Funciones logarítmicas I - Daniel Ubeda - Contenido educativo
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en este vídeo vamos a ver las funciones logarítmicas.
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Así que ha llegado el momento de que recordéis a los logaritmos,
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los viejos amigos del tema 1, que ya es la prehistoria.
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Bueno, pues nada, las funciones logarítmicas son aquellas
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cuya expresión analítica general es ésta,
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igual a logaritmo en base a de x,
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donde a, para que tenga sentido la expresión,
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tiene que ser un número real diferente de 1 y mayor que 0.
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Eso lo vimos en el tema 1.
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Bueno, pues nada, ahora vamos a ir revisando las diferentes características
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y viendo a ver qué podemos decir de ellas en las funciones logarítmicas.
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El dominio de estas funciones es la semirrecta 0 más infinito.
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El valor de x no puede ser 0 ni negativo.
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Fijaos que esto se debe a que si ponemos
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igual a logaritmo, por ejemplo, para que lo veáis más claro,
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en base 2 de 0,
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pues esto quiere decir
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a qué número tengo que elevar 2 para que me dé 0.
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Esto es lo mismo que escribir esto.
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2 elevado a i igual a 0.
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Pero es que esto es la función exponencial
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y ya hemos dicho en el vídeo anterior
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que esa función no se anula nunca.
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Fijaos, por cierto, que para valores pequeños de la i
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esa función es siempre positiva,
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que no sé si lo he remarcado con suficiente claridad en el vídeo anterior.
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Por ejemplo, 2 elevado a menos 3 es igual,
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recordad, a 1 partido 2 elevado a 3,
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que es un valor pequeño, un octavo, pero siempre positivo.
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Cuidado con eso.
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Así que pues eso, el valor de x no puede ser un número negativo
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porque no es posible.
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Por esto que he explicado.
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Bueno, el recorrido de estas funciones
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es todos los números reales,
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pueden alcanzar cualquier valor.
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Los puntos de corte, solamente hay un punto de corte
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con el eje x, que es el punto 1, 0.
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Fijaos que si hacemos i igual a 0,
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pues tenemos logaritmo, por ejemplo,
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en base 2 de x igual a 0.
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Y esto es lo mismo que decir x igual a 2 elevado a 0,
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que es 1.
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¿Vale? De aquí sale que el punto de corte
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con el eje x es el 1, 0.
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Sin embargo, si hacéis x igual a 0,
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pues queda lo que he dicho antes, que no puede ser.
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Así que no hay punto de corte con el eje y.
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Muy bien.
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Seguimos. El signo depende del valor de a.
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Ahora lo vamos a ver gráficamente.
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Si a es mayor que 1, pues es positiva en 1 más infinito
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y negativa en 0, 1.
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Y también voy a aprovechar para verlo a la vez el crecimiento.
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Si a es mayor que 1, es creciente en todo su dominio.
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Fijaos.
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Este es logaritmo en base 3 de x.
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Pues aquí veis que
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entre 0 y 1 es negativa
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y creciente.
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Y entre 1 más infinito, pues es creciente igualmente,
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pero ya positiva. ¿Vale?
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Sin embargo, si el valor de a está entre 0 y 1,
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si el valor de a está entre 0 y 1,
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pues lo que sucede es que es positiva entre 0 y 1
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y negativa en 1 más infinito.
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¿Vale? Y decreciente en todo su dominio.
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Aquí lo podéis ver perfectamente.
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¿Qué más?
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No tiene simetría, ni par ni impar.
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Ya lo habéis visto. No es periódica.
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Continua en 0 más infinito,
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sea cual sea el valor de a.
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Ya lo veis que es continua.
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No tiene máximos ni mínimos.
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Se ve claramente.
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Acotación puede ser engañoso.
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Podéis pensar que a lo mejor está acotada superiormente,
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pero no. Crece extremadamente despacio,
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pero no está acotada superiormente.
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¿Vale?
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Fijaos. Esta es la i igual a logaritmo en base 3 de x.
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Os sugiero que hagáis una tabla de valores.
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Bueno, la voy a hacer yo.
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xi con las sucesivas potencias de 3.
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Si x vale 3, logaritmo en base 3 de 3 es 1.
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¿A qué número tengo que elevar 3 para que me dé 3?
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Pues a 1.
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¿A qué número tengo que elevar 3 para que me dé 9?
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Pues a 2.
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¿Veis gráficamente que así es?
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Cuando x es 3, la i vale 1.
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Cuando x es 9, la i vale 2.
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Cuando x es 27, la i vale 3.
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Crece extremadamente despacio la función.
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Muy bien.
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¿Y qué nos falta?
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Acotada, ya digo que no está acotada
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ni superior ni inferiormente.
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Eso se deducía ya de que el recorrido
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era todos los números reales.
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¿Y sobre asíntotas?
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Pues solo tiene una asíntota vertical,
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que es esta que está aquí.
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La x igual a 0.
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Pues eso sería todo.
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- Daniel U.
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- 26 de julio de 2023 - 10:51
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