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AR3. 3 Interés compuesto. Ejercicios 5-7 - Contenido educativo

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Subido el 21 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR3 dedicada a la matemática financiera. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:21
el interés compuesto y resolveremos los ejercicios propuestos del 5 al 7. 00:00:33
En la introducción teórica de esta sección se nos dice que un prestamista cede un capital 00:00:47
inicial, C mayúscula subi, a un prestatario. Una vez vencido el préstamo, transcurridos 00:00:52
T años, el prestatario devuelve el capital inicial junto con un interés compuesto, en 00:00:57
este caso anual porcentual R mayúscula, al prestamista. Tal como discutimos en la videoclase 00:01:02
anterior, hablando de interés simple, llamaremos rédito a la expresión que nosotros utilizaremos 00:01:07
habitualmente, que es este rédito en tanto por uno. ¿En qué se diferencia el interés 00:01:13
compuesto del interés simple, puesto que hasta este momento la descripción es muy similar, por no decir 00:01:18
igual a la del interés simple. Pues en este caso lo que ocurre es que cada vez que se generan los 00:01:23
intereses mediante interés compuesto, éstos se acumulan al capital. No como en el caso del interés 00:01:29
simple, que quedaban apartados, y los intereses se generaban siempre calculándolos con respecto del 00:01:35
capital inicial. Bien, en el caso de interés compuesto esto no es así. Cada vez que se generan intereses 00:01:41
se suman al capital, de tal forma que los siguientes intereses que se generan no se 00:01:47
calculan con el capital inicial, sino con el capital acumulado, habiendo añadido periodo 00:01:52
tras periodo, año tras año, en este caso, los intereses. Vamos a ver cómo funciona. De una 00:01:58
forma similar a cómo ocurría en el caso del interés simple, el interés obtenido tras el 00:02:05
primer año se calcula directamente multiplicando el capital inicial por el rédito. La gran diferencia 00:02:10
que en el caso del interés simple esta cantidad se apartaba, y en este caso ya no. El capital 00:02:16
transcurrido el primer año ya no es sólo el capital inicial, sino la suma del capital inicial 00:02:21
más estos primeros intereses habiendo transcurrido un año. Sería la suma del capital inicial más el 00:02:26
capital inicial por el rédito, vemos que podemos sacar factor común al capital inicial del factor 00:02:33
1 más r. Así pues, transcurrido el primer año el capital ya no es el inicial, sino que sería 00:02:39
este capital transcurrido el primer año que es capital inicial por 1 más R. Una vez que transcurre 00:02:45
el segundo año se vuelven a generar unos nuevos intereses. En este caso se calculan no con el 00:02:52
capital inicial sino con el capital que tenemos transcurrido el primer año con este capital que 00:02:58
tenemos aquí. Así pues los intereses del segundo año se calculan multiplicando el capital del 00:03:03
primer año por el rédito. El capital transcurrido el segundo año será la suma del capital transcurrido 00:03:09
el primero más esos intereses habiendo transcurrido el segundo año. Si sustituimos la fórmula que 00:03:16
teníamos antes, capital del primer año más capital del primer año por el rédito, vemos que ocurre 00:03:22
algo similar a lo que teníamos antes. El capital del primer año se puede escribir como factor común 00:03:27
del factor 1 más r y si nosotros sustituimos este capital del primer año por la expresión que 00:03:32
habíamos deducido un poco más arriba, capital inicial por 1 más r, vemos que podemos expresar 00:03:38
ese capital transcurrido el segundo año como el capital inicial por el factor 1 más r elevado 00:03:44
al cuadrado. Vamos a dejar pasar un año más para ver si encontramos algún tipo de regularidad. Vamos 00:03:51
a calcular los intereses transcurrido el tercer año. Se van a calcular a partir del capital cuando 00:03:58
ha transcurrido el segundo año. Se obtienen esos intereses multiplicando el capital cuando 00:04:05
ha transcurrido el segundo año por el rédito. Y el capital, una vez ha transcurrido los 00:04:11
tres años, será la suma del capital cuando han transcurrido dos más esos intereses del 00:04:15
tercer año. Sustituyo esta fórmula que tenemos aquí y lo que veo es capital transcurrido 00:04:20
el segundo año más capital transcurrido el segundo año por el rédito. Puedo sacar 00:04:26
factor común a este capital transcurrido el segundo año, factor común de 1 más r. Si sustituyo 00:04:30
este capital transcurrido el segundo año por la fórmula que habíamos deducido hace un momento, 00:04:37
capital inicial por 1 más r al cuadrado, vemos que puedo expresar ese capital transcurrido el 00:04:43
tercer año como capital inicial por el factor 1 más r elevado al cubo. Y fijaos, si yo expreso 00:04:48
esos capitales transcurridos 1, 2, 3 años. En función del capital inicial veo que obtengo 00:04:56
capital transcurrido el primer año, capital inicial por 1 más r elevado a 1. Capital transcurrido el 00:05:03
segundo año, capital inicial por 1 más r elevado al cuadrado. Transcurrido el tercer año, capital 00:05:09
inicial por 1 más r elevado al cubo. Podemos razonar por inducción y podemos obtener una 00:05:16
expresión general, de tal forma que podemos deducir que el capital final obtenido una vez 00:05:22
que han transcurrido t años, un número genérico de años, se puede calcular a partir del capital 00:05:28
inicial mediante esta fórmula. Capital final igual a capital inicial por el factor 1 más r elevado a t. 00:05:33
Como ejemplo, en este ejercicio 5 se nos pide que calculemos el capital final obtenido tras 00:05:43
depositar una cantidad de 1300 euros al 3,5 por ciento anual de interés compuesto durante cuatro 00:05:48
años es el mismo ejercicio 2 cambiando el interés siempre por interés compuesto y se nos pide que 00:05:54
comparemos bien en este caso lo que vamos a hacer es utilizar directamente la fórmula para el 00:06:01
capital final con el interés compuesto capital final igual a capital inicial por uno más el 00:06:06
el rédito elevado al tiempo, al periodo, en este caso cuatro años. El resultado que obtenemos es 00:06:11
1.491,78 euros. Si comparamos con el resultado que obtenemos con el interés simple, vemos que con 00:06:16
interés compuesto al capital final obtenido es mayor, puesto que los intereses en el segundo, 00:06:23
tercer, cuarto año, etcétera, van a ser mayores que los intereses en el primer año, puesto que se van 00:06:28
acumulando al capital y van devengando intereses a su vez. Como un segundo ejemplo tenemos este 00:06:34
Ejercicio 6. Por una inversión de 5.000 euros durante 7 años en interés simple, Manuel ha recibido en total 7.345 euros. 00:06:40
¿Cuál es el rédito que proporciona esta inversión expresado como porcentaje? 00:06:48
Y una vez más se nos pide que comparemos con el ejercicio anterior, con el ejercicio 3, que es este mismo, pero con interés simple. 00:06:53
Lo que vamos a hacer es volver a utilizar la fórmula para el capital final en el caso del interés compuesto. 00:07:00
capital final, igual a capital inicial por 1 más el rédito elevado al tiempo. Puesto que en este 00:07:05
caso lo que queremos hacer es calcular el rédito, lo que vamos a hacer es de esta fórmula ir a 00:07:13
despejarlo. Para ello, en primer lugar, este capital inicial lo vamos a pasar al otro miembro dividiendo, 00:07:17
como podemos ver aquí. A continuación, esta potencia tésima, porque aquí tenemos 1 más r elevado a t, 00:07:23
lo vamos a pasar al otro miembro, lo vamos a despejar, extrayendo la raíz teésima. 00:07:29
Así que raíz teésima de 1 más r elevado a t, se simplificaría el índice de la raíz con la potencia, 00:07:34
es igual a la raíz teésima del capital final entre capital inicial. 00:07:41
Para finalizar, queremos calcular el rédito. 00:07:46
Este 1 que está sumando lo vamos a pasar restando y sustituyendo lo que tenemos es, 00:07:50
Dado que la inversión está viva durante 7 años, tenemos la raíz séptima de capital final, 7.345 euros, entre capital inicial, 5.000 euros, menos 1. 00:07:54
Operando, obtenemos un valor del rédito de 0,056, se nos pide que lo expresemos como porcentaje, multiplicamos por 100, y obtenemos un rédito en porcentaje del 5,6%. 00:08:07
Si lo comparemos con el rédito en el caso del interés simple, que era 6,7%, vemos que, dado que los intereses se acumulan en el capital y van generando cada vez más intereses, para obtener el interés de 5.000 a 7.345 euros, necesitamos un rédito menor, 5,6 es menor, que 6,7%. 00:08:20
Para finalizar con esta sección, de forma análoga a como ocurría en el caso del interés simple, 00:08:42
no necesariamente el interés tiene por qué devengarse año tras año, 00:08:49
sino que puede devengarse n veces cada año. 00:08:53
En ese caso, la fórmula para el capital final se debe modificar 00:08:56
de una forma análoga, por cierto, a como ocurría en el caso del interés simple. 00:09:00
Recordemos que en este caso, para el interés compuesto, 00:09:04
en el caso de intereses devengados anualmente, 00:09:07
tenemos como fórmula capital final igual a capital inicial por 1 más el rédito elevado al tiempo. 00:09:09
En este caso lo que tenemos es una fórmula muy similar. Capital final igual a capital inicial 00:09:15
por 1 más el rédito entre el número de periodos que se devengan los intereses, 12 si tenemos 00:09:21
intereses mensuales, 365 si son diarios, 3 si son cuatrimestrales, etcétera, elevado a T mayúscula, 00:09:28
el número de periodos de vengados. Para ver cómo funciona tenemos un ejercicio 7 en el que se nos 00:09:36
dice que Sofía tiene 3.000 euros, los va a invertir para conseguir los 3.500 que necesitará para 00:09:43
mejorar su negocio. Ha encontrado un préstamo personal con un redieto porcentual anual compuesto 00:09:48
del 4,8% y se nos pregunta cuántos meses debería dejar Sofía su dinero invertido para conseguir 00:09:53
esta cantidad. Es igual que el ejercicio número 4 con interés simple y lo que vamos a hacer es 00:10:00
comparar los resultados. En este caso lo que vamos a hacer es utilizar la fórmula que 00:10:05
nosotros tenemos aquí para el capital final. Tenemos capital final igual a capital inicial 00:10:11
por 1 más el rédito entre 12, puesto que se nos habla de meses, los intereses se van 00:10:17
devengando mes a mes, elevado a T mayúscula, el número de meses que necesitamos o que 00:10:22
necesita Sofía dejar el dinero invertido. Puesto que lo que queremos hacer es calcular 00:10:28
el número de periodos T mayúscula tenemos que despejar de esta expresión. Lo primero que vamos 00:10:34
a hacer es este capital inicial pasar al otro miembro dividiendo como podemos ver. Para poder 00:10:39
despejar esta T mayúscula que tenemos aquí como exponente lo que tenemos que hacer es tomar 00:10:45
logaritmos, en este caso hemos elegido logaritmos decimales pero podría ser logaritmos en cualquier 00:10:51
base, en el miembro de la izquierda y en el miembro de la derecha. Así que logaritmo de 1 más el 00:10:55
rédito entre 12 elevado a t mayúscula tiene que ser igual al logaritmo de capital final entre 00:11:02
capital inicial. Una de las propiedades de los logaritmos me indica que este exponente puede 00:11:07
eliminarse de aquí y pasar multiplicando a logaritmo de 1 más r entre 12 y ahora ya podemos 00:11:12
despejarte. Sin más que este logaritmo de 1 más r entre 12 pasarlo al miembro de la derecha 00:11:19
dividiendo, como podéis ver. Sustituimos capital final 3.500 euros, capital inicial 3.000, el rédito 00:11:23
4,8 por ciento equivale a 0,0 48 en tanto por uno está dividido entre 12 porque los intereses son 00:11:31
mensuales operando obtenemos el resultado 38,6 meses tal y como dijimos en el caso del interés 00:11:38
simple esta cantidad debe ser un número natural y lo que tenemos que hacer siempre es redondear 00:11:45
hacia arriba así que en este caso con interés compuesto sofía necesita 39 meses para conseguir 00:11:51
los 3.500 euros que necesitaba. Equivale a tres años y tres meses. Y si comparamos con los tres 00:11:59
años y seis meses para el interés simple, vemos que el hecho de que los intereses se vayan 00:12:05
acumulando al capital y generando más intereses, hace que necesitemos tener la inversión una 00:12:10
cantidad menor de tiempo. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos 00:12:17
y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:12:26
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:12:32
Un saludo y hasta pronto. 00:12:38
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
13
Fecha:
21 de agosto de 2025 - 18:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
13′ 06″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
33.11 MBytes

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