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AR4. 3.4 Permutaciones con repetición. Ejercicio 9 - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos
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las permutaciones con repetición y resolveremos el ejercicio propuesto 9.
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En esta videoclase vamos a estudiar las permutaciones con repetición. Si en las
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tres mutaciones sin repetición. Tenía L elementos distinguibles todos ellos y quería averiguar de
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cuántas formas posibles los podía ordenar todos. En este caso también tengo N elementos, también
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los quiero ordenar todos, pero no son todos distinguibles. La parte de con repetición quiere
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decir que esos N elementos pertenecen a una cierta cantidad R de categorías, de tal forma que tengo
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alfa 1 elementos de la primera categoría y todos esos elementos son iguales entre sí. Pero también
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tengo alfa dos elementos de la segunda categoría, esos elementos son iguales entre sí, pero a su
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vez son distinguibles frente a los de la primera, y así con todas las demás. Resulta que no tengo
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n elementos, todos ellos distintos, sino que algunos son iguales entre sí, pertenecen a la
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misma categoría, y categorías distintas están formadas por elementos distinguibles, por elementos
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diferentes. Llamamos permutaciones con repetición de n elementos agrupados alfa uno, alfa dos, hasta
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alfa r a esas formas posibles, número de formas posibles en que puedo ordenar
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esos n elementos, sabiendo que no son todos ellos iguales, sino que tengo alfa
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1, alfa 2, así hasta alfa r repetidos. Lo que vamos a hacer es utilizar una
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técnica similar al caso de la que utilizamos cuando hablamos de las
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combinaciones en repetición. Estas las determinábamos en función de las
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variaciones. Bueno, pues vamos a calcular estas permutaciones con repetición en
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base a las permutaciones. No en mano tengo n elementos y los quiero ordenar. Quiero ver de
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cuantas formas posibles los puedo ordenar. Bien, pues voy a partir de esas permutaciones de n
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elementos, este n factorial que tengo aquí en este numerador. ¿Qué es lo que ocurre? Pues que los
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alfa 1 elementos de la primera categoría, en las permutaciones sin repetición, estoy considerando
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que las distintas ordenaciones entre ellos son distintas, pero en realidad son la misma, puesto
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que no son distinguibles. Así que de las permutaciones de n elementos de este n factorial
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tengo que eliminar, por un lado, las formas posibles en que puedo ordenar estos alfa 1
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elementos que son indistinguibles y por eso divido entre alfa 1 factorial. También tengo que eliminar
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las distintas ordenaciones de los alfa 2 elementos de la segunda categoría, por eso estoy dividiendo
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entre alfa 2 factorial y así sucesivamente con todas las demás. Como ejemplo, supongamos que
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queremos, igual que hicimos en una videoclase anterior, determinar cuántas palabras con sentido
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o sin él podemos formar a partir de la palabra, pero no la palabra saco, que es la que utilizamos
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con las permutaciones sin repetición, con las cuatro letras distintas, sino en este caso con
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la palabra saca. Y vemos que tenemos cuatro elementos que pertenecen a tres categorías
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distintas. La primera categoría es la letra S. Hay un elemento que sea la letra S. La segunda
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categoría es la letra A y esa categoría tiene dos elementos puesto que tengo dos AEs. Y por último
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la tercera categoría va a ser la letra C y esa categoría tiene un único elemento puesto que
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tengo una única letra C. En este caso N, el número de elementos, es 4. Esos cuatro elementos, las cuatro
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letras, pertenecen a tres categorías. Tengo S, A y C. La primera categoría tiene un elemento, hay una S.
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la segunda categoría tiene dos elementos, hay dos aes, y la tercera categoría tiene otra vez un único elemento, hay una única c.
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Si utilizamos la fórmula de las permutaciones con repetición, son permutaciones con repetición de cuatro elementos
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pertenecientes a categorías con un elemento, dos elementos y un elemento.
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¿Qué me dice la fórmula? Pues que haga 4 factorial, que es n factorial, dividido entre 1 factorial, 2 factorial y 1 factorial.
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4 por 3 por 2 y por 1 es el factorial de 4, que es 24.
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1 factorial es 1.
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2 factorial es 2 por 1, 24 entre 4.
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Hay 12 palabras diferentes que se pueden formar con estas letras S, A, C, A.
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En este caso, al igual que hicimos en la videoclase de las permutaciones sin repetición,
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sí podemos utilizar un diagrama de árbol para contar todas estas posibilidades.
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Y vamos a hacerlo en este caso en concreto de esta manera, un tanto peculiar.
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Partimos de este nodo vacío y vamos a elegir una de las cuatro letras.
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Tenemos para nuestra disposición la S, la primera A, la C o la segunda A de la palabra SACA.
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Una vez que hemos elegido la primera letra, vamos a elegir la segunda a partir de las tres restantes.
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Y si hemos elegido una S, la siguiente letra podrá ser la primera A, la C o la segunda A.
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Si hemos extraído la S y la A, para la tercera letra tenemos dos posibilidades, o bien la C o bien la segunda A.
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Y una vez que supongamos que hemos extraído la S, la primera A y la C, como última opción no nos queda más que una única letra, que sería la última A, la segunda A.
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Si hacemos esto, vemos que aquí lo que tenemos son 24 posibilidades.
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Estas 24 que teníamos aquí en este numerador, porque en el fondo lo que tenemos son permutaciones de 4 elementos.
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Y es que tal y como lo he estado contando, estoy distinguiendo la primera A de la segunda A.
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En realidad esto no es así. Nosotros no vamos a tener en cuenta el orden. Las A son indistinguibles.
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Y fijaos en una cosa. Yo aquí tengo la combinación saca y tengo la misma combinación saca un poco más abajo. Aquí la tengo. La tengo dos veces. ¿Por qué?
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Porque he considerado que esta combinación primera sería con la S, la primera A, la C y la segunda A, mientras que aquí tengo la S, la segunda A, la C y la primera A.
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He formado las mismas combinaciones, la misma combinación saca, pero primera A, segunda A y aquí segunda A, primera A.
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Si los elementos fueran todos distinguibles, si tuviera una A de color azul y una A de color rojo, entonces sí, estas dos combinaciones son distintas.
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Pero tal y como lo tengo, me dicen que las A son indistinguibles, esta combinación saca y esta combinación saca son la misma.
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No debería contar dos, debería contar solo una.
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Eso me pasa con todas las combinaciones.
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Si las miráis, todas están dos veces.
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Y la razón de ser es precisamente esta.
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En una de las combinaciones tengo una A, que es la primera, y a continuación una A, que es la segunda,
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y en otra de las combinaciones tengo una A, que es la segunda, y otra A, que es la primera.
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Si fueran de colores distintas, las palabras que formaría serían distinguibles, pero no siendo el caso,
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resulta que tengo todas las combinaciones duplicadas, por el hecho de que tengo dos AEs.
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Así que de estas 24, en realidad tengo 12. Debería dividir 24 entre 2.
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Eso es lo que ha ocurrido aquí cuando he dividido entre este 2, que es el 2 factorial.
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Para eliminar esas combinaciones duplicadas, porque tengo dos aes, debo dividir entre dos.
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Por eso en esta fórmula dividimos entre todos los alfas factorial.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
00:08:15
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 2
- Fecha:
- 17 de agosto de 2025 - 7:39
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 08′ 54″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 21.79 MBytes