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CLASE CCFF 12 DE ENERO - Contenido educativo

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Subido el 16 de enero de 2026 por M.jose S.

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Vale, bueno, las clases las grabo, las grabo en la pizarra y las subo, cuando finalice la semana las subo al aula virtual, entonces también si algún día no podéis venir o algo, pues siempre tendréis la clase ahí. 00:00:00
Ver la clase suele ser bastante rollo, porque claro, yo luego no la edito, luego no le quito las partes, no, le quito como mucho los silencios, las partes de silencio largo, pero no la edito, entonces es bastante rollo, pero bueno, siempre os puede servir si lo necesitáis, ¿vale? 00:00:13
Bueno, pues vamos a empezar con matrices. ¿Qué es una matriz? Pues una matriz es una cosa muy sencilla, es una serie de datos organizados como una tabla, con filas y columnas, y esos datos son numéricos, no son cualitativos, no es rojo, verde, azul, naranja, no, son datos numéricos. 00:00:29
Entonces una matriz que se escriben, las matrices se escriben así, entre paréntesis, una matriz como veis es una serie de datos numéricos organizados en filas y columnas. 00:00:52
El número de filas y el número de columnas que tiene una matriz definen su dimensión 00:01:10
Es decir, la dimensión de una matriz se escribe como filas por columnas 00:01:20
En este caso la dimensión de esta matriz sería de 2 por 4 00:01:32
Esta matriz es una matriz de 2 por 4 00:01:37
¿Por qué? Porque tiene dos filas y cuatro columnas. 00:01:40
¿De acuerdo? ¿Veis algo ahí? 00:01:44
Sí. 00:01:46
¿Seguro? 00:01:46
Un poquillo. 00:01:47
¿Pero y por qué os ponéis tan alejados? 00:01:48
A ver, espera, voy a... 00:01:50
Porque si muevo esto, a vosotros os molesta mucho. 00:01:51
Mejor así. 00:01:57
Bueno, la matriz queda definida, la dimensión de la matriz queda definida por su número de filas y columnas. 00:01:58
Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas 00:02:05
Se dice que la matriz es cuadrada 00:02:10
Si el número de filas y columnas es igual 00:02:14
Por ejemplo, una matriz cuadrada sería esta 00:02:25
Que es una matriz que tiene dos filas y dos columnas 00:02:30
Luego, la dimensión de esta matriz es una matriz de dos por dos 00:02:34
Por lo tanto, se dice que es cuadrada 00:02:39
O sea, se dice que es una matriz cuadrada. La matriz, la dimensión de la matriz cuadrada, esto se dice que es una matriz de orden 2. 00:02:42
Es decir, que si yo, en un problema de ejercicio, 00:02:58
si yo digo, dale una matriz de orden 5, 00:03:02
os están diciendo que es una matriz cuadrada, 00:03:04
porque si no, no se habla de orden, 00:03:06
solamente se habla del orden de una matriz si la matriz es cuadrada, 00:03:09
es decir, si tiene el mismo número de filas que de columnas. 00:03:13
¿De acuerdo? 00:03:17
Los elementos, cada uno de los elementos de la matriz, 00:03:19
cada uno de los datos que tiene la matriz, 00:03:23
viene definida su posición por exactamente igual que en el ajedrez, que en el juego de los barcos 00:03:25
viene definida por la posición que tiene, en qué fila y en qué columna está 00:03:32
es decir, este elemento, este 2 sería el elemento que está en la primera fila y la primera columna 00:03:38
¿no es así? 00:03:45
este elemento está en la primera fila y la primera columna, en el cruce de la primera fila con la primera columna 00:03:48
por lo tanto se dice que este elemento es el 1, 1, primera fila, primera columna, otro elemento cualquiera, si yo quiero saber la situación de este elemento, pues miro, este elemento está en la segunda fila y tercera columna, luego esto sería segunda fila, tercera columna, siempre primero las filas y luego las columnas, en todo lo que tiene que ver con matrices, siempre primero las filas y luego las columnas, ¿de acuerdo? 00:03:54
Bueno, las matrices pueden ser de cualquier manera, es decir, pueden tener filas y columnas las que sean, 00:04:24
pero incluso pueden ser unas matrices las más sencillas, que serían una matriz fila, por ejemplo, 00:04:36
que es una matriz que solo tiene una fila, ¿vale? 00:04:42
Es una matriz columna, es una matriz que tiene tres filas, esta matriz. 00:04:52
¿Qué dimensión tiene esta matriz? Pues esta matriz es una matriz de uno por cuatro. 00:05:05
¿Por qué? Porque tiene una fila y cuatro columnas. 00:05:10
Esta es una matriz de tres por uno, porque tiene tres filas y una columna. 00:05:13
Todo esto es pura nomenclatura. 00:05:20
O sea, esto es para que vayáis el oído, se os vaya acostumbrando a la nomenclatura que se utiliza en los ejercicios de matriz. 00:05:22
Más cosas. En una matriz cuadrada, las matrices tienen una serie de cosas que son comunes a todas, que da igual la dimensión que tengan. 00:05:35
Y luego hay una serie de cosas que solamente se pueden hacer con las matrices cuadradas, hay que distinguir muy bien entre las matrices que no son cuadradas y las que sí son cuadradas, porque las matrices que no son cuadradas hay muchas operaciones y muchas cosas que no se pueden hacer con ellas, pero las cuadradas sí que hay aparte otras operaciones que luego veremos que se puede hacer con ellas. 00:05:47
Por eso mismo las matrices, las matrices que son cuadradas se dicen matrices de orden K, son un poco especiales las matrices cuadradas. 00:06:10
Dentro de las matrices cuadradas, por ejemplo una matriz cuadrada de orden 3, esto es una matriz cuadrada de orden 3, ¿por qué? 00:06:22
Pues porque tiene tres filas y tres columnas. 00:06:50
Bueno, pues a esta diagonal, las matrices cuadradas tienen diagonal, que es la que los parte en dos, ¿lo veis? 00:06:53
Bueno, pues las matrices, esta diagonal se llama diagonal principal y esta otra se llama diagonal secundaria. 00:07:05
Si una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos ceros 00:07:20
Excepto su diagonal principal que tiene unos, se llama matriz identidad 00:07:43
Y se escribe como y, y debajo el orden de la matriz 00:07:48
Es decir, que si en un ejercicio os dicen, dada la matriz y sub 2 00:08:04
Os están diciendo que es una matriz identidad de orden 2 y que tiene todos sus elementos ceros excepto la diagonal principal. 00:08:08
Ojo con eso porque las matrices identidad en los ejercicios nunca se las escriben, os las dan como y sub 2 y sub 3. 00:08:25
Entonces, a ver, no vamos a manejar matrices de más de tres filas, no vamos a manejar matrices de más de tres filas, porque manejar matrices de más de tres filas implica que los cálculos se complican mucho y no os va a salir una matriz de más de tres filas. 00:08:33
eso vamos 00:08:55
no puedo decir al 100% seguro 00:08:57
pero jamás he salido 00:09:00
en una matriz de más de 3 filas 00:09:01
en ninguno de los exámenes 00:09:03
en casi 20 años que llevo yo dando clase 00:09:04
no va a salir una matriz 00:09:07
de más de 3 filas 00:09:10
es decir, que las matrices identidad 00:09:11
que vosotros vais a manejar son 00:09:13
la I2 o la I3 00:09:15
es decir, la de 2x2 y la de 3x3 00:09:16
¿vale? 00:09:19
más cosas, si una matriz 00:09:21
ya sea cuadrada o no cuadrada 00:09:23
tiene 00:09:27
tiene todos sus elementos 00:09:40
por encima o por debajo 00:09:52
por encima o por debajo de la diagonal principal 00:09:54
tiene todos sus elementos ceros 00:10:08
se dice que la matriz es triangular 00:10:10
es decir, porque tiene un triángulo aquí 00:10:13
que es ceros 00:10:17
Y en este caso, este son ceros. 00:10:18
Se dice que una matriz es triangular o está triangulada cuando por debajo o por encima de su diagonal principal, todos sus elementos son cero. 00:10:22
Si la matriz no es cuadrada, también puede ser triangular. 00:10:35
Es decir, si yo tengo una matriz 2, 1, 4, 5, si yo trazo esa especie de diagonal en una matriz que no es cuadrada, 00:10:38
si todos estos elementos son ceros, también se dice que es triangular. 00:11:01
trazando desde el elemento 1, 1, primera fila, primera columna, trazo una diagonal 00:11:06
si todos los elementos por debajo o por encima de esa diagonal son cero 00:11:12
se dice que la matriz está triangulada 00:11:17
y esto es un poco todo el lenguaje sobre matriz 00:11:19
es decir, tenéis que, os tiene que empezar a sonar, que ya os sonará 00:11:23
poco a poco os irá sonando lo que es una matriz 00:11:29
que es una serie de elementos de datos numéricos organizados en filas y columnas, ojo, son datos organizados en filas y columnas, 00:11:33
aquí no hay ninguna operación matemática de por medio, no os vayáis a confundir, aquí no hay pores, ni mases, ni dividido, ni al cuadrado, nada, 00:11:46
Nada. Esto es como una tabla. Esto podría ser como una tabla así. Esa matriz puesta en forma de tabla sería eso. 00:11:55
Los elementos de una matriz son independientes unos de otros. No existe ninguna relación operacional entre los elementos de una matriz. 00:12:17
No me vayáis a liar, ¿eh? Vale, bueno, ya hemos dicho entonces que los elementos vienen dados por el lugar que ocupan, es decir, por la fila y la columna en la que están, que las dimensiones de la matriz vienen dadas por el número de filas y columnas y que si estas son iguales, entonces la matriz es cuadrada y se escriben, se nombran como matriz de orden 2, 3 o lo que sea. 00:12:28
algunas especiales pues la matriz fila que solo tiene una fila con un número de columnas, una matriz columna 00:12:51
y las matrices cuadradas tienen diagonales principales y diagonales secundarias que son estas 00:12:58
y hay unas matrices cuadradas especiales que son las matrices identidad 00:13:10
las matrices identidad que son las matrices cuadradas que tienen todos sus elementos cero 00:13:16
exceptuando su diagonal principal que tiene unos 00:13:21
Nosotros vamos a trabajar con matrices, insisto, como máximo de tres filas y por lo tanto las matrices de identidad con las que trabajaremos son la I sub 3 y la I sub 2. 00:13:24
Y por último, que os suene una matriz triangular es aquella que por debajo de la diagonal principal o por encima de la diagonal principal tiene todos sus elementos ceros, ¿vale? 00:13:34
Esta no está triangulada. O sea, estaría triangulada si todo esto fuese ceros, pero no lo es. O sea, estas sí lo son, pero esta no lo es. ¿De acuerdo? Bueno, seguimos. 00:13:46
¿Qué se puede hacer con las matrices? 00:13:59
No para qué sirven, no estoy hablando de para qué sirven 00:14:05
Luego ya veremos para qué las vamos a utilizar nosotros las matrices 00:14:07
Pero de momento, ¿qué se puede hacer con las matrices? 00:14:10
Con las matrices se pueden hacer una serie de operaciones 00:14:14
Pocas, no muchas, pero algunas 00:14:17
Entonces, primera operación que se puede hacer con matrices 00:14:19
Suma, suma y resta 00:14:22
Para poder sumar o restar dos matrices, tienen que tener la misma dimensión. 00:14:25
Es decir, yo, para poder sumar o restar, si yo quisiera hacer esa operación, no podría. 00:14:44
Esa operación no se puede hacer. 00:15:03
¿Por qué? 00:15:05
Porque no tienen el mismo número de filas y de columnas. 00:15:05
No tienen la misma dimensión. 00:15:09
¿Qué dimensión tiene esta? 00:15:10
primero filas, luego columnas 00:15:12
y esta 00:15:17
luego esto 00:15:17
no se puede hacer 00:15:20
solo se puede sumar y restar 00:15:22
matrices cuando son 00:15:25
tienen la misma dimensión 00:15:27
es decir, que 00:15:29
yo si quiero sumar 00:15:31
o restar, que es lo mismo 00:15:33
estas dos 00:15:41
si puedo sumarlas y restarlas 00:15:48
¿Cómo se suman o se restan matrices? Pues es muy sencillo, se suman cada elemento que le corresponde en el mismo lugar a la otra matriz, 00:15:50
Es decir, que la suma de estas dos matrices será otra matriz, que será 3 más 1, 2 más 3, 1 más menos 4, 4 más menos 2, menos 5 más 1 y 0 más 5. 00:16:00
Es decir, es una matriz que es 4, 5, menos 3, 2, menos 4 y 5. 00:16:20
Sumar y restar matrices no tiene ninguna copia. 00:16:31
Se suman o se restan, si yo quisiera restarlas, pues sería lo mismo. 00:16:35
Si yo quiero restarlas, si en vez de sumarlas las resto, 00:16:39
entonces me daría, sería aquí 3 menos 1, que es 2. 00:16:44
aquí 2 menos 3 que es menos 1, 1 menos menos 4 que es 5, 4 menos menos 2 que es 6, menos 5 menos 1 que es menos 6 00:16:49
y 0 menos 5 que es menos 5, esto sería si esta es la matriz A y esta es la matriz B, esto sería A menos B 00:17:02
y esto sería 00:17:13
A más 00:17:15
es muy fácil 00:17:18
trabajar con las matrices son muy fáciles 00:17:19
es más difícil escribirlas 00:17:23
el problema no es esto, el problema es luego 00:17:24
sí, el problema es siempre el luego 00:17:27
en la vida en general 00:17:29
el problema es luego 00:17:30
esto es muy fácil 00:17:31
el problema es cuando la cosa se complica 00:17:33
cuando tienes que poner los terceros 00:17:36
el trabajo con matrices es más sencillo 00:17:38
Es muy sencillo, no tiene mucho, no tiene mucho, pasa que es verdad que hay que memorizar bastantes cosas, 00:17:43
porque esto es una cuestión de o hacer muchas o memorizarlo bien. 00:17:49
Bueno, sumas y restas con matrices, ¿de acuerdo? ¿Puedo pasar de página? ¿Vale? ¿Ya? 00:17:54
A ver, producto de una matriz por un escalar. 00:18:03
Otra operación que puedo hacer, muy sencilla, que es multiplicar una matriz por un número, el que sea. 00:18:28
Un escalar y un número es lo mismo, pasa que cuando se avanzan matemáticas y ya no todos son números, 00:18:34
sino que hay otras cosas, hay variables, hay matrices, hay cosas, pues los números, deja de llamarse los números, 00:18:41
se le llama escalar, se llama escalar, pero es una pura nomenclatura, es decir, esto es lo mismo que multiplicar una matriz por un número. 00:18:49
Para multiplicar una matriz cualquiera por un número, multiplico todos los elementos de la matriz por ese número. 00:18:56
Es decir, esto es 3 por 1, 3 por 3, 3 por 2 y 3 por 4. 00:19:10
Es decir, esto es 3, 9, 6 y 11. 00:19:20
Y para dividirlo exactamente igual, si yo lo que quiero en vez de dividir, pues si yo quiero dividir la matriz 2, 1, menos 3, 0, la quiero dividir entre 2, 00:19:26
Pues esto es 2 entre 2, 1 entre 2, menos 3 entre 2 y 0 entre 2. 00:19:54
Es decir, esto es 1, 1 medio, menos 3 medios y 0. 00:20:03
Más operaciones que se pueden hacer con matrices. 00:20:13
¿Puedo pasar? ¿Ya? 00:20:15
Más operaciones. 00:20:18
Transponer una matriz. Transponer una matriz es cambiar sus filas por sus columnas, es decir, 00:20:21
que si yo tengo una matriz A, que es una matriz 1, 3, 5, 2, menos 1, 4, y la quiero transponer, 00:20:52
se escribe así, la transpuesta de una matriz se escribe con una T arriba 00:21:03
y la quiero transponer, lo que hago es, la primera fila se convierte en la primera columna 00:21:10
y la segunda fila en la segunda columna, tampoco tiene ningún problema. 00:21:15
Como veis, si yo tengo una matriz de una dimensión, ¿de qué dimensión es esta? 00:21:24
Fijaros que al transponerla 00:21:29
Se cambia 00:21:35
Se transpone también la dimensión 00:21:39
Como es lógico 00:21:41
Más operaciones que se pueden hacer 00:21:43
Con una 00:21:45
Con matrices 00:21:46
Más operaciones 00:21:49
Producto de dos matrices 00:21:51
El producto igual que la suma 00:21:52
Y la resta 00:22:08
Solamente se puede hacer 00:22:09
si las dos o las tres matrices, las dos matrices que yo voy a sumar o restar tienen la misma dimensión, 00:22:10
es decir, el mismo número de filas de columnas, en el caso del producto de matrices la cosa cambia. 00:22:17
Lo que tiene que suceder es que el número de filas, de columnas, perdón, de columnas de la primera 00:22:24
tiene que ser igual al número de filas de la segunda. 00:22:39
Es decir, si tengo una matriz, si tengo una matriz de 3 por 2, 00:23:09
solo la puedo multiplicar por las matrices que tengan dos filas, 00:23:19
porque tiene dos columnas. 00:23:27
Y entonces necesito, yo no podría, esto, si yo tengo una matriz de 3 por 2, por ejemplo, 1, 5, 7, menos 2, 0, menos 3, y la quiero multiplicar por 2, 1, 3, 5, 4, 7. 00:23:29
si yo quisiera multiplicar esto 00:23:52
para saber si yo esto lo puedo hacer o no 00:23:55
yo lo que hago es lo siguiente 00:23:59
digo esta matriz es de 3 por 2 00:24:01
y esta matriz es de 3 por 2 00:24:04
¿vale? 00:24:08
como estos números intermedios 00:24:10
no son iguales 00:24:13
esto no lo puedo 00:24:15
¿veis lo que digo? 00:24:16
¿veis lo que digo? 00:24:19
si ¿no? 00:24:20
eso no se puede hacer 00:24:21
Yo para poder multiplicar esta, tengo que tener, esta digo, esta es de 3 por 2 y esta es de 2 por 3, estas sí las puedo multiplicar, ¿por qué? 00:24:22
Porque tienen estos dos números intermedios, veis, este y este iguales. 00:24:52
Y además, el producto al multiplicar me va a dar una matriz de 3 por 3, es decir, de los dos números que yo tenga. 00:24:57
Porque el número de columnas de esta, que son dos, es distinto del número de filas de esta. 00:25:09
Y la condición indispensable para que se pueda hacer la multiplicación es que esos dos números coincidan. 00:25:16
si no, no se puede hacer 00:25:22
tú 00:25:25
cuando te dan dos matrices para multiplicarlas 00:25:27
lo primero que tienes que hacer es poner 00:25:30
su dimensión debajo, como yo he hecho 00:25:31
y mirar si estos dos números 00:25:33
intermedios coinciden, es decir 00:25:35
número de columnas de la primera 00:25:37
tiene que ser igual al número de filas de la segunda 00:25:39
y si no coincide 00:25:42
se acabó el problema 00:25:44
no se puede hacer 00:25:45
y si coincide, como este caso 00:25:46
la matriz resultante 00:25:49
va a ser una matriz que va a tener la dimensión de este número por este número. 00:25:51
Es decir, que si yo tengo una matriz de 3 por 5 y la quiero multiplicar por una matriz de 5 por 2, 00:25:56
esto sí lo puedo hacer, porque tiene el mismo número de columnas y de filas. 00:26:15
Este número y este número son iguales. Esto sí se puede hacer. Y la matriz resultante va a ser una matriz de 3 por 2, que son este y este. ¿De acuerdo? ¿Está claro? ¿Qué? ¿El qué? Pues lo mismo que esto. 00:26:20
Tú fíjate lo que hago aquí, digo, tiene 5 filas, digo 5 columnas y 5 filas, esto y esto se quita y la matriz resultante es de 3 por 2, aquí he hecho lo mismo, esta es 2 y 2, esto se quita y se pone 3 por 2, ojo que esto todavía no estoy multiplicando, es paso previo a multiplicar, paso previo a multiplicar dos matrices, 00:26:39
es comprobar si se pueden o no se pueden multiplicar, porque no siempre se puede multiplicar, los números siempre se pueden multiplicar, 00:27:03
no hace falta comprobar nada, te dan dos números, los multiplicas y punto, las matrices no, las matrices a veces se pueden multiplicar y a veces no, 00:27:12
entonces primero un paso previo es ver qué dimensiones tienen las matrices y además fijaros en una cosa, 00:27:20
Esto hace que la multiplicación de matrices no sea conmutativa. 00:27:27
¿Qué quiere decir eso? 00:27:35
Quiere decir que si yo tengo, imaginaos este caso, 00:27:37
tengo una matriz A que tiene una dimensión, la que he puesto yo aquí, 3 por 5, 00:27:41
y una matriz B que tiene una dimensión de 5 por 2. 00:27:46
Si yo hago A por B, esto sería lo que os he puesto arriba, 3 por 5 por 5 por 2. 00:27:51
Esta matriz, esta multiplicación la puedo hacer, ¿no? 00:28:06
Porque tiene estos dos numeritos, número de columnas de la primera y número de filas de la segunda son iguales. 00:28:10
Pero sin embargo, si yo hago B por A, sería 5 por 2 por 3 por 5. 00:28:16
Esta ya no la puedo hacer, porque estos dos números no son iguales. 00:28:28
Es decir, la multiplicación de matrices no es conmutativa. 00:28:33
Conmutativa. Precisamente por la condición que tiene que reunir sus dimensiones para poder multiplicarla, hace que no es conmutativa. 00:28:37
No es como los números. A mí me da lo mismo multiplicar 8 por 7 que 7 por 8. 00:28:47
Pero, o las variables, me da lo mismo hacer x cuadrado por x quinta que x quinta por x cuadrado. 00:28:52
Las multiplicaciones, estamos muy acostumbrados a trabajar con multiplicaciones que son conmutativas, 00:28:59
que nos da igual el sentido, el orden en que hacemos las multiplicaciones, cuando llegamos a matrices eso ya no es así, ¿por qué? 00:29:04
Porque como dependemos de las dimensiones que tengan, si las multiplicamos de una manera puede que sea posible y si las multiplicamos de la otra puede que no lo sea, 00:29:12
Es decir, A por B no es igual que B por A, ¿de acuerdo? ¿Vale? Bueno, una vez que yo he visto las dimensiones que me dan de dos matrices y puedo multiplicarlas, entonces paso a multiplicarlas. 00:29:21
¿Cómo se multiplican las matrices? 00:29:44
¿Qué? 00:29:48
La fila por columna. 00:29:49
La fila por columna, efectivamente. 00:29:50
Entonces, si yo quiero multiplicar la matriz menos 1, 2, 4, 3, menos 5, 1. 00:29:52
Y la quiero multiplicar por 4, menos 1, 1, menos 2 y 0, 3. 00:30:04
Yo miro y digo, ¿qué dimensión tiene esta matriz? 00:30:16
¿Y esta? 00:30:24
3 por 2. 00:30:25
¿Puedo o no puedo? 00:30:27
Sí. 00:30:28
Sí. 00:30:28
¿Y la matriz resultante cuántos elementos va a tener? 00:30:29
¿Va a ser de cuánto? 00:30:34
Es decir, va a tener 1, 2, 3, 4 elementos. 00:30:37
¿No es así? 00:30:42
¿Vale? 00:30:43
Sí. 00:30:46
De momento estamos haciendo lo que hemos hecho antes, yo tengo que multiplicar estas dos matrices, primero miro sus dimensiones para ver si se puede hacer la multiplicación, esta es una matriz de 2x3 y esta es una matriz de 3x2, ¿puedo o no puedo? 00:30:46
¿Sí? Porque estos dos números son iguales. ¿Y qué dimensión, cuántos elementos, qué dimensión, cuántas filas y cuántas columnas va a tener la matriz resultante? 00:31:02
Pues este número y este número, 2 por 2. 2 por 2 es una matriz que tiene dos filas y dos columnas y por lo tanto tiene cuatro elementos. 00:31:13
¿De acuerdo? Entonces, ¿cómo se calcula cada uno de los elementos? 00:31:21
Fijaros, este elemento está en la primera fila y en la primera columna. 00:31:30
¿No es así? Es el elemento 1, 1. 00:31:36
¿Por qué? Porque está en la primera fila y en la primera columna. 00:31:39
Juego de los barcos, ajedrez, llamadlo como queráis, es como una tabla. 00:31:42
La celda esa, ese número está en la primera fila y en la primera columna. 00:31:48
Este está en la primera fila y en la segunda columna. 00:31:53
Este está en la segunda fila y en la primera columna. 00:31:57
Y esta en la segunda fila, segunda columna. 00:32:00
Esos son los elementos, ¿no? 00:32:02
Bueno, pues el elemento este, el 1, 1, se calcula como es el 1, 1 multiplicando la primera fila por la primera columna. 00:32:04
Porque es el 1, 1. 00:32:15
Es decir, hay que multiplicar filas y columnas de las dos matrices dependiendo del sitio donde esté el elemento. 00:32:17
Luego, por lo tanto, será el menos, esto será menos 1 por 4, menos 1 por 4, más 2 por 1, no, porque es fila por columna, es fila por columna, ¿vale? 00:32:23
Y 4 por 0, más 4 por 0, ¿ves? 00:32:40
Fila por columna, porque estoy, primera fila, primera columna, elemento 1, 1, ¿no? 00:32:47
Fila por columna, menos 1 por 4, más 2 por 1, más 4 por 0. 00:32:53
Toda la fila, por toda la columna, voy sumando elemento a elemento, ¿vale? 00:32:59
Y esto es un número. 00:33:03
esto es, esto es, menos 1 por 4 es menos 4, más 2, menos 2, luego esto es un menos 2, que color tan horrible, este, 1, 2, primera fila, segunda columna, primera fila y ahora segunda columna, 00:33:04
Por lo tanto, el 1, 2, el elemento 1, 2 es primera fila, menos 1 por menos 1, más 2 por menos 2, más 4 por 3, que es igual a 1, menos 4, menos 3, más 12, 9. 00:33:23
Esto es 1, 9. 00:33:52
Siguiente elemento, segunda fila, primera columna 00:33:53
Segunda fila, primera columna 00:33:58
3 por 4 00:34:01
Más menos 5 por 1 00:34:03
Más 1 por 0 00:34:10
Esto es igual a 12 menos 5 que son 7 00:34:17
Esto son 7 00:34:23
y por último el elemento 2 2 es segunda fila y segunda columna 00:34:26
luego 3 por menos 1 más menos 5 por menos 2 más 1 por 3 00:34:34
y esto es menos 3 más 10 son 7, 7 más 3 es 10 00:34:47
10. Luego, el resultado de esta multiplicación es la matriz menos 2, 9, 7, 10. ¿De acuerdo? ¿Está claro? 00:34:57
Es un poco lioso, pero no tiene ninguna complicación. O sea, numéricamente no tiene ninguna complicación, nada más que hay que ser muy pulcro y muy ordenado, porque es muy fácil equivocarse. 00:35:20
Es muy fácil equivocarse. 00:35:32
¿Vale? 00:35:34
Bueno, ¿hacemos alguna? 00:35:38
¿Os pongo alguna? 00:35:40
Operaciones con matrices. 00:35:42
Venga, os voy a poner algo. 00:35:43
A ver, me dan las matrices. 00:35:51
A, que es 7 menos 2. 00:35:59
Hasta mañana. 00:36:05
7 menos 2, 3, 1, y la b, que es menos 3, 0, menos 2, 2, y me piden calcular menos 2 por a, más 3 por b. 00:36:06
Ya sabéis que tenéis que hacer primero los productos y luego la suma, esto es exactamente igual que con los números. 00:36:27
Cuando tenemos eso 00:36:33
Y eso funciona 00:36:40
Para todas las cosas 00:36:41
La prioridad de las operaciones 00:36:44
Siempre funciona igual 00:36:46
Primero se hacen las potencias 00:36:48
Los paréntesis 00:36:51
Y luego las multiplicaciones 00:36:52
Y lo último 00:36:53
En este caso yo tendría que multiplicar 00:36:55
La patriz A por menos 2 00:36:57
La mayoría B por 3 00:36:59
Y luego sumar los dos 00:37:00
he multiplicado A por menos 2 00:37:01
que es multiplicar todos los elementos por 2 00:38:01
he multiplicado 3 por B 00:38:03
que es multiplicar todos los elementos por B 00:38:06
y luego al sumarlos, no tengo que sumar 00:38:08
los elementos que están en su posición 00:38:10
hacerme ahora A por A 00:38:12
menos B por B 00:38:16
tenemos que hacer primero las multiplicaciones 00:38:22
es decir, por un lado multiplicar A por A, luego multiplicar B por B y luego hacer la raya. 00:38:24
A ver, tengo que hacer A por A y B por B. 00:38:32
Para hacer A por A, pues A por A es esto, ¿no? 00:39:29
Tengo que hacer una matriz por ella misma, ¿no? 00:39:32
¿De acuerdo? 00:39:36
Entonces, ¿qué hemos dicho? 00:39:37
Yo, antes de hacer la operación, tengo que ver si es posible. 00:39:39
Eso es lo primero que tengo que ver. 00:39:44
entonces, ¿qué dimensión tiene esta matriz? 00:39:45
2 por 2 00:39:48
¿y esta? 2 por 2 00:39:49
luego, ¿se puede hacer? 00:39:51
sí, porque estos dos números son iguales 00:39:53
y el resultado va a ser una matriz 00:39:55
que sea de esto por esto, es decir 00:39:57
de 2 por 2, si es una matriz de 2 por 2 00:39:59
tiene 4 elementos 00:40:02
¿no? entonces los elementos de una matriz 00:40:03
siempre se nombran de esta manera 00:40:06
el A11, ¿por qué el A11? 00:40:07
porque está en la primera fila 00:40:10
primera columna, es una 00:40:11
denominación posicional 00:40:14
¿jugáis al ajedrez? 00:40:15
¿alguien jugaba al ajedrez? 00:40:18
bueno, pues si jugases al ajedrez 00:40:20
es exactamente igual, es decir, el ajedrez 00:40:23
es fila 00:40:26
fila blanca, torre negra 00:40:27
entonces es el punto donde las casillas 00:40:29
no es más que 00:40:32
bueno, y a los barcos 00:40:34
se han jugado 00:40:35
¿cómo dices el barco? 00:40:36
tú dices esa posición, fila uno 00:40:39
voy a barco o bomba, ya no me acuerdo, pero dices a tal casilla, en la casilla, esto es lo mismo, esto es porque se llama A11, porque es el elemento que está en la fila 1, columna 1, 00:40:41
porque se llama A12, porque está fila 1, columna 2 y así sucesivamente, ¿de acuerdo? Es decir, ese 11122122 no es más que lo que marca la posición del elemento. 00:40:55
Entonces, ¿cómo se calcula este elemento? Pues primera fila por primera columna, 7 por 7 más menos 2 por 3, que eso da 8. 00:41:08
Este, primera fila por segunda columna, 7 por menos 2 más menos 2 por 1, que da menos 16. 00:41:18
Y va con este, A21, esto es segunda fila por primera columna, que es 3 por 7 más 1, no, 3 por 7 más 1 por 3, que son 25, no, 7 por 3 es 21, 24. 00:41:25
Y ahora el 2, 2 es segunda fila por segunda columna, esto por esto, 3 por menos 2 más 1 por 1, que es igual a menos 6 más 1 que es menos 5. 00:41:45
Luego esta, voy a ponerla en rojo, esta matriz A por A es la matriz 8 menos 16, 24 y menos 5, si no me he equivocado eso es lo que da. 00:42:03
¿Alguien lo había hecho? ¿Habéis hecho alguno? ¿Se daba esa? Vale, bueno, pues ahora voy con la B por B, que es exactamente lo mismo. 00:42:23
B por B será la matriz menos 3, 0, menos 2, 2, por menos 3, 0, menos 2, 2. 00:42:33
Yo como siempre compruebo, esto es un 2 por 2 y esto es un 2 por 2, luego el resultante va a ser exactamente igual, de 2 por 2, ¿no? 00:42:49
Porque esto y esto son iguales y me quedan los otros dos, ¿de acuerdo? ¿Lo veis? 00:42:59
Y entonces va a ser lo mismo A11, A12, A21 y A22, tiene esos cuatro elementos. 00:43:04
Luego si esto será A11 será primera fila por primera columna, menos 3 por menos 3 más 0 por menos 2, esto es 9. 00:43:14
A12 será primera fila por segunda columna menos 3 por 0 más menos 3 por 0 más 0 por 2 que es 0 00:43:30
A21 es segunda fila por primera columna menos 2 por menos 3 más 2 por menos 2 00:43:49
esto es 6 menos 4, 2 00:44:01
y A2, 2 00:44:07
que es segunda fila por segunda columna 00:44:09
que es menos 2 por 0 00:44:12
menos 2 por 0 más 2 por 2 00:44:14
que es 4 00:44:18
luego esta 00:44:21
B por B 00:44:23
es la matriz 00:44:27
9, 0, 2, 4. 00:44:31
¿De acuerdo? 00:44:35
¿Me he equivocado? 00:44:39
Ah, sí, sí, pues nada, nada. 00:44:40
Sí, sí, eso está fatal. 00:44:44
Espera, espera un momento que lo borro. 00:44:46
Ahí. 00:44:51
7 por 7, 49, 49 menos 6 son 43, ¿no? 00:44:52
Y por lo tanto, esto, ¿dónde estaba? 00:44:58
Son 43. 00:45:01
Vale, de acuerdo, bueno y ahora que me queda por hacer A por A menos B por B, es la matriz A por A que es 43 menos 16, 24 y menos 5, menos la matriz B por B que es 9, 0, 2, 4. 00:45:03
Y esto da 43 menos 9 son 34, menos 16 menos 0 es menos 16, 24 menos 2 es 22 y menos 5 menos 4 son menos 9. 00:45:27
Este es el resultado. 00:45:45
¿Entendéis lo que he hecho? 00:45:46
¿Está claro? 00:45:48
Venga. 00:45:51
¿Sí o no? ¿Alguien no entiende algo? 00:45:53
Yo estoy tratando de ordenar, o sea, las filas eran estas, ¿no? 00:45:55
No. 00:46:02
Si el concepto de fila y columna no lo tienes claro, las matrices se te van a atragantar muchísimo. 00:46:04
La fila es horizontal, la columna es vertical. 00:46:10
Es más fácil acordarte que la columna es vertical porque estamos muy acostumbrados a hablar de las columnas de un templo, de todas esas cosas. 00:46:12
Entonces, columna vertical, fila horizontal. 00:46:20
y siempre además se nombran 00:46:23
primero las filas y luego las columnas 00:46:26
¿de acuerdo? eso es fundamental 00:46:28
para trabajar con matemáticas 00:46:30
¿vale? más cosas 00:46:32
¿no? ¿va a practicar en mi casa? 00:46:32
sí, vale, vale 00:46:36
¿dónde estoy? ¿dónde dices? 00:46:37
b por b 00:46:38
¿qué? a2,2 00:46:39
a2,2 es menos 2 por 0 00:46:42
más 2 por 2 00:46:46
esto es 0 más 2 más 4 00:46:47
no entiendo lo que dices 00:46:49
¿esto? ¿qué le pasa? 00:46:50
¿Aquí te sale un 4? ¿Aquí te sale un 4? Pues vamos a verlo. A21 es segunda fila, primera columna, menos 2 por menos 3, que es 6, más 2 por menos 2, que es menos 4. 6 menos 4 son 2. 00:46:53
Mira, a ver, ¿está claro? 00:47:10
Venga, lo último, os pongo otro 00:47:13
Venga, este producto 00:47:15
Bueno, no, voy a hacer este 00:47:23
Dos matrices muy sencillitas 00:47:25
2, 3 00:47:27
2, 3 00:47:32
Fijaros que sencillitas 00:47:36
Y os dicen, calcular A por B 00:47:37
calcular B por A 00:47:39
si se puede 00:47:43
si no se puede 00:47:44
dice no se puede 00:47:46
A más B 00:47:47
y A traspuesta 00:47:49
menos B 00:47:54
mirad a ver, ¿qué es lo que se puede hacer? 00:47:55
¿qué es lo que no se puede hacer? 00:47:59
son cuatro ejercicios diferentes 00:48:00
te dan estas dos matrices 00:48:02
y te dicen el primer ejercicio 00:48:05
es multiplicar A por B 00:48:06
si es que se puede 00:48:08
El segundo ejercicio es multiplicar B por A 00:48:09
Si es que se puede 00:48:12
El tercero es hacer A más B 00:48:13
Si es que se puede 00:48:16
Y el siguiente A traspuesta menos B 00:48:17
Si es que se puede 00:48:19
¿Y la de A traspuesta menos B cómo se hace? 00:48:20
Pues traspones A 00:48:24
Claro, ya claro 00:48:25
¿Transponer qué es? 00:48:27
No, si eso lo he hecho 00:48:29
Pero luego cómo resta 00:48:31
¿En qué es? 00:48:32
¿En una y una? 00:48:33
¿Cómo? 00:48:35
A ver, espera, lo voy a interpretar 00:48:36
Sí, pero yo no necesito saber si lo voy a calcular poniendo esto. 00:48:37
¿Uno por uno? 00:48:41
O uno por dos. 00:48:44
Ah, claro. 00:48:45
Uno por dos la primera. 00:48:46
Claro, pero sería esto como la A por dos. 00:48:49
La A es uno por dos. 00:48:51
¿Qué se pone primero, la columna o la fila? 00:48:55
La fila. 00:48:57
¿La columna y otra columna? 00:48:57
No, no da igual. 00:48:59
¿La columna y otra columna? 00:49:00
Pero cuando las tres columnas, ¿te van a quedar dos iguales? 00:49:01
Sí, pero sería uno por una. 00:49:04
Primero es A por B. 00:49:06
A ver. 00:49:17
No, pero ella, o sea, lo que está diciendo es, si es 1 por 2, 2 por 1. 00:49:19
Sí, a ver. 00:49:24
Hacemos, primero vamos a hacer este, A por B, ¿no? 00:49:27
A por B. 00:49:32
A es, ¿qué dimensión tiene? 00:49:33
No, dos por uno 00:49:35
Primero filas 00:49:38
Esto es primero filas 00:49:39
Y esta tiene uno por dos 00:49:42
¿Se puede multiplicar A por B? 00:49:43
Y te va a quedar 00:49:47
¿De cuánto? 00:49:48
De dos por dos 00:49:51
Porque se quitan lo que coincide en intermedias 00:49:52
Y te queda eso 00:49:55
O sea que te va a quedar una matriz de este tipo 00:49:56
Ahora la calculamos 00:49:58
¿Se puede hacer 00:50:04
B por A? 00:50:06
Si hacemos B por A, sería B es de 1 por 2 y A es de 2 por 1. 00:50:09
Se puede hacer, sí, ¿no? Porque estos dos son iguales. 00:50:19
¿Y de cuánto me queda la matriz? 00:50:24
De 1, me queda la matriz de 1 por 1, es decir, me queda una matriz así, un solo elemento, ¿vale? 00:50:26
Se puede hacer A más B, no, ¿por qué?, porque para sumar dos matrices tienen que tener la misma dimensión, esto no se puede hacer, ¿vale?, y la transpuesta de A, ¿cuál es la transpuesta de A?, 00:50:36
si esto es una columna, la tengo que convertir en una fila, es decir, la transpuesta de A es esa, 00:50:55
¿se pueden restar estas dos? Sí, luego estas sí se pueden restar, o sea que yo esto no lo puedo hacer y estos tres sí, 00:51:05
vamos a hacer el primero, A por B, A1, 1 será primera fila, que son 2 por primera columna, 2 por 2, 4, 00:51:14
fijaros, esto es muy sencillo 00:51:23
porque como no tengo más que un elemento en cada uno 00:51:25
pues es sencillísimo 00:51:28
A1, 2 00:51:29
primera fila por segunda columna 00:51:31
2 por 3, 6 00:51:35
A2, 1 00:51:36
segunda fila por primera columna 00:51:39
3 por 2 00:51:42
y A2, 2 00:51:46
segunda fila por segunda columna 00:51:49
Luego esta matriz es la matriz 4, 6, 6, 9 00:51:52
Voy con B por A 00:51:58
B por A sería la matriz 2, 3 por la matriz 2, 3 00:52:03
Entonces, esto sería una matriz que es 1, que es primera fila por primera columna 00:52:18
Que es 2 por 2 más 3 por 3, que es 12 00:52:28
Luego, esto sería una matriz que solo tiene un elemento 00:52:37
A traspuesta menos B. A traspuesta es 2, 3 y B es 2, 3. Luego si las resto, esto me queda 0, 0. 00:52:44
Una matriz cuyos elementos son 0 y una matriz nula. ¿De acuerdo? Ojo con esto. Muchas veces nos acostumbramos a hacer ejercicios más complicados, con más números, con unos números distintos y luego resulta que llegamos al examen y nos ponen una cosa de estas. 00:52:57
que puede ser, porque normalmente es una matriz 00:53:14
sencillita, nos traen una de estas 00:53:16
y no sabemos cuáles son 00:53:18
se trabaja exactamente igual 00:53:18
¿de acuerdo? exactamente igual 00:53:21
si son matrices filas y matrices columnas 00:53:23
una matriz puede tener un solo elemento 00:53:25
como es este caso, ¿de acuerdo? 00:53:27
¿vale? 00:53:30
bueno, mañana seguimos 00:53:32
mañana más 00:53:33
esto es un 12 00:53:35
2 por 2 más 3 por 3 00:53:37
es el igual 00:53:40
O sea, esto es esto, esto es esto y esto es esto. 00:53:42
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
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16 de enero de 2026 - 11:48
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Público
Centro:
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