Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Derivadas 2 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 5 de enero de 2021 por Julio M.

125 visualizaciones

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bien, hoy vamos a ver un segundo vídeo con derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales. 00:00:05

Bien, vamos a empezar con la derivada de un logaritmo neperiano. 00:00:12

Si es igual al neperiano de una función f de x, su derivada es f' de x partido por f de x. 00:00:17

Entonces, bueno, en este caso sería así, ¿no? 00:00:26

f' de x sería igual a la derivada de la función, derivada del polinomio, que es 2x menos 2, 00:00:28

partido por la función sin derivada, x cuadrado menos 2x más 3, ¿vale? 00:00:37

Y así nos quedaría, ¿no? 00:00:44

Este otro, f de x igual al neperiano de un cociente de funciones. 00:00:46

Bien, si aplicamos las propiedades de los logaritmos, 00:00:52

Tenemos el logaritmo en base a de p partido por q, pues es igual al logaritmo en base a de p menos el logaritmo en base a de q. 00:00:55

El logaritmo de un cociente se puede poner como una diferencia de logaritmos. 00:01:08

Si lo hacemos así, f de x será igual al neperiano de 2x menos 1 menos el neperiano de x más 2. 00:01:12

y en vez de derivar esta función derivamos esto 00:01:23

pues yo creo que es un poquito más sencillo 00:01:26

f' de x pues es 00:01:28

derivada de neperiano 00:01:30

derivada de neperiano es derivada de la función 00:01:32

partido por la función sin derivar 00:01:34

derivada de 2x menos 1 que es 2 00:01:35

partido por 2x menos 1 00:01:38

menos la derivada de x más 2 00:01:40

que es 1 00:01:43

partido por x más 2 00:01:43

y ahora lo único que nos faltaría sería 00:01:45

restar, reducir a como denominador 00:01:48

y esto sería igual a 00:01:51

2 por x más 2, menos 1 por 2x menos 1, partido por 2x menos 1 por x más 2. 00:01:53

Bien, pues f' de x sería igual a 2x más 4 menos 2x más 1, partido por 2x menos 1 por x más 2. 00:02:09

2x menos 2x se anula y f' de x pues será igual a 5 partido por 2x menos 1 por x más 2. 00:02:30

Bien, otra forma de hacerlo sería simplemente haciendo la llevada del cociente. 00:02:53

Y entonces en ese caso pues lo haríamos de la siguiente forma. 00:03:02

f' de x sería igual a la derivada del cociente, y la derivada del cociente es la derivada del primero, que es 2, por x más 2, menos la derivada del segundo, que es 1 por 2x menos 1, 00:03:06

dividido entre x más 2 al cuadrado y partido por la función sin derivar, 2x menos 1 entre x más 2. 00:03:26

Esto es igual a, operamos aquí en el numerador, 2x más 4 menos 2x más 1, 00:03:42

partido por x más 2 al cuadrado 00:03:54

y dividido por 2x menos 1 entre x más 2. 00:04:02

Bien, 2x menos 2x lo podemos simplificar 00:04:15

y bueno, 4 más 1 es 5. 00:04:19

Y ahora hacemos producto de los extremos 00:04:22

entre el producto de los medios, ¿no? 00:04:24

f' de x es igual a 5 por x más 2 00:04:27

y dividido entre x más 2 al cuadrado por 2x menos 1. 00:04:34

Este x más 2 con un x más 2 lo podemos simplificar 00:04:44

y nos queda 5 partido por x más 2 por 2x menos 1, igual que antes. 00:04:47

Voy a hacer de las dos formas y va a quedar el 2 seria. 00:04:58

Bien, vamos a ver ahora la derivada de una función logarítmica, 00:05:02

pero con base distinta al número, un logaritmo en base 3 en concreto. 00:05:05

Bien, si es igual al logaritmo en base a de f de x, su derivada y prima es f' de x partido por f de x por n periano de a. 00:05:12

Bien, pues en este caso, pues f' de x será igual a derivada de la función, que es 2x, 00:05:24

partido por la función sin derivar, que es x cuadrado más 1, por el neperiano de la base, que es el neperiano de 3. 00:05:34

Y así nos quedaría. 00:05:42

Y en este otro ejemplo tenemos la derivada de un producto x por el logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1. 00:05:44

Recordamos, la derivada de un producto es derivada del primero por el segundo sin derivar, 00:05:52

más derivada del segundo por el primero sin derivar. 00:05:57

Por lo tanto, pues f' de x será igual a derivada de x, que es 1, por el logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1, 00:06:00

más la derivada del segundo, que es el logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1, que es derivada de la función derivada de x cuadrado menos 1, 00:06:13

que es 2x, partido por la función sin derivar, x cuadrado menos 1, por el neperiano de la base. 00:06:23

Y por el primero sin derivar. 00:06:33

f' de x entonces nos queda logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1 más 2x cuadrado partido por x cuadrado menos 1 por el neperiano de 2. 00:06:37

Y así se quedaría. 00:06:56

Bien, vamos a ver ahora la derivada de las funciones exponenciales. 00:06:59

Primero vamos a ver las que tienen base en número. 00:07:04

Si es igual a e elevado a f de x, su derivada de prima es s prima de x por e elevado a la función sin derivar. 00:07:07

Por lo tanto, f prima de x será igual a derivada de la función derivada de x cuadrado más 2x más 1 es 2x más 2 por e elevado a la función sin derivar. 00:07:15

x cuadrado más 2x más 1, y ya estaría. 00:07:32

Bien, en este caso también tenemos una función exponencial, 00:07:39

pero la función que tenemos en el exponente es el producto de una constante por una función. 00:07:43

Entonces, la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. 00:07:49

Luego, la función es una raíz cuadrada. 00:07:55

La derivada de la raíz cuadrada de f de x es f' de x partido por 2 raíz de f de x. 00:07:57

Bueno, entonces vamos a aplicar la regla de la cadena y f' de x será igual a 00:08:05

derivada de la función, que es la constante, por la derivada de la función, que es 00:08:11

Derivada de x cuadrado menos 2, que es 2x partido por dos veces la raíz de x cuadrado menos 2, 00:08:21

por e elevado a la función sin derivar. 00:08:29

El 2 y el 2 se puede simplificar y nos queda que f' de x es 4x partido por la raíz de x cuadrado menos 2, 00:08:32

por e elevado a 4 raíz de x cuadrado menos 2. 00:08:49

Bien. Vamos a ver ahora la derivada de una función exponencial, pero con base distinta al número y. 00:08:53

Bien, pues si y es igual a a elevado a f de x, y' es la derivada de la función por a elevado a la función sin derivar por el neperiano de a. 00:09:05

¿Vale? Bien, aquí la función que tenemos que derivar es esta, que es menos x más 1 partido por 2 y menos es como si fuese una constante. 00:09:15

Y x más 1 partido por 2, pues, se puede interpretar como un cociente 00:09:25

o se puede interpretar simplemente que es un polinomio. 00:09:28

x más 1 partido por 2 es lo mismo que x medios más 1 medio, ¿no? 00:09:31

Y esto es un polinomio cuyo coeficiente de la x es 1 medio. 00:09:38

Entonces, f' de x es derivada de x medios, 1 medio. 00:09:43

Bueno, el menos es la menos 1 medio, ¿no? 00:09:49

Es la constante, que es menos, derivada de x medios es un medio, por 2 elevado a la función sin derivar, menos, más 1, partido por 2, por el neperiano de 2. 00:09:53

Bueno, y ya estaría, ¿no? Eso es lo que tenemos ahí. 00:10:09

2 elevado a x cuadrado menos 1, partido por x cuadrado. 00:10:16

Aquí ahora la función se trata de un cociente, entonces hay que hacer la derivada de un cociente. 00:10:21

Entonces, f' de x será igual a, derivada de la función, que como es un cociente, será 2x por el denominador sin derivar, 00:10:26

menos la derivada del denominador, que es 2x, por el de arriba sin derivar, y partido por el denominador al cuadrado. 00:10:38

En este caso sería x a la cuarta, ¿no? Por 2 elevado a x cuadrado menos 1 partido por x cuadrado. 2 elevado a la función en derivar por el neperiano de 2. 00:10:47

f' de x pues sería igual a 2x cubo menos 2x cubo más 2x menos por menos más 00:11:07

partido por x a la cuarta 00:11:19

por 2 elevado a x cuadrado menos 1 entre x al cuadrado por el neperiano de 2 00:11:22

2x cubo menos 2x cubo se anula 00:11:30

Y este 2x con x a la cuarta podemos simplificar también una x y nos queda f' de x es igual a 2 partido por x al cubo por 2 elevado a la función sin derivar x al cuadrado menos 1 partido por x al cuadrado por el neperiano de 2. 00:11:33

Bien. Y por último, ya para terminar, pues vamos a hacer la derivada de un cociente donde aparecen logaritmos y funciones exponenciales y en neperiano de una raíz cuadrada. 00:11:51

Y empezamos con esta, la derivada de un cociente. Aquí tenemos, recordamos la derivada de un cociente, pues f' de x es igual a la derivada del primero, 1 partido por x, por el segundo por el de abajo sin derivar, 00:12:04

menos la derivada de elevado a x, que es elevado a x, 00:12:17

por el de arriba sin derivar, neperiano de x, 00:12:22

y partido por el denominador al cuadrado. 00:12:26

Bien. 00:12:29

Arriba tenemos un elevado a x, en ambos mandos podemos sacar factor común. 00:12:30

Y f' de x, pues es elevado a x, 00:12:35

por 1 partido por x, menos neperiano de x, 00:12:40

partido por e elevado a x al cuadrado. 00:12:45

Podemos simplificar y nos queda... 00:12:51

Bien, arriba sumamos, reducimos a común denominador x 00:12:55

y nos quedaría 1 menos x neperiano de x 00:12:59

partido por x, partido por e elevado a x. 00:13:03