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Perpendicular común a dos rectas y proyección de una recta en un plano - Contenido educativo

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Subido el 26 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Perpendicular común a dos rectas y proyección de una recta en un plano

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El problema es el de hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan. 00:00:06
Bueno, para ello tenemos dos rectas que las expresamos ya en la forma más sencilla posible, 00:00:10
que es con un punto y un vector, ambas. 00:00:18
La perpendicular común es una inmunidad recta, y es que si cogemos los dos puntos de mínima distancia, 00:00:23
va a ser la recta que corta a ambas y lo hace de forma perpendicular, 00:00:29
de modo que este ángulo es recto y este ángulo es recto. 00:00:33
Bien, el problema es si hay una forma de hallar la recta S de forma rápida 00:00:37
La respuesta es que sí, de hecho, bastante rápida para lo que podría parecer 00:00:47
Porque lo que uno haría inicialmente sería calcular estos dos puntos, calcular B 00:00:53
Y coger el vector normal que los une y sumar, cosa que es correcta 00:00:57
Pero lo que vamos a hacer es más rápido todavía 00:01:02
Tenemos P1 y su vector, V1, P2 y su vector 00:01:04
y el vector normal n 00:01:14
n es muy fácil de calcular 00:01:18
porque es el producto vectorial 00:01:23
de v1 y v2 00:01:25
eso está claro, además 00:01:27
es recta perpendicular 00:01:29
y eso se ve 00:01:30
¿cuál va a ser el truco? 00:01:31
el truco va a ser tomar dos planos 00:01:35
pi1 y pi2 00:01:37
muy bien 00:01:38
muy fácilmente determinados 00:01:39
¿cuáles son pi1 y pi2? 00:01:42
bueno, pues 00:01:44
lo que hacemos es lo siguiente 00:01:45
bueno, tenemos aquí todos los datos 00:01:47
y primero obteníamos el vector normal que hemos obtenido a ambas rectas 00:01:53
y pi1 va a ser la recta 1 añadiendo el vector normal 00:02:02
y pi2 va a ser la recta 2 añadiendo el vector normal y ya está. 00:02:11
Con esto obtenemos dos ecuaciones y la recta S va a ser la formada por las dos ecuaciones. 00:02:21
Y esto es muy rápido. 00:02:33
Vamos a verlo numéricamente. 00:02:35
Bueno, aquí tenemos el resumen de la información. 00:02:39
Tomamos estas dos rectas. 00:02:47
Automáticamente tenemos los dos puntos y los dos vectores. 00:02:55
Obtenemos con los dos vectores el vector normal. 00:03:02
en este caso menos 3, 6, 4 00:03:04
y ahora pi1 va a ser el punto 1, el vector 1 y el normal 00:03:07
que lo hacemos como sabemos, cogemos con la x y z 00:03:17
los dos vectores y hallamos la ecuación 00:03:22
después evaluamos la ecuación en el punto 00:03:29
y así tenemos la ecuación del primer plano 00:03:34
con pi2 hacemos lo mismo 00:03:39
Y P2 se le coge el punto X, que serían P2, V2, más el vector normal. 00:03:44
Con los dos vectores, V2 y el normal, hacemos la ecuación homogénea. 00:03:58
Evaluamos la ecuación homogénea en el punto P2, obteniendo un número, y P2 es la ecuación igualada a ese número. 00:04:07
Por último, la recta buscada sería tomar las dos ecuaciones 00:04:20
Como se puede ver, esto es bastante rápido 00:04:28
No es el único método, pero es un buen método 00:04:32
Por su parecido voy a explicar un segundo problema 00:04:36
Que también puede aparecer en la EBAU 00:04:44
En el simulacro no parecido porque no estaban los enunciados 00:04:47
Pero cuando lo puse en el examen de geometría 00:04:49
Pues hubo gente que lo hizo pero por el método largo y lento 00:04:55
Conviene saber un método rápido 00:05:01
Y es lo que voy a explicar ahora 00:05:03
Nos piden la proyección ortogonal de una recta sobre un plano 00:05:04
Por definición, dicha recta está formada por tomar todos los puntos de la recta R 00:05:10
Proyectarlos ortogonalmente en el plano pi 00:05:21
Y unirlos formando la recta R' 00:05:28
prima. Bien, el problema es, ¿hay algún modo más sencillo que hacerlo? Porque el método largo es 00:05:31
coger dos puntos, proyectarlos y hallar la recta. Aunque uno de los dos sea fácil, que sea el punto 00:05:40
de intersección, porque entonces si es el punto P, pues va a ser igual a la proyección P prima, 00:05:46
hay un método todavía más fácil, que es el siguiente. La idea es que consideramos el siguiente 00:05:55
plano. Por una parte el plano pi y por otra parte el plano pi' que es el plano perpendicular 00:06:03
a pi que contiene a r. De esa forma la recta r' va a ser la intersección de los planos 00:06:11
pi y pi' y con eso automáticamente ya tenemos sus ecuaciones simplificadas. Pi ya lo tenemos 00:06:19
y vamos a ver que pi' es muy fácil de conseguir. ¿Qué tenemos al principio? 00:06:29
Por una parte, la recta R. Si nos la dan en ecuaciones implícitas, siempre la pasamos a un punto y un vector, porque es la forma operativa de trabajar. 00:06:37
Y lo mismo el plano pi. Si lo tenemos en otras ecuaciones, automáticamente lo pasamos a su ecuación implícita, porque es la forma operativa de trabajar. 00:06:47
Una vez que tenemos esto, ya podemos obtener también automáticamente el vector normal a pi, que en este caso es ABC. 00:06:56
Y ya con eso tenemos todos los ingredientes para encontrar pi' rápidamente, porque pi' va a ser el punto P más lambda V, todo esto igual a R, y luego más mu por el vector normal. 00:07:05
Y ya está hecho. Lo que pasa es que luego hay que pasar a ocasiones implícitas. 00:07:28
Resumiendo 00:07:32
1. Hallamos el plano pi' que es perpendicular a pi contiene a r 00:07:35
Dado por x igual al punto más lambda por v más 1 por el vector n 00:07:40
En tal caso tendremos que pi' tendrá una ecuación 00:07:47
Y la recta será la que tenga la ecuación del plano pi 00:07:52
Más la nueva ecuación de pi' que acabamos de conseguir 00:07:58
Y ya está 00:08:02
Veamos un ejemplo con números 00:08:03
Nos dan esta recta, nos dan este plano 00:08:06
Lo primero que hacemos es sacar el vector normal 00:08:11
Que sería, pues si tenemos 4, 3 y 7, pues 4, 3 y 7 00:08:16
Y automáticamente, pi' va a ser la recta que ya teníamos 00:08:22
Añadiéndole vector normal 00:08:29
Y ya solo queda calcular sus ecuaciones 00:08:32
Como siempre, tomamos los dos vectores 00:08:36
Hacemos el determinante, con ello calculamos la parte homogénea de la ecuación implícita, en este caso sale todo múltiplo de 17, dividimos entre 17 para mayor simplicidad y después evaluamos la ecuación que nos queda en el punto obteniendo este número y entonces el primer va a ser la unión de esta información. 00:08:41
Por último la recta R será el plano que teníamos al principio más el plano que acabamos de conseguir y ya está 00:09:08
¿Qué nos lo piden ecuaciones paramétricas? Bueno pues con esto calculamos la ecuación paramétrica como ya se sabe 00:09:23
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
22
Fecha:
26 de mayo de 2024 - 12:11
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Perpendicular común a dos rectas y proyección de una recta en un plano
Duración:
09′ 33″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
76.96 MBytes

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