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Posiciones relativas de rectas. Posiciones relativas de planos. Posiciones relativas entre planos y rectas. Ejercicios tipo I - Contenido educativo

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Subido el 12 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Bueno, pues nada chavales, luego os vais a quedar a séptima o no? 00:00:00
Perdón a los que os conectasteis ayer, pero hubo un fallo y ni se compartía ni se escuchó nada. 00:00:08
Nos quedan tres horas de clase. Yo esta tarde me he ofrecido a una persona que necesita clases online, me conectaré. 00:00:14
Si alguien necesita también, pues que sepas que voy a estar ahí. 00:00:21
¿Vale? Entonces, chavales, vamos a hacer, estos documentos los subiré, ¿de acuerdo? Y la verdad que vamos a ir un poco deprisa, pero porque hay ya muchas cosas que aunque penséis que no realmente se han explicado, ¿vale? Entonces, bueno, vamos a ver las posiciones entre dos rectas, ¿de acuerdo? 00:00:24
dos rectas en el espacio que pueden ocurrir, que sean coincidentes, ¿vale? 00:00:42
Entonces, sus vectores directores son proporcionales y lo que ocurre es que un punto de una de las rectas 00:00:47
va a pertenecer, también va a cumplir la ecuación de la otra. 00:00:53
Si son paralelas, pues tienen vectores directores proporcionales, 00:00:57
pero sin embargo, un punto, tú coges un punto de ella, lo sustituyes en la otra recta y no pertenece, 00:01:00
no verifican esa ecuación, ¿vale? 00:01:06
Entonces, ¿cuál es el procedimiento común? 00:01:08
Si hay en las ecuaciones paramétricas, muchísimo más fácil, las ecuaciones paramétricas dan más restas, se comparan los vectores-directores, se ven que son proporcionales y luego tú coges un punto de una y lo sustituyes en la otra, ¿de acuerdo? Y entonces, ¿qué ocurre? Así sabes si son coincidentes o, sin embargo, si son paralelas. 00:01:10
Otra de las cosas que tenemos en el espacio 00:01:26
Que también tenemos en el plano 00:01:30
Es que sean secantes, ¿no? 00:01:31
Entonces, ¿qué ocurre cuando dos rectas son secantes? 00:01:33
Pues que sus vectores directores ya no son proporcionales 00:01:36
¿De acuerdo? 00:01:38
Entonces, ¿qué ocurre? 00:01:39
Que ahí lo que tengo que hacer 00:01:41
Es el determinante del vector director de R 00:01:43
El vector director de S 00:01:47
Cojo el punto de R 00:01:48
Cojo el punto de S 00:01:51
Formo un vector y hago ese determinante 00:01:52
¿De acuerdo? 00:01:54
Si ese determinante me sale cero es que son coplanarios. Y si estamos en un plano, es decir, las dos rectas están en el mismo plano, imaginaros la pizarra, yo dibujo en la pizarra dos rectas, si no son paralelas y no son las mismas, se van a cruzar en un punto. ¿De acuerdo? Entonces, ese determinante de los tres vectores formado por R, por el director de R, el director de S, y el de unión de un punto de R con S, son coplanarios, su determinante es cero y, por lo tanto, son secantes. 00:01:55
sin embargo imaginaros yo tengo el plano del techo vale y yo hago la diagonal del techo de acuerdo 00:02:22
hago la recta diagonal y luego hago el punto medio de aquí del suelo y el punto medio de allí del 00:02:27
final hago otra línea vale esas restas no son coincidentes evidentemente esas restas no son 00:02:32
paralelas pero es que además al no estar en el mismo plano en el espacio se cruzan de acuerdo 00:02:38
entonces qué ocurre los vectores directores evidentemente no son proporcionales y si yo 00:02:44
Si yo hago el determinante del vector directo de R, el vector directo de S, y yo cojo un punto de R, un punto de S, hallo el vector y hago el determinante, no están en el mismo plano. Fijaros que una está en el techo, la otra está en el suelo, y entonces si yo uno o dos puntos cualesquiera de R y de S no pertenecen a ese mismo plano, se cruzan, ¿vale? 00:02:49
Entonces, chavales, he puesto aquí un ejercicio sencillo 00:03:08
donde yo, por ejemplo, tengo mi recta esta de aquí 00:03:11
y quiero hallar las posiciones entre estas dos. 00:03:14
Entonces, lo que siempre os digo, es súper importante que nosotros, 00:03:17
independientemente del tipo de ecuación que tengamos, 00:03:21
nosotros tenemos que saber hallar un punto y el vector directo. 00:03:24
¿De acuerdo? 00:03:28
Entonces, un punto de R aquí es el 1, 0, menos 2, ¿verdad? 00:03:29
Y el vector directo es el 2, menos 1, 3. 00:03:32
yo, si queréis apuntar, evidentemente 00:03:35
apuntar, yo esto lo voy a subir, ¿vale? 00:03:38
entonces, lo que sí me interesaría un poco 00:03:40
que atendierais 00:03:41
¿vale? entonces, yo DPS 00:03:44
aquí es fácil, ¿no? 00:03:46
esta primera parte es el punto y este de aquí 00:03:47
es el vector director, lo primero que hago 00:03:49
es comparar los vectores directores de uno 00:03:51
y de otro, y aquí veo que efectivamente 00:03:53
no sé si lo veis ustedes chavales 00:03:55
efectivamente son proporcionales 00:03:57
es decir, si yo divido cada componente por la 00:03:59
de otro, siempre me va a dar en este caso un 2 00:04:01
¿Lo veis? Entonces, si son proporcionales, ¿qué ocurre? Que son o coincidentes o son paralelas. Entonces, para que sean coincidentes, lo que yo hago es las paso siempre a paramétricas. ¿Por qué? Porque es más fácil, ¿de acuerdo? Tengo ambas, la S y la R, la tengo en paramétrica y lo que hago, chavales, es un punto, por ejemplo, del punto R, lo sustituyo en las ecuaciones paramétricas de la otra recta. ¿Lo veis? 00:04:04
¿Para qué? Porque si se me verifica la ecuación, entonces son coincidentes. 00:04:33
¿Cómo lo hago? Pues fijaros, yo tengo aquí el punto R que es 1, 0, menos 2. 00:04:39
Y yo he pasado mi resta S a paramétrica. 00:04:43
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Cuál es la componente X de P sub R? El 1, ¿verdad? 00:04:46
Pues entonces yo igualo. 1 es igual a 3 más 4T. ¿Lo veis? 00:04:50
Y entonces, si yo despejo la T, ¿qué me sale? Que T vale menos 1 medio. 00:04:54
Ahora hago lo mismo con la componente Y. La componente Y del punto de R es 0. 00:04:57
Pues entonces 0 es menos 1 menos 2t. ¿Cuánto vale t? Menos un medio. Me están coincidiendo, pero me tienen que coincidir en las tres. De hecho, yo hago el menos 2. El menos 2 es igual a 1 más 6t. También me sale la t menos un medio. 00:05:02
Entonces, cuando yo cojo un punto de una recta y lo verifico en las otras y me sale la misma componente D en las tres, yo tengo la potencia de decir que son coincidentes. Es exactamente la misma recta. Fijaros que es la misma recta R y S y, sin embargo, lo vemos nosotros aquí y no nos hace composición de lugar de pensar que son iguales. 00:05:16
¿entendéis el procedimiento? 00:05:36
miro primero si son proporcionales o no 00:05:38
luego cojo un punto de una de ellas 00:05:40
me da igual y la sustituyo 00:05:42
en la otra en sus ecuaciones paramétricas 00:05:43
y si ese parámetro 00:05:46
T, lambda, mu, el que hayamos elegido 00:05:47
es lo mismo en las tres 00:05:50
yo tengo la potestad de decir que son coincidentes 00:05:51
sin embargo en el 00:05:54
¿qué significa el simbólico? 00:05:55
un alfa 00:05:58
¿un alfa? ¿dónde he puesto el alfa aquí yo? 00:05:59
ah, esto es proporcionales, ¿vale? 00:06:02
es proporcionales, no es un alfa como tal 00:06:04
Sí, es la misma, es la misma recta, ¿vale? Aunque tú lo ves así, dices tú, sí, hombre, yo eso no me lo creo, pero sí, sí, son exactamente la misma recta, aquí está R y está S, ¿de acuerdo? Vale, yo ahora tengo otras dos rectas, ¿vale? Pues igual, súper importante, sacar un punto de una, un punto de la otra, el vector directo de una, el vector directo de la otra, ¿no? Cuando es más complicado hacer eso es cuando nosotros tenemos una recta como intersección de dos planos. 00:06:06
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? Lo primero que hago siempre es comparar los vectores directores de DR y de su S, que aquí veo, efectivamente, esto es 1 menos 1, 2 y esto es 2 menos 2, 4, son proporcionales, por lo tanto, yo ya sé que pueden ser o coincidentes o pueden ser paralelas. 00:06:31
Entonces ahora que hago el mismo procedimiento 00:06:48
Yo he puesto, chavales 00:06:50
La R, por ejemplo, la pongo en paramétrica 00:06:52
Y ahora cojo el punto S 00:06:56
El punto S es 3, no 4, ¿de acuerdo? 00:06:57
Y entonces lo sustituyo 00:07:00
Hago el mismo procedimiento de antes 00:07:02
¿Y qué me da? 00:07:03
Pues que en la primera la T vale 2 00:07:05
La tercera también la T vale 2 00:07:07
Pero en la segunda me da T igual a 1 00:07:09
Son las mismas en las tres natillas 00:07:11
Pues entonces, ¿eso qué significa? 00:07:14
que mi punto S no pertenece a la recta R, ¿de acuerdo? 00:07:16
¿Lo veis todo el mundo eso? 00:07:22
Mi punto, el punto que he cogido cualquiera de la recta S 00:07:24
no pertenece a R, por lo tanto, no son la misma recta 00:07:27
y son paralelas, ¿vale? 00:07:30
Easy, easy, ¿sí? 00:07:32
Es que esto te lo voy a subir, Kiyo. 00:07:35
Es que esto te lo voy a subir. 00:07:37
Entonces, chavales, ahora tengo dos rectas. 00:07:40
Vamos a hacer cuatro ejercicios, uno de cada uno de ellos. 00:07:42
igual, cojo .r, .s 00:07:44
vector de r, de s, ¿de acuerdo? 00:07:46
y aquí ya directamente del ton 00:07:48
veo que si tengo de r y de s 00:07:50
no son proporcionales, entonces 00:07:52
ya no son ni coincidentes ni paralelas 00:07:54
la única posibilidad es que se crucen 00:07:56
si son coplanarias 00:07:58
¿vale? si están en el mismo plano, perdona 00:08:00
que se corten si son coplanarias 00:08:02
o que se crucen, imaginaros eso 00:08:03
la diagonal del techo y una 00:08:06
recta cualquiera que esté en el suelo 00:08:08
no se van a tocar nunca, ¿vale? 00:08:09
se van a cruzar, entonces 00:08:12
Es lo que os digo, yo tengo mi vector de R, tengo mi vector de S y yo hallo el vector que une el punto P de la R y el punto P de la S, ¿de acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Que si yo hago el determinante y ese determinante me hace cero, ocurre que los tres vectores como son, chavales, son linealmente dependientes y efectivamente, como ha dicho Hernán, son coplanarios. 00:08:14
Si están en el mismo plano, ¿qué ocurre? Que yo dibujo en la pizarra, imaginaros, o en el suelo. Yo en el suelo dibujo dos rectas que no son las mismas o no son paralelas, se van a tener que cruzar a cojones. ¿De acuerdo? Sin embargo, dime, Elena. 00:08:41
Yo hago el vector de SDP 00:08:55
Ahora te hago un ejercicio, ¿vale? 00:09:01
Mira, PRPS es, yo cojo 00:09:02
El 3 menos el 1 00:09:04
Me da 2, el 2 menos menos 1 00:09:07
Me da 3, y 1 menos 2 00:09:09
Me sale menos 1 00:09:11
Es el vector que tiene como origen 00:09:12
R o PS, podéis coger tanto PRPS 00:09:14
O PSPR, as you want 00:09:17
El determinante yo lo que hago 00:09:19
Es, cojo mi vector 00:09:23
PRPS, me cojo 00:09:24
mi determinante de R, me cojo 00:09:27
mi componente de CD, el orden 00:09:28
el que queráis, ¿por qué? porque yo 00:09:31
lo que quiero únicamente es ver 00:09:33
si es cero o no es cero, yo cuando 00:09:34
no sé si recordáis las propiedades de los determinantes 00:09:37
que cuando yo variaba una columna u otra 00:09:39
lo único que cambiaba era el signo y como 00:09:41
lo que yo quiero ver si son coplanarios 00:09:43
o no, me da igual el resultado, lo único 00:09:45
que quiero ver es si ese resultado es cero 00:09:47
o es distinto de cero, ¿de acuerdo? 00:09:49
entonces si son cero 00:09:51
es porque estos tres vectores son linealmente dependientes, 00:09:52
son coplanarios, están en el mismo plano, 00:09:56
pues pensad siempre, en el suelo yo hago dos rayas 00:09:58
que no son coincidentes o no son paralelas, 00:10:01
se van a cruzar a cojones, ¿de acuerdo? 00:10:03
Entonces son dos rectas secantes. 00:10:05
Sin embargo, y esto es lo que me sale, 00:10:07
¿por qué son iguales? 00:10:09
Porque fijaros aquí que tengo dos columnas 00:10:10
que son exactamente iguales, son proporcionales, ¿vale? 00:10:13
Entonces, ahora, este caso de aquí, 00:10:16
yo tengo mi recta, otra recta, 00:10:18
hay un punto, hay un punto, hay un subvector directo, 00:10:20
vector-director. Primero, comparo 00:10:22
los vectores-directores. No son 00:10:25
proporcionales, por lo tanto, o son secantes 00:10:27
o se cruzan. Igual, 00:10:29
hallo PRPS, es decir, 00:10:31
el vector que va desde un punto 00:10:33
de una recta al otro punto de la otra 00:10:34
recta, ¿vale? Puedo coger 00:10:36
PRPS, PSPR, que va a ser el mismo 00:10:38
pero con el signo cambiado, ¿de acuerdo? 00:10:40
Igual, hago mi determinante. 00:10:43
Hago mi determinante. 00:10:45
¿Y qué ocurre cuando yo hago mi determinante 00:10:46
con PRPS, el vector-director de R 00:10:48
y el vector-director de S? 00:10:50
Pues que veo que aquí me da menos 3. 00:10:52
Si yo hubiese cambiado el orden de esto, a lo mejor me sale 3. 00:10:56
¿De acuerdo? Me puede salir menos 3. 00:10:59
Me va a salir 3 o menos 3 en este caso. 00:11:00
Lo que ocurre es que es distinto de 0. 00:11:02
Y si hay un determinante de 3 vectores, es distinto de 0, 00:11:05
que significaba que son linealmente independientes. 00:11:09
Y entonces, si son linealmente independientes, no pueden ser coplanarios. 00:11:12
Porque si están en el mismo plano, 00:11:17
yo es que un vector lo puedo poner como combinación lineal de los otros. 00:11:18
¿Lo veis? ¿Sí? Y entonces 00:11:22
yo ya que puedo decir que esa recta 00:11:24
se cruza, que es lo que me pasó 00:11:26
a mí en el ejercicio que hice, 00:11:28
no me pasaba porque realmente 00:11:30
esa recta se cruzaba. 00:11:32
Dime, no. 00:11:34
Igual, igual, igual, igual, exactamente 00:11:36
igual hago el determinante 00:11:38
entre PRPS, el vector directo de R, 00:11:40
el vector directo de S, pero en este caso sí me 00:11:42
sale que es igual a cero el determinante. 00:11:44
No, porque eso no... 00:11:49
Esto es... 00:11:51
Ah, bueno, sí, sí. Si te lo piden, sí. 00:11:52
¿Vale? Si yo te digo estudia la posición relativa de las rectas, ¿vale? Se me ha ido la olla. Si yo te digo la posición relativa, yo literalmente me dice secante. Y si yo te digo, si en caso de que sean secantes, llámame el punto de intersección, pues evidentemente lo tienes que hallar. Y ahora vamos a ver cómo. ¿De acuerdo? 00:11:54
entonces 00:12:15
vale 00:12:16
es que ahora aquí, no sé por qué chavales 00:12:18
me ha puteado esto 00:12:21
y es que lo he arreglado y otra vez 00:12:22
se me pasa, pero bueno 00:12:25
a ver, entonces chavales 00:12:26
esto de aquí eran secantes, ¿verdad? ¿os acordáis? 00:12:29
pues entonces, voy a hacer precisamente 00:12:32
ese punto de intersección 00:12:33
¿de acuerdo? voy a hallar ese punto 00:12:35
de intersección que tú no has, me has dicho 00:12:37
¿cómo se halla ese punto de intersección? 00:12:39
y aquí una recomendación para que no hagáis 00:12:41
la picha a un lío. Poner las dos 00:12:43
ecuaciones de la resta en paramétrica. 00:12:45
¿De acuerdo? Lo único que 00:12:47
una elegí, si elegí lambda 00:12:49
en una, en la otra elegí 00:12:51
arfa o beta o mu, que 00:12:53
no sea la misma. Dime, claro. 00:12:55
Pero eso es lo que ha sido de antes. Sí, sí, sí. 00:12:57
Es que no sé por qué se me ha desvariado 00:12:59
y otra vez se me ha desvariado. ¿De acuerdo? 00:13:01
Entonces, 00:13:03
estaban en orden incorrecto, ¿vale? 00:13:04
Esto es el que eran secantes, ¿de acuerdo? 00:13:07
Al ser secante, como ha dicho 00:13:09
NOA, tienen un punto de intersección. 00:13:10
¿Cómo hallo ese punto de intersección? 00:13:13
Pues es más fácil de lo que pensamos, ¿vale? 00:13:15
Las pongo en paramétrica la R y pongo en paramétrica la S, 00:13:17
pero muy importante, por favor, 00:13:20
porque esto me lo suelo encontrar en los exámenes. 00:13:22
Aquí si utilizáis lambda, aquí no utilicéis lambda, ¿eh? 00:13:24
Arfa, mu, la letra que ustedes queráis, ¿vale? 00:13:27
Una T, la que quieran. 00:13:30
Y entonces, chavales, lo que tengo que hacer es igualar, 00:13:32
porque si es un punto secante de dos rectas, 00:13:35
ocurre que ese punto es común a ambas rectas, ¿de acuerdo? 00:13:38
Entonces, la coordenada de ese punto va a cumplir tanto la recta R como la recta S. 00:13:42
Y precisamente, pues, la componente X de R y la componente X de S va a ser la misma. 00:13:49
Entonces, lo igualo, ¿lo veis? 00:13:54
Tengo aquí 1 más 2 lambda es igual a 3 menos mu, menos 1 más 3 lambda es igual a 2 menos mu. 00:13:56
Entonces, ¿qué es lo que ocurrió? 00:14:01
Que yo aquí, por ejemplo, tengo la forma de resolverlo, ¿de acuerdo? 00:14:02
Yo aquí me he dado cuenta que si yo sumo la primera con la tercera, el mu se me va. 00:14:05
No. Ah, no, aquí sí. Se me va. 00:14:13
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo ya tengo el lambda. 00:14:16
De todas formas, tenéis tres ecuaciones con dos incógnitas. 00:14:19
Además, lo sería que no lo supierais resolver. 00:14:22
Entonces, yo ya aquí hallo el lambda y aquí hallo el mu, 00:14:25
que pueden ser igual o pueden ser distintos. 00:14:30
Normalmente son distintos. 00:14:33
Pero fijaros una cosa, si yo con ese lambda que haya 1 me voy a la recta donde tengo lambda y lo sustituyo, obtengo este punto que este punto es 3, 2, 1. Precisamente ese punto es el punto de intersección de ambas rectas que se cortan. 00:14:34
De hecho, si yo ahora me voy con mu 2 a mi recta S, fijaros que yo tengo, bueno, mu vale 0, perdona, mu vale 0 y yo me voy aquí, obtengo precisamente el punto 3, 2, 1. ¿Lo veis? Me tiene que salir exactamente lo mismo. Es una forma también de comprobar que no os habéis equivocado, porque tan solo hay, cuando dos rectas se cruzan, tan solo hay un punto y a ese punto verifica las dos ecuaciones. ¿De acuerdo? 00:14:51
¿sí? Hasta aquí fácil, ¿sí? Aquí era el de antes, los que se cruzaban, ¿vale? Estos no eran 00:15:21
proporcionales. Hago el determinante, me sale distinto de cero. Y entonces, ¿qué ocurre? Como 00:15:30
el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes. Por lo 00:15:35
tanto, no son coplanarios y, por lo tanto, las restas se cruzan, no tienen punto de corte. ¿Hasta 00:15:39
¿Ahí bien las posiciones relativas? 00:15:45
¿Sí? 00:15:46
Venga. 00:15:47
Entonces, chavales, la ecuación de un plano. 00:15:48
Y esto, en parte, lo hemos visto ya. 00:15:50
Un plano en el espacio queda determinado. 00:15:52
Un punto, dos vectores no nulos y no proporcionales. 00:15:56
¿De acuerdo? 00:15:59
Yo necesito, igual que, por ejemplo, yo para una recta, 00:16:00
¿qué necesitaba yo para una recta? 00:16:03
Un punto y un vector director. 00:16:05
¿De acuerdo? 00:16:07
Pues en un plano yo necesito un punto y dos vectores directores. 00:16:08
Pero, además, esos dos vectores directores, primero, 00:16:12
no tienen que ser nulos y además 00:16:14
tienen que ser linealmente independientes 00:16:16
es decir, no pueden estar en la misma 00:16:18
recta porque si no al final yo no tengo un plano 00:16:20
yo tengo una recta, ¿lo veis? 00:16:22
¿si o no? entonces yo con un punto 00:16:24
y dos vectores tengo ya 00:16:26
definido un plano, también se 00:16:28
suele hacer si yo tengo 00:16:30
tres puntos, yo tengo 00:16:32
tres puntos, pues también tengo definido 00:16:34
el plano, pero es que fijaros, si yo tengo tres 00:16:36
puntos y uno, uno de los 00:16:38
puntos a uno y otro, uno 00:16:40
uno ese punto al otro, al final 00:16:42
¿qué voy a tener ahí? Tengo dos vectores. 00:16:44
¿De acuerdo? Entonces yo siempre 00:16:47
que tenga tres puntos, 00:16:48
a su vez esos tres puntos se convierten 00:16:50
en dos vectores y un punto, 00:16:52
yo ya tengo definido un plano 00:16:54
único. ¿De acuerdo? Entonces 00:16:56
¿qué ocurre? La expresión vectorial, 00:16:58
pues yo tengo un punto 00:17:00
conocido, dos vectores que no son 00:17:01
proporcionales, ¿de acuerdo? 00:17:04
¿Y qué es lo que ocurre? 00:17:05
Pues que yo, si yo quiero hallar 00:17:08
mi ecuación del plano, 00:17:10
Hay muchas formas y esta para mi gusto no es la más idónea ni la más fácil, pero puede ser. Yo conozco el punto A y conozco dos vectores que no son proporcionales, que pertenecen a los vectores directores del plano, ¿vale? 00:17:12
Entonces yo ahora cualquier punto del plano que sea genérico X y Z, ¿vale? Es decir, fijaros aquí el dibujo. Yo tengo aquí mis dos vectores que si os fijáis no están alineados. Tengo U, tengo V. Tengo mi punto A y yo ahora me cojo cualquier punto del plano, cualquier punto del plano lo voy a llamar X, cuya componente son X y Z, que son genéricas, ¿vale? 00:17:26
Entonces, fijaros, yo tengo mi vector u, mi vector v, y yo ahora voy a tener el vector ax, que es la unión del vector, cuyo origen es el punto a conocido y cualquier punto genérico de ese plano, ¿de acuerdo? 00:17:49
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Cómo tienen que ser estos tres vectores para que sea realmente un plano? ¿Cómo tienen que ser entre ellos? 00:18:05
dependientes 00:18:13
te reviento la cabeza si no, ¿vale? 00:18:16
son dependientes 00:18:18
¿por qué? porque si fuesen linealmente 00:18:19
independientes, yo ahí tendría 00:18:22
mi paralelogramo 00:18:24
mi paralelepípedo, ¿os acordáis? 00:18:25
tendría mi paralelepípedo 00:18:28
pero sin embargo yo aquí en un plano 00:18:30
yo no tengo Artura 00:18:31
¿lo veis que no tengo yo Artura? 00:18:33
entonces ¿qué ocurre? los tres tienen que ser 00:18:36
linealmente dependientes 00:18:38
y si son linealmente 00:18:40
independiente y yo hago su determinante, su determinante 00:18:42
¿cuánto va a valer? 00:18:44
0, 0, entonces fijaros 00:18:46
yo pongo aquí mi vector 00:18:48
AX que realmente 00:18:50
X menos la componente 00:18:52
X de la Y menos 00:18:54
la componente Y de la 00:18:56
Z menos la componente 00:18:58
Z del punto A 00:19:00
entonces tengo aquí mi X 00:19:02
Y 1 Z menos 1 00:19:03
aquí tengo un vector director del plano 00:19:06
y otro vector director del plano 00:19:08
y yo hago su determinante 00:19:09
y lo esfuerzo a que sea cero, ¿vale? 00:19:12
Si los quiero poner en línea, 00:19:15
no pasaría absolutamente nada. 00:19:16
¿Por qué? 00:19:18
Porque hay una propiedad de los determinantes 00:19:19
que me decía, si yo lo hago en línea, Carla, 00:19:21
¿qué es lo que tengo? 00:19:23
La matriz traspuesta. 00:19:24
Perfecto, perfecto. 00:19:34
Lo puede hacer, ¿pero por qué? 00:19:35
Porque hay una propiedad 00:19:36
que es el determinante de una matriz 00:19:37
es menos el determinante de la traspuesta, 00:19:40
creo que era. 00:19:43
O sea, es el mismo, puede ser que sea el mismo. 00:19:44
Entonces, ¿qué ocurre? 00:19:48
Pero es que además, aunque fuese de signo distinto, 00:19:48
que creo que es verdad que se cumple, que es el mismo, 00:19:51
como yo lo escribo igual a cero, el signo de verdad no me afecta. 00:19:54
Entonces, ¿qué voy a obtener aquí ya, vale? 00:19:58
Si yo hago este determinante de aquí, 00:20:00
yo voy a obtener al final la ecuación del plano, ¿vale? 00:20:02
La ecuación del plano. 00:20:06
Esto es una forma de hacerlo. 00:20:08
A mí personalmente no me agrada. 00:20:09
A mí personalmente no me agrada. 00:20:12
vamos a ver otra que me gusta más 00:20:13
cuando te piden ecuación del plano, tenemos que poner la general 00:20:15
finalmente esta 00:20:17
que es la implícita, la general, es la que más 00:20:19
se utiliza, ¿vale? 00:20:21
es la más fácil 00:20:23
en ese ejercicio no podíamos poner las paramétricas 00:20:25
sí, claro, porque además lo tienes aquí del tirón 00:20:26
claro, las paramétricas aquí las tenemos 00:20:29
del tirón, porque al final el punto, un vector 00:20:31
y otro vector, ¿vale? 00:20:33
¿es un vector nulo? 00:20:35
no, no puede ser vector nulo 00:20:36
¿cómo sabemos cuál es el vector nulo? 00:20:38
el 0, 0, 0, es el único, ¿vale? 00:20:40
porque lo que yo quiero hallar todos los puntos que pertenecen al plano vale ya no todos los 00:20:42
puntos que pertenecen al plan vale por eso cojo unos genéricos entonces todos los puntos que 00:20:52
pertenecen al plano que ocurre que sube yo una la con cualquier punto de aquí vale y más de aquí 00:20:58
He puesto la x, pero tengo más o menos otra distribución, este de aquí, o este, o este, o este, el que sea. 00:21:05
Si yo uno mi punto A con cualquier punto del plano, ese vector va a ser una combinación lineal de los dos vectores directores. 00:21:10
Además, lo estoy forzando yo aquí. 00:21:18
Yo aquí lo estoy forzando a que sea cero, para que sea linealmente dependiente. 00:21:20
¿Vale? 00:21:25
Vale, es lo que decía Hernán. 00:21:27
Si yo, por ejemplo, en el caso anterior, lo que quiero poner en la ecuación del plano paramétrica es una apoyada. Yo pongo aquí mi punto, lo veis, el 1, 0, 1. Pongo mi vector, perdona, director multiplicado, por ejemplo, por un parámetro 3, más mi vector director multiplicado por otro parámetro S. 00:21:29
queréis arfa y beta, arfa y beta, que queréis 00:21:50
gamma y mu, gamma y mu 00:21:52
lambda y mu, ayugón 00:21:53
¿vale? bueno, y fijaros 00:21:56
en lo que decía, que es fácil 00:21:58
si yo los quiero poner como expresiones 00:22:00
paramétricas, ¿de acuerdo? 00:22:02
lo que pasa es que normalmente un plano 00:22:04
se suele dar sobre todo en la ecuación general 00:22:06
que es del tipo ax más bi 00:22:08
más zz más d igual a c 00:22:10
¿vale chavales? 00:22:12
entonces, la más utilizada 00:22:14
y la que yo particularmente 00:22:17
la que más me gusta, particularmente 00:22:18
la que me gusta, es la ecuación 00:22:21
normal del plano, es decir 00:22:22
si yo tengo 00:22:24
un vector que es 00:22:26
perpendicular al plano 00:22:28
si yo tengo un vector que es 00:22:30
perpendicular al plano, que sepáis 00:22:32
que yo ahí lo que tengo, si únicamente 00:22:35
tengo un vector perpendicular al plano 00:22:37
yo lo que tengo es una de planos 00:22:38
paralelos, ¿vale? 00:22:41
Yo te imaginaros 00:22:43
una farola o algo que ese 00:22:44
sea el vector y entonces yo voy cortando 00:22:47
la farola por distintos casos 00:22:49
¿vale? perpendiculares 00:22:50
entonces yo ahí por cada, imaginaros una farola 00:22:52
y lo voy dividiendo por capitas 00:22:55
entonces yo cada una de esas capas son 00:22:56
planas y todos esos planos son paralelos 00:22:58
¿qué ocurre? que si 00:23:01
yo ahora quiero que sea, pase 00:23:03
por un punto en concreto 00:23:05
por un punto en concreto, imaginaros que es 00:23:06
donde está la bombilla de la farola 00:23:09
tan solo hay un plano que es 00:23:10
perpendicular a la farola y que 00:23:13
pasa por su bombilla ¿vale? 00:23:15
Entonces, ¿qué ocurre? Para mí esta es la forma, digamos, más fácil. ¿Por qué? Porque si yo tengo ese vector perpendicular al plano, yo voy a tener las coordenadas a, b y c, que son justo las coordenadas que van multiplicando a la x, a la y, a la z del plano. ¿Lo entendéis? 00:23:17
¿Sí? Y luego 00:23:34
¿Qué ocurre? Como yo sé mi punto P 00:23:36
¿Vale? Que va a tener una PX 00:23:38
Y PZ, yo sustituyo 00:23:40
Donde haya una X 00:23:42
Por su PX 00:23:43
Donde haya una Y, lo sustituyo 00:23:46
Por la componente Y del punto, donde haya 00:23:48
Una Z, la componente 00:23:50
Z del punto y que voy a hallar 00:23:52
¿Vale? Voy a hallar la D 00:23:54
Voy a hallar la D 00:23:56
Ya voy a tener el plano 00:23:58
Muy bien definido, ¿vale? 00:24:00
De todos los que son paralelos y de ese 00:24:02
a de planos paralelos, tan solo 00:24:04
me voy a quedar 1. ¿De acuerdo? 00:24:06
Entonces, chavales, 00:24:09
por ejemplo, este ejemplo de aquí, 00:24:10
dice haya la ecuación del plano 00:24:12
que pasa por el punto 3 menos 1, 2, 00:24:14
cuyo vector normal 00:24:16
es 2, 1, 8. Este ejercicio 00:24:18
es una apoyada. ¿Y cómo se hace? 00:24:20
Pero es muy importante que lo sepamos 00:24:22
hacer. Pues resulta que como el vector 00:24:24
lo que me están pidiendo 00:24:26
es la ecuación del plano que pasa 00:24:30
por el punto P, 3 menos 1, 2 00:24:32
y cuyo vector normal al plano 00:24:34
es 2, 1, 8 00:24:36
es decir, efectivamente, lo que me están dando 00:24:37
es la farola 00:24:42
es el caso bombilla 00:24:42
el caso bombilla 00:24:45
a mí me dan la farola y el caso bombilla 00:24:48
lo que voy a hallar es, de todos los planos 00:24:50
paralelos que cortan la farola 00:24:52
el único que pasa por el caso bombilla 00:24:54
claro es que yo 00:24:56
si me dan tan solo el vector normal 00:25:00
el vector normal, yo ahí lo que 00:25:03
tengo es un haz de planos 00:25:04
paralelos, fíjate 00:25:06
infinitos además, un haz 00:25:07
de planos infinitos y además son todos paralelos 00:25:10
pero fíjate que pollada 00:25:13
fíjate que yo, la ecuación 00:25:14
de mi plano siempre es 00:25:16
ax más bi más cz más b igual a cero 00:25:18
¿vale? entonces si me 00:25:20
no, no, no, no, esta es la ecuación 00:25:22
implícita de un plano cualquiera 00:25:26
¿vale? 00:25:28
la ecuación implícita, todo lo que hemos hecho 00:25:29
desde que hemos visto sistemas 00:25:32
de ecuaciones que hemos visto en los temas 00:25:34
1, 2 y 3 de Gauss y demás 00:25:36
realmente nosotros lo que teníamos eran 00:25:37
planos, ¿vale? 00:25:40
cuando yo te doy 2x menos 5y 00:25:42
más 6z igual a 8 00:25:44
eso es un plano, ¿vale? 00:25:46
todos esos son planos 00:25:48
entonces, ¿qué ocurre? que a mí al decirme 00:25:49
el vector normal 2, 1, 8 00:25:52
yo sé que la a vale 2 00:25:53
que la b vale 1 y que la c vale 8 00:25:55
¿De acuerdo? Entonces, este de aquí, el 2X más Y más 8Z más D igual a cero, es todos los planos que puedo yo cortar las farolas. 00:25:58
Y todos son paralelos. Lo que varía es la D. ¿De acuerdo? Lo que varía es la D. ¿Sí, Noah, o no? 00:26:12
¿Sí? Entonces, ¿cómo es 00:26:19
de todos los infinitos planos 00:26:22
paralelos cuál es el único que pasa 00:26:24
por el 3 menos 1, 2? Pues fijarse 00:26:26
aquí en 2X 00:26:29
donde haya una X, ¿qué pongo? 00:26:30
El 3, que es mi punto. La Y 00:26:32
¿qué pongo? El menos 1 00:26:34
¿Qué pongo en la Z? El 2 00:26:36
¿Y entonces qué ocurre? Yo ya 00:26:38
sustituyo, tengo la D y la D me sale 00:26:40
menos 21 00:26:42
¿Y el vector director del plano? 00:26:43
El vector director del plano, tú necesitas 00:26:46
dos vectores directores. Tú necesitas 00:26:48
dos vectores directores en un plano 00:26:51
o necesitas el vector 00:26:53
normal. Y además, ¿qué ocurre? 00:26:55
Si, ¿cómo haya? Si yo 00:26:57
tengo los dos vectores directores, 00:26:59
si yo tengo los dos vectores directores, 00:27:00
¿puedo hallar el normal? 00:27:02
Con el producto vectorial. 00:27:04
De hecho, a mí la forma esta 00:27:07
de antes, particularmente 00:27:09
a mí, me parece un poco 00:27:11
tostón. Un poco tostón. 00:27:12
Esta de aquí. Que, oye, que aquí 00:27:15
como siempre es, cada persona 00:27:17
somos un mundo, cada persona es 00:27:19
un mundo, habrá gente que esto lo 00:27:21
entienda mejor y le parece más fácil 00:27:23
pues oye tú, pero como 00:27:25
cada uno tenemos nuestra forma de ser 00:27:27
y nuestras preferencias y demás 00:27:28
para mí es más fácil 00:27:31
esta de aquí, entonces respondiendo a la 00:27:32
pregunta de Hugo 00:27:35
si a mí me dan los dos vectores 00:27:37
directores, si yo hago 00:27:39
si yo hago chavales 00:27:41
el producto vectorial de esos dos 00:27:42
vectores que tengo? Pues precisamente 00:27:45
tengo las farolas, ¿vale? 00:27:47
Yo tengo mi plano, yo tengo este en mi plano 00:27:49
y yo hago el producto 00:27:51
vectorial, lo que tengo es esto de aquí 00:27:53
tengo el lápiz, ¿vale? 00:27:55
Entonces esto me define en el plano 00:27:57
y el lápiz es mi 00:27:59
vector normal al plano 00:28:00
¿de acuerdo? Entonces yo particularmente 00:28:03
aunque tenga que hacer un producto 00:28:05
vectorial, pues hago el producto vectorial 00:28:07
tengo el normal y luego sustituyo 00:28:09
el punto en la que hay. ¿Que tú 00:28:11
prefieres hacer determinante de antes 00:28:13
donde sea x menos el punto 00:28:15
y menos el punto z menos el punto 00:28:17
vector director de 00:28:19
la vector 00:28:20
sí, director de un plano, vector director 00:28:22
del plano, en los dos, y lo 00:28:24
igualas a cero, vas a obtener el mismo resultado 00:28:27
¿Entonces el vector normal 00:28:29
es el director del plano? 00:28:31
el vector normal es 00:28:34
perpendicular a los dos vectores directores 00:28:37
del plano, es decir, un plano puede 00:28:39
estar definido por tres puntos 00:28:41
Que si yo tengo tres puntos, tengo dos vectores y un punto, o está definido por un vector perpendicular al plano y un punto. Eso sí. ¿Vale? Son las tres formas de poder definir un plano. Tres puntos, dos vectores y un punto, o el vector normal al plano y un punto. ¿Sí? 00:28:42
venga, entonces chavales 00:29:02
creo que he hecho el mismo ejercicio 00:29:05
de las dos formas, para que veáis que para 00:29:07
mi gusto es un tostón, entonces 00:29:09
chavales, ¿qué ocurre? 00:29:11
que yo aquí 00:29:13
aquí, aquí yo hallé 00:29:14
el vector conocido 00:29:19
los dos vectores directores y el punto 00:29:22
¿verdad? ¿qué es lo que hice? me hice 00:29:24
un vector que unía 00:29:25
ese, un punto genérico 00:29:27
con mi 00:29:29
punto A, tengo aquí un vector directo 00:29:31
de otro vector directo, lo esfuerzo 00:29:33
yo a que sea cero para que sea en coplanario 00:29:36
y me daba esta ecuación 00:29:38
¿lo veis? 00:29:39
y yo ahora, lo que he hecho es 00:29:41
mira, pues a mí esa forma no me gusta ni nada 00:29:43
entonces, yo teniendo los dos 00:29:45
vectores directores, lo que hago 00:29:47
es el producto vectorial 00:29:49
si yo hago el producto vectorial 00:29:51
de estos dos, ¿vale? 00:29:53
resulta que tengo 00:29:56
chavales, esto de aquí 00:29:57
esto de aquí es precisamente 00:29:59
el vector normal, el vector perpendicular al plano, ¿vale? 00:30:01
Si yo con los dos vectores directores le hago el producto 00:30:07
vectorial, obtengo el vector normal, obtengo la farola, 00:30:11
¿vale? 00:30:15
Aquí yo siempre lo que hago es, si lo puedo reducir, 00:30:16
lo reduzco, ¿vale? 00:30:18
Es decir, menos 2 menos 4 menos 6 es proporcional a 1 o 2 menos 00:30:20
3, ¿verdad? 00:30:23
Dividiendo entre menos 2. 00:30:24
Entonces, ¿qué ocurre? 00:30:26
Yo, al tener ya el vector normal al plano, yo ya tengo mi A, mi B y mi C. 00:30:27
Entonces tengo X más 2Y menos 3Z igual a D. 00:30:35
¿Cómo hallo yo esa D, chavales? 00:30:38
Pues sustituyendo en esa X, Y y Z mi punto 1, 0, 1. 00:30:41
¿Lo veis? 00:30:46
Yo tengo esto de aquí, que es un haz de planos paralelos. 00:30:47
Yo voy a forzar cuál es el único que pasa por el punto 1, 0, 1. 00:30:50
Yo lo sustituyo y obtengo que mi d vale 2. Entonces, si te das cuenta, fijaros, en azul tengo la solución hecha de la forma en la cual yo lo que hago es, teniendo dos vectores directores, hay el normal, hay el vector perpendicular y luego fuerzo que ese punto pertenezca. 00:30:54
Y en morado tengo la solución que me dio haciendo el determinante de tres vectores, los dos vectores directores y el vector que surge de unir el punto A con un punto genérico X, Y, Z forzándolo a cero. Y si os veis, me sale exactamente igual. Dime, Karol. 00:31:14
Sí, es una forma de normal 00:31:31
si tienes dos planos pi1, pi2 00:31:35
pero si te hace ilusión alfabeta 00:31:37
normalmente con pi es una de las formas 00:31:39
que se definen los planos 00:31:41
¿Puedo pasar, chavales? 00:31:43
Entonces, chavales 00:31:46
¿Qué ocurre? 00:31:47
También, y esto es muy importante 00:31:49
yo cuando tengo una recta 00:31:51
y tengo un punto 00:31:54
externo a la recta, es decir 00:31:55
ese punto no pertenece a la recta 00:31:57
yo puedo hallar el plano que las 00:31:59
contiene, ¿vale? Puedo hallar un plano que pasa por un punto exterior a una recta y a 00:32:01
esa recta, ¿vale? Entonces, es muy importante que ese punto no pertenezca a la recta porque 00:32:07
si no, al final, tengo una recta y si tengo una recta, pues, por una recta pasa bastante 00:32:11
plano. Entonces, si yo tengo una recta, ¿qué puedo saber? Pues, el punto de la misma, el 00:32:16
vector director, ¿sí o no? Si yo tengo una ecuación de la recta, sé un punto y el vector 00:32:21
director. Entonces, yo tengo 00:32:26
un punto externo, el 00:32:28
punto P. Entonces, si yo 00:32:30
uno mi punto A conocido 00:32:32
con el punto P, chavales, ¿qué voy a 00:32:34
obtener ahí? Un vector, ¿verdad? 00:32:36
Pues ahora resulta, chavales, 00:32:39
que yo estoy en la 00:32:41
situación en la cual conozco 00:32:42
un vector director 00:32:44
del plano, otro vector director 00:32:46
que también va a pertenecer al plano. 00:32:48
Después, el punto P 00:32:51
también pertenece al plano. 00:32:52
¿Lo entendéis? He pasado 00:32:54
de tener una recta y un punto exterior 00:32:56
A, uniendo el 00:32:58
punto A de la recta o 00:33:00
cualquier punto de la recta 00:33:02
al punto B que es externo, yo ya tengo 00:33:03
el segundo vector director 00:33:06
de ese plano. ¿Lo veis? 00:33:08
Y entonces yo ya tengo dos vectores 00:33:10
directores del plano y el punto. 00:33:12
Entonces lo puedo hacer por los dos métodos. 00:33:15
Puedo hacer el producto 00:33:17
vectorial, 00:33:18
tengo el normal y luego esfuerzo que 00:33:20
ese punto pertenezca al plano, o 00:33:22
puedo hacer el determinante formado por el vector a x a genérico a px tengo este vector a p y este 00:33:24
vector de r hago su determinante lo igual o a cero lo esfuerzo que sea cero para que sean coplanario 00:33:33
y yo ya tengo la ecuación de mi plano vale entonces chavales lo que ocurre cuando me dicen ejemplo 00:33:39
haya la ecuación del plano que pasa por este punto y la recta de ecuaciones tal vale aquí lo importante 00:33:46
Si yo tengo la recta, dime hija, voy a hallar la ecuación del plano que pasa por un punto en concreto y que contiene a la recta cuyas ecuaciones son estas de aquí, ¿vale? 00:33:53
Es que un plano puede estar definido por varias cosas y una de ellas es también, si yo tengo una recta y un punto fuera de esa recta, ¿vale? 00:34:12
tan solo pasa un único plano 00:34:21
yo tengo una recta, imagínate que 00:34:23
tengo la recta que va a la diagonada 00:34:25
del suelo y tengo este punto de aquí 00:34:27
¿vale? pues existe un 00:34:29
plano que contiene a 00:34:31
esa recta y además pasa por 00:34:33
este punto 00:34:35
pasa los dos 00:34:35
esa recta va a estar contenida, claro, aquí vemos 00:34:39
que un 00:34:41
plano que contiene a la recta es el suelo 00:34:42
pero sin embargo también hay 00:34:45
un plano que es así un poco perpendicular 00:34:47
vamos, perpendicular no, que es secante 00:34:49
que va a pasar por este punto de aquí 00:34:51
pero además va a contener 00:34:53
a la recta que lo que hace es 00:34:54
unir la diagonal del suelo. 00:34:56
Ese es el vector 00:35:01
director de ese plano. 00:35:02
No. 00:35:05
No, no, porque si no, no tienes 00:35:06
datos. 00:35:08
La ecuación del plano 00:35:11
que pasa por el punto P 00:35:12
y contiene a esa recta. 00:35:14
¿Vale? ¿Sí? 00:35:17
Entonces, chavales, lo primero es comprobar 00:35:18
que el punto es exterior. ¿Cómo compruebo yo que el punto P2, 1, 0 no pertenece a esta 00:35:20
recta? Pues igual, yo la sustituyo la X en sus ecuaciones paramétricas y creo que obtengo 00:35:26
que no tengo la misma T. Al no tener la misma T, pues entonces ese punto no verifica la 00:35:34
recta, ¿lo veis? Entonces ese punto no pertenece a la recta, ese punto es exterior. ¿Eso lo 00:35:41
entendéis todo. Si aquí, por ejemplo, 00:35:47
las 3 me hubiesen 00:35:49
salido 0 o las 3 que me hubiesen 00:35:51
salido menos 3 o las 3 00:35:53
que me hubiesen salido el mismo valor, 00:35:55
ese punto pertenece a la red. 00:35:57
¿Vale, chavales? 00:36:00
Hombre, 00:36:03
sería un puntazo. Y si te puteo 00:36:03
y te digo, y yo 00:36:05
calculame 00:36:07
el plano que pasa por 00:36:09
el punto P y por esta red. 00:36:11
Ya resulta que el punto pertenece a la red. 00:36:13
Pues no hay. 00:36:15
Ah, también, también 00:36:17
Sí, sí, vale, vale, sorry 00:36:20
Y ahora hay otro método del gallito 00:36:22
Que se me ha adelantado 00:36:28
Que es lo que te voy a explicar 00:36:29
¿Vale? 00:36:30
Pero si son iguales 00:36:31
No hay plano 00:36:32
O sea, si pertenece a la cabeza 00:36:33
No hay plano 00:36:35
Hay infinitos planos 00:36:35
Que pasan por esa red 00:36:37
Que cagas 00:36:38
No hay uno solo 00:36:39
Pero tú no te vas a dar la ecuación 00:36:41
Ah, te mueres, te mueres 00:36:43
no, te tiene que dar siempre la misma 00:36:44
en las tres, puede dar cero 00:36:49
puede dar, tu número favorito, ¿cuál es Raúl? 00:36:51
el siete, pues 00:36:54
lo suyo sería que las tres 00:36:55
te diese siete, ¿vale? 00:36:56
entonces, adelantándose un poquillo 00:36:59
gallito, yo tengo mi punto B 00:37:01
¿verdad? tengo mi punto B 00:37:03
que me lo dan 00:37:05
esa es la ecuación de la 00:37:05
resta, ¿eh? 00:37:09
Las ecuaciones paramétricas de la recta R, ¿vale? 00:37:12
Entonces, chavales, yo de aquí, ¿qué tengo? 00:37:17
Tengo mi punto P, tengo mi punto R, que es precisamente 2, 1, 6. 00:37:19
Eso lo sabéis todos, ¿no? 00:37:25
Y tengo mi vector director, que es lo que acompaña a la T. 00:37:26
Es 3, menos 5 y 2. 00:37:29
Es que he puesto P porque escribí lambda. 00:37:31
Aquí es un coñazo, ¿vale? 00:37:33
Por eso he puesto la T. 00:37:35
Entonces, yo ya tengo, fijaros, de mi recta tengo el punto y tengo el vector director 00:37:36
y tengo mi punto externo. 00:37:40
Lo puedo comprobar, como hemos hecho aquí, 00:37:42
o gallito, que se me ha adelantado el hombre 00:37:44
y muy bien hecho, es, 00:37:46
si yo hallo el vector, chavales, 00:37:48
hallo el vector que une 00:37:50
mi punto 00:37:51
de la recta, 00:37:54
¿vale? Mi punto de la recta 00:37:56
y mi punto P, 00:37:58
que precisamente me sale 0, 0, 6, 00:38:00
si no es 00:38:03
proporcional, si no es proporcional 00:38:04
al vector director, 00:38:07
entonces estoy comprobando 00:38:08
realmente que ese punto 00:38:11
es externo, ¿entendéis esto bien? 00:38:13
¿sí? vale 00:38:16
entonces, con esto nos ahorramos 00:38:17
precisamente lo anterior, pero yo os explico 00:38:19
las dos formas 00:38:21
no, que hay 00:38:22
infinitos planos, es porque ese punto 00:38:25
externo pertenece a la recta, ¿cuántos 00:38:27
cuántos, es un 00:38:29
haz, un haz de planos secantes 00:38:31
¿vale? tú tienes infinitos 00:38:33
planos que se cortan precisamente 00:38:35
en esa misma recta, ¿vale? 00:38:37
Porque es la distancia que va 00:38:43
desde P a P sub r. 00:38:44
El punto P me lo dan, ¿vale? 00:38:46
Y el P sub r lo he sacado 00:38:48
de las ecuaciones paramétricas de aquí. 00:38:50
¿Vale? 00:38:54
Entonces yo veo el 2, el 1, el 6. 00:38:55
¿Lo ves? 00:38:59
P sub r es 2, 1, 6. 00:38:59
Lo sé de una recta. 00:39:01
Si yo hago P, P sub r es 2 menos 2, 0. 00:39:02
1 menos 1, 0. 00:39:05
6 menos 0, 6. 00:39:06
¿Vale, chavales? Entonces, si estos dos no son proporcionales, fijaros que son los que tengo aquí dibujados en colorado. Sí, sí, sí. Perdóname, hija. Sí. Sí. Esto es igual a PSUR, ¿vale? ¿Vale? 00:39:08
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:39:26
Al no ser proporcionales 00:39:29
Yo ya puedo decir que el punto es externo 00:39:31
¿Vale? Y me ahorro todo el mogollón 00:39:34
De aquí, pero si no caigo 00:39:36
O no sé, lo puedo hacer 00:39:37
De esta forma, yo aquí los quiero explicar 00:39:39
Todas las formas viables 00:39:41
Y entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:39:43
PPR es el vector que une 00:39:49
Este punto de la red 00:39:52
Con el punto P externo 00:39:53
Claro, claro, yo estoy forzando 00:39:55
yo realmente mi plano, como yo quiero 00:39:58
que mi plano 00:40:00
pase, contenga la recta 00:40:01
y pase por P, precisamente 00:40:04
si yo uno cualquier 00:40:06
punto de la recta, cualquier punto 00:40:08
de la recta con ese punto P 00:40:10
me va a dar un vector director de ese plano 00:40:11
Ya lo tengo, claro, claro 00:40:14
con lo cual yo ya tengo los dos vectores 00:40:18
directores, ya se hace como antes 00:40:20
¿vale? A mí personalmente es que 00:40:22
me gusta más esta forma 00:40:24
¿vale? dime 00:40:25
¿pasa algo? 00:40:26
entonces el 00:40:33
PPR que han sacado es normal 00:40:34
no, no, no 00:40:37
PPR es el vector 00:40:38
que une cualquier 00:40:41
punto de la recta 00:40:43
con el punto P, en este caso 00:40:44
no cualquier punto, sino el punto 00:40:47
que precisamente he sacado de sus ecuaciones 00:40:49
paramétricas 00:40:51
no, es que precisamente, yo ahora que 00:40:51
tengo, fíjate que no sé si has escuchado lo que ha dicho 00:40:58
Hugo, yo ahora ya los 00:41:00
colorados estos que son 00:41:02
los vectores directores de mi plano 00:41:04
¿vale? son los vectores directores 00:41:06
de mi plano, entonces 00:41:09
puedo hacer la forma de que yo me invento 00:41:10
aquí punto X 00:41:12
y haya el vector 00:41:14
que va de P a X 00:41:16
y estos dos vectores directores 00:41:19
hago su determinante y lo igualo a cero 00:41:20
o la forma que a mí personalmente 00:41:22
más me gusta es, como tengo los dos 00:41:24
vectores directores, ahora sí 00:41:26
hallo su producto vectorial, este de aquí, Rufo, este de aquí, ya sí que es el vector normal, ¿vale? 00:41:28
Este de aquí ya es el vector normal, ¿de acuerdo al plano? 00:41:37
Yo igual tengo 30 menos 18, 0, lo paso a 5 menos 3, 0. 00:41:41
Dime. 00:41:46
¿Que el producto vectorial va a sacar el vector 10, pero no el vector normal? 00:41:47
No, el producto vectorial, siempre el producto vectorial lo que me hace es, 00:41:52
dado dos vectores, a mí me haya uno 00:41:57
perpendicular a los dos. 00:41:58
¿Vale? Ese es el concepto del producto vectorial. 00:42:01
¿Vale? Cuando el 00:42:03
sentido y demás depende, si yo 00:42:05
voy de aquí a aquí, va hacia arriba, si voy de aquí 00:42:07
hasta aquí, va hacia abajo. Pero el vector 00:42:09
tercero es perpendicular a los otros 00:42:11
dos. ¿Vale? Entonces, si yo 00:42:13
en un plano, imagínate el suelo, en un plano, 00:42:15
yo tengo dos vectores que no están 00:42:17
alineados, no tienen por qué ser 00:42:19
entre ellos perpendiculares. Yo tengo, por ejemplo, 00:42:20
la línea que va de aquí a donde 00:42:23
estás tú, y la línea que va de aquí 00:42:25
donde va Marco, por ejemplo. 00:42:26
Y entonces, claro, 00:42:29
claro, entonces, ¿qué ocurre? 00:42:31
Yo tengo el vector que va desde esta esquina a ti 00:42:33
y desde esta esquina a Marco, 00:42:35
no son vectores proporcionales 00:42:36
porque no están en la misma línea, 00:42:39
pero yo con eso, cualquier punto 00:42:41
del suelo yo lo puedo poner como una suma 00:42:42
de tu vector con una suma 00:42:45
del vector de Marco. 00:42:47
Bueno, pero es que, bueno, 00:42:47
¿quiero que se acabe normal 00:42:51
y nos dan 00:42:52
las comodidades infinitas? 00:42:53
eso es una recta, estás confundiendo 00:42:57
con una recta, ¿vale? 00:43:00
estás confundiendo con una recta 00:43:03
claro, tú ahí 00:43:04
lo que haces cuando tienes 00:43:09
bueno, cuando tú tienes las implícitas 00:43:10
de la recta que son 00:43:12
la intersección de dos planos 00:43:13
¿vale? la intersección de dos planos 00:43:16
pasa igual, si tú 00:43:19
esos dos planos 00:43:20
le haces el producto vectorial 00:43:21
precisamente tienes el vector 00:43:25
director de la recta, que fíjate la diferencia 00:43:26
tienes dos 00:43:29
tienes dos planos que se cruzan 00:43:30
que son secantes, que te dan 00:43:33
una recta, si tú haces el 00:43:35
producto vectorial, porque ahí 00:43:37
lo que tienes, ¿sabes lo que ocurre? 00:43:39
tienes los normales a cada plano 00:43:40
¿vale? y entonces al hacer el producto 00:43:42
vectorial tienes el vector 00:43:45
director de la recta, ahora lo que tú tienes 00:43:47
aquí son dos vectores 00:43:49
directores del plano y con el 00:43:51
producto vectorial obtienes 00:43:53
el perpendicular del plan 00:43:55
¿vale? 00:43:57
entonces el vector normal en la ecuación es al general 00:43:59
es ABC 00:44:01
por eso para mí es más fácil 00:44:02
vaya, dime 00:44:05
no, no, no 00:44:06
porque si no, fíjate 00:44:09
mira, está Petre y Carla en la misma línea 00:44:10
¿vale? si yo hago la línea que va 00:44:13
Carla y yo hago la misma 00:44:15
línea que va Petre, esos dos vectores 00:44:17
son proporcionales 00:44:19
entonces yo no puedo llegar nunca a Sendón 00:44:21
no puedo llegar nunca 00:44:23
Rodrigo, no puedo llegar ni siquiera ni a Claudia 00:44:25
que está al lado, fíjate 00:44:27
tienen que ser 00:44:29
no proporcionales 00:44:30
¿vale? tienen que ser 00:44:32
cualquier punto del suelo, tú imagínate 00:44:34
el suelo, ¿vale? yo me voy por ejemplo 00:44:37
es más, fíjate, yo me voy de aquí a Carla 00:44:39
me voy de aquí a Diego, me voy de aquí a 00:44:41
Claudia, puedo poner cualquier punto 00:44:43
del suelo, ¿vale? 00:44:45
entonces chavales, como 00:44:47
los problemas de antes, ¿vale? 00:44:48
ya tengo dos vectores directores, uno es de la propia 00:44:50
resta y otro de la unión de un punto 00:44:53
que yo sé de la resta con el punto externo 00:44:55
¿Qué hija? 00:44:57
Sí, lo que pasa es que el vector 00:45:09
te va a salir distinto, yo creo que lo que ocurre 00:45:11
como yo sé cuál es el punto PR 00:45:13
porque me lo da la resta, si tú quieres 00:45:14
otro punto, ¿cuál es tu número? 00:45:17
Raúl, su número favorito es el 7 00:45:20
¿no? Pues tú quieres hallar otro 00:45:21
punto que no sea el APR 00:45:23
pues Raúl le da aquí un 7 00:45:25
y el punto es 3 por 7 es 21 00:45:27
la X vale 23 00:45:29
esto vale menos 34 00:45:31
y esto vale 20 00:45:33
pues ese es otro punto 00:45:35
y ese otro punto que si yo lo uno 00:45:36
como es externo me va a dar otro 00:45:39
vector director, es que es lo que os digo 00:45:41
un plano 00:45:43
puede tener muchos vectores 00:45:44
directores, es más, si yo ya te digo 00:45:47
de aquí a Escudero y de aquí 00:45:49
a Martín 00:45:51
Yo tengo también cualquier punto 00:45:52
Pero es que de aquí a Mariela 00:45:55
Y de aquí a María López 00:45:57
Tengo dos vectores, también puedo obtener 00:45:58
Cualquier punto del plano, ¿vale? 00:46:01
Mientras que no estén en la misma recta 00:46:03
Yo lo que no puedo hacer nunca es, por ejemplo 00:46:04
Jimena Carla, que está en la misma línea 00:46:06
O Jimena Carla Petre, ¿vale? 00:46:08
Entonces, chavales, esto de aquí 00:46:11
Pues se halla 00:46:13
¿Vale? 00:46:15
Dejarme una cosilla, chavales 00:46:16
Las posiciones de dos planos 00:46:18
Cuando yo tengo dos planos, fijaros, tengo pi sub 1 y pi sub 2. 00:46:21
Entonces, yo tengo las ecuaciones generales de cada uno de ellos. 00:46:26
Tengo el a, b, c más b y a' b' c' y d' únicamente para distinguir que son dos planos distintos. 00:46:29
Entonces, fijaros que vamos a volvernos al tema 1, 2, 3 y 4. 00:46:37
Mi matriz está formada por los coeficientes. 00:46:42
Yo no tengo un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas. 00:46:46
tengo un sistema de tres incógnitas 00:46:50
con dos ecuaciones, ¿vale? 00:46:53
mi matriz M que es de los coeficientes 00:46:54
es ABC A' B' C' 00:46:56
y la ampliada 00:46:59
es ABC D A' B' 00:47:00
C' D' ¿lo veis? 00:47:03
¿sí o no? esta es una matriz 2x3 00:47:04
y esta es una matriz 2x4 00:47:07
¿sí o no? entonces chavales 00:47:08
si los 00:47:11
coeficientes, es decir, el vector normal 00:47:12
de pi 1 y el vector normal de pi 2 00:47:14
no son proporcionales 00:47:17
no son proporcionales, ¿cómo son esos vectores entre sí, chavales? 00:47:18
Generalmente dependiente. 00:47:24
Si yo hago el determinante de cualquier menor de orden 2, 00:47:26
¿cuánto me va a salir ese determinante? 00:47:30
¿Me va a salir distinto de 0? 00:47:32
Muy bien, Hugo. 00:47:34
Y entonces, ¿qué puedo decir yo? 00:47:35
Que como tengo dos, el rango es 2. 00:47:37
No sé si me has dicho eso, Claudia. 00:47:39
No, no, espérate. 00:47:42
Sí, luego los vectores, los planos se van a cortar. 00:47:44
O no, o no. 00:47:47
Entonces, sí, efectivamente, se cortan los dos. Son, el rango es 2. Como la ampliada es 2 por 4, también su rango es 2, ¿lo veis? Su rango es 2. Entonces, ¿qué ocurre? Que el rango de la M es 2, que es igual al rango de la M ampliada, pero que es distinto de 3. 00:47:48
El número de incógnitas, estábamos en un sistema compatible, indeterminado, con infinitas soluciones. 00:48:06
Precisamente, si yo me pasa esto, ¿qué es lo que tengo? ¿Cuáles son esas infinitas soluciones? 00:48:14
Mi resta. Mi resta, cuando me lo dan en implícita, es realmente la intersección de dos planos. 00:48:19
Tengo infinitas soluciones. 00:48:26
¿Y qué es lo que ocurre? Que, claro, esos vectores normales a los planos no pueden estar en la misma línea. 00:48:29
¿Vale? Entonces, chavales 00:48:35
tenemos planos distintos 00:48:37
y su intersección en la recta 00:48:39
y ahí viene la ecuación 00:48:41
implícita de una recta cuando está dada 00:48:43
por la intersección de dos planos 00:48:45
Una cosilla, si los fueran proporcionales 00:48:47
si el vector normal de pi1 00:48:50
y el vector normal de pi2 00:48:52
fuesen 00:48:54
proporcionales, el rango 00:48:54
de la matriz M es 1 00:48:57
y ahora me tengo que fijar en los términos 00:48:59
independientes. Si los términos 00:49:02
independientes no son 00:49:04
proporcionales, yo me voy a 00:49:05
encontrar que el rango de la matriz 00:49:08
ampliada es 2, ¿vale? 00:49:09
El rango de la matriz ampliada es 2, entonces 00:49:12
¿qué ocurre? Que si el rango de 00:49:13
M1, el rango de la ampliada es 2 00:49:15
en un sistema incompatible 00:49:18
son planos 00:49:19
paralelos, planos paralelos 00:49:22
porque no se van a cortar 00:49:24
nunca, ¿vale? Son planos 00:49:26
paralelos que además fijaros una cosa 00:49:28
¿cómo sé que los planos son paralelos? 00:49:29
Comparten la misma farola 00:49:32
pero el término independiente es diferente, ¿vale? 00:49:34
Entonces, son proporcionales el vector normal de cada uno de ellos, 00:49:38
que es la farola que tienen en común, 00:49:42
pero el término independiente es distinto entre ellos. 00:49:44
Y acabo con esto un segundillo. 00:49:47
Sin embargo, si los cuatro, el ABCD, son proporcionales en la misma proporción, ¿vale? 00:49:49
¿Qué ocurre? 00:49:57
Que el rango de estos sigue siendo 1 porque son todos proporcionales, 00:49:58
También es igual a 1. El coño este, la de esta ampliada, ¿vale? Son rango igual a 1. Como es distinto de 3, que es el número de incógnita, es un sistema compatible indeterminado. Tengo infinitas soluciones, pero ahora no tengo una recta. Tengo que son el mismo plano. Son planos coincidentes. 00:50:02
solamente hay tres posibles posiciones 00:50:23
de dos planos, o que se corten 00:50:27
y queda una recta 00:50:29
que sean paralelos, que no se cortan 00:50:31
o que sean el mismo plano 00:50:33
claro, no te aporte 00:50:34
información ninguna 00:50:40
de dos planos 00:50:41
nos vemos luego 00:50:43
¿sí? 00:50:45
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
7
Fecha:
12 de noviembre de 2025 - 17:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
50′ 49″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
77.81 MBytes

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