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Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes - Contenido educativo

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Subido el 11 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes. 00:00:00
Previo a calcular la inversa por determinantes vamos a definir lo que es la matriz adjunta. 00:00:05
Entonces consideramos A una matriz cuadrada importante, tiene que ser la matriz cuadrada de orden n. 00:00:12
Se define la adjunta de A como aquella cuyos elementos son los elementos adjuntos de los A sub ij de la matriz A 00:00:16
y se representa abreviadamente A de j adjunta de la matriz A. 00:00:24
Entonces, esta matriz tiene como primer elemento el adjunto del primer elemento de la matriz A. 00:00:28
Recordamos que el adjunto de un elemento era el producto de una potencia de base menos 1 elevada a la suma de la fila y columna que ocupa por su menor complementario, 00:00:36
es decir, el determinante que se forma al eliminar todos los elementos de la primera fila y todos los elementos de la primera columna, 00:00:50
es decir, todos los elementos de la fila y columna que ocupan 00:00:57
Vale, nos dicen, sea esta matriz de orden 3, calcula el determinante de A, la traspuesta de la junta de A 00:01:00
y realice la multiplicación A por la traspuesta de la junta de A y ve que observamos 00:01:09
Venga, comenzamos, el determinante de A 00:01:15
El determinante de A, este determinante, 1, 2, 3, menos 1, 5, 1, 3, 6, menos 2 00:01:17
Determinante, empezamos por la rama de Sarrus 00:01:25
Nos queda menos 10, más 6, menos 18, menos 45, menos 6, menos 4 00:01:28
Agrupando, por un lado los positivos me queda 6 00:01:40
Menos, y ahora agrupamos los negativos 00:01:44
10 menos 18, menos 28 00:01:46
Aquí tengo menos 10, o bueno, 10 vamos a contar 00:01:48
28 más 10, 38, con 45 nos queda 38 y 45, 83, 6 menos 83, menos 77, ese es el valor del determinante. 00:01:51
Vale, nos piden calcular la traspuesta de la junta, bueno, vamos a empezar por la junta de A, 00:02:05
la junta de A, sabéis que va a ser una matriz 3x3, donde cada uno de los elementos será el adjunto 00:02:12
de cada uno de los elementos de la matriz A. 00:02:18
Vamos a calcularlos por separado. 00:02:21
En otro ejemplo posterior ya calcularemos en la misma matriz los adjuntos. 00:02:23
Venga, pues calculamos por separado. 00:02:28
Y entonces tenemos, por ejemplo, el A11, que es menos 1 elevado a la suma de la fila y columna 00:02:30
que ocupa ese elemento, pues 1 más 1, por el determinante que se forma al suprimir fila 1, columna 1, 00:02:39
Pues 5, 1, 6, menos 2 00:02:47
Luego nos queda menos 1 al cuadrado es 1 00:02:50
Y aquí me queda menos 10, menos 6, menos 16 00:02:52
Luego este adjunto, menos 16 00:02:56
Adjunto a 1, 2 00:02:59
Menos 1 elevado a 1 más 2 00:03:01
Por el determinante 00:03:04
El resultado de resuprimir primera fila y segunda columna 00:03:05
Menos 1, 1, 3, menos 2 00:03:09
Luego me queda menos 1 al cubo es menos 00:03:12
Y el determinante, el valor es 2 menos 3, es decir, menos menos 1 más 1 00:03:15
Luego este elemento, el 1 00:03:23
A1, 3, menos 1 elevado a 1 más 3 00:03:28
Por el determinante, suprimir fila 1, columna 3, menos 1, 5, 3, 6 00:03:33
Menos 1 a la cuarta es positivo y me quedaría menos 6 menos 15 00:03:39
es decir, menos 21, aquí me queda menos 21 00:03:44
A21, menos 1 elevado a 2 más 1 00:03:47
por el determinante, suprimir fila 2, columna 1 00:03:53
pues el 2, 3, 6, menos 2 00:03:57
esto sería menos 1, que multiplica menos 4, menos 18 00:04:00
es decir, 22 00:04:04
A22, menos 1 elevado a 2 más 2 00:04:06
Por el determinante, suprimiendo, formado por, o que resulta de suprimir, fila 2, columna 2. 00:04:12
1, 3, 3, menos 2. 00:04:20
Luego me queda menos 1 elevado a 4 es positivo, menos 2 menos 9, me queda menos 11, menos 11. 00:04:24
Ahora, nos queda A3, 1, menos 1 elevado a 3 más 1. 00:04:31
por el determinante, suprimimos la fila 3, columna 1, 2, 3, 5, 1, determinante, luego me queda menos 1, la cuarta es positivo, 2 menos 15, menos 13, aquí me queda, menos, ay no hemos hecho la de los 3, perdón, este es menos 13 y me había saltado el a los 3, vamos a volver a él, a los 3, menos 1 elevado a 2 más 3, 00:04:38
Por el determinante, suprimiendo fila 2, columna 3 00:05:05
El 1, 2, 3, 6 00:05:10
2 más 3, 5, menos 1, 9, 5 es negativo 00:05:12
Y esto me queda 6 menos 6, bueno, me queda un 0 00:05:15
Aquí un 0 00:05:18
Vale, volvemos otra vez a la fila 3 00:05:19
A3, 2, menos 1, llevado a 3, más 2 00:05:21
Por el determinante, resultado de suprimir fila 3, columna 2 00:05:26
1, 3, menos 1, 1 00:05:30
Luego me queda menos, que multiplica 1 más 3, es decir, me queda menos 4 00:05:33
Luego aquí un menos 4 00:05:39
Y ahora el a3, 3, menos 1 elevado a 3 más 3 00:05:42
Con el determinante suprimimos fila 3, columna 3 00:05:48
1, 2, menos 1, 5 00:05:51
Menos 1 a la 6 es positivo, me queda 5 más 2, 7 00:05:53
Luego aquí un 7 00:05:59
Bien, tercer apartado, tenemos que realizar la multiplicación de la matriz A por la traspuesta de su adjunta. 00:06:00
Bueno, pues escribimos la matriz A, 1, 2, 3, menos 1, 5, 1, 3, 6, menos 2, y la traspuesta de su adjunta, menos 16, 22, menos 13, 1, menos 11, menos 4, menos 21, 0, 7. 00:06:12
Vale, los multiplicamos. Vamos a dejar indicados estos productos. 00:06:33
Menos 16, más 2 menos 63, 22 menos 22 más 0, y por último, menos 13 menos 8 más 21. 00:06:38
Con la segunda fila, 16 más 5 menos 21, menos 22 menos 55 más 0 y 13 menos 20 más 7. 00:06:56
Y tercera fila, menos 48, más 6, más 42, 66, menos 66, más 0, y menos 39, menos 24, menos 14. 00:07:15
Realizamos las operaciones. 00:07:34
Menos 16 más 2, menos 14, menos 63, menos 77. 00:07:36
22 menos 22, 0. 00:07:42
Menos 13 menos 8, menos 21, más 21, 0. 00:07:44
16 más 5, menos 21, 0. 00:07:49
Menos 22 menos 55, menos 77. 00:07:52
13 menos 20, menos 7, más 7, 0. 00:07:55
Menos 48 más 6, menos 42, más 42, 0. 00:07:59
66 menos 66, 0, menos 39, menos 24, menos 63, menos 14, menos 77. 00:08:03
Observamos que nos ha quedado una matriz escalar donde los elementos de la diapositiva son menos 77. 00:08:14
Si saco factor común ese elemento, nos quedaría menos 77 que multiplica a la matriz identidad. 00:08:20
Entonces observo, aquí tenemos la matriz identidad y aquí nos ha quedado justamente el valor del determinante 00:08:33
Es decir, he observado que si multiplico A por la traspuesta de su adjunta 00:08:41
Me ha quedado el valor de determinante por la matriz identidad, en este caso de orden 3 00:08:50
Generalizando lo que acabamos de ver en el ejemplo, sea una matriz cuadrada de orden 3 00:08:56
Entonces hallamos la traspuesta de la adjunta que la podemos poner así directamente 00:09:03
Tendría como primera columna los elementos que son los adjuntos de la primera fila de A 00:09:09
En la primera columna tengo el adjunto de A1-1, el de A1-2 y el de A1-3 00:09:17
El adjunto A1-1, A1-2, A1-3 00:09:25
Como segunda columna tendría los adjuntos de la segunda fila de A 00:09:27
El adjunto de A21, el de A22 y el de A23. Y como tercera columna tendría los adjuntos de cada uno de los elementos de la tercera fila de A. 00:09:32
El adjunto A31, el adjunto A32 y el adjunto A33. 00:09:44
Bien, si multiplicamos A por la traspuesta de la adjunta obtenemos una matriz escalar cuyos elementos de la diagonal coinciden con el valor del determinante de A. 00:09:47
Es decir, que obtenemos el producto del escalar determinante de A por la matriz identidad. 00:10:01
Hemos visto, repetimos lo que acabamos de ver, que el producto de la matriz A por la traspuesta de su adjunta proporciona una matriz escalar tal que todos los elementos de la diagonal principal tienen el valor del determinante de A. 00:10:14
Esto lo podemos expresar abreviadamente con fórmula así, de la siguiente forma. 00:10:26
El producto de A por la traspuesta de su adjunta es el determinante de A por la matriz inversa, o identidad. 00:10:30
Entonces, puedo dividir en ambos lados de este igual por el escalar determinante de A. 00:10:36
Determinante de A recordamos que era un número. 00:10:41
Luego, si divido a la izquierda del igual por el determinante de A, a la derecha del igual obtenemos la matriz identidad. 00:10:43
Ahora bien, recordamos que si una matriz es invertible, se cumplía que existía otra matriz que denotábamos como A a la menos 1 00:10:50
y cumplía que A por A a la menos 1 era lo mismo que A a la menos 1 por A y que era igual a la identidad. 00:10:57
Por tanto, me doy cuenta que a la izquierda de este igual, esta expresión de aquí es igual a la matriz identidad 00:11:04
Y que esta expresión de aquí también es igual a la matriz identidad 00:11:15
Luego podemos igualar ambas expresiones, igualando ambas expresiones obtenemos que el producto de A por la traspuesta de su adjunta 00:11:19
Partido por el determinante de A es lo mismo que A por su inversa 00:11:28
Si yo multiplico a la izquierda en ambos lados del igual por la inversa de A 00:11:32
Obtendríamos que A a la menos 1 por A es la identidad 00:11:41
Y por la traspuesta de la adjunta, pues me quedaría la traspuesta de la adjunta 00:11:48
Partido por el escalar, valor del determinante 00:11:51
Y si aquí se multiplica a la izquierda por A a la menos 1 00:11:54
Me quedaría A a la menos 1 por A es la identidad 00:11:57
Y por A a la menos 1 me quedaría A a la menos 1 00:12:00
Por lo tanto, si me doy cuenta, aquí no he hecho más que definir una forma de calcular la inversa de A. 00:12:02
A la vista de este resultado que acabamos de decir, se puede observar que como toda matriz cuadrada, 00:12:13
de toda matriz cuadrada podemos hallar sin ningún problema quién es su adjunta. 00:12:19
Sin ningún problema podemos hallar quién es la traspuesta de esa adjunta. 00:12:24
Y pues lo único que tiene que ocurrir para que exista la matriz inversa es que este determinante sea distinto de C. 00:12:28
Por lo tanto, la conclusión es que la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa, 00:12:35
es decir, que sea invertible, es que su determinante sea distinto de cero. 00:12:40
Vale. Encontrar lambda para que esa matriz sea invertible y cuando lambda sea igual, a igual a 2, haya la inversa. 00:12:49
Bueno, pues empezamos por el apartado A. 00:12:56
Recordamos que A es invertible. 00:12:58
La condición necesaria para que A sea invertible es que el determinante de A sea distinto de cero. 00:13:05
Bueno, pues calculamos de momento el determinante de A, el determinante de lambda menos 1, 1 menos 1, 0, lambda menos 2, 1, lambda, 0, 2, aplicando la regla de Sarrus, 00:13:11
2 por lambda menos 1, por lambda menos 2, más lambda, más 0, más lambda, por lambda menos 2, menos 0 y menos 0. 00:13:31
Bueno, hacemos las operaciones, 2, lambda o lambda cuadrado, lambda por menos 2, menos 2 lambda, 00:13:46
Y menos 1 menos lambda, total menos 3 lambda 00:13:54
Menos 1 por menos 2, más 2, más lambda 00:13:58
Más lambda cuadrado, menos 2 lambda 00:14:02
Quitamos paréntesis, 2 lambda cuadrado, menos 6 lambda 00:14:05
Más 4, más lambda, más lambda cuadrado, menos 2 lambda 00:14:09
Y agrupando, lambda cuadrado con lambda cuadrado, 3 lambda cuadrado 00:14:15
Menos 6 lambda más lambda y menos 2 lambda, menos 7 lambda y más 4 00:14:20
Luego vamos a resolver cuando el determinante de A es 0 00:14:26
Es decir, cuáles son los valores, vamos a resolver esta ecuación de segundo grado 00:14:31
Bueno, podemos resolverla con una ecuación de segundo grado completa 00:14:36
Por ejemplo, para la anda, igual a, o sea, menos b, 7 más menos la raíz cuadrada de b cuadrado, 49, menos 4 por a y por c, pues menos 48, y dividido entre 2a, dividido entre 6. 00:14:42
Luego 7 más menos la raíz cuadrada de 1 que es 1 partido por 6 00:14:59
Dos soluciones, 7 más 1, 8 partido por 6 00:15:04
Es decir, 4 tercios 00:15:08
7 menos 1, 6 partido por 6, 1 00:15:10
Factorizamos esto de aquí, vamos a recordar cómo se factorizaba 00:15:13
Cuidado, el coeficiente principal es 3 por la factorización 00:15:16
3 por lambda menos 4 tercios por lambda menos 1 00:15:20
También podríamos haber escrito, si multiplico este paréntesis por 3, podría haber sido 3 lambda menos 4 y por lambda menos 1. 00:15:26
Vale, luego, conclusión. 00:15:36
Si lambda distinto de 4 tercios y lambda distinto de 1, entonces A es invertible. 00:15:40
Tiene inversa porque el determinante será distinto de 0. 00:15:50
Si lambda igual a 4 tercios o lambda igual a 1 00:15:54
Entonces A, aquí distinto se me ha olvidado ponerlo, lo he dicho pero no lo he puesto 00:16:00
Entonces A no tiene inversa 00:16:05
Para ver si nos dice si es invertible, calculamos su valor del determinante 00:16:10
Cuando el valor del determinante sea distinto de 0, entonces se dice que es inversible 00:16:18
o invertible, y cuando el determinante sea 0, en este caso para el valor de estos parámetros, 00:16:23
decimos que la matriz no tiene inversa. 00:16:30
Apartado B, para la onda igual a 2 hay una inversa. 00:16:37
Bueno, pues para la onda igual a 2 nos queda la matriz A, que es la matriz 2 menos 1, 1, 1 menos 1, 0, 0, 1, 2, 0, 2. 00:16:40
Vale, entonces la inversa la podemos calcular como 1 partido por el valor del determinante por la traspuesta de su adjunto 00:16:51
Que acabamos de ver ahora 00:17:02
Vale, recordamos, el determinante de A nos había salido en el primer apartado se calculaba como 3 lambda menos 4 por lambda menos 1 00:17:03
Entonces, para lambda igual a 2, el determinante de A resulta 6 menos 4, 2, por 1, 2 00:17:15
El determinante vale 2 00:17:23
Luego vamos a calcular la adjunta de A 00:17:25
Vamos a calcularlo primero 00:17:29
Lo vamos a hacer ya directamente sobre la matriz 00:17:31
Entonces, vamos a ir escribiendo los adjuntos de cada elemento 00:17:34
Recordamos los adjuntos, era el menor complementario precedido por signo positivo o negativo 00:17:40
Recordamos el esquema de signos, ya que tendríamos un más, menos más, menos más 00:17:45
Perdón, menos más, aquí menos más he dicho, he escrito mal 00:17:51
O sea, más, menos más, menos más, menos, más, menos, más 00:17:56
Y vamos a añadirles sus complementarios 00:18:01
el adjunto del elemento 1, 1 00:18:05
el menor complementario 00:18:08
suprimiendo la fila 1, columna 1 00:18:10
luego nos queda 0, 1, 0, 2 00:18:13
el de A, 1, 2 00:18:15
suprimiendo fila 1, columna 2 00:18:17
nos quedaría 0, 1, 2, 2 00:18:19
el del A, 1, 3 00:18:23
suprimiendo fila 1, columna 3 00:18:25
0, 0, 2, 0 00:18:28
el menor complementario 00:18:30
Suprimiendo fila 1, columna 2 00:18:32
O sea, ahí, fila 2, columna 1, perdón 00:18:36
1, menos 1, 0, 2 00:18:39
El menor complementario, suprimiendo fila 2, columna 2 00:18:41
1, menos 1, 2, 2 00:18:45
Y el menor complementario, suprimiendo fila 2, columna 3 00:18:48
El 1, 1, 2, 0 00:18:55
Y aquí, menor complementario, suprimo fila 3, columna 1, 1, menos 1, 0, 1, suprimo fila 3, columna 2, 1, menos 1, 0, 1, suprimo fila 3, columna 3, 1, 1, 0, 0. 00:18:58
Bueno, y hacemos las operaciones. 00:19:19
Este menor complementario es 0, fijaos, por una de las propiedades de los determinantes, una columna es todo 0, pues este es 0. 00:19:21
Ahora este determinante valdría menos 2 con el menos de delante 2 00:19:28
Este determinante también vale 0 00:19:33
Tanto una fila como una columna tiene todos ceros y luego 0 00:19:35
Este determinante vale 2 con el menos de delante menos 2 00:19:39
Este determinante vale 2 más 2, 4 00:19:43
Este determinante vale menos 2 con el menos de delante 2 00:19:48
Este determinante vale 1 00:19:52
Este vale 1 con el menos de delante menos 1 00:19:54
Y este vale 0 00:19:58
Por tanto, la traspuesta de la junta de A 00:19:59
Será la matriz intercambiando filas y columnas 00:20:05
Primera fila será la primera columna 00:20:08
0, 2, 0 00:20:11
Segunda fila, segunda columna 00:20:12
Menos 2, 4, 2 00:20:14
Y tercera fila, tercera columna 00:20:15
Pues 1, menos 1, 0 00:20:17
Por tanto, ya puedo construir 00:20:19
O calcular quién es la matriz inversa 00:20:21
Será 1 medio que multiplica a 0, 2, 0 por columnas, menos 2, 4, 2, 1, menos 1, 0. 00:20:24
Es decir, la matriz 0, menos 1, 1 medio, 1, 2, menos 1 medio, 0, 1, 0. 00:20:33
Podríamos comprobar que lo hemos hecho bien multiplicando a por a la menos 1 y comprobando que nos sale la matriz identidad. 00:20:42
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
120
Fecha:
11 de octubre de 2020 - 18:46
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
20′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
1.73

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