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Introducción a los límites de funciones. - Contenido educativo

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Subido el 9 de enero de 2026 por Roberto A.

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Bueno, venga. Empezamos. Silencio, por favor. Hola. Claudia, aquí ya es una enmienda de 00:00:00
año nuevo. Ya habla menos, que te cunde. Bueno, hoy es 9, con premio también de enero 00:00:10
ya. Ojo. Del 2026. A ver. Dime, hija. No, bueno, está todo relacionado. Pero en principio 00:00:17
nosotros empezamos ahora un bloque nuevo, ¿vale? Que es el bloque de análisis. El primer bloque que 00:00:27
vimos, si recordáis, fue álgebra, donde vimos las matrices, los determinantes, las ecuaciones 00:00:35
matriciales, la resolución de ecuaciones por gauss y todo eso. ¿Os acordáis? Luego hemos estado 00:00:41
viendo geometría, sobre todo geometría en el espacio, y ahora empezamos ya con el bloque de 00:00:49
análisis. El bloque de análisis la verdad que es súper extenso, ¿de acuerdo? Entonces sí que hay una 00:00:54
parte que ya visteis el año pasado en primero, que era pues funciones, representación de funciones, 00:00:59
estuvisteis también viendo las derivadas y luego también aplicaciones de las derivadas. Entonces 00:01:08
esta primera parte, el examen será sobre mediados de febrero, ¿de acuerdo? Vamos a ver temas en 00:01:14
principio, ¿vale? Empezamos con el tema 8, que rima con la vida, que es límites y continuidad, ¿vale? 00:01:23
Límites y continuidad, ¿de acuerdo? Entonces, de límites ya visteis el año pasado. Entonces, 00:01:37
sí que he subido en el aula virtual que, por cierto, ¿habéis hecho la encuesta? Pues la 00:01:44
ha aumentado a tiempo. Os digo porque no vais a poder entrar en el tema 8 o era la nota 00:01:50
de los exámenes, no me acuerdo ahora, hasta que no me hagáis la encuesta, ¿vale? Es una 00:01:58
forma de obligaros, entre comillas, que me hagáis la encuesta, ¿vale? Entonces, en límites 00:02:02
y en continuidad, he subido unos apuntes que son de repaso del año pasado, que echarle 00:02:10
un vistazo y, por supuesto, nos vamos a centrar nosotros siguiendo el libro, ¿vale? A ver 00:02:18
un poco, sin entrar en la definición, que bueno, la definición sería buena que la 00:02:28
supierais, pero es demasiado teórica de lo que yo quiero que sepamos interpretar lo que 00:02:34
es el límite de una función, ¿vale? Entonces, no sé si os acordáis del año pasado cuando 00:02:40
visteis sucesiones, os acordáis 00:02:46
un poco de sucesiones, donde siempre 00:02:48
los límites, que es donde empezábamos 00:02:50
a ver los límites, era siempre cuando 00:02:52
la n tendía infinito 00:02:54
y entonces había una serie de 00:02:56
de pautas 00:02:58
y de indeterminaciones que son 00:03:00
súper importantes, que recordemos 00:03:02
que era cuando a lo mejor teníamos una 00:03:04
una sucesión racional 00:03:06
es decir, un cociente, y entonces 00:03:08
nos daba infinito partido de infinito 00:03:10
y ahí 00:03:12
comparábamos los infinitos 00:03:13
entre ellos o si había raíces 00:03:16
teníamos que multiplicar y dividir 00:03:19
por el conjugado, no sé si eso lo recordáis 00:03:21
luego también 00:03:23
cuando nosotros teníamos uno elevado 00:03:23
a infinito, pues era el número e 00:03:27
y teníamos que hacer una serie de operaciones 00:03:28
también para 00:03:31
ver esa indeterminación 00:03:32
a que tendría, ¿de acuerdo? 00:03:34
bueno, pues 00:03:37
luego lo aplicamos 00:03:38
el año pasado también en análisis 00:03:41
ya en vez de con la n 00:03:43
pues ya era nuestra x famosa, nuestra incógnita, donde nosotros estudiábamos tanto ya cuando la x tendía más infinito a menos infinito 00:03:45
y luego también hallábamos el valor del límite de una función en un punto. 00:03:55
Entonces, ¿qué es lo que yo quiero que os quedéis con la palabra límite? 00:04:01
La palabra límite es súper importante y se utiliza muchísimo en ingeniería y en otros campos también 00:04:04
Porque al final tú tienes una función y tú lo que estás viendo es hacia dónde se acerca esa función cuando la x vale un valor predeterminado. No importa, la verdad, cuando tú tienes el límite, no me importa el valor de la función en ese punto. 00:04:13
y eso es súper importante porque 00:04:33
mucha gente se hace un lío, ¿de acuerdo? 00:04:35
De hecho, puede existir el 00:04:37
límite de una 00:04:39
de una función 00:04:41
cuando la x tiende a un valor 00:04:43
y no existir el valor 00:04:45
no existir la función 00:04:47
en ese punto. No sé si me estoy explicando 00:04:49
ahora lo vamos a ver tanto gráficamente 00:04:51
como luego analíticamente 00:04:53
¿Te han traído gafas los reyes aquí ya? 00:04:55
No, estoy de alegría 00:04:57
Hayo más, hayo más, estás monísima 00:04:59
Bueno, Artema 00:05:01
Fernanda, lo que yo quiero que veáis son varias 00:05:03
cosas. Una de ellas es que el límite 00:05:05
es independiente del 00:05:07
valor de una función 00:05:09
del valor de la función 00:05:11
en ese punto, ¿de acuerdo? Puede existir 00:05:13
el límite sin existir el 00:05:15
valor de esa función 00:05:17
en el límite, inclusive 00:05:19
el límite, por ejemplo, puede tender a 2 00:05:20
y la función vale 4, vale 00:05:23
menos 8, vale otra cosa diferente 00:05:25
y existir, existe el límite 00:05:27
luego vamos a ver su aplicación 00:05:30
gráfica, ¿de acuerdo? Entonces, vamos 00:05:34
a Fernanda. 00:05:37
Empezamos aquí, lo que yo quiero que veáis conmigo 00:05:43
un poco es que 00:05:45
nosotros aquí cuando 00:05:47
resolvemos el límite de una función 00:05:51
¿qué es lo primero que tenemos que hacer nosotros cuando 00:05:54
resolvemos el límite de una función? 00:05:57
Si yo tengo que hacer este ejercicio, por ejemplo, este de aquí, 00:06:01
¿cómo hallo de una forma práctica los límites que luego ya, en función de lo que me dé, 00:06:08
pues tendré que hacer unas cosas u otras? 00:06:16
¿Qué es lo primero que tenemos que hacer para ya el límite de una función? 00:06:18
¿Os recordáis? Lo primero, sustituir. 00:06:22
¿Vale? Sustituir, sustituir la x o la variable, ¿vale? La variable por el valor al que tiende, por el valor al que tiende. 00:06:26
Y aquí es muy importante también, es el valor al que tiende y esto mucha gente no lo asimila. 00:06:45
Es decir, cuando yo quiero hallar el límite de una función cuando x tiende a 2, por ejemplo, cuando x tiende a 2, realmente la x no vale 2, ¿vale? Vale 2,00000000, me muero yo, mis hijos, mis nietos, la gente llorando por la calle, un 1, ¿vale? 00:06:55
O 1,999999, me muero yo, mis hijos, la gente, ¿vale? 9, pero no llega a 2. Y esto es súper importante, y esto es súper importante porque nosotros, ¿qué es lo que nunca se puede hacer en matemáticas, en la división? Nunca puedes dividir entre 0, ¿de acuerdo? 00:07:17
Entonces, ¿por qué nos permite los límites muchas veces operar con cosas que realmente son cero, pero no lo son? Pues precisamente los límites, ¿de acuerdo? Los límites. 00:07:37
Entonces, en este tema, que es la verdad que bastante denso, pero sobre todo es muy importante, sobre todo para el resto, nosotros tenemos que saber muy bien varias cosas. 00:07:54
vamos a estudiar límites de una función 00:08:07
tanto en el infinito con el menos infinito 00:08:12
como en puntos concretos. 00:08:16
Si nos dan indeterminaciones, que las veremos nosotros, 00:08:18
vamos a tener que hacer los límites laterales, 00:08:20
que ya lo hicisteis el año pasado. 00:08:23
No sé si os acordáis para hallar las asíntotas, 00:08:25
que las asíntotas yo siempre las defino como siempre. 00:08:27
Es como cuando sales por la noche, te arrimas mucho, 00:08:30
te arrimas mucho, pero no llegas. 00:08:32
¿Vale? Eso es una asíntota. 00:08:34
No tocas, no tocas, pero te arrimas lo máximo que puedes. Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que las asíntotas son muy importantes también a la hora de la economía, de la ingeniería, de la construcción, ¿vale? Porque es algo a lo que va a atender, a lo que va a intentar llegar, pero nunca llega, ¿de acuerdo? Entonces tú te haces una composición de lugar en tus costes, en tus beneficios, en todo tu proceso productivo, ¿de acuerdo? 00:08:36
¿Estás bien, Leo? ¿Eres feliz? 00:09:06
Sí, bueno, yo también. 00:09:08
Entonces, ¿qué más? 00:09:09
Vamos a estudiar la continuidad. 00:09:12
Y para la continuidad es súper importante saber hacer límites. 00:09:14
¿De acuerdo? 00:09:18
Y luego vamos a ver la derivabilidad de una función y su aplicación. 00:09:18
Y eso sí que es súper importante. 00:09:23
¿De acuerdo? 00:09:25
Entonces, tenéis que repasar derivadas, que eso ya es el tema 9. 00:09:26
¿De acuerdo? 00:09:29
Otra vez la veremos nosotros y haremos derivadas. 00:09:30
Pero sobre todo vamos a ver su aplicativo, es decir, vamos a recordar otra vez, aprender a calcular máximos y mínimos. Entonces yo luego os daré una definición de qué es la derivada de una función en un punto, lo que es su versión geométrica, porque si tenemos claro eso, luego nos va a ser mucho más fácil saber interpretar lo que nos piden. 00:09:34
Porque mucha de la gente se aprende la mecanicidad de hacer máximos y mínimos y no saben lo que está haciendo. 00:09:57
Entonces, si tú tienes claro lo que significa la derivada de una función en un punto, 00:10:04
vas a ganar muchos puntos a tu favor a la hora de hacer ejercicio y saber lo que te están pidiendo y demás, ¿vale? 00:10:10
Entonces, lo primero que tenemos que hacer es sustituir la x por el valor que tiene. 00:10:19
Entonces, por ejemplo, si yo tengo aquí el límite en x, estoy aquí, ¿vale? 00:10:23
En el límite de x cuadrado cuando x tiende a más infinito. 00:10:27
Yo que lo que hago, sustituyo la x por más infinito, más infinito al cuadrado, ¿cuánto es? 00:10:31
Más infinito. Pues ese es el límite. 00:10:37
Y aquí, si tengo más infinito de x al cubo, más infinito también. 00:10:39
Pero si yo tengo aquí límite de x al cubo cuando x tiende a menos infinito, ¿cuánto sería? 00:10:44
Menos infinito. ¿De acuerdo? 00:10:53
Y aquí, chavales, ¿cuánto creéis que vale el límite de x al cubo menos x cuadrado cuando x tiende a más infinito? 00:10:55
Esto realmente, chavales, esto realmente sería infinito menos infinito. 00:11:10
Y eso es una indeterminación, ¿vale? 00:11:16
Que lo repasaremos, ¿de acuerdo? 00:11:18
Pero entonces aquí entra en juego la comparación de infinitos, ¿de acuerdo? 00:11:21
La comparación de infinitos. 00:11:26
¿Qué crece más? ¿Algo al cubo o algo al cuadrado? 00:11:27
¿Algo al cubo siempre? 00:11:32
¿Cuándo no? 00:11:35
Repito la pregunta. 00:11:40
Cuando su valor absoluto, su valor absoluto esté entre menos uno y uno, ¿vale? 00:11:45
Cuando su valor absoluto sea menor que 1, no cuando sea menor que 1, ¿vale? 00:11:56
Cuando tú tienes algo, por ejemplo, el 0,1, ¿vale? 00:12:00
El 0,1 al cubo, ¿sabéis cuánto vale 0,1 al cubo? 00:12:04
I don't know. 00:12:12
Eso entre 1. 00:12:13
¿Eso? 00:12:15
0,1 entre 1. 00:12:16
No, 0,1 al cubo. 00:12:18
Vas encaminado. 00:12:23
0,1 entre 0,1. 00:12:24
Perfecto. 00:12:25
1 entre 1. 00:12:26
¿Vale? 00:12:27
1 entre 1, que es una milésima. 00:12:28
Y 0,1 al cuadrado, una centésima, ¿vale? 00:12:30
Entonces, cuando tú tienes, por ejemplo, si tienes 2, el 2 es fácil, ¿no? 00:12:37
2 al cubo, 8, que rima con la vida, 2 al cubo es 8, y 2 al cuadrado, 4, ¿vale? 00:12:41
Cuando tú tienes un número cuyo valor absoluto es mayor que 1, 00:12:51
si tú lo elevas a una potencia mayor, es cada vez más grande. 00:12:54
Sin embargo, cuando tú tienes un valor que está entre menos 1 y 1, al elevarlo a una potencia mayor, cada vez más chico, ¿vale? 00:12:58
Entonces, en este caso, como es más infinito, hoy me daría igual con menos infinito, ¿de acuerdo? 00:13:06
Con más infinito, esto daría realmente, aunque es una indeterminación infinito menos infinito, da más infinito por comparación de infinitos. 00:13:12
Dime ahí. 00:13:22
Ahora lo vamos a ver gráficamente, ¿vale, Claudia? 00:13:26
Entonces, chavales, bueno, aquí lo hemos hecho. 00:13:28
Mira, aquí, por ejemplo, ¿cuánto valdría esto que lo hemos dicho ya? 00:13:33
Infinito positivo. 00:13:37
¿Esto cuánto valdría? 00:13:38
Menos infinito. 00:13:40
¿Y esto cuánto valdría, chavales? 00:13:41
Menos infinito también. 00:13:46
esto realmente sería 00:13:48
menos infinito 00:14:00
¿vale? menos infinito 00:14:02
y si tú a menos infinito le restas menos infinito 00:14:04
¿qué te queda? menos infinito 00:14:07
¿vale? esto no preocupa 00:14:09
hombre, esto lo deberíamos de saber más que nada 00:14:11
porque esto es de primero 00:14:13
¿vale? pero bueno 00:14:15
lo repasamos así una mijita 00:14:16
Aquí que quizás se ve mejor. ¿Cuánto valdría el límite de x cuadrado cuando x tiende a 2? Pues directamente un 4. 00:14:18
Sustituyo, si nos vamos a la parte sería 2 al cuadrado es igual a 4. 00:14:32
Y me pregunta, ¿la x vale 2 realmente? No, la x no vale 2, la x tiende a 2 y cuando la x tiende a 2 es que realmente yo me estoy aproximando tanto a la izquierda y a la derecha, que aquí no tiene sentido hacerlo todavía laterales, vamos a ver cuándo tiene sentido hacer los límites laterales, ¿vale? 00:14:38
pero la x tiende a 2 00:15:02
y cuando yo sustituyo, si aquí nos ponemos 00:15:04
con la calculadora, yo me pongo 00:15:06
el 1, pues el 1 00:15:08
es 1 al cuadrado, es 1, pero 1,5 00:15:10
1,5 al cuadrado cada vez se acerca más a 4 00:15:12
el 1,9 00:15:14
pues va a ser casi 4, el 1,99 00:15:16
tal, 1, cuando 00:15:19
ya tengo un 1,9999 00:15:20
prácticamente me va a dar el 4 00:15:22
¿de acuerdo? y si yo voy 00:15:24
por la derecha, digamos, ¿cuánto 00:15:26
vale 3? pues 3 es 9, estamos 00:15:28
alejado, ¿verdad? Pero 2,5 00:15:30
¿cuánto vale? Pues ya se aproxima 00:15:32
un poquillo más a 4, el 2,1 00:15:34
el 2,05, el 2,0001 00:15:36
pues también 00:15:39
llega a 4, entonces es súper importante 00:15:40
cuando hagamos los límites 00:15:42
aunque la x tienda a 2 00:15:44
y nosotros sustituyamos 00:15:46
la x por 2 00:15:48
la x realmente 00:15:50
no vale 2 00:15:52
son valores muy 00:15:53
muy muy muy cercanos a 2 00:15:56
En este caso, 1,9999 o 2,0000001. 00:15:58
¿Eso lo tenemos que tener claro? 00:16:06
¿Sí? 00:16:07
¿Third thing? 00:16:08
Ok. 00:16:09
Chavales, aquí, por ejemplo, este de aquí. 00:16:12
El límite... 00:16:14
A ver si estamos... 00:16:16
Ya te voy a poner esto aquí, pero no sé si afecta. 00:16:18
El límite, ¿vale? 00:16:21
De x al cubo menos 5x cuadrado más 3. 00:16:24
cuando x tiende a 2? 00:16:28
Pues igual, ¿verdad? 00:16:30
Sustituyo, ¿no? 00:16:32
Esto es 2 al cubo menos 5 por 2 al cuadrado más 3. 00:16:33
Esto es 8 menos 20 más 3. 00:16:39
Esto es menos 9 con premio también. 00:16:43
¿Lo veis, chavales? 00:16:46
¿Sí o no? 00:16:47
Sí. 00:16:48
Es, en principio, sustituir. 00:16:49
¿De acuerdo? 00:16:52
A ver si alguien me sabe decir cuánto vale este. 00:16:53
El límite. 00:16:57
Bueno, vamos a ir primero a este de aquí, ¿vale? 00:16:58
El límite de 1 partido de x cuando x tiende a más infinito. 00:17:01
Esto realmente, chavales, cuando pongáis el infinito, 00:17:13
una indeterminación la ponéis entre llaves, ¿vale? 00:17:17
Esto sería realmente 1 partido de infinito. 00:17:20
Es decir, el infinito siempre, cuando lo sustituyáis, 00:17:22
queréis poner infinito, lo ponéis 00:17:27
entre llaves, ¿de acuerdo? 00:17:29
Y si hay una indeterminación, en plan cero partidos 00:17:31
de cero, que ya las veremos y demás, 00:17:33
uno partido de infinito. Y una división 00:17:35
¿qué es siempre, chavales? 00:17:37
¿Qué es siempre una división? 00:17:39
Un, cuando tú divides algo 00:17:41
¿qué haces realmente? 00:17:45
¿Qué haces? 00:17:46
¡Que ya! 00:17:49
Por ejemplo, ¿no? 00:17:52
Mira, te queremos, Guillo. 00:17:54
Cuando tú haces una... Repartís. 00:17:55
¿Vale? Repartir hostias. 00:17:59
¿Vale? Entonces, cuando tú haces 00:18:01
un reparto, chavales, fijaros aquí. 00:18:02
Estoy repartiendo un caramelito 00:18:04
entre infinita gente. 00:18:06
¿A qué cabemos? 00:18:09
Ni a una a la mía, ¿no? Es que no cabe a nada. 00:18:10
Entonces, ¿esto realmente 00:18:13
cuánto es, chavales? 00:18:15
Porque estás repartiendo 00:18:20
un caramelito entre 00:18:21
todos los habitantes del mundo. ¿A qué cabemos, guía? 00:18:23
A un mojón. 00:18:27
A un mojón. Cabemos a un mojón. 00:18:28
Si es aquí en esta clase, tú reparte en esta clase un caramelo. ¿A qué cabemos? No cabemos a nada, ¿vale? Entonces, chavales, también súper importante, ¿de acuerdo? Súper importante. 00:18:30
Ya lo veremos de todas formas. Cuando yo tengo K partido de cero, esto ya lo veremos, ¿vale? Cuando tengo K partido de cero, ¿alguien me sabe decir esto cuánto es? Esto realmente es una indeterminación, ¿vale? Una indeterminación. 00:18:45
Esto ya lo veremos más tranquilamente, ¿vale? 00:19:08
Pero para recordar, aquí, efectivamente, como dice aquí el Miki Naki, 00:19:11
aquí tenemos que hacer los límites laterales, ¿vale? 00:19:18
Tenemos que hacer los límites laterales. 00:19:22
Entonces, chavales, si yo tengo K partido de 0 positivo, 00:19:24
¿esto realmente a cuánto vale? 00:19:32
Más infinito 00:19:34
Más infinito 00:19:37
¿Sí? 00:19:39
¿Sí? 00:19:43
Sendón, dime algo 00:19:45
Venga 00:19:46
Yo tengo un número, ¿vale? 00:19:49
Un número que no es cero, ¿vale? 00:19:52
K es distinto de cero 00:19:54
Súper importante, ¿vale? 00:19:55
Y lo divido entre cero positivo 00:19:57
¿Cero positivo qué significa, chavales? 00:20:00
Que es cero coma cero cero cero cero cero cero cero cero cero cero 00:20:02
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1. 00:20:06
¿Vale? 00:20:08
¿Y esto cuánto da? 00:20:09
Depende del valor de la K. 00:20:11
Muy bien, very good. 00:20:12
¿Tú ves cómo Sendón estaba ahí atenta? 00:20:14
Bueno, se me ha ido, pero ha vuelto. 00:20:17
¿Por qué? 00:20:19
Porque si es negativo la K, la negativo. 00:20:20
¿Vale? 00:20:25
¿Y si la K es positiva? 00:20:25
Positiva. 00:20:27
¿Entendéis eso, chavales? 00:20:28
Esto es que os va a aparecer mogollón sobre todo en las asíntotas. 00:20:30
En las asíntotas verticales. 00:20:33
Espero que todo el mundo sepa la diferencia entre horizontal y vértica. 00:20:35
¿Todo el mundo sabe la diferencia entre horizontal y vértica? 00:20:39
¿Seguro? 00:20:43
Artema Fernanda. 00:20:45
Entonces, cuando yo tenga K partido de 0 positivo, como bien ha dicho Sendón, 00:20:46
si la K es positiva, esto es más infinito, porque positivo entre positivo, ¿cuánto es? 00:20:52
Positivo. 00:21:00
Pero si mi k es negativa, ¿esto qué sería? Negativo entre positivo, ¿cuánto es? Menos infinito. Y chavales, si yo ahora tengo k partido de cero negativo, la k es distinta de cero, pues igual, ¿no? 00:21:00
¿Qué ocurre si la k es positiva ahora, chavales? 00:21:18
¿A cuánto tiende? 00:21:21
A menos infinito, muy bien, Andrés y yo. 00:21:23
Y si la k es negativa, a más infinito. 00:21:26
¿Pero sabéis por qué? 00:21:31
Por la regla de los signos, ¿de acuerdo? 00:21:32
Más entre más es positivo, más entre menos es negativo, ¿vale? 00:21:35
Entonces, cuando tenemos dos signos iguales en la división es positivo, 00:21:40
cuando tenemos dos signos distintos en la división 00:21:43
negativo 00:21:46
¿vale? esto os va a parecer chavales 00:21:48
mogollón 00:21:50
vamos a tenerlo claro desde ya 00:21:51
¿vale? 00:21:53
everything power ranger 00:21:55
entonces chavales, aquí en este 00:21:57
caso, el 1 partido 00:22:00
de x cuando x tiende a infinito 00:22:02
es 0 00:22:04
¿de acuerdo? 00:22:05
y este de aquí, cuando uno 00:22:07
cuando el límite 00:22:09
el límite de 1 partido de x cuadrado 00:22:12
cuando x tiende a más infinito, ¿cuánto es? 00:22:14
pero también, y aquí 00:22:19
chavales 00:22:21
este de aquí lo voy a 00:22:21
poner aquí un poquito, límite 00:22:24
cuando x partido de x cuadrado 00:22:26
más 1 00:22:29
x tiende 00:22:30
a más infinito 00:22:32
¿alguien me sabe decir esto? si yo lo sustituyo 00:22:34
¿qué me sale chavales? 00:22:37
infinito partido de infinito 00:22:38
¿y eso qué es? 00:22:40
Vale, esto lo tenéis que poner siempre en el examen 00:22:41
Indeterminación 00:22:44
Y no me pongáis 00:22:46
IND ni nada 00:22:48
Indeterminación, ¿de acuerdo? 00:22:49
Y siempre que pongamos una división 00:22:52
Entre cero o un 00:22:54
Infinito partido de infinito 00:22:56
¿De acuerdo? Bueno, una división entre cero 00:22:57
Un cero más o un cero menos 00:22:59
Lo ponemos entre 00:23:01
Entre llaves, ¿vale? 00:23:02
Entonces, chavales 00:23:06
¿Alguien me sabe decir más o menos 00:23:07
intuye cuánto vale 00:23:09
real... ¡Qué coño! 00:23:11
¿Cuánto vale realmente esto? 00:23:13
¿Y por qué? 00:23:17
Porque efectivamente, ¿vale? 00:23:21
En las racionales, 00:23:23
esto es una función racional. 00:23:25
¿Vale? Una función racional 00:23:28
que es de dónde viene la razón. 00:23:29
De una 00:23:30
división. 00:23:31
¡Olé! Mira a mi Claudia siendo 00:23:34
el jefe brandante. 00:23:36
Esta de aquí, esta de aquí, sí, ahora hace cosillas así como tú dices, porque esto, 00:23:39
¿alguien me sabría decir, no sé si os acordáis, cuál sería, tendría asíntota vertical, 00:23:52
perdona, asíntota horizontal? 00:23:59
Sí, eso siempre es una asíntota, o depende, la no sé. 00:24:03
¿Tiene asíntota horizontal o no? 00:24:11
Eso digo yo, ¿por qué no? 00:24:15
Sorry. 00:24:21
Horizontal. 00:24:22
Volvemos a lo mismo. 00:24:23
¿Tú sabes diferenciar? 00:24:25
¿Tú sabes diferenciar entre horizontal y vertical? 00:24:27
Horizonte. 00:24:30
¿Ey? 00:24:31
Ella. 00:24:32
¿Y vertical? 00:24:33
Una V que pasa por el nido en palito. 00:24:35
¿AV? 00:24:41
¿AV? 00:24:44
Parecía. 00:24:54
Parecía. 00:24:55
Lo que pasa... 00:24:55
No, no, no está bien. 00:24:56
No está bien. 00:24:58
No, ahora te explico por qué. 00:24:59
Eso es si tuviera una asíntota 00:25:01
vertical en X igual a cero. 00:25:03
Y esta no la tiene. 00:25:07
Pero, no, no... 00:25:09
Pero es importante que recordemos un poquillo, es que esto es de primero, ¿vale? Entonces, chavales, ¿esto tiene asíntota horizontal o no? ¿Cuánto vale la asíntota horizontal? Cero, ¿vale? Esto gráficamente, Claudia, esto es un mojón, como habrás visto. 00:25:11
Esto yo no sé muy bien cómo es, pero me hago un boceto, una idea, ¿vale? 00:25:30
Esto es menos infinito tiende a cero y es más infinito tiende a cero, ¿de acuerdo? 00:25:35
Thank you very much. 00:25:43
Y ahora, chavales, ¿alguien me sabe decir el dominio de esta función? 00:25:44
Recordad cosillas, esto lo vamos a ver todo, ¿eh? 00:25:48
Ah, no, mire, se te anude. 00:25:54
Todos los reales. 00:25:56
Todos los reales. 00:25:56
¿Pero sabéis por qué son todos los reales? 00:25:58
Porque si tú a algo positivo, que es un x al cuadrado, le sumas un 1, va a ser alguna vez 0 natillas. 00:26:02
Otra cosa es que tuviera aquí un menos 1, que entonces tendría dos asíntotas verticales, en el 1 y en el menos 1. 00:26:10
En este caso, ¿no? Entonces, esto será una cosa como así, una cosilla así, ¿vale? Una cosilla así, ¿vale? Porque en X igual a cero, ¿vale? Cero y, vamos, no sé la forma gráfica exacta, pero será una cosilla así parecida, ¿vale? 00:26:18
Esto ya lo daremos a partir de febrero, ¿vale? Lo que es la representación de funciones, ¿de acuerdo? Pero es que para poder representar funciones, chavales, tenemos que tener muy claro muchas cosas. Límites, continuidad, derivabilidad, aplicación de derivadas con máximos y con mínimos y sobre todo las asíntotas horizontales, asíntotas verticales, todo lo que a mí me dé una idea de poder hacer un boceto. 00:26:42
de una gráfica. 00:27:12
¿Vale, chavales? 00:27:15
¿Sí? 00:27:16
Y vamos a recordar esta. 00:27:18
Esta de aquí, chavales. 00:27:20
¿Qué se hacía cuando el límite es menos infinito? 00:27:21
¿Alguien recuerda un truquillo que se hacía? 00:27:27
Hay una cosa súper importante, ¿vale? 00:27:31
Pues yo tengo límite de f de x, ¿vale? 00:27:34
Cuando x tiende a más infinito. 00:27:37
Y mi f de x, si no recuerdo mal, era x partido x cuadrado más 1, ¿verdad? 00:27:40
Cuando x tiende a más infinito, ¿vale? 00:27:46
Pues si yo tengo el límite de f de x cuando x tiende a menos infinito, chavales, 00:27:49
esto, un truco para aprendernos únicamente los límites cuando x tiende a infinito, 00:27:57
Esto es igual al límite, en vez de menos infinito, más infinito, pero de f de menos x, ¿vale? Esto es súper importante, ¿vale, chavales? Esto también lo visteis el año pasado, otra cosa es que os acordéis, ¿vale? 00:28:02
Pero eso es así, como dicen en mi pueblo, ¿vale? 00:28:21
El límite de f de x cuando x tiende a menos infinito es igual al límite cuando x tiende a más infinito, 00:28:25
pero de f de menos x. 00:28:31
¿Cómo se traduce en esta función, chavales? 00:28:33
¿Cómo se traduce en esta función? 00:28:36
Pues esto sería el límite cuando x tiende a más infinito de menos x, ¿verdad? 00:28:38
Y aquí que pongo menos x al cuadrado más 1. 00:28:46
Es decir, donde yo tenga una x, yo pongo una menos x. 00:28:49
¿Sí, Martín? 00:28:54
¿Eres feliz? 00:28:55
Olé, forever and ever. 00:28:57
¿Vale? 00:28:59
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:28:59
Que esto sería, chavales, menos x partido... 00:29:01
¿Cuánto es menos x al cuadrado? 00:29:04
X al cuadrado. 00:29:07
¿Vale? 00:29:10
Y esto alguien me sabe decir cuánto vale. 00:29:13
Ostras, pues toda la representación... 00:29:16
Ah, no, vale. 00:29:17
La representación que he hecho antes está mala. 00:29:18
Ah, esto es cero, sí, sí, está bien 00:29:20
Perdona, ¿vale? 00:29:24
Esto va de cero 00:29:27
Y es cero, ya lo veremos también por comparación de infinitos 00:29:28
Es decir, cuando yo tengo en una función racional 00:29:31
Una función racional 00:29:33
Y me da infinito 00:29:35
Esto realmente, chavales 00:29:37
Esto sería menos infinito partido de infinito 00:29:38
Que es una indeterminación 00:29:42
¿Vale? 00:29:43
Y aquí se pone por comparación de infinitos 00:29:46
Esto ya os digo que lo veremos más detenidamente 00:29:49
Por comparación de infinitos 00:29:52
Al final, ¿cuál es el grado del numerador, chavales? 00:29:55
El grado 00:30:02
El grado del numerador es 1 00:30:02
Y el grado del denominador, 2 00:30:07
¿Cuál es mayor? 00:30:11
Entonces, al final, lo de abajo es muchísimo más grande 00:30:15
¿De acuerdo? 00:30:19
Muchísimo más grande 00:30:20
Y estamos en el caso en el cual yo tenga una cosa pequeña, distribuirla entre mogollón de gente, al final, ¿cuánto cabemos? A un cero. ¿Vale, chavales? Sí. Esas ideas las tenemos que tener de cara a, lo diré, a hacer los límites, ¿vale? 00:30:21
Ya vale, a ver si sabemos este. Límite de x al cubo partido x cuadrado menos 5 y, por ejemplo, cuando x tiende a más infinito. 00:30:49
¿Esto cuánto sería? Infinito. Esto realmente es infinito partido de infinito, ¿verdad? Indeterminación. 00:31:01
Y ahora, por comparación de infinitos, el límite. 00:31:15
Ya vale, ¿cuándo se pone la palabra límite y cuándo no? 00:31:27
¿Cómo no me enteras? 00:31:38
Efectivamente, ¿vale? Este es un fallo también muy grande. 00:31:39
El rollo, los errores más comunes que yo me encuentro cuando damos los límites, ¿vale? 00:31:44
Cuando damos los límites es que os dejáis atrás la palabra límite. 00:31:52
Y eso es un error bastante grave, ¿de acuerdo? 00:31:58
La palabra límite la tenemos que llevar hasta el final, hasta que sustituyamos. 00:32:02
Sustituyamos. Y después otro error que me encuentro también, que por ejemplo, me encuentro, me voy a poner aquí en colorado, límite de dos quintos cuando X tiende a 10. 00:32:06
Porque 10, ¿qué es? ¿Qué es 10? ¿Y yo qué pasa? Tiene a 10. La nota que vais a sacar, copetines. Entonces, cuando la X tiende a 10, ¿esto tiene sentido? Esto es un error. 00:32:22
Paula, ¿te viene chicle? 00:32:38
Ven ya. 00:32:42
Ni con el año nuevo me ha hecho el propósito 00:32:44
la Paula. Mira que te he preguntado. 00:32:46
Ha estado ahí mascando 00:32:49
muy sutilmente, muy sutilmente. 00:32:50
Pero te he pillado 00:32:52
y ya, ¿qué pasa? 00:32:54
Ay, mamá. 00:32:56
Tu dentista nunca me lo agradecerá. 00:32:58
Pero tu bolsillo sí. 00:33:00
¿Vale? 00:33:02
Entonces, chavales, esto es un error 00:33:04
bastante grave. 00:33:05
Error grave. Como dijo Andrés, únicamente aparece la palabra límite cuando la incógnita, en este caso la x, aparece, ¿vale? 00:33:06
Si yo ya por las razones que sean no tengo x, no puedo poner la palabra límite, ¿vale? 00:33:16
¿Sí? ¿Todo el mundo? Vale. 00:33:23
Y chavales, volviendo a este de aquí, si yo ahora hago el límite de x al cubo partido x cuadrado menos 5, 00:33:26
Cuando x tiende a menos infinito, ¿esto cuánto vale? 00:33:36
I don't know enough from here, Rufo. 00:33:47
Are you glad to be here? 00:33:51
No. 00:33:53
Menos infinito. 00:33:56
Realmente, chavales, esto es menos infinito partido de infinito, 00:33:57
que es una indeterminación, ¿vale? 00:34:02
Y por comparación de infinito, daros cuenta que esto realmente, ¿qué es? 00:34:05
El límite cuando x tiende a más infinito, ¿de qué? 00:34:13
de menos x al cubo 00:34:16
partido x cuadrado menos 5 00:34:19
es Claudia 00:34:21
a quejín 00:34:28
en Elena a quejín 00:34:30
cuando 00:34:32
tengamos una x par 00:34:35
le ponemos el signo delante 00:34:36
cuando tengamos una x par la dejamos 00:34:38
igual, es un truco, ¿vale chavales? 00:34:41
¿sí? entonces 00:34:43
esto realmente, ahora ya 00:34:44
tengo más infinito y volvemos a lo 00:34:47
mismo, esto es menos infinito partido 00:34:49
de infinito y por comparación 00:34:50
¿verdad? por comparación 00:34:53
de infinito, menos entre más 00:34:55
menos 00:34:57
por comparación de infinito 00:34:59
sería un detalle aquí ya 00:35:01
y esto de aquí también 00:35:07
¿vale? siempre ponéis 00:35:13
el resultado chavales 00:35:15
bueno 00:35:17
ponéis siempre el resultado 00:35:18
así ¿eh? con la palabra 00:35:22
límite delante, todo, realmente 00:35:24
aquí, lo que sería bueno, en vez 00:35:26
de poner esta, es poner esta 00:35:28
de aquí, ¿vale? Lo voy a poner yo bien. 00:35:30
Menos, y es un menos infinito. 00:35:41
¿Vale? Esto es una clase 00:35:43
recordatoria, más que nada. 00:35:44
¿Hasta ahora bien? 00:35:46
Venga. 00:35:48
Luego, chavales, esto de aquí. 00:35:50
¿Os acordáis de mi amigo Lópita? 00:35:53
Sí, que siempre estaba malo. 00:35:55
Entonces, chavales, 00:36:00
Lópita es 00:36:01
un puntazo, lo que pasa es que ahí necesitamos 00:36:04
las derivadas, ¿vale? Entonces hasta que 00:36:06
no veamos las derivadas 00:36:08
no lo podemos aplicar, ¿de acuerdo? 00:36:10
Y también se 00:36:12
aplica 00:36:13
se aplica 00:36:14
en los casos 00:36:17
en los cuales tengamos 0 partido de 0 00:36:19
infinito partido de infinito, no siempre 00:36:22
podemos aplicarlo, pero es un 00:36:23
puntazo, es un puntazo 00:36:26
¿vale? ¿Por qué? Porque lo que me 00:36:28
permite es cuando yo tengo 00:36:29
un límite que tiene narices 00:36:31
vamos a ser finos, que tiene narices, lo que podemos hacer es derivamos por un lado numerador 00:36:33
y derivamos por otro lado denominador, pero de forma independiente, no hacemos la derivada de un cociente 00:36:41
que eso es distinto, ¿vale? Derivamos el numerador por un lado, el denominador por otro, 00:36:46
se nos quedan cositas más manejables, más chicas habitualmente y entonces hacemos el límite 00:36:52
de la derivada de numerador partido de la derivada del denominador, ¿vale? 00:36:57
Pero para eso tenemos que, lo diré, para eso tenemos que saber derivar, sería un detalle. 00:37:02
Entonces, estas ecuaciones de aquí, normalmente, se hace, chavales, la dosa esta de aquí, no sé si lo veis, 00:37:10
se hace esta de aquí con lópida, normalmente, y esta de aquí también se puede hacer con lópida, ¿vale? 00:37:18
el óptimo únicamente lo puedes 00:37:27
aplicar con la derivada 00:37:33
de numerador y denominador cuando tienes 0 partido 00:37:35
de 0 infinito partido de infinito 00:37:37
esto que no, en detalle 00:37:38
claro porque es a partir de las 00:37:42
derivadas ¿vale? y esto 00:37:44
chavales, ¿alguien me sabe decir 00:37:46
esto a qué es? 00:37:48
¿eh? 00:37:52
esto se hace, esto está relacionado 00:37:54
con el número e ¿vale? 00:37:56
esto está con el número e 00:37:58
Esto realmente de aquí no es lo que tú dices, Andrés, ¿vale? 00:37:59
Pero buen intento, buena aproximación, ¿vale? 00:38:03
Efectivamente. 00:38:08
Muy bien, muy bien. 00:38:09
Yo leo, are you on fire? 00:38:10
OK, you're a good person. 00:38:11
Esto es 1 elevado a infinito. 00:38:13
Y el 1 elevado a infinito se hace con una metodología, ¿de acuerdo? 00:38:16
No siendo complicada, es un poquillo tostón. 00:38:21
¿Vale? 00:38:26
¿Para qué nos vamos a engañar? 00:38:26
Dime, hija. 00:38:27
no, porque 00:38:29
mira, date cuenta, si yo sustituyo 00:38:32
infinito, tres partidos de infinito 00:38:34
¿cuánto es? 00:38:36
¡guau! 00:38:39
pero, ¿vale? 00:38:41
entonces, uno más cero 00:38:42
uno 00:38:43
y dos por infinito 00:38:45
infinito, entonces no sé si has 00:38:47
escuchado al Leo 00:38:50
que es uno elevado a más infinito 00:38:51
¿vale? 00:38:54
entonces, eso es importante 00:38:55
El C con L'Hôpital 00:38:58
Porque es uno elevado a infinito 00:39:08
¿Vale? 00:39:12
Entonces, chavales 00:39:14
Más o menos 00:39:15
Qué mal 00:39:16
Chavales, me hacéis un favor 00:39:20
Podéis... 00:39:23
Hostia, el lunes tenemos clase, ¿verdad? 00:39:25
necesito que 00:39:26
que leáis 00:39:29
la página 00:39:30
214 chavales 00:39:32
215 00:39:34
y 215 00:39:36
vale, 214 y 215 00:39:39
lo que si también 00:39:41
necesito por favor es que 00:39:42
entréis en el aula virtual 00:39:45
y en el tema 8 00:39:47
hay una cosa que aparece de 00:39:48
repaso, entonces eso también 00:39:50
me interesa que lo vayáis trabajando 00:39:52
¿vale? 00:39:55
¿Eh? Son ejercicios resueltos, ¿vale? Entonces echarle un vistazo y el lunes me preguntáis si tenéis dudas de eso, ¿vale? ¿Sí? 00:39:56
Sí. 00:40:06
El hospital lo aplicaremos. 00:40:09
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
9 de enero de 2026 - 12:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
40′ 14″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
78.91 MBytes

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