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Representación de parábolas - Contenido educativo

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Subido el 29 de septiembre de 2020 por Gonzalo T.

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Bueno, vamos a dar comienzo a esta explicación en la cual vamos a ver cómo representar una función cuadrática, una parábola. 00:00:01
Ya hemos visto en el anterior vídeo cómo son las funciones cuadráticas, qué tipo de curva tienen, ¿no? 00:00:21
Y son todas parábolas. Las parábolas, ya hemos visto que en función de los valores de A, B y C, 00:00:28
Las parábolas pueden ser más abiertas, más cerradas, abiertas hacia arriba, abiertas hacia abajo. 00:00:34
El eje y el vértice pueden estar desplazados, pero todas son parábolas. 00:00:39
Vamos a hacer este ejercicio que representa la función f de x igual a 3x al cuadrado menos 6x menos 9 00:00:43
y estudia las características de esa función, como son dominio recorrido, continuidad, monotonía y extremos relativos y absolutos. 00:00:49
La monotonía es decir, si la función es creciente o decreciente, en qué intervalos es creciente y en qué intervalos es decreciente. 00:00:57
Y los extremos es los máximos, mínimos, absolutos y relativos. 00:01:05
Empezamos, entonces tenemos aquí unos apuntes, ¿vale? 00:01:09
Bueno, este punto 3 y punto 4 los voy a cambiar de orden. 00:01:14
En estos apuntes tenemos cómo se representan, ¿vale? De manera resumidita, ¿vale? 00:01:18
Lo primero es tener en cuenta las tres partes de la parábola que nos indican así a primera vista los valores de A, B y C. 00:01:22
Primero que la abertura de la parábola que esté más o menos abierta depende del valor de A y que sea hacia arriba o hacia abajo depende del valor de A. 00:01:31
Entonces, como A es 3, va a ser una parábola que va a estar un poquito cerrada, por eso si os fijáis, la escala la he achatado un poquito para que no quede tan cerrada. 00:01:38
y hacia arriba, abierta hacia arriba porque es positivo. 00:01:52
El eje de simetría viene determinado por los valores de A y B, ¿vale? 00:01:57
Y en el caso de que B valiera cero, ya sabemos que el eje de simetría coincidiría con el eje de la cis. 00:02:01
En este caso no es así, luego el eje no será este eje, será otra recta que habrá que calcular. 00:02:06
¿Vale? Y por último, que el valor de C coincide con la segunda coordenada, la I, 00:02:13
del punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas, con el eje vertical. 00:02:18
Es decir, la C es a la altura aquí en este eje por donde pasa. 00:02:23
Entonces, como vale menos 9, ya sabemos que la función pasa por el 0, menos 9. 00:02:30
Vamos a dibujar ese punto. 00:02:34
Y lo tenemos. 00:02:41
0, menos 9, ya sabemos que ese es un punto de la gráfica. 00:02:43
La gráfica, la parábola, tiene que cortar a este eje ahí. 00:02:46
Eso siempre nos lo va a dar el valor de c. 00:02:49
Bueno, y vamos paso a paso. 00:02:53
El primer paso va a ser el calcular el eje de simetría. 00:02:54
Es una recta vertical que tiene por ecuación x igual a menos b partido por 2a. 00:02:59
Menos b, es decir, menos menos 6 partido por 2 por a, partido por 2 por 3. 00:03:05
Ese va a ser el punto de aquí sobre el cual tenemos que situar la recta vertical que va a ser el eje de simetría 00:03:13
Entonces ese punto, el menos b partido por 2a, que además es muy fácil de recordar 00:03:21
Porque si os fijáis, si yo le añado aquí un más menos la raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c partido por 2a 00:03:24
Esa es la fórmula de la ecuación de segundo grado 00:03:30
Entonces solo nos tenemos que recordar de la primera parte de la ecuación de segundo grado 00:03:33
De la fórmula para despejar la x en una ecuación de segundo grado 00:03:37
menos de partido por dos a bueno pues nos vamos a aquí lo vamos a hacer aquí 00:03:41
menos de partido por dos a que sea igual en nuestro caso a menos menos más 6 00:03:49
partido por dos por 36 es decir 1 este valor de 1 es lo que llamamos la 00:03:57
x sub-v, porque es la x del vértice. Entonces, el vértice de esta parábola va a tener su 00:04:05
primera coordenada en el 1. Luego aquí tiene que estar el eje. Por lo tanto, vamos a señalar 00:04:14
primero, vamos a fijar aquí el 1, vamos a señalar ahí el 1. Ahí lo tenemos, ¿vale? 00:04:20
Y ahora sobre ese punto vamos a dibujar una recta vertical que es el eje de simetría, 00:04:29
que sería esta recta de aquí, ahí la tenemos 00:04:34
pues ya tenemos un punto de la función, de la gráfica 00:04:39
y el eje de simetría, nos falta situar el vértice aquí, vamos a los apuntes 00:04:43
y lo vemos, segundo cálculo del vértice, bueno ya tenemos la primera coordenada 00:04:47
la xv, que en nuestro caso vale 1, pues ahora que hay que 00:04:51
calcular la segunda, ¿cómo? pues haciendo f de 1 00:04:55
es decir, para calcular la segunda coordenada 00:04:58
perdón, para calcular lo que sería el vértice 00:05:03
es sustituir aquí en f 00:05:07
la x por xv, en nuestro caso será 00:05:10
1 y ahora 3 por 1 al cuadrado 00:05:17
menos 6 por 1 00:05:21
menos 9, 1 al cuadrado es 1 00:05:26
por 3, 3, menos 6, menos 9, 3 menos 15 00:05:31
menos 12. Por lo tanto el vértice está a una altura de menos 12. Entonces tenemos que 00:05:35
situar el vértice ahí en ese punto. Vamos a dibujarlo. Ahí está. Ya tenemos este punto, 00:05:44
tenemos el eje de simetría, tenemos el vértice. Fijaos, al tener un eje de simetría y tener 00:05:53
un punto, automáticamente tenemos otro. A la misma distancia, esta distancia es una 00:05:58
unidad, porque el eje 00:06:02
está aquí en el 1, pues una unidad 00:06:04
más para allá, es decir, en el 2 00:06:06
la función también tiene que valer menos 9 00:06:08
¿vale? porque si no, no habría 00:06:10
simetría, este punto tiene que tener otro punto 00:06:12
simétrico aquí en el 2 00:06:14
menos 9, si sustituyo aquí la x por 2 00:06:16
me va a dar también menos 9 00:06:19
igual que si la sustituyo por 0 00:06:20
¿vale? pero no necesito hacerlo porque lo puedo 00:06:22
hacer directamente dibujando el simétrico 00:06:24
vamos a dibujar ese punto simétrico 00:06:26
aquí lo tenemos, ¿vale? 00:06:28
pues fijaos, ya tengo un punto 00:06:30
el vértice, otro punto 00:06:32
subsimétrico, ya más o menos 00:06:33
sé que la parábola 00:06:35
tiene que hacer algo así, ¿vale? 00:06:38
¿Qué nos falta? Nos faltan los puntos de corte con los ejes 00:06:39
con el eje de las X 00:06:42
porque con el eje de la Y ya lo tenemos 00:06:43
que hay que calcularlo siempre 00:06:46
¿vale? Entonces van a ser 00:06:48
dos puntos que van a estar 00:06:50
sobre este eje 00:06:51
a la derecha del eje 00:06:53
de simetría y a la izquierda del eje a la misma 00:06:56
distancia, ¿vale? 00:06:58
En este caso 00:07:01
sé que tiene que haber puntos de corte, porque si el vértice está aquí abajo 00:07:02
y es abierto hacia arriba, la fuerza voy a tener que cortar, ¿vale? si el vértice me hubiera quedado 00:07:05
arriba, entonces ya sé que puntos de corte con el eje de las X no habría 00:07:09
¿vale? entonces, si me voy a los apuntes, ¿cómo se calcula? 00:07:13
¿vale? es el punto aquí 4, pero que será el 3 00:07:18
pues, para calcular los puntos de corte con el eje OX, como tenemos que 00:07:21
buscar que la Y valga 0, es sustituir F de X por 0, es decir, me queda 00:07:26
en la ecuación de segundo grado. Si sustituyo la f de x por cero, porque claro, en estos 00:07:30
puntos, ¿cuánto vale la función? Si estoy en este aquí, a esta altura, es cero. Entonces 00:07:34
sustituyo la x por cero y busco los x cuya imagen es cero, que esos van a ser los puntos 00:07:40
de corte, ¿vale? O las primeras coordenadas de los puntos de corte. Entonces se trata 00:07:45
de resolver la ecuación, la voy a poner aquí, 0 es igual a 3x al cuadrado menos 6x menos 9. 00:07:49
Vale, entonces, pues x será igual a menos b, menos menos más 6, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, 00:08:04
36, menos, como aquí hay un menos, pues será más, 3 por 4, 12, y por 9, 108, entonces, 108, y partido por 2 por 3, 6, claro, fijaos, este menos b partido por 2a de aquí, este 6 partido por 6, el 1, 00:08:15
fijaos que luego tenemos ese 1 y luego más esto 00:08:41
y luego por otro lado menos esto, claro, por eso 00:08:46
el eje está justo ahí, porque le sumo una cantidad 00:08:49
a la derecha o se la resto y entonces mantengo la simetría 00:08:54
vale, ahora 00:08:58
esto es 144, luego esto es 12, luego me queda 6 más menos 12 00:09:01
partido por 6, entonces esto en realidad es 1 más menos 2 00:09:06
si lo queremos poner así para que lo entendamos 00:09:10
6 entre 6 es 1 00:09:12
y luego más menos 12 entre 6 es 2 00:09:14
es decir, 1 más 2 00:09:16
3, 1 menos 2 00:09:18
menos 1, 3 y menos 1 00:09:20
son las dos soluciones 00:09:22
y los dos puntos van a estar aquí 00:09:23
vale 00:09:25
las soluciones son 3 00:09:27
y menos 1 00:09:30
vale 00:09:33
es decir, desde el centro 00:09:34
que es el eje de simetría 00:09:36
dos a la derecha y dos a la izquierda vale 3 y menos 1 luego los puntos de corte son 00:09:38
3 0 y menos 10 vamos a dibujar esos puntos ahí están los puntos de corte bueno pues ahora ya 00:09:47
tengo, lo voy a hacer primero a mano alzada, y luego ya lo hago bien, buscamos, tiene que ser una palabra, así, ya lo podríamos dibujar, yo ahora lo voy a dibujar con el GeoGebra, vosotros en vuestro caderno dibujaríais una cosa así, me ha quedado un poco churro, pero seguro que vosotros lo hacéis mucho mejor, que sería esta la gráfica, voy a quitar el dibujo a mano alzada, para que se vea mejor, y ahí la tenemos, 00:10:05
y luego esto ya estaría 00:10:41
ya habríamos hecho la primera parte 00:10:49
que es representar la función 00:10:51
fijaos que si vamos a los apuntes 00:10:52
hay un punto 4, que aquí está 3 00:10:54
pero le voy a cambiar el orden 00:10:56
que es tabla de valores 00:10:58
y dice dar valores a la derecha y a la izquierda del eje de simetría 00:11:00
al menos dos valores a cada lado 00:11:03
y representar los puntos 00:11:05
bueno, esto puede hacer falta 00:11:06
o puede no hacer falta 00:11:09
en este caso, fijaos que yo ya tengo dos valores a cada lado 00:11:10
porque tengo uno aquí y otro aquí 00:11:13
y son dos simétricos 00:11:15
con lo cual ya con esto tendría bastante para hacer, he tenido bastante para hacer el dibujo 00:11:16
claro, si a mí me hubiera quedado el vértice por ejemplo aquí arriba 00:11:20
entonces yo solo tendría un valor aquí y otro aquí 00:11:23
el punto de corte con la eje de la 6 y su simétrico 00:11:26
me faltaría alguno más, entonces así quedaría valores 00:11:30
entonces sería coger, como el eje está en 1, pues daría un valor por ejemplo para 00:11:33
x igual a 2 o 3 o 4 y su simétrico aquí 00:11:37
y ya tendría un poquito más de valores 00:11:41
Pero generalmente cuando la función corta al eje de las X, como es este caso, con los puntos de corte con el eje de las X y con el punto de corte con el eje de las Y y su simétrico y con el vértice y el eje, suelo tener bastante para hacer un esbozo de cómo es la gráfica de esta función. 00:11:45
¿De acuerdo? 00:12:04
Bien, pues ahora pasamos a la segunda parte, que es estudiar estas cosas. 00:12:06
Dominio y recorrido, continuidad, monotonía, extremos relativos absolutos. 00:12:12
Voy a limpiar la pantalla, voy a borrar todo esto y voy a dejar solamente la gráfica y vamos a contestar a eso. 00:12:16
Vale, ya lo tenemos limpio y vamos con el dominio y recorrido. 00:12:23
Dominio de la función. Función polinómica, todos los reales. 00:12:26
una función polinómica, su dominio es todos los reales 00:12:31
se puede calcular esto para cualquier valor de x 00:12:34
recorrido o imagen, imagen de f 00:12:40
pues me fijo que valores toma la y 00:12:44
pues tiene un valor mínimo que es menos 12 y a partir de ahí los toma todos 00:12:48
luego será el intervalo cerrado desde menos 12 hasta infinito abierto 00:12:51
¿continuidad? 00:12:56
continua, las funciones polinómicas son todas continuas 00:13:00
esto lo dibujo de un solo trazo 00:13:03
¿vale? monotonía, pues monotonía 00:13:07
tengo que decir, fijándome en el dominio, en qué intervalos 00:13:11
del dominio la función crece, en qué intervalos decrece, etc. 00:13:15
yo observo, mirando la gráfica, que esto decrece hasta aquí 00:13:19
¿no? luego el intervalo de decrecimiento será de 00:13:23
menos infinito a 1, entonces es decreciente, decimos decreciente en menos infinito 1, 1 00:13:27
abierto, ¿vale? porque en el 1 no es decreciente, no es ni decreciente ni creciente, sino que 00:13:43
tiene un mínimo y es creciente en uno infinito 00:13:50
y por último extremos relativos y absolutos vamos a hablar primero de 00:14:02
extremos absolutos aunque en este caso coinciden 00:14:06
extremos absolutos es fijarnos en el recorrido y ver si está acotado entonces 00:14:16
por encima no tiene no hay máximo absoluto por debajo si el menos 12 tiene 00:14:20
mínimo absoluto que vale estamos hablando de la y de la función el valor 00:14:26
mínimo que alcanza la función menos 12 y ahora extremos relativos cuando hablamos 00:14:39
de extremos relativos está relacionado con la monotonía 00:14:50
vale entonces porque la monotonía contestábamos aquí intervalos de 00:14:53
crecimiento y crecimiento contestamos en la x los extremos relativos también 00:14:57
Entonces, extremos relativos es si hay algún punto donde la función experimenta un cambio de crecimiento. 00:15:02
Si a la izquierda tiene un crecimiento y a la derecha tiene otro. 00:15:08
Y eso pasa en el 1. 00:15:11
Entonces, en 1 tiene un extremo relativo. 00:15:13
Y si el cambio es que va de crecer a crecer, es un mínimo. 00:15:16
Y si fuera al revés, sería un máximo. 00:15:20
Luego, en 1 tiene un mínimo relativo. 00:15:22
¿vale? importante 00:15:27
que veamos que aunque es el mismo punto 00:15:32
cuando hablamos de extremos absolutos 00:15:35
hablamos del valor de la función 00:15:37
menos 12 y cuando hablamos de extremos relativos 00:15:38
hablamos del valor de 00:15:41
la x en el dominio 00:15:43
y sería 1 00:15:45
¿vale? bueno y con esto 00:15:47
pues queda terminado el ejemplo 00:15:49
el ejercicio de representar 00:15:51
la función f de x igual a 3x cuadrado 00:15:53
menos 6x menos 9 00:15:55
Autor/es:
Gonzalo Taboada Gelardo
Subido por:
Gonzalo T.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
149
Fecha:
29 de septiembre de 2020 - 15:15
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS ROZAS I
Duración:
16′ 10″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
49.58 MBytes

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