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Matrices 7 - Matriz inversa - Contenido educativo

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Subido el 12 de julio de 2018 por Manuel D.

403 visualizaciones

Se explica qué es la matriz inversa de una matriz y se analizan algunas de sus propiedades

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas 2 de segundo de bachillerato. 00:00:02
Seguimos trabajando la unidad de matrices. En esta ocasión os vengo a presentar una 00:00:13
de las nociones más importantes de este tema, que es la de matriz inversa. Vamos a trabajar 00:00:19
mucho con matrices inversas tanto en este tema como en el de determinantes como en el 00:00:25
sistemas de ecuaciones. Comenzamos. Empecemos dando una definición de matriz inversa. Dada 00:00:31
una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B, de modo que al multiplicar A por B es igual 00:00:38
a B por A es igual a la identidad, entonces la matriz A se dice que tiene inversa y B 00:00:45
es la matriz inversa de A. Se suele escribir como A a la menos uno. Hay dos cosas muy importantes. 00:00:51
Primero, que las matrices tienen que ser cuadradas. Y segundo, que tiene que existir esta matriz. Es decir, hay veces para las que no existe. Si una matriz cuadrada no tiene inversa, se llamará singular. En el próximo bloque de determinantes veremos un criterio muy claro para ver cuándo una matriz sí o no tiene inversa. 00:00:57
Bien, propiedades de las matrices inversas. Bueno, pues la inversa de la inversa es la propia matriz. Esto es por la propia definición. Una propiedad quizá un poco más extraña puede ser la de que a por b a la menos uno es igual a b a la menos uno por a a la menos uno. 00:01:15
Esto es por lo siguiente. 00:01:35
Cuando queramos ver que dos matrices son inversas, lo que hay que hacer es multiplicarlas y ver si da o no la identidad. 00:01:37
Es decir, para ver que A por B a la menos 1, es decir, la inversa de A por B es B a la menos 1 por A a la menos 1, 00:01:42
pues vamos a multiplicar estas matrices. 00:01:49
B a la menos 1 por A a la menos 1 por A por B es igual a, pues podemos multiplicar aplicando la propiedad distributiva, 00:01:51
y eso, pues A a la menos 1 por A nos da la identidad, con lo que B a la menos 1 por B también es la identidad y al final el resultado B era la identidad, 00:01:59
con lo que efectivamente se verifica la igualdad. 00:02:08
Y otra propiedad que se verifica respecto a la traspuesta es que podemos invertir y transponer o transponer e invertir, el resultado es el mismo, 00:02:11
con mutan estas dos operaciones. 00:02:18
Bien, vamos a hacer un ejemplo para ver cómo se calcula una matriz inversa 2 por 2. 00:02:21
Básicamente en este vídeo vamos a explicar dos formas. La primera de ellas es mediante sistemas de ecuaciones. 00:02:26
Planteamos la definición de matriz inversa. A a la menos uno va a ser una matriz incógnita, X, Y, Z, T. 00:02:32
Multiplicamos, daría igual en este caso multiplicar a la izquierda a la derecha y el resultado tiene que ser la identidad. 00:02:38
Si ralentizamos este producto, el resultado va a ser S y de ahí extraemos dos sistemas de ecuaciones de igualar cada una de las columnas a 1, 0 o 0, 1. 00:02:43
Bien, ahora lo que hacemos es resolver cada uno de estos dos sistemas 00:02:53
Vamos a plantearlos por reducción para luego explicar el siguiente método que viene de aquí 00:02:58
Aplicando reducción lo que hacemos es operar con las ecuaciones, multiplicar por coeficientes, por números para reducir 00:03:03
Y al final el resultado, aplicando reducción tres veces, te quedaría que la x vale menos cinco medios y la z dos 00:03:11
Podemos hacer lo mismo con el segundo sistema de ecuaciones y obtendríamos la solución para la i y la t, 00:03:19
con lo que al final podemos determinar que a la menos 1 vale esa matriz, menos 5, 2, menos 5 medios, 2, 3 medios, menos 1. 00:03:25
Bien, vamos a hacer esto mismo pero de otra forma. Esto se va a conocer como un método de Gauss-Jordan. 00:03:33
Para ello lo que vamos a hacer es lo mismo, lo que pasa es que vamos a traducirlo a matrices. 00:03:41
Es decir, estos dos sistemas que tenemos que resolver los podemos expresar matricialmente de esa forma o podemos condensar la información en una matriz de dos filas y tres columnas, olvidándonos de la X y la Z. 00:03:45
Entonces nos olvidamos de las incógnitas y trabajamos exclusivamente con los coeficientes en estos sistemas. 00:03:59
Entonces al final en realidad lo que tenemos que hacer son la reducción, pero reducción simplemente con matrices. Al final lo que tenemos que conseguir es tener ceros fuera de la diagonal y unos dentro de la diagonal y al final la x sería menos 5 medios y la z sería 2, exactamente igual que resolviendo el sistema de ecuaciones. 00:04:08
Lo mismo lo podemos hacer abajo, pero es decir, podemos quitar las incógnitas i y t y dejar solo las matrices de coeficientes. 00:04:29
Pero fijaos que las operaciones de filas que tenemos que hacer son exactamente las mismas y la matriz de la izquierda que aparece siempre es la misma. Es decir, que podemos condensar estos juegos de matrices en una matriz en vez de 2x3, 2x4 y lo mismo con cada uno de los pasos, con lo que nos ahorramos la mitad de las cuentas. 00:04:39
Es decir, que trabajaremos y lo que hemos hecho ha sido trabajar con una matriz, con la matriz A y a la derecha ponerle la matriz identidad, hacer una serie de operaciones y al final acabamos con la matriz identidad a la izquierda y la matriz inversa a la derecha. 00:04:59
Esto es lo que se va a conocer como método de Gauss-Jordan, que podemos resumir de la manera siguiente. 00:05:15
cogemos la matriz que queremos invertir, le ajuntamos a la derecha la matriz identidad, mediante operaciones de filas vamos obteniendo la matriz identidad a la izquierda 00:05:20
y lo que obtengamos a la derecha el resultado será la inversa de la matriz. Muy bien, en el próximo vídeo vamos a ver un ejemplo de cálculo de la matriz inversa 00:05:30
mediante este método de Gauss-Jordan para una matriz 3x3. Espero que os haya gustado, nos vemos en el siguiente vídeo. Hasta luego. 00:05:41
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
403
Fecha:
12 de julio de 2018 - 11:55
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
05′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
34.94 MBytes

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