Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Lo dado en clase el viernes 22 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

5 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a explicar lo que vimos en la última clase. 00:00:00
Antes de nada, pues habíamos explicado en clases anteriores, por ejemplo, que si tenemos el límite cuando x tiende a infinito de x al cubo más 3x cuadrado más 5 entre x a la 4 menos 8x más 3, 00:00:03
esto era igual al límite cuando x tiende a infinito de x al cubo partido por x a la 4. 00:00:16
Debido a que esta función en el infinito es equivalente a x al cubo y esta función en el infinito es equivalente a x4. 00:00:23
Esto es el límite cuando x tiende a infinito de 1 partido por x, que es 1 partido por infinito, que es infinito. 00:00:34
Bien, pues esto que tenemos aquí se puede generalizar a más funciones que tengan logaritmos, neperianos, exponenciales, etc. 00:00:41
Entonces vamos a generalizar un poco estos conceptos 00:00:51
Hemos visto en otros ejercicios que si tomamos la función por ejemplo x5 y x3 00:00:56
El límite cuando x tiende a infinito es infinito 00:01:03
Ello es porque la x al cubo crece mucho menos que la función x a la 5 00:01:09
Por ejemplo, para x igual a 100, esto vale 1.000.000, mientras que esto vale 10.000.000. 00:01:15
Bien, entonces, esto podremos explicarlo diciendo que la función x a la 5 es mayor que x al cubo. 00:01:29
Bueno, pues esta es la definición que hagamos de una forma más general. 00:01:39
dadas las funciones f y g 00:01:41
con límites en más o menos infinito 00:01:44
decimos que f es de mayor orden que g 00:01:47
simbolizándolo por esto 00:01:51
si el límite de f entre g es igual a infinito 00:01:53
bueno, pensad en un solo signo, ¿de acuerdo? 00:01:56
se quiere decir que esto es o más infinito o menos infinito 00:02:00
eso es equivalente a decir 00:02:02
que, dándole la vuelta 00:02:06
g partido de f, eso es pequeño 00:02:07
va a cero 00:02:10
Que sería decir que el límite cuando x tiende a infinito de x al cubo entre x5 es 0 00:02:11
Bien, entonces tenemos una comparación 00:02:19
Funciones donde g es menor que f y funciones donde g es mayor que f 00:02:23
Nos queda una última cosa y es decir cuando son del mismo orden 00:02:30
Y decimos que fije eso en el mismo orden cuando el límite sería acá, por ejemplo, serían las funciones 3x al cuadrado y x al cuadrado. 00:02:35
Pues esto, el límite, cuando x tiende a infinito es igual a 3, por tanto, pues el orden es el mismo. Crece igual de rápido. No es un único caso. 00:02:52
Bien, eso se puede aplicar del siguiente modo. 00:03:05
Si tenemos dos polinomios b y q y dos números a y b, pongamos 3 y 5, 00:03:12
entonces el logaritmo de cualquier polinomio tiene menor orden que cualquier otro polinomio distinto 00:03:19
y ese tiene menor orden que cualquier a elevado a x, que a su vez tiene menor orden que cualquier b elevado a x si b es mayor que a. 00:03:26
Veamos algunos ejemplos. 00:03:34
Bien, vamos a aplicar lo que hemos dado con estos límites. Aquí tenemos la teoría. En todos los casos tenemos siempre un infinito partido por infinito, porque eso tiene infinito, eso tiene infinito, eso también, eso también, eso también, eso también. 00:03:36
entonces vamos a tener siempre una indeterminación 00:03:57
al tener una indeterminación 00:04:01
para arreglar el problema 00:04:04
empleamos los órdenes de magnitud en el infinito 00:04:06
entonces, en el primer caso tenemos que 00:04:11
el denominador x al cubo menos 7x más 2 00:04:14
es un polinomio que es menor siempre que elevado a x 00:04:18
cuando me agrada el numerador, el denominador 00:04:21
el límite es infinito 00:04:24
En el segundo caso, tenemos un logaritmo de un polinomio, que esto es más pequeño que elevado a x siempre. 00:04:26
Entonces, pues el límite es cero, porque es más grande el denominador que el numerador. 00:04:37
En el siguiente, creo que tenemos dos cosas, un polinomio y un logaritmo arriba. 00:04:43
Bueno, aquí tenemos, hay que observar que x45 menos 4x a la 27, bueno, vamos a hacer una equivalencia antes para acercarnos a esto, ¿vale? 00:04:49
A ver, esto es equivalente al límite cuando x tiende a infinito de x a la 45, y el logaritmo es equivalente a solamente x a la 5, entre la edad de x. 00:05:02
Bien, pues el x45 por el logaritmo de x a la 5 es más pequeño que x a la 45 por x porque esto es más pequeño que esto 00:05:14
Porque cualquier logaritmo de un polinomio es más pequeño que cualquier polinomio 00:05:28
Esto es x a la 46 que es más pequeño que elevado a x 00:05:35
Por tanto, el denominador es más pequeño que el numerador 00:05:40
entonces el límite es 0 00:05:44
bien, y en la siguiente pues tenemos que 00:05:52
el denominador que está desalado a x es mucho más pequeño que 5 elevado a x 00:05:57
porque 3 es menos que 5 00:06:02
entonces el límite es infinito 00:06:04
no obstante se podría haber hecho de otro modo 00:06:07
que de hecho es lo que demuestra esto 00:06:09
y es porque esto es el límite cuando x tiende a infinito 00:06:11
de 5 tercios elevado a infinito 00:06:15
y como 5 tercios, perdón, elevado a x 00:06:17
y como 5 tercios es mayor que 1 00:06:21
pues este límite es infinito 00:06:25
vamos a ver otro paso más 00:06:27
cuando teníamos funciones 00:06:30
polinomios del tipo x5 00:06:32
más 4x4 00:06:34
menos 8x al cubo 00:06:37
menos 3x menos 1 00:06:38
esto es equivalente a la función x a la 5 00:06:39
es decir, que lo que mandaba 00:06:43
era x5 y lo demás pues era 00:06:47
pues no nos daba información de cara al límite 00:06:49
por menos en ese orden, bueno pues eso ocurre en general 00:06:54
si tenemos una función f mayor o igual que g 00:06:57
en este caso x5 pues mayor 00:07:00
que por ejemplo x4 00:07:03
entonces f más g es equivalente a f 00:07:05
que es lo que hacíamos todo el rato con los polinomios 00:07:10
esto es mayor que todo esto 00:07:13
Entonces, pues es equivalente a lo grande 00:07:15
Eso es muy fácil, vamos a demostrarlo 00:07:19
¿Qué tenemos que probar? 00:07:22
Tenemos que probar que el límite cuando x tiende a a, o a infinito, o lo que sea 00:07:23
De f más g partido por f 00:07:28
Eso tiene que ser 1 00:07:31
¿Pero esto cuánto es? 00:07:33
Eso es el límite cuando x tiende a a 00:07:35
De f partido por f más g partido por f 00:07:37
Y esto es 1 00:07:41
y esto tiende a cero porque f tiene mayor orden que g. 00:07:43
Por lo tanto, esto es igual a 1. 00:07:50
¿Y qué significa que esto sea igual a 1? 00:07:53
Pues por definición significa que f más g es equivalente a f. 00:07:55
Que es lo que tenemos que demostrar. 00:08:02
Bueno, pues vamos a explicar esto. 00:08:04
Vamos a ver estos límites. 00:08:09
Aquí tenemos pues varias funciones, un polinomio, 00:08:11
un logaritmo de un polinomio y un exponencial 00:08:14
pues claramente el exponencial es más grande que todo lo demás 00:08:18
con lo cual esto es igual al límite cuando x tiende a infinito 00:08:21
de menos 3 elevado a x más 3 00:08:27
vamos a ver el denominador, tenemos aquí un polinomio 00:08:30
aquí un 3 elevado a x y aquí un 2 elevado a x 00:08:37
3 elevado a x es más grande que 00:08:40
2 elevado a x 00:08:45
entonces pues 00:08:46
entonces la que manda es 00:08:49
3 elevado a x menos 1 00:08:52
bueno, aquí hay que hacer una observación 00:08:55
¿vale? 00:08:59
estamos con estas cosas 00:09:01
porque 00:09:02
3 elevado a x más 1 por ejemplo es 00:09:03
3 elevado a x por 3 elevado a 1 00:09:07
que es 3 por 3 elevado a x 00:09:10
entonces la función en particular 00:09:13
3 elevado a x 00:09:16
Multiplicar por un número no va a cambiar el hecho de que vaya infinito menos infinito 00:09:17
Con estas funciones se sobreentiende que si multiplico por un número 00:09:21
Y aquí por otro, pues va a ser la misma desigualdad 00:09:24
Entonces, por tanto, pues hablar de 3 elevado a x más 3 y 3 elevado a x es lo mismo 00:09:28
Bueno, pues calculamos esto 00:09:40
Esto es el límite cuando x tiende a infinito de menos 3x por 3 al cubo 00:09:44
partido por 3x por 3 a la menos 1 00:09:50
esto es igual al límite cuando x tiende a infinito de 00:09:56
bueno, esto y esto se pueden ir 00:09:59
y eso sería menos 3 elevado a 3 menos menos 1 00:10:02
que es menos 3 elevado a 4 00:10:07
y ese sería el límite 00:10:11
veamos el siguiente 00:10:14
tenemos aquí 4 elevado a x, 3 elevado a x 00:10:17
3 elevado a 2x más 1 00:10:21
2 elevado a x 00:10:23
y esto 00:10:24
hay que tener un poco de cuidado 00:10:25
porque lo más grande no es 5 00:10:26
a ver 00:10:29
vamos a comparar cosas 00:10:30
4 elevado a x es eso 00:10:31
3 elevado a 2x menos 1 que es 00:10:33
esto es 3 al cuadrado 00:10:36
a 2x por 3 elevado a menos 1 00:10:38
y esto es 3 al cuadrado 00:10:41
elevado a x 00:10:42
por 3 elevado a menos 1 00:10:43
esto es 9 elevado a x 00:10:45
por 3 elevado a menos 1 00:10:47
entonces 00:10:48
Entonces lo que indica la orden no es el 3, sino el 3 junto con este 2 que está aquí, ¿de acuerdo? 00:10:50
Y lo mismo aquí, con lo cual las bases que tendríamos en realidad, porque es menos 1 y hemos visto que no afecta, 00:10:59
Las bases que tendríamos aquí serían 4 elevado a x, 3 al cuadrado elevado a x, 5 elevado a x y 2 elevado a x. 00:11:09
Estas son las que tenemos que comparar. 00:11:23
Borro un momento lo que tenemos aquí para poder trabajar mejor. 00:11:25
Bien, entonces, pues de 4, 3 al cuadrado y 5, el mayor es 3 al cuadrado que es 9. 00:11:30
Por tanto, eso sería el límite cuando x tiende a infinito de 3 elevado a 2x menos 1 00:11:37
Y de aquí, de 3, 2 elevado a x y 3 elevado a 2, que es 9, la más grande es 3 al cuadrado 00:11:44
Con lo cual aquí pondríamos 3 elevado a 2x menos 1 00:11:52
Bueno, en este caso coincidencias son iguales, el límite es 1 00:11:56
Bien, hagamos la última 00:12:00
Aquí tenemos 3 elevado a 2x, 3 elevado a 2x y esta 00:12:04
Bueno, todos son del mismo orden, con lo cual no quitamos ninguno 00:12:10
Únicamente aplicamos las propiedades de las potencias 00:12:14
Esto es el límite cuando x tiende a infinito 00:12:19
De 3 elevado a 2x por 3 elevado a menos 1 00:12:23
Menos 3 elevado a 2x por 3 elevado a 1 entre 3 elevado a 2x 00:12:26
Eso es el límite cuando x tiende a infinito 00:12:33
De 3 elevado a 2x 00:12:36
Factor común 00:12:39
Sacamos factor común 00:12:40
3 a la menos 1 00:12:41
Más 3 00:12:43
Entre 3 a 2x 00:12:45
Ahora bien, bueno 00:12:48
Esto y esto se va 00:12:49
Y 3 a la menos 1 más 3 00:12:51
Es 1 tercio más 3 00:12:54
Que es 4 tercios 00:12:56
El límite sería 4 tercios 00:12:58
y así se realizarían todos estos límites 00:13:01
bien 00:13:04
no obstante hay que tener cuidado con otras cosas 00:13:09
vamos a ver 00:13:13
hemos dicho que 00:13:14
de acuerdo 00:13:16
el logaritmo de un polinomio 00:13:17
es más pequeño que otro polinomio 00:13:21
de acuerdo 00:13:23
pero no confundamos lo que ocurre con esas cosas 00:13:24
cuando tenemos exponenciales y logaritmos 00:13:27
las cosas funcionan de forma diferente 00:13:30
vamos a verlo 00:13:32
voy a hacerlo primero mal 00:13:35
y luego voy a hacerlo bien, voy a hacer lo que estaría mal 00:13:36
pues mira, aquí tenemos que el logaritmo 00:13:43
el x a la 5 es mayor o igual que x a la 4 00:13:48
por tanto el de arriba es más grande que el de abajo, esto es infinito 00:13:52
bueno, pues eso está mal, vamos a ver por qué 00:13:56
borro y seguimos, aquí tenemos 00:13:59
una quebrancia que es el límite cuando x tiende a infinito 00:14:05
Y aquí tenemos, pues, lo de adentro sí que es equivalente al logaritmo de x elevado a 5 00:14:09
Y eso sí que es equivalente al logaritmo de x elevado a 4 00:14:16
Ahora bien, aplicando las propiedades de los logaritmos 00:14:19
Tenemos el límite, cuando x tiende a infinito, de 5 logaritmo de p1 de x entre 4 logaritmo de p1 de x 00:14:23
Ahora, esto se va y el límite es 5 cuartos 00:14:30
Muy distinto a menos infinito 00:14:35
cuando tenemos logaritmo de polinomios 00:14:37
la casa como veis cambia mucho 00:14:40
cada cosa tiene sus reglas 00:14:42
lo que tenemos es que el logaritmo de un polinomio es menor que esto 00:14:44
no otra cosa 00:14:46
sigamos 00:14:48
aquí tenemos otra cosa donde vamos a razonar primero mal 00:14:50
vamos a poner primero lo que está mal 00:14:57
etc 00:14:59
lo que está mal sería decir 00:15:00
bueno pues como el de arriba es equivalente a x al cuadrado 00:15:03
entonces tenemos el límite cuando x tiende a infinito 00:15:06
de elevado a x cuadrado entre elevado a x cuadrado 00:15:13
queda 1 00:15:16
y nos quedamos tan tranquilos 00:15:17
bueno, pues no, eso estaría mal 00:15:19
porque esta propiedad no la hemos demostrado 00:15:21
hemos demostrado, hemos puesto que 00:15:22
elevado a x es más grande que cualquier polinomio 00:15:25
pero no hemos dicho nada 00:15:28
de los exponentes de los polinomios 00:15:29
de elevado a x 00:15:31
vamos a ver lo que pasaría 00:15:32
borro lo que hay y seguimos 00:15:34
a ver, este límite es el mismo 00:15:35
que si hacemos 00:15:41
elevado a x cuadrado más 3x menos 1 00:15:44
y le restamos lo que hay en el denominador, x cuadrado menos 2x 00:15:48
Eso es el límite cuando x tiende a infinito 00:15:53
de elevado a x cuadrado más 3x menos 1 00:15:56
menos x cuadrado más 2x. Y ese es el límite cuando x tiende a infinito 00:16:01
de elevado a x cuadrado y x cuadrado se va 00:16:05
y nos quedaría el 5x menos 1 00:16:10
Y eso es fácil de calcular 00:16:15
Porque 5x menos 1 tiende a infinito 00:16:17
Tenemos e elevado a infinito 00:16:21
Y esto es infinito 00:16:23
Así que el límite es infinito 00:16:27
Muy distinto de lo que daría 00:16:31
Bien, nos quedaría este ejemplo de aquí 00:16:32
Que parece un poco más complicado de ver 00:16:35
Porque tenemos diferente base 00:16:38
Bueno, esto no me dio tiempo de darlo en clase 00:16:39
Lo vemos en el siguiente vídeo 00:16:42
Teniendo la solución 00:16:46
solamente mencionar que 00:16:47
hay algunas reglas que podemos sacar de aquí 00:16:50
la primera es que si tenemos logaritmos 00:16:52
bueno, todo eso también lo explicaré en el otro vídeo 00:16:54
así que 00:16:58
así que nada, pues 00:17:01
seguid con el siguiente vídeo 00:17:05
y ya habréis terminado toda la parte de 00:17:10
límites 00:17:12
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
5
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:36
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Lo dado en clase el viernes 22
Duración:
17′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
156.36 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid