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AN2. 1.1 Asíntotas. Definiciones - Contenido educativo

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Subido el 12 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN2 dedicada a las aplicaciones de los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:22
las asíntotas y cómo se definen. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio de la 00:00:33
primera de las aplicaciones de los límites que son las asíntotas. En concreto vamos a estudiar 00:00:50
su definición. Como veis aquí, podemos leer que una asíntota es una recta a la cual la gráfica de 00:00:55
la función tiende a aproximarse infinitamente aún sin llegar a tocarla. Existen tres tipos de rectas 00:01:01
en el plano, rectas verticales, horizontales y oblicuas, y así pues existen tres tipos de 00:01:07
asíntotas. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua. Vamos a estudiarlas con 00:01:11
ejemplos. Aquí a la derecha, en esta gráfica, vamos a ver cómo x igual a menos 2 y x igual a 2 00:01:16
son asíndotas verticales de la función. ¿Qué es lo que está ocurriendo? Pues mirad, si nos aproximamos 00:01:23
al valor x igual a menos 2 tanto por la izquierda como por la derecha, hacemos los límites laterales, 00:01:29
vemos cómo gráficamente la función toma cada vez valores arbitrariamente más grandes, la función 00:01:34
diverge hacia más infinito. Esto quiere decir que el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda 00:01:39
y por la derecha de la función es igual a más infinito. Y podemos ver cómo la función tiende a 00:01:44
aproximarse a esa recta vertical, en este caso, infinitamente, cada vez más, tanto 00:01:51
por la izquierda como por la derecha, aún sin llegar a tocarla nunca. Aquí tenemos 00:01:55
un ejemplo de una asíntota vertical. Ocurre lo mismo en el caso del x igual a 2. 00:01:59
Si nos aproximamos al valor de x igual a 2 por la izquierda y por la derecha, los 00:02:03
límites laterales, vemos como la función toma valores cada vez más pequeños, 00:02:07
arbitrariamente pequeños. En este caso la función diverge hacia menos infinito y 00:02:12
podemos ver cómo ese hecho, límite cuando x tiende a 2 por izquierda y por la derecha igual a menos 00:02:17
infinito, nos hace ver que tenemos una asíntota vertical. La función tiende a aproximarse cada 00:02:22
vez más a esa recta vertical x igual a 2, aún sin llegar nunca a tocarla. Como podéis ver aquí, 00:02:28
las asíntotas son rectas y como tales tienen ecuaciones. En el caso de las asíntotas verticales, 00:02:34
todas van a ser x igual a algo y este algo es la abscisa que corresponde a esa recta vertical. 00:02:39
En el caso de las asíntotas horizontales vamos a utilizar como ejemplo la misma gráfica 00:02:45
En este caso lo que vamos a hacer es estudiar los límites cuando x tiende a más infinito y a menos infinito 00:02:51
Podemos ver cómo en el límite cuando x tiende a más infinito, cuando x va tomando valores arbitrariamente grandes 00:02:57
La función en este caso va tomando valores crecientes cada vez más 00:03:03
aproximándose, aún sin llegar nunca a tocar, a esta recta horizontal y igual a 2. 00:03:07
En este caso se aproxima a ella por abajo. 00:03:16
Igualmente, si estudiamos el límite cuando x tendrá menos infinito, 00:03:18
x tomando valores arbitrariamente cada vez más pequeños. 00:03:22
Vemos cómo la función, en ese caso, si vamos siguiendo la gráfica, decrece, 00:03:26
aproximándose cada vez más, aún sin llegar a tocarla, a esta recta horizontal y igual a menos 2. 00:03:30
Pues bien, esa es la definición de una asíntota horizontal, una recta, en este caso horizontal, a la cual la función tiende a aproximarse infinitamente en el límite cuando x tiende a más infinito por abajo, en el límite cuando x tiende a menos infinito por arriba, aún sin llegar nunca a tocarla. 00:03:35
En el caso de las asíntotas horizontales, como podéis ver aquí, las asíntotas tienen como ecuación y igual a algo, en este caso, a la ordenada que corresponde a esa recta a la cual la función tiende a aproximarse infinitamente sin llegar a tocarla. 00:03:52
En el caso de asíntotas oblicuas ocurre algo similar. También se estudian en los límites en el infinito, x tendiendo a más y a menos infinito. 00:04:05
En este caso vamos a utilizar esta gráfica como ejemplo. Podemos ver cómo conforme x tiende a más infinito, x tomando valores arbitrariamente grandes, la recta tiende a aproximarse cada vez más a esta recta oblicua que tenemos aquí, que sería la recta y igual a x. 00:04:15
En este caso, por abajo. Se aproxima infinitamente sin llegar a tocarla. 00:04:31
En el otro extremo, x tendiendo a menos infinito, con x tomando valores arbitrariamente cada vez más pequeños, 00:04:35
vemos como si seguimos la gráfica de la función, la gráfica decrece, la función decrece, 00:04:41
aproximándose cada vez más, aún sin llegar a tocarla, a la, en este caso, misma recta oblicua y igual a x. 00:04:46
En este caso, se aproximaría por arriba, como podéis comprobar. 00:04:53
Así pues, en este caso, la recta y igual a x sería asíntota oblicua de esta función, 00:04:57
cuando x tendrá más infinito y a menos infinito. 00:05:03
Con carácter general, como podéis ver, las asíntotas oblicuas van a tener como ecuación 00:05:06
la de una recta oblicua igual a m por x más n, m la pendiente, n la ordenada en el origen. 00:05:10
En el caso en el que la pendiente fuera cero, igual que ocurre en el estudio de las rectas, 00:05:16
tendríamos una recta horizontal y no estaríamos discutiendo este tipo de asíntotas, 00:05:20
sino que estaríamos discutiendo las asíndotas horizontales. 00:05:24
Algo importante a tener en cuenta es que no necesariamente el hecho de que haya una cierta asíntota horizontal u oblicua en el límite cuando x tendrá menos infinito, 00:05:28
eso quiere decir que automáticamente nos vayamos a encontrar la misma asíntota, esto es, que exista y que sea la misma, en el otro extremo x tendríamos menos infinito. 00:05:38
En este caso concreto, en este ejemplo, podemos ver cómo si era así, había una asíntota oblicua y era la misma y igual a x, 00:05:47
tanto en el límite x tendiendo a más infinito como en el límite x tendiendo a menos infinito. 00:05:53
No obstante aquí, en el caso de las asíndotas horizontales, pues eso no ocurre. 00:05:59
En el límite cuando x tende a más infinito vemos como la asíndota horizontal es y igual a 2 00:06:03
mientras que en el límite cuando x tende a menos infinito la asíndota es y igual a menos 2. 00:06:09
No necesariamente tiene que ser el mismo valor. 00:06:14
No necesariamente tiene que existir asíndota en los dos extremos. 00:06:16
Igualmente en el caso de las asíndotas verticales. 00:06:20
Fijaos, en este caso cuando x tendrá menos 2 tenemos una asíntota vertical, ambos límites laterales van a más infinito. 00:06:22
En este caso, ambos límites laterales en la asíntota vertical de x igual a 2 van a menos infinito. 00:06:30
Podría ser que ambos límites laterales fueran infinitos diferentes. 00:06:35
Fijaos en qué ocurre en esta gráfica de aquí abajo. 00:06:39
La recta x igual a 0 es asíntota vertical de esta función. 00:06:42
Cumple con la definición que hemos dado anteriormente. 00:06:46
Si determinara los límites x tendiendo a 0 por la izquierda y por la derecha, conforme nos aproximamos vemos como en el límite por la izquierda la función diverge hacia más infinito, mientras que en el límite por la derecha diverge a menos infinito. 00:06:47
Igualmente no haría falta que los dos límites laterales fueran a infinito, bastaría con que hubiera uno. En este caso la recta sería asíndota vertical, bien por la derecha, bien por la izquierda, según correspondiera. 00:07:02
correspondiera. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:07:11
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer 00:07:21
vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:07:27
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
12 de noviembre de 2024 - 6:37
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
19.90 MBytes

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