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NIVEL II (30_3_2022) - Contenido educativo

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Subido el 31 de marzo de 2022 por M. Yolanda B.

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FUNCIONES AFINES Y LINEALES

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Bueno, vamos a seguir con el tema de funciones, ¿vale? Entonces, bueno, vimos el otro día que estábamos con funciones, que habíamos representado las funciones en una gráfica, ¿verdad? 00:00:00
y lo que vamos a hacer ahora es tratar estas funciones 00:00:17
analizando un poco los elementos 00:00:23
una a una, ¿vale? El otro día lo que hicimos es el sistema de ecuaciones 00:00:27
representarlo a través de una gráfica 00:00:30
a través de una tabla de valores que habíamos hecho 00:00:34
si recordamos, me voy un poquito para atrás 00:00:38
a ver un momentito, a ver cómo va, es porque no han cambiado 00:00:41
el formato de la pizarra 00:00:48
esta y ya, bueno, en fin, aquí cada día es una novedad 00:00:54
bueno, el caso es que habíamos hecho lo de los sistemas 00:00:57
de ecuaciones, habíamos visto que la forma que tenían 00:01:01
por ejemplo, pues era igual a 3x más 2, ¿vale? 00:01:06
que era lo que habíamos representado a través de una tabla de valores x e y 00:01:10
y que luego, pues esta tabla, pues era, por ejemplo, daba lugar a una recta, ¿de acuerdo? 00:01:13
Vamos a ver, a analizar estas rectas, que son funciones que representan una línea, 00:01:23
son funciones de grado 1, que tienen exponente 1, y entonces, exponente 1, y bueno, vamos a ver que son de dos tipos. 00:01:32
La primera, por ejemplo, que vamos a ver lineal para analizar los elementos de estas rectas, por ejemplo, tiene esta forma, que es MX. 00:01:49
¿Vale? Donde m es un número. M es un número, ¿de acuerdo? Y igual, por ejemplo, a 3x o y igual a menos 2x son funciones, ¿de acuerdo? 00:02:02
Si os dais cuenta, que diferente a la que habíamos hecho la semana pasada, que era por ejemplo lo que os acabo de poner, 5x más 2, o igual a menos 3x más 6, donde aquí lo que se ve es que existen estos términos independientes. 00:02:23
Aquí no los tenemos, en esta otra no los tenemos, ¿vale? A estas funciones que no tienen términos independientes se les denominan funciones lineales, ¿vale? Funciones lineales. 00:02:42
Y a estas que tienen término independiente se le llaman funciones afines, ¿vale? Cada una de ellas tiene su peculiaridad que ya las vamos a ir viendo. 00:02:57
La primera que vamos a ver, con la que nos vamos a detener, es en las funciones lineales. 00:03:11
Y lo primero, para que entendáis de lo que estoy hablando un poquito más, 00:03:16
es hacer lo mismo que hicimos con el sistema de ecuaciones y es representar esta función. 00:03:19
Por ejemplo, voy a borrar y voy a poner i igual a 3s. 00:03:25
Entonces, si hago una tabla de valores como la que hicimos el otro día, 00:03:44
donde la x siempre dijimos que era la variable independiente 00:03:49
y la y es la variable dependiente, ¿vale? 00:03:54
¿Por qué es variable dependiente? 00:03:57
Porque el valor que va a tomar la y va a depender del valor que tome la x. 00:03:59
La x es un valor que le doy el que yo quiera. 00:04:03
Y como es un valor que hago lo que quiero con él, por eso es independiente, ¿vale? 00:04:07
Le voy a dar, por ejemplo, valores que 0, 1, 2, 3, podría darle menos 1, menos 2, 00:04:11
¿De acuerdo? Y entonces la y, ¿vale? Pues valdrá, depende de lo que valga la x, si yo decido que la x vale 0, pues entonces esto será 3 por x, ¿no? Porque es esta función de aquí, y la x vale 0, con lo cual 3 por 0, pues da 0. 00:04:19
Si la i vale 1, pues evidentemente me va a dar 3 por 1, 3 00:04:37
Si vale 2, 3 por 2, 6 00:04:42
3 por 3, 9 00:04:45
Si la i vale menos 1, va a dar menos 3 00:04:46
Y si la i vale menos 2, pues me da menos 6 00:04:51
¿Vale? 00:04:54
Una vez que tengo esto, no voy a utilizar la regla 00:04:56
Porque pierde un poquito de tiempo 00:04:58
Vosotros si lo tenéis, lo podéis hacer en el cuaderno 00:04:59
Un cuaderno cuadriculado, pues os va a salir mejor que mejor 00:05:03
Yo voy a ver si puedo apañarme así a mano alzada, ¿vale? Aquí tengo la X y aquí tengo la Y. Aquí tengo los valores positivos de la X, aquí tengo los valores negativos de la X, valores positivos de la Y, ¿vale? 00:05:06
Y valores negativos de la Y, ¿de acuerdo? 00:05:27
Positivo, positivo, negativo y negativo, ¿de acuerdo? 00:05:33
Entonces tenemos que, para el primer punto, el primer punto que tenemos es el 0, 0, ¿vale? 00:05:41
0, 0, voy a ponerle otro color, a ver, el 0, 0, punto 0, 0. 00:05:46
El punto 1, 3 quiere decir que la X vale 1 y la Y vale 3. 00:05:57
La x vale 1 y la y vale 3, con lo cual estamos 1, 2 y 3 aquí. 00:06:01
Estamos aquí, con lo cual el punto, tirando paralelas a los ejes, pues es este. 00:06:09
Siguiente punto, la x vale 2 y la y vale 6, 3, 4, 5, 6, aquí estamos. 00:06:15
Paralelas, más o menos, más menos que más, pero bueno, así. 00:06:22
Luego, por ejemplo, voy a irme al menos 1, menos 3, la x vale menos 1, estamos aquí, y la y vale menos 3, aquí, paralelas igualmente. 00:06:29
Y ahora, pues, podríamos que unir, todos los voy a coger ahora la regla, porque a lo mejor, a ver, este más, este más, tampoco, este aquí, la regla, este. 00:06:40
vaya hombre, la regla estará disponible próximamente 00:06:54
es que como están adaptando 00:06:59
todo esto, me tienen loca, porque ahora la regla, si la quiero usar 00:07:03
bueno, vamos a hacer la mano alzada, y el caso es que no te dejan tener 00:07:07
la pizarra como la teníamos antes, si no la tienes adaptada 00:07:13
todavía, pues mantén la otra, el caso es aburrirte, pero bueno 00:07:17
bien, daros cuenta que la 00:07:20
función que acabamos de representar, que es y igual a 3x, es esta recta, ¿vale? Esta 00:07:25
recta de aquí, ¿qué pasa por qué punto? Por el 0,0, ¿de acuerdo? El punto 0,0. ¿Por 00:07:32
qué? Pues porque evidentemente cuando la x vale 0, como esto está multiplicando, pues 00:07:39
3 por c es 0, ¿de acuerdo? Esto es característico de las funciones lineales. Una función lineal 00:07:43
es una recta que siempre, siempre va a pasar por este punto, por el 0, 0. 00:07:50
¿De acuerdo? 00:07:57
Bien. 00:07:58
Y además, si nos damos cuenta de otra cosa, 00:07:59
vamos a ver, no sé si hay otra manera, otros colores, así. 00:08:04
Por ejemplo, el verde. 00:08:16
Daros cuenta que cuando, moviéndome de un punto a otro, ¿vale? 00:08:20
vamos a partir de este punto. Podría partir de cualquier otro. Vamos a partir primero 00:08:24
del punto 0,0. Y vamos a empezar... ¿Dónde está el cursor? Esto es horroroso. No veo 00:08:29
el cursor ahora. No lo veo. ¿Cómo es posible? ¿Dónde? ¿Ahora dónde? No lo veo. No veo 00:08:46
nada. No sé dónde está el cursor. Bueno, de verdad. A ver, un momentito, ya sé lo 00:08:58
que pasa. Vale, ya está. Bien, si me muevo desde este, quiero moverme desde este punto 00:09:11
a este punto, ¿de acuerdo? Y me tengo que mover en horizontales y en verticales, no 00:09:20
me puedo mover a través de la línea. Entonces, si avanzo en la X un lugar, ¿vale? Hacia 00:09:26
la derecha, es decir, en positivo, para llegar al punto que tengo marcado arriba, tengo que 00:09:35
subir tres lugares. ¿Lo veis? ¿Vale? Uno, dos y tres. Me lo está marcando esto. Es 00:09:42
decir, aquí, no sé si se ve bien, si aquí me muevo un lugar, aquí me estoy moviendo 00:09:51
tres, ¿vale? Ahora, desde aquí a aquí me estoy moviendo otro, ¿no? Porque esto de 00:10:01
aquí es uno también. Y de aquí a aquí arriba, a este otro punto, ¿tenemos cuánto? 00:10:08
¿Esto cuánto se ha movido también? Este es uno y este es tres, ¿vale? Bien, esto 00:10:15
que es una escalerita y que además puedo partir de este otro punto que hay aquí, vamos 00:10:23
a verlo. Desde este punto voy a moverme desde este punto al siguiente, a este otro de aquí. 00:10:27
¿De acuerdo? Que dice que si avanzo a la derecha, la X, un lugar y subo 3, estoy en 00:10:34
este punto. Quiere decir que avanzo 1 por aquí y 3 por aquí. Daros cuenta que esto 00:10:46
siempre es igual. 1, 3. 1, 3. 1, 3. 1, 3. Para pasar de un punto a otro. De aquí estoy aumentando 00:10:49
de 1 en 1. De 0 al 1 hay 1. Del 1 al 2 hay 1. Del 2 al 3 hay 1. Del 3, bueno, aquí ya 00:11:00
que me he saltado, ¿vale? Pero estoy viendo que es de 1 en 1. Cuando la x avanza 1, ¿qué 00:11:08
lo que está ocurriendo con la Y? Que la Y está avanzando 3 lugares, de 0 a 3, 3, de 00:11:15
3 a 6, 3, de 6 a 9, 3. Esto que acabo de marcar en la tabla de valores es lo que estoy marcando 00:11:20
en la propia gráfica, ¿vale? Bueno, pues la relación que existe entre lo que voy moviendo 00:11:29
en la X y la relación que existe en lo que me estoy moviendo en la Y es lo que da lugar 00:11:38
a la pendiente. ¿La pendiente qué es? La pendiente es ni más ni menos gráficamente 00:11:43
la inclinación que tiene la recta. Y si me doy cuenta aquí, este 3 que está acompañando 00:11:48
a la X es precisamente la pendiente, ¿vale? Mirad, si, a ver, un minutito, a ver, vale, 00:11:59
si tengo que Y es igual a 3X, ¿vale? Si yo despejara la X, ¿vale? O dejo el 3 solo, 00:12:14
esta x que acompaña al 3 00:12:24
al otro lado tiene que pasar dividiendo, ¿verdad? 00:12:29
tiene que pasar dividiendo 00:12:33
vale, pues esto es lo que se denomina la pendiente 00:12:36
la relación que existe entre la variable y 00:12:39
y la variable x se denomina pendiente 00:12:43
¿de acuerdo? por ejemplo 00:12:47
Y es daros cuenta que este 3 se puede expresar como una fracción donde tiene un denominador 1. 00:12:49
Y daros cuenta que la x, ¿cuánto vale? 00:13:05
Si fuera esto, dijéramos una fracción equivalente, quiere decirse que la y vale 3 y que la x vale 1. 00:13:07
¿Qué es lo que viene aquí? La x avanza 1 y la y avanza 3. 1, 3, 1, 3. Esto es la pendiente. A ver, voy a hacer otro. Por ejemplo, y igual a 2 tercios. A 2 tercios de x. 00:13:14
Esta es otra función que es lineal, ¿vale? ¿Por qué? Porque no tiene término independiente, ¿de acuerdo? Entonces, si hemos dicho que la pendiente es el número que acompaña a la letra, la pendiente siempre se expresa como m, ¿vale? 00:13:36
Y sabemos que 2 tercios, sí, porque si despejo la X, ¿qué va a hacer? La X va a ir abajo, ¿verdad? Va abajo. Entonces sé que la X va a avanzar 3, mientras que la Y va a avanzar 2. 00:13:57
Quiere decirse que no me va a hacer falta la tabla de valores, esta xy, para poder hacer la representación gráfica. ¿Por qué? Pues mira, no me va a hacer falta porque sé que es una función lineal porque no tiene término independiente. 00:14:12
Con lo cual yo ya sé que va a partir del 0, 0. Esa recta va a pasar por el 0, 0. Pues ya tengo entonces un punto, ¿vale? Ya tengo un punto que es el 0, 0. ¿De acuerdo? El 0, 0. 00:14:30
Daros cuenta que si la x vale 0, la y es 2 tercios por x, y la y que vale 0, 2 tercios por 0 es 0. 00:14:49
O sea, que va a pasar por el 0, 0. ¿De acuerdo? 00:14:56
Bien, partiendo de este punto, yo sé que si la x avanza 3 positivo, es decir, a la derecha, 00:14:58
1, 2 y 3, 4, 5, 6, 7, voy a poner así, ¿vale? Unos cuantos. 00:15:06
si la X avanza 3, 1, 2 y 3 00:15:12
¿vale? la Y va a subir 2 00:15:19
es decir, va a llegar hasta aquí, sube 2 00:15:22
con lo cual mi punto, el punto siguiente que voy a marcar 00:15:27
voy a poner en azul 00:15:31
es este, ¿vale? 00:15:35
desde este punto, ¿vale? ahora que acabo de marcar, volvemos a hacer la misma escalera 00:15:39
3 y 2, ¿vale? 00:15:43
3, ¿vale? hasta aquí 00:15:49
porque estamos aquí, 3, 1, 2 y 3 00:15:51
y luego sube 2, ¿de acuerdo? 00:15:58
y si vamos hacia abajo, si fuéramos hacia abajo 00:16:12
pues, pues entonces como yo sé que esta 00:16:18
recta ya va a ser esta, de aquí, ¿verdad? 00:16:28
Pues entonces, ¿qué ocurriría? Que esta iría 1, 2 y 3, iríamos aquí, hacia la izquierda menos 3, ¿verdad? Y 2 hacia abajo, que sería menos 2. 00:16:31
Daros cuenta que dices, este avanza 3 y este avanza 2. La pendiente es de 2 tercios, ¿vale? 2 y 3. Sin embargo, aquí es, avanza menos 2 porque va hacia abajo y avanza con la x menos 3 porque va hacia la izquierda, pero menos entre menos, ¿cuánto es? Más. Al final me va a dar la misma pendiente, 2 tercios. 00:16:53
Con lo cual, esta sería la recta que representa esta función sin necesidad de tener que haber hecho la tabla de valores. 00:17:14
¿De acuerdo? 00:17:25
Vale, vamos ahora, vamos a resolver, vamos a resolver algunos ejercicios estos que tenemos aquí. 00:17:27
¿De acuerdo? Vamos a practicar un poco. 00:17:41
Vamos a ver, voy a borrar. 00:17:42
a ver si consigo que esto sea un poco más grande 00:17:46
esto es horroroso 00:17:50
vale 00:17:58
dice el primero, escribe para cada caso la ecuación de la función 00:18:26
apartado A, me dice que escriba la función que pasa por el punto 00:18:31
y es lineal, ¿vale? me dice que la función es lineal 00:18:36
y pasa por el punto 2, 3 00:18:40
si es lineal, todas las funciones que son lineales 00:18:42
hemos dicho que pasan, ¿qué? pues por el punto 0, 0 00:18:46
¿de acuerdo? con lo cual nuestra 00:18:49
fórmula, dijéramos, nuestra función será igual a 00:18:52
¿qué? a mx 00:18:56
¿de acuerdo? a mx 00:18:58
entonces, si pasa por el punto 2, 3 00:19:00
donde la X, 1, 2 y la Y vale 3, 1, 2 y 3, estamos en este punto de aquí, ¿vale? En este punto de aquí. 00:19:04
Y ya tenemos la pendiente, ¿por qué? Porque cuando la X avanza 2, la Y avanza 3 en positivo. 00:19:15
Daros cuenta que ya el punto me está dando la propia pendiente 00:19:28
¿De acuerdo? Con lo cual, ¿cuál será la ecuación? 00:19:35
Pues será y igual a m 00:19:39
¿Dónde la m qué era? La m era y 00:19:41
¿De acuerdo? Y partido de x 00:19:46
¿La y cuánto vale? 3 00:19:51
Desde el 0 al 3 va 3 00:19:52
y desde el 0 al 2 van 2, con lo cual es 3 medios de x 00:19:55
esa es la ecuación, ni siquiera me hubiera hecho falta 00:20:00
hacer la representación gráfica 00:20:05
la he hecho para que lo veáis, pero no haría falta 00:20:08
hacerlo, vamos a ver 00:20:12
en el siguiente caso, el siguiente caso que me dice que es 00:20:15
b, dice que tiene pendiente menos 2 00:20:22
Si la pendiente es menos 2, es que está chupado, ¿verdad? 00:20:31
Y igual a qué es igual a menos 2x. 00:20:33
¿Y qué es lo que vemos aquí? 00:20:37
Que esta pendiente es negativa. 00:20:39
Por tanto, si la pendiente es negativa, lo que va a ocurrir, esto para que... 00:20:41
O sea, no me piden esto, pero bueno, ya lo hacemos, lo vemos. 00:20:46
Si la pendiente es negativa, en vez de ir en esta dirección, lo que hace es ir en dirección contraria, ir hacia abajo. 00:20:48
¿Vale? Va a ir hacia abajo. 00:20:58
De tal manera que si la pendiente es menos 2, daros cuenta que este menos 2 es como si estuviera partido también de 1, ¿verdad? 00:21:00
Sabiendo que el 1 este es la pendiente menos 2 partido de 1, sabemos que esta es la x y esta es la y. 00:21:10
Quiere decirse que desde el 0,0 la x avanza 1 y la y baja 2. 00:21:17
¿Vale? La y baja 2. 00:21:28
1 y 2 menos 2. 00:21:30
Con lo cual, este sería el punto. 00:21:33
¿Vale? 00:21:36
Entonces, ya sabemos que la recta va a pasar por el 0,0 y pasa por ese otro punto, con lo cual nuestra recta es esta. 00:21:37
¿De acuerdo? 00:21:45
Es decreciente, es una pendiente negativa, ¿vale? Es una pendiente negativa. 00:21:46
Y el otro caso es, C dice que pasa por el punto menos 3, 4. 00:21:53
Esta es la X y esta es la Y. 00:22:01
Sabemos que la pendiente siempre es Y partido de X, es decir, 4 partido de menos 3, ¿de acuerdo? 00:22:04
¿Verdad? Pues ya está. Pues entonces y será igual a menos 4 tercios de x. Y también será negativa. ¿Vale? Quiere decirse que si va a pasar por el punto 0,0, porque es una función afín, y va a pasar por el punto menos 3,4, 00:22:10
quiere decirse que la x es menos 3 00:22:34
1, 2, menos 3 00:22:37
la y es 4 positivo 00:22:39
tiro paralelas 00:22:42
y este es el punto con lo cual esta va a ser mi recta 00:22:48
¿vale? 00:22:52
y esto irá 00:22:53
¿veis? 00:22:54
la x desde aquí hasta este otro punto 00:22:59
la x avanza 3 ¿vale? 00:23:04
a la derecha 00:23:08
y la i avanza 4 hacia abajo, negativo 00:23:09
siguiente punto sería 00:23:14
1, 2, 3 a la derecha 00:23:17
y 1, 2, 3 y 4 hacia abajo 00:23:20
¿vale? y este sería 00:23:24
y tenemos la escalera otra vez 00:23:28
¿vale? 00:23:31
3 menos 4 00:23:33
3 menos 4 00:23:34
3 menos 4 00:23:36
y así continuamente 00:23:37
De esto lo veis, están muy, muy bien los vídeos que os van a explicar esto que están en el aula virtual, están fenomenal. 00:23:38
No dejéis de verlos, ¿vale? 00:23:46
Bien, vamos a seguir con los ejercicios estos. 00:23:50
El 2 dice, representa las siguientes funciones, y igual a menos x. 00:24:07
A ver, y igual a menos x. 00:24:14
¿Cuál es la pendiente? Aunque no lo pone, la pendiente es menos 1 00:24:25
Recordad que aquí hay un 1, pendiente menos 1 00:24:29
Y la pendiente sabemos que es y partido de x, donde esta x por supuesto vale 1 00:24:35
Dice que represente, es una función lineal, sabemos que pasa por el 0,0 00:24:42
Y ahora, pendiente menos 1, quiere decirse que cuando la x avanza 1 a la derecha, ¿vale? Avanzamos así, lo que hace es la y que es, avanza 1 negativo, es decir, hacia abajo, 1. 00:24:48
este es el menos 1, pues irá hasta aquí 00:25:07
quiere decirse que tendríamos 00:25:10
este punto 00:25:12
este punto, ¿vale? 00:25:15
entonces, 1, 1 00:25:19
1, 1 00:25:23
y así continuamente 00:25:25
bueno, a ver, me voy 00:25:28
así, y esta será 00:25:29
mi recta, ¿de acuerdo? 00:25:38
Esta es la recta y igual a menos x, ¿vale? 00:25:41
Como esto es 1, 1, ¿vale? 00:25:45
Pues hay que decirse que este ángulo y este son el mismo, claro, eso me importa bastante menos, ¿de acuerdo? 00:25:48
Y el otro, vamos a ver, y igual a un medio de x, vamos a borrar, y igual a un medio de x, 00:25:55
esta es la pendiente, m es igual a un medio, quiere decirse que la x es 2 y la y es 1, 00:26:09
Sabemos que es afín, perdón, lineal, por tanto pasa por el 0, 0 y desde este punto nos movemos. 00:26:15
2 a la derecha porque la x se mueve 2 positivo y la y 1 positivo, con lo cual sube 1, con lo cual este sería un punto. 00:26:24
¿Vale? Y vamos haciendo esto. 00:26:39
Daros cuenta que es 2, 1. 00:26:42
¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que hacemos? 00:26:43
1, 2, 1, 2, 1, ¿vale? Y estos serán mis puntos, con lo cual mi recta pues será esta. ¿De acuerdo? No me hace falta hacer la tabla de valores para hacer la representación si tengo claro lo que es la pendiente. 00:26:46
Uy, qué susto, por Dios. ¿Vale? No sé. Vale. 00:27:08
Seguimos. El siguiente. Este de aquí, el 3. Dice, haya la pendiente de cada una de las cuatro funciones. ¿Vale? Vamos a ver, pues este. Sabemos que es así, o sea, que es lineal porque están todas, pasan por el 0, 0, ¿verdad? 00:27:18
Y vamos a ver, voy a cogerme otro punto, por ejemplo, este de aquí, que se vean, siempre tenemos que tener que la función, o sea, el punto de corte se vea clarísimo, ¿vale? Este es un 4 y este es menos 3, ¿vale? Pues entonces, sabemos que la pendiente es y partido de x, ¿no? 00:27:34
¿Cuánto avanza desde aquí hasta aquí? 00:27:56
Tengo que ir por aquí y por aquí 00:27:59
¿La x cuánto ha bajado? 4 00:28:02
¿La y cuánto ha bajado? Ha bajado menos, ¿verdad? 00:28:05
Menos 3, pues esta es la pendiente, menos 3 cuartos 00:28:09
Con lo cual, esta será la recta que representa 00:28:11
Menos 3 cuartos de x es la función lineal 00:28:14
Que representa esta gráfica 00:28:18
¿De acuerdo? 00:28:21
Esta gráfica, ¿de acuerdo? 00:28:22
vamos a ver esta otra 00:28:25
esta va a ser una pendiente positiva, ¿verdad? pasa por el 0,0 00:28:29
es positiva porque va hacia arriba, 0,0 y por ejemplo tengo este punto 00:28:35
que se ve clarísimamente, aquí hay 2, avanza 2, ¿verdad? 00:28:39
por aquí, y sube ¿cuánto? sube 00:28:43
pues 2, 4, 6, bueno aquí no se ve bien, pero vamos a suponer que estos son 00:28:46
unos, ¿vale? para no andar, es que como lo he copiado de otro sitio 00:28:53
pues no se ve bien, pero imaginemos que este es 5 00:28:57
¿de acuerdo? pues entonces como sé que la pendiente, vuelvo a repetir 00:29:00
es y partido de x, la y es 5 positivo 00:29:05
la x es 2, pues además nuestra función sería 5 medios de x 00:29:09
yo creo que es fácil, es muy facilito, en esta 00:29:12
me va a dar negativa este parto de este punto hasta este 00:29:17
¿de acuerdo? ¿cuánto avanza la x? 1 00:29:21
la x avanza 1 y la y baja hasta menos 3 00:29:24
menos 3 entre 1 es menos 3, esta es mi pendiente 00:29:29
mi ecuación sería menos 3x 00:29:31
¿de acuerdo? vale 00:29:33
y por último, pues esta otra 00:29:36
tenemos aquí este punto y otro 00:29:40
otro, otro, otro, que no se ve muy bien 00:29:43
vale, pues la x es 1, 2, 3 00:29:45
avanza 4 y la y avanza 1 00:29:49
Con lo cual, la pendiente es un cuarto. 00:29:52
¿De acuerdo? Creo que está bastante claro. 00:29:58
Bien, esto en cuanto a lo que son ecuaciones lineales. 00:30:02
Vamos a ver ahora las ecuaciones afines, que eran las que habíamos representado en los sistemas de ecuaciones, las que habíamos visto. 00:30:07
Una ecuación afín es la que tiene la siguiente forma. 00:30:15
Tiene y igual a mx más n, donde tanto la m como la n son números, ¿vale? Son números. Por ejemplo, y igual a 5x más 2 es una función afín. ¿Por qué es afín? Pues porque tiene término independiente, tiene término independiente, cosa que antes no existía. 00:30:20
Y para que entendáis mejor cómo es la representación, pues lo que vamos a hacer es darle valores a una tabla de valores, la x siempre variable independiente y la y, que su valor va a depender siempre de lo que valga o de lo que tenga como la letra, lo que sea la letra x, la variable x. 00:30:43
La x, pues le doy los valores que quiero 00:31:09
0, 1, 2, menos 1, menos 2 00:31:11
¿Vale? 00:31:14
Luego la y, ¿cuánto valdrá? 00:31:15
5x más 2 00:31:17
Si la x vale 0 00:31:18
¿Vale? 00:31:21
Esto va a dar 0, me queda que la y vale 2 00:31:24
Si la x vale 1 00:31:26
Pues va a ser 7 00:31:28
Si la x vale 2 00:31:31
Será 5 por 2, 10 00:31:34
Más 2, 12 00:31:35
Si vale 3, 5 por 3 es 15 00:31:37
17, perdón, perdón, perdón 00:31:40
Que esto es negativo, ojo 00:31:42
Es si la x vale menos 1 00:31:44
Será menos 5 más 2 00:31:49
Menos 3 00:31:52
Y si la x vale menos 2 00:31:53
Menos 10 más 2, menos 8 00:31:56
¿Vale? Pues ahora lo representamos 00:31:59
Y teniendo en cuenta que la y va a ir hasta 12 00:32:01
Bueno, más o menos, ¿vale? Más o menos. 00:32:14
Entonces, tenemos el primer punto, que es el 0,2. 00:32:35
Ya no parece, si os dais cuenta, el 0,0, ¿vale? 00:32:38
Porque cuando la x vale 0, este término se anula, pero me queda el 2, ¿de acuerdo? 00:32:41
Entonces, tenemos el punto 0,2, que es este. 00:32:48
porque la x vale 0, ojo con esto que os cuesta un poquito al principio, si la x vale 0 es que la x, o sea, no me puedo mover ni a izquierda ni a derecha, 00:32:51
estoy en el centro y lo único que puedo hacer es ahora moverme hacia arriba o hacia abajo en la y, y como la y es positiva me voy hacia arriba, 00:33:01
este es el punto 0,2, ¿de acuerdo? Siguiente, la x vale 1, vale, que estamos aquí, 1, y la y vale 7, pues 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, 00:33:10
Aquí tenemos el 7, con lo cual el punto será este. 00:33:20
Me voy a ir al menos 1. 00:33:29
Cuando la x vale menos 1, la y vale 3. 00:33:31
1, 2 y 3 aquí. 00:33:36
Menos 3, con lo cual... 00:33:37
Bueno, con estos tres puntos más o menos me apaño. 00:33:43
A ver si me sale. 00:33:47
A ver cómo lo hago. 00:33:48
A ver, bueno, me va a salir una castaña. 00:33:49
no, no, no, porque precisamente 00:33:58
lo que no puede pasar es por el cirofilo 00:34:03
es que como no tengo regla 00:34:05
encima, es que no sé 00:34:11
cómo hacer 00:34:13
más o menos 00:34:13
lo que me interesa 00:34:29
es que veáis que no pasa por el cirofilo 00:34:37
bueno, más o menos, a vosotros os saldrá mejor 00:34:39
que tengáis una regla 00:34:43
lo que veis, fundamental 00:34:45
¿de acuerdo? que no pasa 00:34:47
que es una recta que no pasa por el 0,0. Bien, y si nos damos cuenta, este punto de corte de aquí, que es el x vale 0 y la y vale 2, 00:34:49
me la da precisamente el término independiente de mi función, este 2. 00:35:05
Por tanto, seguimos teniendo una pendiente 5, esto no cambia, es decir, el número que acompaña a la X siempre va a ser la pendiente, 00:35:16
y luego tenemos el término independiente que es el que me va a dar el punto de corte con el eje Y. 00:35:28
Con el eje Y. 00:35:35
¿De acuerdo? ¿Vale? 00:35:37
¿Vale? Entonces, vamos a representar esta función sin hacer la tabla de valores, sabiendo pendiente y término independiente, ¿vale? Tenemos que y es igual a 5x más 2, ¿vale? ¿Qué me indica el 2? Que mi recta va a cortar en este punto, porque me lo dice el término independiente, ¿de acuerdo? 00:35:39
Ahora bien, desde este punto voy a aplicar la pendiente. Sabemos que la pendiente, que es y partido de x, me vale 5, pero hay que decirse que la x, por tanto, vale 1, porque 5 es lo mismo que 5 partido de 1. 00:36:13
¿De acuerdo? Entonces, lo que hago es que la x avanza 1 positivo, ¿verdad? Con lo cual aquí avanza 1 y la y avanza 5 positivo, es decir, 5 hacia arriba. 00:36:30
1, 2, 3, 4 y 5. Bueno, me sale un poquito así, ¿verdad? Con lo cual este desde aquí hasta aquí. Quiere decirse que este será el siguiente punto, ¿vale? Si quiero ir hacia el otro lado, para que esto, como esto es positivo, tengo que hacer menos 5 entre menos 1 para que me dé menos entre menos más, ¿vale? 00:36:52
O sea, una pendiente menos 5 partido de menos 1 también es positiva, porque menos entre menos es más. Entonces, desde aquí avanzo 1 a la izquierda y en vez de subir, bajo, porque es menos 5. Y es 1, 2, 3, 4 y 5. Con lo cual este sería el otro punto. 00:37:14
Y esta sería mi recta, que es una que es igual a la otra, ¿vale? Aquí sin tabla y aquí, o sea, perdón, aquí con tabla de valores y aquí sin tabla, ¿qué es mucho más fácil? Pues evidentemente es mucho más fácil hacerla sin tabla de valores. 00:37:36
pues me ahorro un montón de cálculos sabiendo simplemente el punto de corte 00:37:57
y sabiendo que la pendiente sigue siendo igual y partido de x 00:38:01
y que desde ese punto de corte yo puedo ir avanzando a derecha o a izquierda 00:38:08
y arriba y abajo hasta conseguir los otros puntos. 00:38:17
Y además la pendiente es positiva, con lo cual sé que esta inclinación es la buena. 00:38:20
¿De acuerdo? ¿Más o menos? Vale, muy bien 00:38:24
A ver, vamos entonces a hacer algunos ejercicios 00:38:34
Bien, voy a representar aquí dos solamente, ¿vale? 00:38:38
Voy a poner, es que no sé si incluso he hecho alguna de estas 00:38:45
Mirad, la que acabo de hacer es esta, la C, ¿vale? Con lo cual esa ya la tenéis hecha 00:38:49
y voy a hacer pues esta 00:38:57
esta que es negativa, tiene pendiente negativa 00:39:00
¿vale? lo veis, menos 2x más 5 00:39:02
¿de acuerdo? pero no voy a hacer 00:39:04
la tabla de valores, ¿de acuerdo? 00:39:06
entonces vamos a hacer y igual a 00:39:08
menos 2x más 5 00:39:10
vale 00:39:11
voy a representar los ejes 00:39:13
ponemos los ejes 00:39:18
y ahora tenemos 00:39:20
¿dónde va a cortar la recta? 00:39:24
va a cortar en el ahí 00:39:26
5. 1, 2, 3, 4 y 5. Vale, muy bien, Sandra. Esto aquí, ¿vale? Va a cortar aquí. Y ahora, desde ese punto, desde ese punto, vamos a ver que la pendiente, que es menos 2 partido de 1, ¿no? 00:39:28
Porque menos 2 es lo mismo que menos 2 partido de 1, sabiendo que esto es y partido de x. 00:39:49
Pues desde este punto, ¿qué hacemos? 00:39:54
La x es positiva, por tanto va a avanzar un lugar, vamos a suponer que este es el 1, 00:39:56
avanza un lugar a la derecha, y el ahí que es negativa, es decir, va a bajar dos lugares, 00:40:02
es decir, hasta aquí. 00:40:10
Por tanto, este va a ser el otro punto. 00:40:13
Y entonces, daros cuenta que es 1 y baja 2. 00:40:16
1, 1 y baja 1 y 2 hasta aquí. Este es otro punto, otro 1 y ahora es 1 y 2, baja 2, con lo cual hasta aquí. 00:40:19
Y esta va a ser la recta. A ver si soy capaz de unir los puntos más o menos. Bueno, ahí. ¿De acuerdo? Pendiente negativa, como tiene que ser, ¿vale? Porque es un menos 2. ¿Entendido? ¿Vale? 00:40:45
Bien, los otros os los dejo para vosotros, no los voy a hacer 00:41:10
Esta de aquí, dice, hay una ecuación de las siguientes rectas 00:41:14
Vamos a ver qué datos nos dan para hallar la ecuación 00:41:17
Vamos a ver qué datos nos dan 00:41:20
Vamos a ver 00:41:28
Tenemos entonces el apartado A, ¿vale? 00:41:50
Del ejercicio número 2, dice, tiene pendiente 3 00:41:55
¿Vale? 00:41:57
Tiene pendiente 3 00:42:00
Y ordenada en el origen 00:42:02
La ordenada en el origen, ¿vale? 00:42:04
Es la n, porque además se me ha olvidado deciros que al eje x se le denomina también abscisa y al eje y se le denomina también ordenada, ¿vale? 00:42:06
Por eso te dice que la ordenada en el origen, es decir, el valor de la y en el origen, el valor de x, se llama así, ordenada en el origen, es menos 7, con lo cual la n es menos 7, que sería, que corta aquí, la recta corta aquí, ¿vale? 00:42:25
Y la pendiente es positiva, quiere decir que más o menos, bueno, cuando se estira así, va a cortar ahí, ¿de acuerdo? Pues ya está, muy facilísimo. Y es igual a 3x menos 7, ordenada en el origen, menos 7 y pendiente 3, chupado, ¿vale? Lo más fácil que te pueden poner. 00:42:40
Vale, siguiente, el B, dice tiene pendiente 5 y pasa por el punto menos 1, menos 2 00:42:57
Vale, esto ya, voy a hacer la representación para que entendáis luego cómo hacerlo sin tener que hacer la representación, ¿de acuerdo? 00:43:10
Bien, tenemos el eje X, el eje Y, el punto por el que pasa es el menos 1, menos 2, ¿verdad? Este, por tanto, es el punto por el que va a pasar, ¿de acuerdo? 00:43:21
Y ahora te dice que tiene la pendiente 5. Desde este punto, realmente es que no me haría falta hacer la representación, pero la voy a hacer ya que he empezado. 00:43:40
Ahora os explico cómo calcular la ecuación. Desde este punto vamos a ver la pendiente. Sabemos que la pendiente es 5, que es lo mismo que 5 partido 1 y, como siempre, xy. 00:44:06
Quiere decirse que la x, cuando la x avanza a 1 positivo, es decir, a la derecha, la y avanza 5 positivo también. Quiere decirse que avanza a 5 lugares. 1, 2, 3, 4 y 5. 00:44:16
Estamos en este punto, ¿vale? Luego sería 1 y luego otros 5 y así continuamente. De manera que nuestra función va a tener esta forma, esta recta. 00:44:29
Bien, no me hace falta hacer esto para calcular la ecuación. 00:44:40
entonces, mirad, yo sé que es una función 00:44:51
que al pasar 00:44:56
en la, a ver, bueno, sí 00:45:02
sí me hace falta, en cierto modo, porque veo que 00:45:07
al no pasar por el 0,0, sé que es una función que es 00:45:12
que es afín, perdonad, vamos a decir, que es afín 00:45:16
es decir, que tiene esta forma, y igual a mx más n 00:45:20
¿De acuerdo? Con lo cual, si ya conozco lo que me da el problema de dato, es que tiene la pendiente 5, con lo cual y es igual a 5x más n. 00:45:24
Ahora, ¿qué es lo que ocurre? 00:45:40
Que me falta por calcular el dato N 00:45:44
¿De acuerdo? Este dato de aquí 00:45:47
Que aquí ya lo he calculado 00:45:49
¿De acuerdo? ¿Por qué? 00:45:51
Porque me viene dado en la gráfica que acabo de hacer 00:45:53
El punto de corte con el eje Y 00:45:57
Que es 1, 2 y 3, es el 3 00:45:59
Podría sustituir aquí esto por 3 00:46:01
Pero esto no se hace así haciendo la representación gráfica 00:46:03
¿Qué es lo que se hace? 00:46:07
Lo que hacemos es sustituir en mi ecuación, en esta que acabo de hacer, en esta función, sustituir el valor de y por menos 2, ¿vale? 00:46:08
y el valor de la x por menos 1, es decir, 5 por menos 1 más n. 00:46:27
Y lo que obtenemos es una ecuación de primer grado normalita y sencilla 00:46:35
y lo que tenemos que hacer es despejar la n. 00:46:38
Es decir, una vez que yo ya sé cuál es la pendiente, 00:46:41
el punto por el que pasa esa recta, 00:46:45
lo que hago es sustituir los valores de x y de y en la función 00:46:49
la y vale menos 2 y la x vale menos 1. 00:46:52
¿De acuerdo? Con lo cual me queda que menos 2 es igual a menos 5 más n. 00:46:57
Como la n la quiero sola, el menos 5 me molesta y lo paso al otro lado como más 5. 00:47:03
Luego la n es igual a menos 2 más 5, 3. 00:47:09
Como la n vale 3, pues yo ya tengo mi función y igual a 5x más 3. 00:47:14
que es lo que os había dicho antes 00:47:22
que se veía perfectamente al hacer la representación 00:47:24
aquí donde cortaba la recta en el 3 00:47:28
que es lo que tenemos 00:47:32
no sé si ha quedado claro 00:47:35
más o menos 00:47:37
vamos a hacer el siguiente 00:47:39
y lo vamos a hacer también igual 00:47:54
voy a hacer la representación 00:47:57
para que entendáis luego cómo se hace 00:47:59
se haría sin la representación 00:48:03
entonces dice que pasa 00:48:04
hay a la ecuación de la recta 00:48:07
estamos en funciones afines 00:48:11
aunque no me diga 00:48:12
que estoy en funciones afines 00:48:15
pero no tienen por qué decirme que estoy en funciones afines 00:48:18
lo puedo adivinar yo 00:48:22
si me dicen que es una ecuación 00:48:24
o una recta que pasa por el punto 2, 3 00:48:28
y por el punto menos 1, 6 00:48:31
pues bueno, pues mira, me lo voy a representar 00:48:34
para eso me lo dan, pues hago la representación 00:48:35
punto 2, 3, quiere decirse que la x vale 2 00:48:38
y la y vale 3 00:48:43
y luego la b, el punto b 00:48:45
este sería el punto a 00:48:54
y el punto b es que la x vale menos 1 00:48:55
y la y vale 6, 3, 4, 5 y 6 00:48:58
¿Vale? Por tanto, estamos aquí 00:49:02
Con lo cual, ¿qué es lo que obtenemos? Pues es una recta que no pasa por el punto 0,0 00:49:08
Quiere decirse que es de este tipo, MX más N 00:49:13
¿Vale? Si la recta la hago bien, bien, bien 00:49:18
¿De acuerdo? Me da que el punto de corte con el eje Y es el 4 00:49:22
Quiere decirse que la N va a ser 4 00:49:27
¿Vale? ¿Qué es lo que me queda por calcular? La pendiente 00:49:30
¿Cómo calculamos la pendiente? 00:49:36
Mirad, la pendiente, como siempre, la voy a calcular pasando de un punto a otro 00:49:39
Pasando de un punto a otro 00:49:44
Es decir, desde este punto A a este, por ejemplo, a este de aquí, al B 00:49:47
Desde el punto A al punto B 00:49:52
¿Qué es lo que hacemos para pasar del punto A al punto B? 00:49:55
Cogiendo siempre paralelas a las X y paralelas a las Y 00:49:58
¿Vale? Pues tengo que hacer pasar de aquí a aquí y luego hacia arriba. Ahora bien, ¿cuánto nos hemos movido? Nos hemos movido, si os dais cuenta, 1, 2 y 3 a la izquierda. 00:50:02
Daros cuenta que la pendiente, ya sabemos, como siempre, y partido de x, 00:50:18
si es en la x a la izquierda será menos 3, ¿verdad? Es negativo. 00:50:22
Y ahora hacia arriba tengo 1, 2 y 3, ¿vale? Es decir, más 3. 00:50:27
¿Cómo es la pendiente entonces? La pendiente es más entre menos menos, 3 entre 3, 1. 00:50:37
Quiere decirse que esto sería un 1, que no se pone, por tanto, y es igual a x más 4. 00:50:44
¿Vale? Esa sería haciendo la representación. 00:50:51
¿Vale? 00:50:56
¿Cómo se hace analíticamente? Es decir, sin tener que hacer la representación. 00:50:58
¿Está mal? 00:51:05
¿La? 00:51:07
Se corta en el 5. 00:51:08
perdón, es que como lo he hecho a boleo aquí 00:51:12
1, 2, 3, además, bueno, se corta en el 5 00:51:18
perdón, perdón, a ver dónde lo tengo 00:51:23
5 y 5, vale 00:51:25
se corta en el 5, pues quiere decir que este es el 5 00:51:30
bien, ahora os voy a decir cómo se 00:51:33
cómo se haría esto sin tener que hacer la representación 00:51:39
que como veis va a ser mucho más seguro que haciendo la gráfica 00:51:44
porque como te desvíes un poco, el punto ya no te va a coincidir 00:51:47
y ya no se va a poder, vamos, va a estar mal 00:51:51
entonces, me alegro en cierto modo de que me haya salido mal 00:51:55
y la X es negativa exactamente 00:51:58
aquí, la pendiente menos uno, eso es 00:52:03
menos, vale, vamos a ver 00:52:05
cómo se hace esto analíticamente, lo voy a dejar aquí al ladito 00:52:08
esto, y tenemos 00:52:11
volvemos otra vez, mis puntos que me dicen son 00:52:15
A, 2, 3, y B 00:52:17
menos 1, 6, hemos dicho 00:52:20
que la recta es una recta que 00:52:23
puede ser o no puede ser afín o lineal 00:52:26
si yo no hago la representación, ojo 00:52:30
yo no sé si es afín, perdón, afín 00:52:32
o sí, afín o lineal, pero por si acaso voy a suponer que es una función afín, ¿de acuerdo? 00:52:35
Si fuera lineal, cuando resolviera esto me iba a dar que la n es 0 y al darme la n es 0, ¿vale? 00:52:45
Pues me iba a dar mx y ya sabría que es una función lineal, pero como no sé si es lineal o afín, 00:52:53
Yo, por si las moscas, siempre pongo esta fórmula, ¿de acuerdo? 00:53:00
Y ahora, ¿qué ocurre? Que yo sé que esta función o que esta recta va a pasar por estos dos puntos, 00:53:06
por el punto A y por el punto B, donde la primera coordenada de cada punto corresponde a la X 00:53:13
y la segunda corresponde a la Y. 00:53:18
¿Qué es lo que voy a formar? Pues un sistema de ecuaciones, ¿de acuerdo? 00:53:22
De manera que la Y para la A, ¿vale? Para la A, ¿la Y cuánto vale? 3. Igual. Y para la B, ¿la Y cuánto vale? 6. Igual a la pendiente. ¿Conocemos la pendiente? No. Pero como es la misma recta, pues la pendiente tiene que ser la misma. ¿Está claro? ¿No? La pendiente tiene que ser igual. 00:53:27
Y ahora la x para la primera vale 2, voy a poner aquí los m, y para la segunda vale menos 1, voy a poner el 1 para que lo veáis claro, el menos 1 este de aquí. 00:53:50
¿Vale? Menos 1 00:54:12
Y ahora, la N es el punto de corte de la recta con el eje Y 00:54:13
Que evidentemente, como se trata de la misma recta que pasa por dos puntos 00:54:19
Pues la N es la misma 00:54:22
¿Y qué es lo que tenemos? 00:54:24
Pues un sistema de ecuaciones, de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:54:26
¿De acuerdo? 00:54:29
¿Cómo voy a resolver esto? 00:54:31
A ver, un momentito, voy a poner un poquito mejor 00:54:32
Este es un menos 1, hemos dicho, aunque no se debe de poner, pero bueno 00:54:34
¿Cómo lo resolvemos? 00:54:38
La forma más fácil de hacerla por reducción 00:54:39
porque tengo aquí n y n, cambio de signo la de abajo por ejemplo 00:54:41
y ya está, la primera lo dejo igual 00:54:45
y la segunda la cambio de signo, menos 6 igual a m 00:54:48
menos n, esta y esta se anulan y me queda 00:54:55
3 menos 6 menos 3 00:55:00
y 2 más m, pues 3m 00:55:04
con lo cual m es igual a menos 3 partido de 3 00:55:08
me da que m es igual a menos 1, pendiente menos 1, lo que ya sabía 00:55:14
con lo de antes, ¿veis? pendiente menos 1 00:55:18
una vez que he calculado la m, pues puedo calcular la n como 00:55:21
sustituyendo en cualquiera de las dos, hago la primera, sería 00:55:25
3 igual a 2m más n 00:55:30
3 igual a 2, la m vale menos 1 00:55:34
luego me queda 3 igual a menos 2 más n 00:55:37
luego la n es igual a 3 más 2 00:55:41
luego n es igual a 5 00:55:45
¿de acuerdo? 00:55:47
ya tenemos la m y la n 00:55:49
y ya tenemos la ecuación 00:55:51
y igual a menos una m 00:55:52
más, ay perdón 00:55:56
menos una x más 5 00:55:59
bueno, parece un poquito enredoso 00:56:02
pero no hay más formas 00:56:08
de calcular la ecuación, quiere decir que no hay más 00:56:12
es lo que hay, ¿de acuerdo? Para calcular la ecuación de una 00:56:16
recta tenemos que me den lo más sencillo 00:56:20
los dos datos, la pendiente y la ordenada en el origen 00:56:24
que me den la pendiente y que pase por un punto o que me den dos puntos 00:56:27
si me dan dos puntos es un sistema de ecuaciones, si me dan la pendiente 00:56:31
y pasan por un punto es una ecuación de primer grado 00:56:36
y si me dan pendiente y origen es sustituir y punto 00:56:39
no tiene más, ¿vale? 00:56:42
pues ya está 00:56:44
ya no tenemos más que hablar porque son las 9 en punto 00:56:45
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