable este
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el producto notable aquí pues veríamos que
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es cuadrado del primero que es este más cuadrado del segundo que es este
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Más doble del primero por el segundo
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Y aquí la raíz no se va
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Aquí sí, pero aquí no
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Como podéis observar
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He ido un poco deprisa
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Pero bueno, esta es la razón
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Por la que Susi en su vídeo propone
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Aislar el radical
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Dejar solo el radical
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¿Vale?
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Bien, para no arrastrar
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Sumandos con la raíz de x más 1 en este caso
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Por lo tanto, así no habría que
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operar tendríamos que en primer lugar aislar la raíz
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para lo cual el 5 pasa a restar al otro miembro
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de la ecuación y ahora sí elevamos a ambos miembros al cuadrado
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aplicando este principio que hemos mencionado
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quedaría raíz de x más 1 al cuadrado
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igual a x menos 5 al cuadrado
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¿De acuerdo? Bien, pues dicho esto, aquí se va el 2 y la raíz, queda x más 1 igual, aquí lo que he hecho es desarrollar esto por el binomio al cuadrado, el producto notable, x a menos b, he aplicado la fórmula que ya sabéis, a menos b al cuadrado es al cuadrado menos 2ab más b al cuadrado.
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¿De acuerdo? Y por tanto, el primer miembro en este caso A es X, B es 5, ¿no? Aquí, y lo aplico, ¿vale? Bien, así de esta manera, pues, pues, esta ecuación sería equivalente a esta, ¿de acuerdo?
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Pero no es equivalente a esta, ¿no? Con matices, o sea, ¿por qué? Porque para que sean equivalentes tienen que tener las mismas soluciones y lo que sabemos es que una solución de aquí lo es de aquí, pero no al revés, una solución de aquí no necesariamente lo es de aquí y eso es donde hay que tener precaución, ¿de acuerdo?
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Entonces, para buscar soluciones de aquí, pues las busco aquí, pero con la precaución de que no todas estas soluciones lo serán de esta.
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Y aquí lo vamos a ver en un ejemplo, ¿de acuerdo?
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Resolvemos esta ecuación, entonces.
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Resolvemos esta ecuación, la he trasladado aquí.
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Bien, pues bien, resolvemos, digo, esta ecuación, que es equivalente a esta,
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paso todo a un miembro y al otro lado cero,
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dejo un cero para poder aplicar la fórmula de la ecuación completa de grado 2.
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Está, x igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4ac partido 2a, ¿de acuerdo?
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¿Quién es a, quién es b y quién es c?
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Pues en mi caso, A sería el número que acompaña aquí el cuadrado, que es 1, B sería menos 11 y C sería 24.
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Que sustituimos en la fórmula y nos da, sustituyendo la fórmula de grado 2, nos da esta expresión y simplificando nos sale 8 y 3.
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Hacedlo
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Conviene que hagáis este tipo de cálculos vosotros hasta el final
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¿De acuerdo?
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He operado, simplemente he aplicado la fórmula
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Como una ecuación de grado 2
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Que ya todos sabéis resolver
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¿De acuerdo?
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Entonces, las soluciones que salen son
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X igual a 8 y X igual a 3
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Y la cuestión está
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¿Estas son las soluciones de mi ecuación?
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¿De esta?
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Y la respuesta es no
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No, estas son las soluciones de esta ecuación, que es donde he elevado al cuadrado ambos miembros.
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Y esta ecuación, que es equivalente a esta, es la que he resuelto.
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Por lo tanto, diríamos que x igual a 8 y x igual a 3 son solución de esta ecuación.
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O sea, en mi esquema verifican esta igualdad.
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Pero no necesariamente esta.
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Lo que ya vimos.
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Por lo tanto, no necesariamente son solución de esta ecuación.
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¿Qué hay que hacer? Muy sencillo, comprobar si lo son o no.
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Porque sí sabemos que toda solución de esta ecuación original que estoy buscando resolver,
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lo es de la segunda, de la segunda esta, que es la que le va al cuadrado.
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Y esta segunda me da como soluciones estas.
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Por lo tanto, las posibles soluciones de la ecuación 1 tienen que estar entre estas dos, o son las dos o alguna de ellas, ¿de acuerdo?
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Bien, vamos a ver, sin más que sustituir, ¿qué sucede?
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Veamos para x igual a 8, ¿qué pasa? Pues verifica, verifica, x igual a 8, verifica la ecuación.
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Bien, pues vamos a verlo.
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Vamos a ver, tenemos aquí la ecuación, ¿de acuerdo?
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x igual a 8 es solución, pues vamos a ver, donde pone x pongo 8, ¿de acuerdo?
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Más 1, más 5 igual a, donde pone x, repito, pongo 8, y comprobamos a ver si esta igualdad es cierta.
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Y bien, aquí sale raíz de 9, que es 3, más 5, que sí, efectivamente es igual a 8.
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Por lo tanto, se confirma en este caso que x igual a 8 es solución de esta ecuación.
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Insisto, 8 ha salido como solución de la ecuación esta,
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que es fruto de elevar al cuadrado a ambos miembros de esta ecuación.
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Pero vamos a ver si x igual a 3 es solución.
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Bien, vamos a verlo.
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Ahora ya sabemos que x igual a 8 sí es solución, vamos a ver x igual a 3.
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Lo que hago es sustituir en x nuevamente.
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raíz de 3 más 1 más 5 será igual a 3
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pues vamos a ver, esta es la pregunta que nos hacemos
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raíz de 4 que es 2 más 5 es igual a 7 es distinto de 3
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por lo tanto como veis x igual a 3 no verifica esta igualdad
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en definitiva no es solución de esta ecuación
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y es que lo es de esta
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O sea, en mi esquema, x igual a 3 verifica esta ecuación 1, esta ecuación 2, x igual a 3 verifica esta ecuación, pero no esta.
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Pero x igual a 8, sin embargo, sí verifica esta ecuación y también esta.
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Por lo tanto, en términos generales, cuando resuelva una ecuación irracional por este método, aplicando este principio de que a igual a b implica que a cuadrado es igual a b cuadrado, he de tener cuidado porque se pueden estar creando soluciones falsas.
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¿De acuerdo? Y por tanto siempre he de comprobar en mi ecuación original, en este caso esta, si son o no solución.
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Y repito, la razón por la que se crean soluciones falsas es, bueno, ya está explicado en el vídeo anterior.
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- Fecha:
- 26 de enero de 2021 - 18:55
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- Público
- Centro:
- IES BARRIO SIMANCAS
- Duración:
- 10′ 54″
- Relación de aspecto:
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