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Distancia de un punto a un plano y proyección

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Subido el 20 de septiembre de 2019 por Manuel D.

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Se calcula la distancia de un punto a un plano, la proyección de un punto a un plano y el simétrico de un punto respecto del plano

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos a este nuevo vídeo. En él vamos a estudiar tres problemas 00:00:02
de la geometría de Euclidia del espacio. Calcularemos la distancia de un punto a un 00:00:12
plano, calcularemos la proyección de un punto a un plano y calcularemos el simétrico de 00:00:17
un punto respecto del plano. Veremos que estos tres problemas tienen mucho que ver. ¿Estás 00:00:23
preparado, pues adelante. En primer lugar recuerda que la distancia entre un punto P y un plano pi es 00:00:29
la menor de las distancias que hay entre el punto P y cualquier otro del plano. Esta mínima distancia 00:00:38
se calcula sobre la perpendicular por P al plano pi. Sea Q un punto cualquiera del plano pi y en 00:00:43
su vector normal. Observa en la figura que la distancia buscada es un cateto del triángulo 00:00:50
rectángulo PRQ, donde R es la intersección de la perpendicular al plano trazada desde P con el 00:00:56
propio plano. La distancia que hay entre el punto P y el plano pi coincidirá, por tanto, con la 00:01:03
distancia entre P y R, el pie de la perpendicular. Ahora bien, por trigonometría, como veis en la 00:01:10
figura, esta distancia es un cateto, con lo cual se puede calcular así. Multipliquemos numerador 00:01:15
y denominador por el módulo del vector normal n. Y ahora recuerda que la propiedad del producto 00:01:21
escalar nos dice que es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman. 00:01:28
Hemos obtenido por tanto esta expresión que es la fórmula de la distancia entre p y pi 00:01:33
de una manera vectorial. Pero esta distancia, esta fórmula es difícil de recordar. Hay 00:01:38
una expresión mucho más sencilla utilizando coordenadas y ecuaciones. Supongamos que pi 00:01:44
tiene por ecuación ax más bi más cz más d igual a 0, que p es el punto x0 y 0, z0 y que q cualquier 00:01:49
punto del plano pues consideremos que es x1 y 1, z1. Calculemos esta distancia sustituyendo los 00:01:56
valores. Ahora bien, como el vector normal es abc, este numerador se puede escribir, calcular así. 00:02:02
Hacemos la cuenta, quitamos paréntesis y ahora ¿qué obtenemos? Pues esa expresión. Esa expresión 00:02:09
tiene la parte de la derecha una forma mucho más sencilla de escribirse. ¿Por qué? Porque 00:02:15
como el punto P pertenece al plano, lo recuadrado vale exactamente D. Es decir, que la fórmula 00:02:21
que obtenemos es esta. Veamos un ejemplo de cómo aplicar esta fórmula. Veis que es muy 00:02:30
sencillo. Supongamos que tenemos un plano x menos 2y más 2z menos 3 igual a 0 y un punto 00:02:36
P, 1, 1, menos 2 y queremos calcular la distancia entre P y el plano. La distancia según nuestra 00:02:42
fórmula es esta. ¿Cómo se aplica esta fórmula? Bien, pues en el numerador no hay más que sustituir 00:02:49
en la ecuación del plano las coordenadas del punto P y calcular esta expresión en valor absoluto y 00:02:54
en el denominador el módulo del vector normal. Simplificamos y se acabó la distancia entre P y 00:02:59
pi, sería 8 tercios. Bueno, una vez acabado este problema vamos a pasar al siguiente, la proyección 00:03:05
de un punto a un plano. ¿Cómo se determina, cómo se define la proyección de un punto 00:03:11
a un plano? Bueno, pues es la intersección de la recta perpendicular al plano que pasa 00:03:15
por ese punto con el plano. Es decir, que nosotros el problema lo vamos a dividir en 00:03:21
dos pasos. En primer lugar tenemos que calcular la recta perpendicular al plano que pasa por 00:03:26
P y en segundo lugar tendremos que calcular la intersección, el punto R, que es la intersección 00:03:30
entre pi y r. Este punto se llama pie de la perpendicular y es la proyección. Vamos a ver 00:03:35
un ejemplo. Utilizando el ejemplo en el que calculábamos la distancia vamos a calcular con 00:03:42
estos datos el punto proyección, el pie de la perpendicular. Para ello nos tenemos que fijar 00:03:48
en que la recta, su vector director es el vector normal al plano porque es perpendicular al plano 00:03:54
y ese vector normal serán las coordenadas de x, los coeficientes de x, y y z, es decir, 1, menos 2, 2 en nuestro caso. 00:04:01
Con ese vector más el punto posición, el propio punto P, 1, 1, menos 2, 00:04:10
podremos escribir enseguida las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular, 00:04:15
que son x y z igual a t por 1, menos 2, 2, más el punto 1, 1, 2. 00:04:19
operamos aquí introduciendo la t dentro del vector 00:04:25
y realizando la suma resta y esta es la ecuación de la recta 00:04:30
vamos a calcular el punto intersección entre pi y r 00:04:34
para ello resolvemos ese sistema de ecuaciones y ¿qué es este sistema de ecuaciones? 00:04:38
bueno, pues x y z son 00:04:42
las ecuaciones de la recta paramétrica y luego x menos 2y 00:04:46
más 2z menos 3 igual a 0 es la ecuación del plano 00:04:50
Entonces, ¿cómo resolvemos este sistema? Muy sencillo, sustituyendo los valores de x y z en la ecuación del plano, 00:04:54
tenemos una ecuación que depende solo de t y es del lineal de grado 1. 00:05:00
Entonces, resolvemos esa ecuación y sacamos simplificando el valor de t que hace esa ecuación cierta. 00:05:04
Este valor de t, en este caso, es 8 novenos. 00:05:10
Entonces, con este valor de t del parámetro, lo que hacemos es sustituir en la ecuación de la recta. 00:05:13
Es decir, x es igual a 1 más t, y igual a 1 menos 2t, ct igual a menos 2 menos 2t. 00:05:19
Sustituimos el valor de t como 8 novenos en las tres incógnitas y tendremos los tres valores, las coordenadas del punto R. 00:05:24
En nuestro caso R será 17 novenos menos 7 novenos menos 2 novenos. 00:05:35
Muy bien, si ahora quisiésemos calcular la distancia entre el punto P y el plano pi, 00:05:39
pues bastaría con calcular la distancia entre este pi de la perpendicular y el plano pi 00:05:45
es decir, la distancia entre p y pi sería igual a la distancia entre p y r 00:05:51
Podemos hacerlo para comprobar que nos da lo mismo que nos había dado antes 00:05:55
en el problema del cálculo de distancia de punto en plano 00:05:59
Hacemos la cuenta, es decir, el módulo del vector pr 00:06:02
y esa cuenta nos da precisamente 8 tercios 00:06:07
que era la distancia que habíamos visto anteriormente entre p y pi 00:06:11
Bueno, y ahora para acabar vamos a ocuparnos de un tercer problema que es muy sencillo una vez que hemos calculado esta proyección. 00:06:14
Se trata del simétrico de un punto respecto de un plano. 00:06:21
Un punto P' es el punto simétrico de P respecto de un plano pi si el plano corta justo en el punto medio del segmento PP' de forma perpendicular. 00:06:25
Esto es, que necesitamos primero calcular el punto proyección R porque este punto R va a ser el punto medio entre P y P'. 00:06:36
Y una vez calculado R será el problema muy sencillo. 00:06:47
Entonces en el ejemplo que estamos viendo, en el ejemplo anterior, tenemos nuestro plano y nuestro punto. 00:06:51
Vamos a querer calcular el punto P'X y Z de forma que el punto R, la proyección, 00:06:56
este punto que nos había dado 17 no menos, menos 7 no menos, menos 2 no menos 00:07:02
sea el punto medio entre P' y P. Para ello lo que hacemos 00:07:06
es plantear esa ecuación, un medio de las coordenadas de nuestro punto P 00:07:10
más las incógnitas P' sería igual al punto R 00:07:14
Despejando de aquí X y Z tendremos los valores 00:07:18
de P' y ya hemos concluido con el problema 00:07:22
Y esto ha sido todo. ¿Habéis visto que fácil resulta calcular 00:07:25
la distancia de un punto a un plano. Basta con sustituir las coordenadas del punto en la ecuación 00:07:30
del plano en valor absoluto y dividir por el módulo del vector normal. Hay veces, no obstante, 00:07:36
que no podemos utilizar la fórmula porque, por ejemplo, nos pueden pedir calcular explícitamente 00:07:43
las coordenadas del punto proyección o porque necesitamos calcular un simétrico, el punto 00:07:50
simétrico del plano. Si no es así, aplicar la fórmula es más que suficiente. Espero 00:07:54
que os haya gustado. Nos vemos en el próximo vídeo. ¡Hasta luego! 00:08:01
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
254
Fecha:
20 de septiembre de 2019 - 14:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
08′ 05″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
63.64 MBytes

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