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Funciones y gráficas 3 - Contenido educativo

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Subido el 11 de febrero de 2026 por Distancia cepa parla

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Hola, buenas tardes. Otra clase más de matemáticas nivel 1. Estamos en la lección del álgebra 00:00:06
y ya hemos avanzado bastante en esta lección. Estuvimos en la clase anterior viendo máximos, 00:00:15
mínimos relativos y vimos también cuando, haciendo los siguientes ejercicios, por ejemplo, 00:00:26
en esto de aquí, cuando la función tenía intervalos de crecimiento, de crecimiento, 00:00:43
tenía un máximo, un mínimo relativo y cuando tenía unas zonas de la función que eran constantes 00:00:49
por ejemplo esta y esta era constante, por aquí la función crecía, decrecía, decrecía 00:01:00
y tenía máximos y mínimos, máximos en b y en d y mínimos en c y en e 00:01:06
Hoy vamos a hablar de otros parámetros que podemos estudiar en las funciones como puede ser continuidad y discontinuidad. 00:01:12
Estamos en la página 8 del tema y vamos a ver cuándo una función es continua y cuándo no lo es. 00:01:24
Nos ponen como ejemplo esta función en la que cualquier valor de la X tiene su correspondiente en la Y 00:01:32
Entonces, cuando una función, cualquier valor que tenga en la X tiene el correspondiente para la Y 00:01:43
Esa función es continua 00:01:51
Cualquier punto de la X, aunque sea muy pequeñito aquí, tiene un correspondiente punto para la Y, que sería por aquí 00:01:54
entonces esta función es continua 00:02:01
también otra forma de definirlo es 00:02:04
se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel 00:02:08
bien, eso quiere decir que la función en todos los puntos 00:02:12
podemos dibujarla y no hay ningún punto en el que no se dibuje 00:02:16
eso, ahí veríamos que la función es continua 00:02:21
y cuando no lo es, cuando una función no es continua 00:02:24
¿Es discontinua? Pues cuando hay algunas partes de ella en el que su dominio presentan discontinuidades. 00:02:29
El dominio y el recorrido eran dos parámetros que medían los valores de la X. 00:02:42
El dominio miraba los valores de la X donde la función existe y el recorrido eran los valores de la Y donde la función existe. 00:02:51
Bien, pues el dominio son los valores de la X en los que siempre tenga una imagen o una solución para los valores de la Y. 00:03:01
cuando en el dominio todos los valores de la X tienen su correspondiente en la Y 00:03:14
se dice que la función es continua 00:03:23
pero aquí por ejemplo, aquí tenemos en esta función de aquí 00:03:25
voy a ponerlo en otro color 00:03:31
tenemos este valor y este valor 00:03:33
por ejemplo este de aquí 00:03:37
lo estoy poniendo muy gordo pero para que se vea 00:03:39
que aquí no tenemos ninguna contraprestación de este valor de la x, no tenemos ninguna solución para la y, porque por aquí la función deja de existir, entonces cuando no podemos trazar la función en todos los puntos de la x y darle una solución para y, la y, esa función es discontinua. 00:03:42
Bien, pues vamos a la parte de los ejercicios, el ejercicio 16 y 17, en el que vamos a estudiar la continuidad o discontinuidad de una función ya dibujada. 00:04:06
Si no nos la dan dibujada, que nos dan la función de esta manera 00:04:26
Nosotros sacamos puntos y después de sacar puntos los trasladamos y podemos dibujarla 00:04:31
Pero en este caso tenemos una función que hace esto 00:04:37
Primero hace una curva hasta este punto 00:04:44
Luego desde aquí otra recta, en línea recta hasta aquí 00:04:48
Y luego tenemos esta diagonal que empieza aquí y continuaría hasta más infinito si no dice lo contrario. 00:04:54
Y por aquí la función continuaría hasta menos infinito si no nos da ningún otro valor. 00:05:08
Bien, pues vamos a ver dónde es continua y dónde no. 00:05:15
Por ejemplo, hasta llegar a este punto, de aquí para allá, este punto es menos 1, menos 2, menos 3, menos 4. 00:05:18
Entonces, hemos dicho que desde menos infinito hasta menos 4, esos son los valores, menos infinito, coma, menos 4. 00:05:29
aquí hay una función que sí que está dibujada 00:05:42
entonces si está dibujada 00:05:46
que es esto de aquí 00:05:48
la función existe 00:05:51
pero aquí se acaba 00:05:53
ya no hay más esta línea 00:05:55
esta curva ya no tiene más continuidad 00:05:57
con lo cual aquí la función pega un salto 00:06:01
y la x vale menos 4 00:06:05
pero desde 1 a 2 00:06:09
En este trozo de aquí la función no es continua, así es que podríamos decir que para menos infinito menos 4 la función es continua. 00:06:11
Vale, luego en el punto en menos 4, perdonad, pero aquí no puedo poner un corchete, tengo que poner un paréntesis 00:06:27
Un paréntesis quiere decir que no incluye ese valor, cuando es corchete sí que lo incluye, pero cuando es paréntesis el menos 4 no está incluido 00:06:46
Entonces, en menos 4, ya digo, aquí pega la función un salto, le tenemos que levantar el lapicero para dibujarla, entonces es discontinua. 00:06:56
En este punto son valores de la X, ojo, en menos 4 para la X la función es discontinua. 00:07:11
Tenemos otro tramo desde menos 4 hasta 1 00:07:22
Pues lo vamos a poner desde menos 4 00:07:29
Aquí está incluido porque el punto llega hasta aquí 00:07:35
Coma hasta 1 también está incluido 00:07:38
Hasta aquí, hasta este punto la función es continua 00:07:46
En este tramo existe, así es que lo ponemos y la función es continua. ¿Qué pasa de 1 a 2 en el punto 2? Vuelve a tener representación gráfica esta función, pero de 1 a 2 no, pues tendríamos que ponerlo también, pero ya lo voy a poner con paréntesis. 00:07:50
Quiere decir que mayor que 1 y menor que 2, no está incluido el 1, y entre 1 y 2, pero con paréntesis, la función vuelve a ser discontinua, porque no la podemos dibujar y no tiene valores para la y. 00:08:18
Bien, vale, si a partir del punto 2 vemos que la función vuelve a existir y hemos dicho que por aquí tendríamos más infinito, bien, pues tendríamos otro intervalo que va desde 2 hasta más infinito 00:08:43
y en ese intervalo siempre hay que poner el más o el menos en el infinito 00:09:07
porque puede ser o positivo o negativo, o sea, o hacia allí que es positivo o hacia allí que es negativo. 00:09:14
Aquí vuelve a ser continua la función y vuelve a existir, ya digo, en este tramo. 00:09:22
Entonces, a la hora de estudiar una función tenemos que ir trozo a trozo 00:09:32
viendo en qué parte existe y en qué parte no existe la función. Bien, vamos al 00:09:37
siguiente ejercicio de la página, estamos en la página 16, vamos a este ejercicio 00:09:45
en el que la función toma estos valores de aquí hasta aquí, luego pega un salto y 00:09:52
de aquí hasta más infinito para la x pero menos infinito para la y. 00:09:58
Bueno, entonces, el primer tramo, ah, perdón, aquí hay otro tramo, este primer tramo, que es, este sería desde, ya lo voy poniendo justo debajo, desde menos infinito hasta el punto menos uno, estamos en la, valores de la X, la función existe, y existe, y podemos decir que es continua. 00:10:05
Luego, desde menos 1 a 1, pero con paréntesis, desde menos 1, guión 1, con paréntesis entre medias de estos dos puntos, estos valores están no incluidos. 00:10:35
La función vuelve a ser continua otra vez, lo apuntaríamos, continua, y desde 1 a más infinito, que estaría por aquí, el 1, más infinito, la función vuelve a estar otra vez representada por esta línea decreciente, 00:10:57
pero vuelve a estar representada y aquí la función vuelve a ser también continua. 00:11:25
Dices, vale, pero ¿en todos los puntos es continua? 00:11:32
No, en el 1 hay un punto de discontinuidad. 00:11:37
El valor 1, o sea, f, cuando la función toma el valor 1, aquí hay una discontinuidad. 00:11:41
que es este de aquí, no perdón, no en el valor 1 no, en el valor menos 1 es donde está la discontinuidad 00:11:51
que es este valor de aquí para la x y este de aquí sería el valor 2 00:12:06
entonces f de 2 cuando la función toma el valor 2 para la x 00:12:11
la i tiene aquí dos valores diferentes 00:12:18
levantamos el lapicero a la hora de escribir 00:12:23
y tenemos también otra discontinuidad 00:12:26
vale, pues con respecto a continuidad y discontinuidad 00:12:29
este sería el ejercicio 00:12:41
vamos a ver que es una pendiente 00:12:46
me voy para la teoría, vamos a ver qué es una pendiente y cómo conseguirla. 00:12:52
Máximos, perdón que se me ha ido la página, un momentito que está muy agrandado. 00:13:03
Vale, si nuestra función es lineal, quiere decir que la función va a ser así una recta, 00:13:10
Uy, bueno, eso no es una recta. Vamos a pintarla un poquito mejor y vamos a pintarla a lo mejor en otro color. Si la función es una recta, esta recta, a no ser que sea horizontal, pues la recta tiene un poco de pendiente, tanto si es hacia arriba como si es hacia abajo. 00:13:19
Esta la ha puesto con mucha pendiente. Bueno, pues en las funciones lineales esa pendiente se ve en el coeficiente que acompaña a la x. 00:13:47
De forma que si tenemos una función que dice y igual a 3x menos 1, pues 3x menos 1, esta es la ecuación de una recta porque la x tiene solo exponente elevado a 1 y la pendiente la tendríamos aquí. 00:14:00
la pendiente que es esta vale 3 00:14:24
si la pendiente es positiva 00:14:27
quiere decir que la función es creciente 00:14:30
ya estudiamos el día anterior cuando una función crece y decrece 00:14:34
era creciente cuando tiene este sentido 00:14:39
y decreciente cuando iba hacia abajo 00:14:43
si va a cada valor de la x aumentando 00:14:47
Otro valor de la y que aumenta es creciente. Cuando cada valor de la x aumentando disminuye la y, cada vez es más pequeña, entonces decrece la función. 00:14:52
Bien, pues estábamos diciendo que la pendiente si es positiva entonces crece, la función lineal crece. 00:15:04
Y la pendiente, si es negativa, por ejemplo, voy a poner otro ejemplo, igual a menos 2x más 8, por ejemplo, esta es otra función lineal que es una recta, pues menos 2x más 8 es negativa. 00:15:19
Entonces, cuando la pendiente es menos 2, significa que la función decrece. Esta es negativa y decrece. 00:15:43
¿Y qué sucede con esa pendiente? 00:15:59
Bueno, pues la pendiente que se llama M 00:16:07
M es la representación de la pendiente 00:16:10
nos indica, ya digo, la inclinación que tiene la recta 00:16:13
Vamos a ver cómo podemos 00:16:19
Si estamos en una ecuación así lineal 00:16:25
representada, vemos directamente cuál es la pendiente 00:16:28
3 y en este caso m vale menos 2 00:16:32
lo voy a apuntar aquí 00:16:35
m igual a 3, esa es la pendiente 00:16:37
y m igual a menos 2, esa sería la otra pendiente 00:16:42
ya digo cuando la inclinación de la recta va en este sentido y decrece 00:16:48
esto es negativo y positivo si crece. ¿Y qué sucede si en vez de darnos la ecuación 00:17:00
de esta forma, lineal, nos van a dar la ecuación por medio de dos puntos? Entonces, ¿cómo 00:17:09
hallamos en esos dos puntos cuál es la pendiente? Claro, esos dos puntos representan una recta, 00:17:20
Una recta pasa por un punto y por otro. ¿Y cuál sería la pendiente? Pues para eso tenemos esta ecuación, esta fórmula, en la que conseguimos M como la resta I2 menos I1, o sea, este menos este, dividido por X2 menos X1, este menos este. 00:17:27
En este ejemplo, si A vale 2,1 y B 4,7 que son dos puntos 00:17:50
¿Cuánto valdrá M? 00:18:00
Pues M en el numerador sería la resta I2 que es 7 menos I1 que vale 1 00:18:02
Y en el denominador, x2, que es 4, menos x1, que es 2. Y entonces, 7 menos 1, 6, 4 menos 2, 2, la pendiente vale 3. 00:18:13
3 sería el valor de la pendiente, ya digo, cuando esta recta pasa por estos dos puntos. 00:18:33
Vamos a hacer un ejercicio en la página 17, no perdón, aquí es el ejercicio 17, la página 16 y nos piden, calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos 2, 1 y b que es menos 2, 5. 00:18:47
Entonces, aquí la pendiente vamos a llamarla o se llama m es igual en el numerador y 2 que es 5 menos y 1 que es 2, 5 menos 2. 00:19:14
En el denominador x2 es menos 2 menos x1 que vale 1. 00:19:31
Vamos a operar, a ver que tenemos aquí 00:19:43
En el numerador 5 menos 2 serían 3 00:19:47
Y en el denominador menos 2 menos 1 menos 3 00:19:50
Vale, pues 3 entre menos 3 00:19:56
Esto da negativo menos 1 00:20:03
Así es que la pendiente de la recta que pasa por este punto y por este punto sería menos 1 00:20:08
Vamos a hacer el ejercicio abajo, calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos 0, 3 y 2, 1 00:20:18
Bien, pues volvemos a tirar de la fórmula de la pendiente y es igual en el numerador y2 que es 1 menos y1 que es 3, 1 menos 3. 00:20:28
Y en el denominador, x2, que es 2, menos x1, que es 0. 00:20:46
Bien, en este caso, 1 menos 3 es menos 2, 2 menos 0 es 2, 2 entre 2 es 1, negativo, menos 1. 00:21:01
vale, en ambos casos la pendiente es negativa 00:21:19
lo único que significa eso es que la recta por la que pasan estos puntos 00:21:26
tanto este como este, esta recta está inclinada hacia abajo 00:21:34
no sabemos en qué cuadrante, primero, segundo, tercero, cuarto cuadrante 00:21:38
no lo sabemos pero la recta está inclinada o así o así 00:21:42
pero va la recta a cada valor de la x, la y va más abajo, más abajo, más abajo. 00:21:47
Vale, pues lo dejamos aquí, el próximo día continuaremos con lo último que queda en la lección con respecto a las funciones 00:21:54
y ya sería todo lo que entraría en el examen de la segunda evaluación. 00:22:04
Pues un saludo y hasta la próxima semana. 00:22:12
Gracias. 00:22:17
Materias:
Matemáticas
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      • Nivel I
      • Nivel II
Autor/es:
Gloria Royo Mejia
Subido por:
Distancia cepa parla
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
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1
Fecha:
11 de febrero de 2026 - 20:10
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB RAMON Y CAJAL
Duración:
22′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
63.00 MBytes

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