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FU1. 2.3 Continuidad. Ejercicio 4 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos la continuidad de funciones. 00:00:31
A continuación vamos a estudiar la continuidad de una función. 00:00:40
En este momento la continuidad es algo que va a caracterizar el dibujo, la representación gráfica de la función. 00:00:51
Y vamos a dar una definición un tanto ad hoc. 00:00:59
Para nosotros una función va a ser continua cuando al trazar el dibujo de la función 00:01:02
no vamos a necesitar levantar el instrumento de escritura, en el caso del bolígrafo sobre el papel 00:01:07
o en el caso de un puntero sobre una tablet. 00:01:13
Vamos a ver aquí distintos ejemplos de funciones y vamos a ver a qué nos referimos con eso de función continua en un punto, función continua en un intervalo. 00:01:18
Vemos aquí una función que en principio sería una línea recta, salvo porque aquí vemos un punto vacío. 00:01:27
Y lo que ocurre es que cuando la x toma el valor menos 1, el valor de la imagen no es 1, lo que tendremos en el punto vacío, sino que es 2. 00:01:34
Si nosotros dibujamos la función de izquierda a derecha, lo que tendríamos que hacer es ir trazando la línea recta justo hasta llegar al valor de x igual a menos 1. 00:01:43
Levantamos el bolígrafo del papel relleno aquí y a partir de aquí volvemos a levantar el bolígrafo del papel para continuar con el trazado de la línea recta a partir de la x igual a menos 1. 00:01:54
Justo cuando la x toma el valor menos 1 hemos tenido que levantar el bolígrafo del papel para pintar este punto por aquí fuera. 00:02:05
Así pues, justamente cuando la x toma el valor menos 1, esta función no es continua, tiene una cierta discontinuidad, que estudiaremos más adelante. 00:02:11
En el resto, la función sí va a ser continua, puesto que la podemos trazar sin necesidad de levantar el bolígrafo del papel. 00:02:20
Aquí teníamos una discontinuidad porque el valor de la función en el punto x igual a menos 1 no está en este punto vacío, sino en este punto relleno. 00:02:29
En este segundo ejemplo también tenemos una discontinuidad, pero en este caso el valor de la función cuando x es igual a menos 1 no existe. 00:02:38
Estamos trazando la función, aquí hay un punto donde la función no existe, en principio tendríamos que saltar este punto para continuar trazando la función con este tramo recto. 00:02:47
Siempre que tengamos un punto vacío dentro de la definición de la función, ahí tendremos un punto de discontinuidad, 00:02:58
Ya sea porque la función esté en otro lugar, más arriba, más abajo, o bien porque la función no exista. 00:03:04
En el resto, excepto en x igual a menos 1, la función se puede pintar con un solo trazo y en esos puntos la función es continua. 00:03:10
Aquí tenemos otro caso de discontinuidad también en x igual a menos 1. 00:03:17
Empezamos pintando este tramo recto desde menos infinito y aquí tenemos un salto. 00:03:22
No es que la función tenga un punto vacío y luego volvamos a ella después de haber trazado este punto relleno, 00:03:27
sino que a partir de este punto relleno la función continúa con una definición distinta. 00:03:32
Aquí tenemos una discontinuidad que más adelante llamaremos de salto. 00:03:38
Y igual que antes, cuando x es igual a menos 1 tenemos una discontinuidad, 00:03:42
hemos necesitado levantar el lápiz del papel para poder continuar el dibujo, 00:03:46
en el resto la función es continua. 00:03:50
Aquí tenemos un salto finito, desde x igual a 1 hasta x igual a 2. 00:03:54
Podríamos tener también un salto que fuera infinito. 00:03:58
Y en este caso tenemos una discontinuidad que más adelante veremos que se va a llamar asintótica. Vemos que empezamos dibujando la función siguiendo esta rama, que deberíamos elevar hasta el infinito, y a partir de ahí tenemos que dar un salto desde más infinito hasta menos infinito para poder continuar pintando la segunda rama de la función. 00:04:01
en este caso en x igual a 2 tenemos una discontinuidad porque pasamos de pintar la 00:04:21
función hacia arriba a levanto el bolígrafo pintarla desde abajo y en este caso tenemos 00:04:26
un salto igual que ocurría en el ejemplo inmediatamente anterior pero el salto ya no 00:04:32
es finito sino que es infinito hemos acabado pintando la función en arriba más infinito 00:04:36
igual a tendiendo a más infinito y hemos empezado en y tendiendo a menos infinito 00:04:40
En este caso también tenemos otras discontinuidades. 00:04:47
Vemos que empezamos pintando la función con esta rama y cuando nos vamos a ir aproximando al valor x igual a menos 2, 00:04:51
la función tiende hacia más infinito y tenemos que pintar la rama prolongándola hacia más infinito. 00:04:58
En este caso nos cae un salto. En este caso es que de menos 2 hacia adelante, desde menos 2 en concreto hasta 0, 00:05:04
este intervalo no pertenece al dominio de la función. Con lo cual, no es que desde aquí saltemos 00:05:11
para continuar pintando la función. Es que una vez que hayamos hipotéticamente alcanzado el valor 00:05:15
x igual a menos 2 en ese límite y tendiendo hacia más infinito, a partir de ahí la función no 00:05:20
continúa. No damos un salto. Sencillamente es que la función deja de existir. Eso también se 00:05:27
corresponde con una discontinuidad. Igualmente nos ocurre en esta segunda rama. La función 00:05:32
súbitamente comienza cuando la x toma el valor cero o próximo a cero y comienza con esa rama 00:05:39
partiendo, se supone, desde menos infinito. En este caso no es que haya un salto, igual que ocurrió 00:05:45
anteriormente, es que la función comienza a existir en x igual a cero y ahí volvemos a tener otro 00:05:51
punto de discontinuidad. Las continuidades en las representaciones gráficas, los intervalos donde la 00:05:57
funciones continua son muy fáciles de ver. Son todos estos tramos donde yo veo una sucesión de 00:06:03
puntos de tal manera que veo un dibujo continuado y que puedo dibujar sin necesidad de levantar el 00:06:09
bolígrafo, el lápiz o el instrumento de escritura en general sobre el papel o sobre la pantalla. Y 00:06:16
las discontinuidades también se van a ver muy claras. Un punto vacío y un punto relleno por 00:06:22
encima por debajo un punto vacío directamente un salto que puede ser 00:06:27
finito o infinito o bien una función que comienza de no existir o que una vez que 00:06:31
acabado el dibujo deja de existir aquí tenemos la definición con tanto 00:06:38
sui generis de función continua en un punto en función de si podemos o no 00:06:43
podemos pintarla levantando o sin levantar el lápiz del papel y aquí 00:06:46
tenemos la función la definición de función continua en un intervalo una 00:06:52
función es continua en intervalos y lo es en todos sus puntos. Hemos hecho una definición un tanto 00:06:55
sui generis de continuidad, es una definición gráfica, porque la definición estricta la vamos 00:07:00
a ver más adelante cuando estudiamos la unidad correspondiente a límites y ahí daremos una 00:07:07
definición algebraica rigurosa de continuidad de una función. Vamos a ver un ejemplo de continuidad 00:07:13
de una función, cómo caracterizar la continuidad de una función, utilizando la función que hemos 00:07:22
visto en las dos videoclases. En este caso se nos da la misma representación gráfica y se nos pide 00:07:27
que demos los intervalos en los que la función es continua. Solamente con ver la función vemos 00:07:33
claramente que esta función está dibujada en tres trozos. Hay un segmento recto, aquí levantamos el 00:07:42
lápiz para poder dibujar este tramo curvo y aquí volvemos a levantar el lápiz. Hay un intervalo 00:07:50
dentro del cual la función no existe y vuelve a aparecer a partir de aquí y tenemos un intervalo 00:07:57
hasta más infinito donde la función vuelve a existir. Así pues vemos claramente que hay 00:08:03
discontinuidades en x igual a menos 4 y aquí vemos un salto. Hay una discontinuidad en x igual a menos 00:08:08
un medio porque la función deja de existir y también hay una discontinuidad en x igual a 0 00:08:15
porque justamente aquí la función comienza a existir. También podríamos decir que tenemos 00:08:21
discontinuidades en este punto que es donde la función comienza y entonces lo que tenemos son 00:08:26
como intervalos donde la función es continua desde x igual a menos 6 hasta x igual a menos 4 por un 00:08:30
lado, desde x igual a menos 4 hasta x igual a menos un medio y desde x igual a 0 hasta x igual a más 00:08:37
infinito. Todos los intervalos de continuidad van a ser por definición abiertos, entonces lo que 00:08:45
tenemos es intervalos donde la función es continua de menos 6 a menos 4 abierto, unión de menos 4 a 00:08:51
menos un medio, unión de 0 a más infinito. En más infinito la función no existe, más infinito no es 00:08:58
un valor que podamos encontrar. En x igual a 0, en x igual a menos un medio, en x igual a menos 6, 00:09:04
la función se inicia o finaliza. 00:09:10
Antes de x igual a menos 6 la función no existía. 00:09:14
Antes de igual de x igual a 0 la función no existía. 00:09:17
Después de x igual a menos 1 medio la función no existe. 00:09:20
Y lo que ocurre en x igual a menos 4 es que tenemos un salto. 00:09:23
Todo esto lo podremos caracterizar desde un punto de vista mucho más riguroso, 00:09:26
insisto, cuando lleguemos a la unidad de límites de funciones. 00:09:30
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:09:33
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:09:42
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:09:47
Un saludo y hasta pronto. 00:09:53
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3
Fecha:
16 de noviembre de 2025 - 13:44
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
10′ 21″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
25.47 MBytes

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