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2-4BT2 - Contenido educativo

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Subido el 2 de abril de 2024 por Francisco J. M.

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Antes de empezar, como siempre, os digo que he empezado a grabar y si alguien tiene algo en contra, como siempre, que lo diga ahora y si no, pues por la clase, como siempre. 00:00:00
Bueno, antes de empezar, como ha habido un cambio de escenario respecto del año pasado, creo que algunos estáis un poco confundidos con cómo va a ser el examen de dentro de dos semanas. 00:00:15
La estructura del examen final es como la del curso pasado, pero la distribución de los temas es distinta. 00:00:33
Entonces, tenéis cuatro ejercicios por evaluación. El que tenga que hacer una evaluación sería la tercera. Tiene que elegir tres de los cuatro ejercicios de la evaluación. 00:00:48
El que tenga dos evaluaciones, de los tres primeros de cada evaluación que tenga que recuperar, tiene que hacer dos. 00:01:03
Son cuatro ejercicios por evaluación, pero el que solo tenga una, yo le quiero dar optatividad como a todo el mundo, entonces de cuatro solo tiene que hacer tres. 00:01:16
Entonces, el que tenga dos evaluaciones hace dos de una y dos de otra, pero no de los cuatro ejercicios, sino de los tres primeros. ¿Por qué? Por equilibrar un poco la adaptatividad de uno para el otro. 00:01:24
Y luego, el que tenga tres evaluaciones tiene que elegir dos, dos y uno. ¿Puede elegir dos de dos evaluaciones? Me parece que es así. Sí, sí, son cinco ejercicios. 00:01:38
Entonces, de todas formas, ¿qué es eso? Había gente que estaba muy preocupada, ¿cómo os voy a hacer esto? ¿Cómo os voy a hacer un examen que puede llegar a ser tan largo? Lo máximo son cinco ejercicios. Si tenéis una evaluación, son tres. Si tenéis dos evaluaciones, son dos. Y dos, cuatro. Y si tenéis las tres evaluaciones, son dos más dos más uno. Ese uno puede ser de la primera, de la segunda, de la tercera evaluación. 00:01:49
Vale. Dicho eso, si hay alguien que ve que tiene aprobada alguna evaluación y le supone alguna mejora, el poder… Por favor, confirmadme que me escucháis por el chat, porque no estoy viendo el micrófono que se mueva. Entonces, no estoy seguro de si os estoy viendo. 00:02:13
Vale, vale. Entonces, si hay alguien que ve que alguna de las modalidades que tiene que hacer más ejercicios le compensa, puede hacerlo. Me ponéis en el examen. 00:02:39
No, no, no. Los que tenéis el final, el que haga el examen completo son dos, dos y uno. Eso es intocable. Pero es que a lo mejor hay alguien que dice, bueno, yo es que la última evaluación la llevo muy mal. 00:02:56
Prefiero hacer solo un ejercicio de geometría y dos de análisis. La actividad es que el que tenga alguna evaluación aprobada o si hay alguien que tiene una aprobada y una suspensa, 00:03:16
O que tenga dos aprobadas y diga, pues yo prefiero hacer dos de la segunda evaluación y dos de la tercera. O sea, eso siempre me lo ponéis, me escribís, elijo esta opción, aunque tengo esta evaluación aprobada. 00:03:31
Bueno, entonces, dicho eso, como os comenté el otro día, antes de las vacaciones, hoy vamos a hacer un repaso de los temas para que veáis lo que son ejercicios completos. 00:03:48
Yo lo digo porque referencias de exámenes de otros años no he encontrado muchos porque están partidos, la geometría está partida en dos evaluaciones. 00:04:01
Eso es lo que he querido evitar porque si no, yo creo que es un follón y sobre todo de cara a esta examen final. 00:04:09
Entonces hay ejercicios que son bastante completos en el sentido de que esta parte, por ejemplo, es del tema de vectores, esta parte es de áreas, esta parte es de volúmenes. Son cosas distintas. 00:04:15
son ejercicios todos de Bauch 00:04:28
y bueno, en este 00:04:31
os pide calcular 00:04:33
la distancia, no me acuerdo muy bien 00:04:35
cuál era el apartado B, pero podéis 00:04:36
verlo en internet, en el enlace 00:04:39
que tenéis de ejercicios de Bauch 00:04:41
que están todos resueltos, podéis echarles 00:04:42
un vistazo 00:04:45
este tercero, os habla de posición relativa 00:04:45
de calcular 00:04:49
la ecuación que contiene a dos rectas 00:04:50
y del ángulo que forman 00:04:53
como veis, barren un poquito 00:04:54
toda la geometría. Esto sería de los dos primeros, no, de los temados de geometría 00:04:56
y este de aquí es del último tema de ángulos y distancias. El siguiente. Dada la ecuación 00:05:03
de una recta y de un plano, posición relativa. Si tienen intersección, pues el punto de 00:05:13
corte. La proyección ortogonal. Este lo he elegido precisamente porque a lo mejor no 00:05:19
sabéis lo que es la proyección ortogonal. 00:05:26
En todos los textos sale. 00:05:28
En el que tenéis también. 00:05:30
Pero si hay algún concepto que no entendéis 00:05:32
me lo preguntáis. 00:05:34
O sea, la proyección ortogonal sería como 00:05:36
la sombra. 00:05:38
Bueno, espero que no os dé tiempo 00:05:40
a hacer este. Y luego a hacer un simétrico. 00:05:42
Entonces, como veis, este es 00:05:45
de posición relativa y 00:05:46
este pues es de 00:05:48
ejercicios variados teniendo 00:05:49
los mismos datos. Este 00:05:52
Otra vez, posición relativa, que aparece mucho. 00:05:54
Ahora, calcular un elemento, en este caso el plano que contiene a las dos rectas. 00:05:57
Y ahora, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q. 00:06:02
Ese sería otro tipo de ejercicio. 00:06:09
Tendréis un plano y una recta. 00:06:13
Verificar que la recta está contenida en el plano y que el punto también está en este plano. 00:06:16
os pide calcular una recta 00:06:22
contenida en el plano que pase por P 00:06:25
y sea perpendicular a R1 00:06:26
como veis son ejercicios 00:06:28
y luego 00:06:31
R1 cuadrado 00:06:32
son ejercicios en los que se combinan 00:06:34
los tres temas de vectores 00:06:36
bueno entonces, dicho eso 00:06:38
me voy al principio y lo que voy a hacer 00:06:40
en la próxima clase empiezo desde el final 00:06:43
si hay algún ejercicio que se haya 00:06:44
quedado sin hacer 00:06:47
bueno como veis he copiado 00:06:48
las soluciones, por si acaso hay algún error en las cuentas, que pueda haberlo. Es susceptible 00:06:51
de que se lo haga y de que haya un error. Y bueno, empezamos diciendo que es muy importante 00:06:59
que sepáis explicar los ejercicios, que digáis más o menos qué hacéis. Entonces, a ver, 00:07:10
Tenemos el primero, más o menos para abrir boca, que nos dan cuatro puntos. 00:07:16
A, B, C y D. 00:07:21
Dice, comprobar que los puntos no son coplanarios. 00:07:23
Coplanarios significa que están en el mismo plano. 00:07:27
Si yo tengo cuatro puntos, para que no sean coplanarios, 00:07:37
a ver, si yo tengo, si yo tomo los vectores A, B, C, 00:07:44
AC y AB. Bueno, aquí como estamos en el espacio, estoy representando el espacio en el plano, yo no sé si esto tira para arriba o es que este está a la izquierda de este girado. 00:07:52
Bueno, deberíais saber que si son coplanarios, entonces el rango de AB, AC y AD es 3. O sea, son linealmente independientes. 00:08:04
Para ver esto, puedo hacer dos cosas. Puedo, o bien, utilizar el método de Gauss, o bien ver que el determinante que forman los vectores es distinto. 00:08:30
cualquiera de las dos cosas funciona 00:08:54
generalmente 00:09:00
se utiliza lo más operativo 00:09:01
que es esto, calcular el determinante 00:09:04
pero si hacéis Gauss, tendría que salir 00:09:06
el rango 3 00:09:08
3 líneas 00:09:09
una vez 00:09:12
escalonada distintas de 0 00:09:13
bueno, entonces, calculo el vector 00:09:15
a ver, esto 00:09:18
como siempre os lo digo 00:09:20
haced vuestra hoja resumen 00:09:21
si esto no lo sabéis 00:09:23
¿no? Si cuatro puntos 00:09:25
no, condición para que cuatro puntos no sean 00:09:27
coplanarios 00:09:29
bueno, aquí, perdón 00:09:30
aquí es que 00:09:35
no son coplanarios 00:09:36
si es distinto a esto 00:09:38
porque puede generar confusión 00:09:40
coplanarios 00:09:42
aquí no son coplanarios 00:09:44
bueno, entonces, el vector a b 00:09:46
sabéis que es extremo menos origen 00:09:49
1 menos 0, 1 00:09:50
1 menos 0, 1 00:09:52
y 0-1-1. El vector AC. El vector AC es 1-0-1, 0-0-0 y menos 1-1-8. Y el vector AB es 1-0-1, 00:09:54
1 menos 0, 1, y 2 menos 1, 1. Entonces calculo el determinante, sale 0, menos 2, menos 1, más 0, aquí sería menos 2 cambiando de signo más 2, y 1 cambiando de signo menos 1. 00:10:20
O sea, que este determinante vale menos 2, distinto de 0. Entonces, no son coplanarios. La primera parte, pues es una parte del tema de vectores. 00:10:53
Ahora, segunda parte 00:11:13
Hallar el área del triángulo 00:11:34
Apartado B 00:11:37
Hallar el área del triángulo que forman los puntos B, C y D 00:11:43
Y el ángulo P del mismo 00:11:49
Vale, entonces como veis es un ejercicio 00:11:53
Todavía sigue siendo del centro 00:11:57
Tengo los puntos B, C y D. No hace falta dibujarlo muchas veces. 00:11:58
Entonces, el área del triángulo, para eso sabéis que el área del parabelogramo es el módulo del producto vectorial de B, C con B, D. 00:12:12
Y todo esto, si no os acordáis, áreas, ¿no? Entonces, el área del triángulo será... Ah, claro, es verdad, el volumen detrás de lo que forma. Ah, es verdad. Bueno, daba menos 2, ¿no? No os preocupéis porque es que está hecho, está hecho. 00:12:32
Porque al hacer el volumen del tetraedro que forman, acordaos que era el determinante, ¿y entre cuánto se dividía? Se dividía entre 6. 00:12:59
acordaos 00:13:22
¿por qué? porque la base 00:13:24
del tetraedro es un triángulo 00:13:26
que es la mitad del 00:13:28
paralelogramo, pero que sabéis 00:13:30
que si tenéis una pirámide 00:13:32
el volumen de la pirámide es la tercera 00:13:34
parte del volumen de 00:13:36
la figura que sería recta 00:13:38
esto os lo explico en su momento 00:13:40
entonces 00:13:42
esto es 00:13:44
el valor absoluto del determinante 00:13:46
el determinante nos había 00:13:48
salido menos 2 00:13:50
Entonces, sale dos sextos, que es un tercio. A mí me gusta más poner el resultado exacto. Unidad es lo que tengo. Muchas gracias. 00:13:52
Entonces, bueno, que sepáis que la cuenta del volumen nos sirve. A ver, si este volumen fuera cero, quiere decir que estamos en el mismo plano, que la figura es plana. Muchas gracias. 00:14:05
bueno, entonces ahora dice 00:14:17
calcula el área del triángulo que forma 00:14:19
los puntos BC y B 00:14:21
y el ángulo B del mismo 00:14:23
bueno, entonces aquí 00:14:25
y me piden este ángulo 00:14:27
vale, entonces 00:14:29
me voy aquí, el vector 00:14:31
es B menos A 00:14:34
lo hemos hecho 00:14:37
perdón, C menos B 00:14:39
1 menos 1, 0 00:14:41
0 menos 1, menos 1 00:14:42
y menos uno menos cero menos uno. 00:14:45
Y el vector BD sería uno menos uno cero, 00:14:49
uno menos uno cero y dos menos cero dos. 00:14:56
Entonces calculo el producto vectorial, 00:15:02
cero menos uno menos uno, cero cero dos. 00:15:17
Esto sale menos dos y, este sale cero, cero, cero, cero, cero, cero. 00:15:22
¿Sale solo menos 2i? Sí, porque está escalonado. 00:15:26
Sale menos 2i, ¿no? O sea, que este es el vector 00:15:29
menos 2, 0, 0, ¿sí? 00:15:32
Os recuerdo que el producto vectorial 00:15:36
es un vector que es perpendicular a estos dos. 00:15:39
Es una cuenta bastante importante. 00:15:43
El producto vectorial sirve para calcular áreas 00:15:45
y para calcular un vector que sea perpendicular 00:15:48
a otro vector. 00:15:51
Entonces, una vez que tengo este resultado, 00:15:53
Y el módulo de este vector es la raíz de menos 2 al cuadrado más 0 al cuadrado más 0 al cuadrado, que sale la raíz de 4, que es 2 unidades de superficie. 00:15:56
Entonces, el área del triángulo es el área del paralelogramo, que es 2 partido por 2, que es una unidad de superficie. 00:16:13
Bueno, ahí falta el ángulo B. 00:16:32
Y el ángulo. 00:16:38
A ver, el ángulo. 00:16:42
El ángulo, tenéis que saber que el coseno del ángulo B es el producto escalar de BC con BD partido por el producto de los módulos. 00:16:43
Entonces, BC es 0, menos 1, menos 1. 00:17:13
Y BD es 0, 0, 2. Y aquí el producto de los módulos, que es meter una epitáloga en tres dimensiones, queda 0 más menos 1 al cuadrado, más menos 1 al cuadrado, por 0 más 0 más 2 al cuadrado. 00:17:19
Bueno, entonces nos queda 0 por 0, 0, menos 1 por 0, 0, menos 1 por 2, menos 2, partido por la raíz cuadrada de, aquí queda, si no me equivoco, 2, y aquí queda 2. 00:17:42
Uy, pues este resultado no está bien, parece. 00:18:09
menos 1 partido por raíz de 12 00:18:12
¿vale? 00:18:15
así sí está bien 00:18:20
135 grados 00:18:21
bueno, aquí como veis se me ha olvidado 00:18:22
poner el resultado del área 00:18:25
que supongo que estará bien 00:18:27
entonces 00:18:28
el ángulo 00:18:29
para hacer el ángulo B 00:18:33
sabéis que tenéis que hacer 00:18:35
el sin coseno 00:18:37
de menos 1 partido por raíz de 2 00:18:38
y sale 00:18:42
calculadora 00:18:43
vale 00:18:47
si sale punto 35 00:18:55
si coseno 00:18:58
menos 00:19:01
1 partido por raíz de 2 00:19:03
no hace falta racionalizarlo 00:19:06
y si está esto en grados 00:19:08
135 grados, vale 00:19:15
si a alguien le sale 00:19:17
45 grados 00:19:18
también está bien 00:19:21
porque, bueno, sería 00:19:22
No, sería el otro, 360 menos esto que serían 225. Bueno, pues entonces que veáis que si sabéis hacer las, si tenéis las cuentas, los conceptos claros, los ejercicios son bastante mecánicos. 00:19:25
Las cuentas no son difíciles, lo único que tenéis que saber muy bien para qué calcular, qué tenéis que utilizar en cada caso. 00:19:51
En ese sentido, el primer tema, que muchas veces se pasa de largo porque es el menos desarrollado, 00:20:01
es fundamental que sepáis trabajar con vectores para que siga un producto vectorial, un producto escalar. 00:20:11
producto vectorial, ya os he dicho, para calcular áreas 00:20:18
y para calcular un vector perpendicular 00:20:22
producto escalar para calcular ángulos 00:20:24
y había otra cosa 00:20:27
y calcular el módulo de un vector, que eso no sale constante 00:20:31
y distancia 00:20:34
bueno, el siguiente, hallar uno de los puntos 00:20:36
del plano determinado por A, B y C 00:20:40
A, B y C 00:20:42
A, B y C, yo sé que no están alineados 00:20:44
¿Por qué? Porque si los vectores AB, AC y AB son linealmente independientes, el vector AB y el AC tienen que ser linealmente independientes. 00:20:48
Entonces, os dice, haya uno de los puntos para que esto sea un paralelogramo. 00:20:59
¿Por qué hay varias posibilidades? Porque si yo tomo este vector y este vector, este sería un posible punto. 00:21:05
¿Pero qué es lo que pasa? Que hay otras posibilidades. 00:21:14
Si yo cojo el paralelogramo que hay que por aquí, aquí habría otro posible punto. 00:21:17
O si cojo el paralelogramo que hay por aquí, aquí hay otro punto. 00:21:23
No sé si se me escapa alguna posibilidad, pero si veis, hay otras posibilidades. 00:21:28
Aquí, en todos los casos, se forman paralelogramos. 00:21:33
Entonces, vosotros podéis elegir el que queráis en este ejercicio. 00:21:37
El natural que siempre se me ocurre a mí, porque, vamos, como matemático, 00:21:43
es que generalmente los puntos se ponen en el sentido de las agujas del reloj. 00:21:49
Como matemático debería ser este, porque serían A, B, C y D. 00:21:54
Pero, vamos, como me ha salido este, me ha salido este. 00:21:59
Entonces, este ejercicio, que aparentemente es muy complicado, 00:22:03
pues consiste en decir 00:22:06
que esos tres vectores son 00:22:08
que son iguales 00:22:12
que representan al mismo vector libre 00:22:17
bueno, pues esto lo puedo hacer de dos formas 00:22:20
os lo voy a decir de la forma vectorial 00:22:23
porque es la que más me gusta 00:22:25
que es decir que el vector E 00:22:27
es C más el vector AB 00:22:29
no sé si lo veis 00:22:32
si yo cojo el vector AB 00:22:36
y se lo sumo a C, me pongo aquí. 00:22:37
Recuerdo que sumarle un punto a un vector consiste en trasladar un punto 00:22:41
respecto de lo que hace este vector. 00:22:45
Si alguien lo quiere hacer de otra forma, podéis decir que el vector C 00:22:49
es igual al vector AB. 00:22:59
como tenéis el punto genérico 00:23:05
x menos tal, x menos tal, z menos tal 00:23:09
igual a este vector que conocéis 00:23:11
se puede despesar 00:23:13
¿verdad? 00:23:15
si se te ocurre así está perfecto 00:23:18
¿no? yo prefiero deciroslo así 00:23:20
porque esto es muy útil 00:23:22
para cuando luego os cuente el simétrico 00:23:23
aunque el simétrico también se puede hacer así 00:23:25
¿no? 00:23:27
bueno, entonces 00:23:29
el vector e es c más ab 00:23:30
Bueno, pues el vector AB, lo hemos calculado al principio, es el vector 1, 1, menos 1, y esto como veis, 1 más 1, 2, 0 más 1, 1, y menos 1, menos 1, menos 2, ya está hecho, ya es como tiene más. 00:23:34
Ah, y allá del área de derecho paralelogramo. Pues el área de derecho paralelogramo, como veis, es un ejercicio largo, pero con las cuentas básicas. O sea, este ejercicio sirve muy bien para que fijéis muchos conceptos que necesitáis. 00:24:04
aquí la parte que no está incluida es la de posiciones relativas 00:24:25
y de planos que contienen las rectas y todas estas cosas 00:24:29
el área 00:24:32
sabéis que es el módulo del producto vectorial 00:24:34
de A, B, O, A, C 00:24:37
y os fijáis 00:24:43
no hace falta, si en el examen no sabéis 00:24:46
hacer la primera parte, la segunda sabéis hacerla 00:24:49
que lo sepáis que también 00:24:52
Dentro de los apartados, aunque no sepáis hacer todo, pues podéis saber hacerlo a una mitad o con parte del ejercicio. 00:24:57
Bueno, el vector AB hemos dicho que es el 1, 1, menos 1. 00:25:04
Y el vector AC, como lo hemos hecho ya, lo hago aquí, 1, 0, menos 2. 00:25:11
Entonces esto sale, menos 2I, menos J, menos 2I, menos J, menos K, más 2J. 00:25:19
O sea, que sale el vector menos 2, 1, menos 1. 00:25:33
Y entonces el módulo es, 00:25:39
2 al cuadrado más 1 al cuadrado más 1 al cuadrado, 00:25:43
que es raíz de 6 unidades de longitud. 00:25:46
Lo hago rápido, si queréis en casa que me detengan alguna cosa, me lo decís. 00:25:51
Ya son cálculos que se van repitiendo. 00:25:56
Bueno, voy a comprobar las soluciones, 00:26:00
Por si acaso existen varias posibilidades. Bueno, existen varias posibilidades, pero que veáis que esto siempre tiene que salir en la raíz de 6. Existen varias posibilidades para la primera parte, para la segunda no. 00:26:01
No me había fijado, pero vamos, si buscáis este ejercicio en el documento de ejercicios de BAU, pues podéis encontrarlo. 00:26:21
Bueno, como veis, el ejercicio es largo, pero insisto, dentro de la geometría este es un ejercicio para ver si tenéis claros los conceptos, sobre todo de cálculos con vectores. 00:26:31
Bueno, pasamos al siguiente. 00:26:45
Cambiamos de tercia. 00:27:11
Tenemos una recta y un punto. 00:27:12
Y dice, calcula la distancia de un punto a un ángulo. 00:27:14
Y pregunta que en qué punto de la recta se alza. 00:27:17
La primera parte es muy sencilla. 00:27:20
La segunda no es tan fácil. 00:27:23
Entonces, nos vamos primero a lo fácil. 00:27:29
Calcula la distancia de un punto a un ángulo. 00:27:33
Se supone que sabéis que la distancia de un punto más recto es, yo me acuerdo, haciendo el dibujo, es el área de este paralelogramo dividido entre, este de aquí, ¿no? 00:27:35
Con lo cual, la altura, que es lo que me interesa, que es la distancia de aquí a aquí, es el área del paralelogramo, que es el producto vectorial de AP por U, partido por la base de ese paralelogramo, que es U. 00:28:10
Muchas veces, sin decirlo, nos dan una recta y yo me voy directamente a calcular un punto y un vector directo. 00:28:30
En este caso, como veis, este sistema está escalonado. 00:28:42
Aquí me queda que x es igual a 4 más z. 00:28:46
Si sustituyo aquí, fijaos que las cosas se repiten, lo que pasa es que son muchos procesos. 00:28:52
Si sustituyo aquí me queda 4 más z más y, perdón, más z. 00:28:58
4 más z que es x, más y, más z igual a 2. 00:29:08
Con lo cual me queda 2z igual a menos 2 menos i, ¿no? 00:29:13
Entonces, z es igual a menos 2 menos i partido todo. 00:29:24
Me interesa despejar la A, porque todo aquí es lo que queda en función de z. 00:29:34
O sea, que queda que Y es igual a menos 2 menos 2Z. Entonces, acordaos, he utilizado estas dos ecuaciones para resolver. La Z no la puedo sacar, con lo cual X es igual a 4 más Z, Y es igual a menos 2 menos 2Z y Z puede tomar cualquier valor. 00:29:39
Porque al resolver el sistema no me sale. No puedo saber cuánto vale. Entonces, me queda 4 menos 2, 0, el punto, y el vector director es el 1 menos 2, 1. Estos son los cálculos previos. 00:30:07
entonces, primera parte 00:30:27
tenéis que tener muy claro 00:30:35
que el producto vectorial sirve para 00:30:37
calcular áreas y distancias 00:30:39
¿en qué sentido? 00:30:41
en los que tenéis que tener, espero que tengáis 00:30:43
vuestro uso, entonces 00:30:45
una vez venís aquí 00:30:47
el vector AP 00:30:48
el vector AP 00:30:50
ya veis, coordenadas de extremo menos origen 00:30:53
¿no? 00:30:57
perdón, 4 00:30:58
Menos 4, 0. Menos 2, menos menos 3, 1. Y 0, menos 4, menos 4. Entonces, si hacemos aquí el producto vectorial, 0, 1, menos 4, y menos 2, 1, me sale. 00:31:00
Y menos 4J, aquí me sale 0, menos K, más M menos 8Y y aquí sale 0. 00:31:29
O sea que me sale el vector menos 7, 4, menos 4, menos 1. 00:31:40
Entonces, el módulo del producto vectorial es la raíz de 49 más 16 más 1, que en el denominador me queda, el módulo de U, que es 1 más 4 más 1. 00:31:49
Y esto queda, si no me equivoco, 66 raíz de 66 partido por raíz de 6. 00:32:12
Bueno, esto sabéis que se mete en un redecar, 66 entre 6 es 11. 00:32:22
Y esta es la distancia de unidades de un objeto. 00:32:28
Vamos a revisar la solución para que no... 00:32:32
Aquí está, raíz de 11, ¿vale? 00:32:35
porque es para, siempre vamos a evitar 00:32:37
tener problemas con esto 00:32:39
porque 00:32:42
si no, ah 00:32:42
vale 00:32:45
entonces, dice 00:32:45
bueno, ya sé cuál es la distancia 00:32:51
y ahora me pide 00:32:57
en qué 00:33:14
punto de la recta se alcanza 00:33:15
vamos a ver 00:33:18
no, no es el simétrico porque es 00:33:19
el punto medio con el simétrico. 00:33:26
Eso sí. 00:33:29
A ver. 00:33:31
El ejercicio es parecido al del simétrico. 00:33:32
A ver, dice, ¿en qué punto de la recta se alcanza? 00:33:34
Hacemos un pequeño esquema. 00:33:37
Esta es la recta R, ¿no? 00:33:39
Este es 00:33:42
el punto A. 00:33:43
Y nos pide calcular 00:33:44
este punto A'. 00:33:46
Si queréis 00:33:48
lo llamo B porque no es el simétrico. 00:33:50
Si os pidiera 00:33:56
el simétrico, está aquí. 00:33:57
Y sabéis que si tenéis el punto medio, si conocéis este punto y este punto, el simétrico se puede hacer con cálculos con vectores. 00:33:58
Pero os pide esto, es un poquito más corto. 00:34:08
Entonces, ¿cuál es la estrategia? Pues tenéis que acordaros de que, estrategia, primero tengo que calcular el plano perpendicular a R. 00:34:13
que pasa por A 00:34:28
se puede hacer de otras formas 00:34:33
por cierto, porque hay gente que lo hace 00:34:36
con parámetros 00:34:38
poniendo condiciones al vector 00:34:39
plano perpendicular a R que pasa por A 00:34:42
supongo que lo veis 00:34:45
que si yo tengo 00:34:47
una recta así 00:34:48
y le hago un tajo perpendicular 00:34:49
este es el punto A 00:34:52
ese me va a dar 00:34:55
el punto de corte que hay 00:34:58
entonces sería 00:34:59
Tú que estás aquí, tienes la recta, tienes este punto, das un tajo así y esto va a ser el punto de corte. 00:35:01
Bueno, segundo, A' es el punto de corte de pi con R. 00:35:08
Bueno, pues una vez diseñada la estrategia es que se va a discutir a las cuentas. 00:35:26
Plano perpendicular a R que pasa por A. 00:35:33
A ver, si no me equivoco, R, ¿tú tienes los datos? ¿Cuál era el vector directo? 00:35:35
Ese es el punto, ¿no? 00:35:53
Ese es el punto que llamábamos P4-2,0. 00:35:56
Y el vector 1-2,1. 00:36:02
Bueno, entonces, ¿qué me interesa de momento de la recta? El vector director. Porque este yo sé que es este u, es el vector perpendicular al plano. ¿Lo veis? 00:36:07
si yo tengo el vector director de la 00:36:28
recta, es el vector 00:36:31
perpendicular al plano 00:36:32
por definición de perpendicularidad 00:36:34
entonces yo sé que el plano 00:36:36
que busco es 00:36:38
x menos 2y 00:36:40
más punto más b 00:36:43
igual a c. Otra cosa 00:36:44
que tenéis que acordaros 00:36:49
que si tenéis 00:36:51
un plano así 00:36:52
el vector perpendicular 00:36:58
es a, b, c 00:37:00
Como veis son bastantes detalles, las cuentas sencillas, ¿no? Este es el perpendicular. 00:37:03
Bueno, entonces, estoy buscando que pase por A. 00:37:09
Pasa por A. 00:37:19
Para que pase por A tengo que sustituir, aquí es Z, 00:37:21
Tengo que sustituir el punto A, o sea, 4 menos 2 por menos 3 más Z, que es 4, más D, igual a 0. 00:37:25
Sustituyo el punto en el plano para calcular el T que me da el plano que cumple esa ecuación. 00:37:40
Bueno, si aquí despejo me queda 4 más 4, 8, más 6, 14, o sea que D vale menos 14. 00:37:50
Entonces, ya me voy al último paso, que es que el plano es X menos 2Y más Z menos 14 y van a 0. 00:38:00
Y que os recuerdo que para calcular la intersección de un punto con un plano, si se puede, es mejor pasarlo a paramétricas. 00:38:23
Aquí yo sé que x es igual a 1, a 4, más t. 00:38:40
Y es igual a menos 2 menos 2T. Y Z es igual a 0 más T. ¿Os acordáis? Punto 4 menos 2, 0. Vector 1 menos 2, 0. 00:38:47
¿Sí? Entonces sustituyo aquí, me queda 4 más t menos 2 por menos 2 menos 2t, que es la i, más z que es t, menos 14 igual a 0. 00:39:05
Entonces, de aquí reduzco, me queda 4 más t, más 4 más 4t, más t menos 14 igual a 0. 00:39:28
O sea que 5, 6t, 6t, 4 y 4, 8, 8 menos 14 menos 6 igual a 0. 00:39:45
Con lo cual me queda que t es igual a 1, ¿no? 00:39:58
Bueno, pues el punto de intersección es aquel en el que x es igual a 4 más 1 y es igual a menos 2 menos 2 por 1, que es 2, y z es 1. 00:40:01
pues el punto me queda 00:40:20
a prima 00:40:22
es el 5 00:40:26
menos 4 00:40:28
si no os gusta esto 00:40:30
yo siempre intento daros 00:40:33
alternativas 00:40:36
si al hacer la intersección del punto 00:40:36
con la recta no queréis hacer 00:40:39
paramétricas, sabéis que 00:40:41
otra forma de 00:40:44
calcular el punto de corte 00:40:45
sería coger esta ecuación 00:40:48
y estas dos 00:40:49
resolvéis el sistema 00:40:51
y os tiene que salir exactamente 00:40:53
lo mismo. Si queréis hacerlo 00:40:55
resolviendo sistemas por Gauss 00:40:57
tenéis más seguridad 00:40:59
si cogéis estas dos ecuaciones y esta 00:41:00
es un sistema de tres ecuaciones 00:41:03
con tres incógnitas que sé 00:41:04
que es compatible 00:41:07
y determinado 00:41:09
porque 00:41:11
la condición de perpendicular 00:41:13
de perpendicularidad que nos 00:41:15
impuesto. 00:41:17
Bueno, entonces 00:41:19
es 5 menos 4, 1. 00:41:20
Está comprobado el resultado, ¿no? 00:41:22
Bueno. 00:41:25
Pongo en este ejercicio 00:41:28
para que, vamos, 00:41:30
que creo que es mejor verlos en su 00:41:34
completitud. Si alguien 00:41:36
se da cuenta, pero aquí tenéis que tener 00:41:38
mucha seguridad, no 00:41:40
hacía falta hacer esta primera parte. 00:41:41
Porque si yo calculo el punto 00:41:44
de la recta en que se alcanza, 00:41:46
¿no? 00:41:48
A ver, me voy a explicar. Primera cosa. Vamos, la primera cosa es que, otra forma, otras formas. Para hacer A', podía haber resuelto el sistema que forma las dos ecuaciones de la recta. ¿Y cuál era la del plano? 00:41:48
menos 14 igual a 0 00:42:22
si a alguien no le gusta 00:42:32
hacerlo de la otra forma 00:42:34
lo hacéis así 00:42:35
otra forma 00:42:37
y otra forma 00:42:39
esto uno, y dos 00:42:41
si hubierais querido hacer 00:42:43
la distancia entre 00:42:45
el punto A y la recta R 00:42:48
no hacía falta hacer el apartado A 00:42:51
podéis haber hecho la distancia entre A y A' 00:42:54
¿No? Entonces, es el punto 4 menos 3, 4. ¿Y cuál es el punto A'? 5, 4, 1. Pues simplemente hacéis la 5 menos 4 al cuadrado más 4 menos menos 3, que es 4 más 3 al cuadrado, 00:42:56
más 1 menos 3 al cuadrado. 00:43:23
Esto debería ser la raíz de 11, ¿no? 00:43:34
Porque no sale. 00:43:42
Es 4 menos 3, 4, y el punto es... 00:43:44
Ah, es que es 5 menos 4, 1, ¿verdad? 00:43:47
Claro. 00:43:51
Entonces, claro, aquí es menos 4 menos 1, menos 1, 00:43:52
y aquí 1 menos 4, 3, menos 3. 00:44:00
Y sale la raíz de 11, ¿no? 00:44:05
Bueno, esto más de dos para que sepáis que la forma de las cosas no tiene una forma única de resolverse y para que veáis que todo, todo, todo en geometría está conectado, ¿no? Bueno, como veis hemos hecho dos ejercicios, pero con un montón de sustancia y ya os digo que el próximo día empiezo por atrás para que tengáis todos los ejercicios de repaso. 00:44:07
¿Vale? Bueno, como mucho no nos va a dar tiempo a hacer este y como veis quedan otros dos. 00:44:32
Vale. Bueno, pues el próximo día empiezo. A ver, dice, consideremos estas rectas. Generalmente yo de estas rectas ya diría que un punto P es el 0, 1, 2 automáticamente 00:44:41
y que un vector u es 00:45:00
1 menos 1 00:45:03
y que está recta 00:45:05
pues aquí me conviene 00:45:09
despejar todo en función de z 00:45:12
porque está arriba y abajo 00:45:13
aquí x es igual a 1 menos 2z 00:45:15
y es igual a 00:45:18
1 más z 00:45:20
a ver, hago esto mecánicamente 00:45:21
porque seguramente 00:45:24
no vayamos a necesitar 00:45:26
y bueno, aquí z es igual a z 00:45:28
las cuentas como veis son muy fáciles 00:45:30
El punto es 1, 1, 0. El vector director es menos 2, 1, 1. Y ahora dice, determine la posición relativa de las rectas y reíse y calcule la intersección si existe. 00:45:32
Entonces, posición relativa. A ver, u y v son proporcionales. Si yo cojo menos 2 partido por 1 igual a 1 partido por menos 1 igual a 1 partido por 1, no son proporcionales. 00:45:51
Entonces, u y v o se cortan o se cruzan. 00:46:18
¿Cómo sé si se cortan o se cruzan? 00:46:36
Pues tomando el vector pq. 00:46:38
Entonces, si el determinante que forman es distinto de cero, 00:46:44
es que los tres vectores son independientes, 00:46:47
las vueltas no son coplanarias, con lo cual se cruzan. 00:46:50
entonces el vector 00:46:54
tomo el vector PQ 00:46:57
y ahora cojo el vector de la recta 00:47:00
1-1, 1 00:47:02
menos 2, 1, 1 00:47:03
y el vector PQ 00:47:05
que es 1-0, 1 00:47:08
1-1, 0 00:47:10
0-2, menos 2 00:47:12
¿no? como veis aquí 00:47:15
hay que tener los conceptos muy claros 00:47:17
¿no? 00:47:20
Q y V 00:47:22
Este determinante sale menos 2, menos 1, 0, menos 1, 0 y más 4. 00:47:24
Este determinante sale 0. 00:47:34
Si sale 0 quiere decir que las dos rectas son coplanarias. 00:47:37
Y si son coplanarias, R y S son secantes, se cortan. 00:47:41
Se cortan en un punto. 00:47:49
Ese punto se calcula resolviendo el sistema. 00:47:53
Consejo. 00:48:08
A ver, ¿cómo podéis resolver? 00:48:10
Sustituir aquí la x por 1 menos 2z, la y por 1 más z y la z por z y resolvéis el sistema. 00:48:13
Ahora, ecuación del plano que contiene a r y a s. 00:48:22
Bueno, pues os voy a decir más o menos las cuentas que hay que ir haciendo. 00:48:28
las cuentas 00:48:32
ecuación del plano que contiene 00:48:35
AR y AS, yo sé que se cortan 00:48:37
elegir cualquier 00:48:39
punto, o el punto P 00:48:42
o el punto Q o el punto de cortes 00:48:43
ese plano 00:48:46
para dar ese plano P 00:48:47
necesito un punto 00:48:49
y dos vectores 00:48:52
pues el punto 00:48:53
puedo escoger 00:48:55
o P o Q 00:48:56
o el punto de cortes 00:49:01
y luego dos vectores que son dado un punto y dos vectores buscar cómo se calcula la ecuación del 00:49:04
plan y el ángulo que forman las tres reyes y ya con esto terminó el ángulo que forman y 00:49:13
reyes es el mismo que el ángulo que forman los vectores uv como veis todos va repitiendo pero 00:49:24
son bastantes procesos 00:49:34
bueno, termino ya 00:49:36
porque no suena el timbre 00:49:38
por el cambio de hora 00:49:40
pues tenemos problemas con el timbre 00:49:42
pero bueno, cualquier cosa, sabéis que 00:49:44
tenemos tutoría individual 00:49:46
esta semana, tenemos a 00:49:48
quinta hora, sobre las doce y media 00:49:50
mañana 00:49:54
y mañana también tenemos 00:49:57
una mañana 00:50:04
no, jueves por la tarde tengo otra 00:50:06
a las seis y media, ¿de acuerdo? 00:50:08
Bueno, pues nada, pues gracias por vuestra resistencia, como siempre. 00:50:10
Vamos a detener la grabación y nada, hasta pronto. 00:50:15
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
11
Fecha:
2 de abril de 2024 - 13:13
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LOPE DE VEGA
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1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
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