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Expresion algebraica de una función - Contenido educativo
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En este vídeo, ¿qué es la expresión algebraica de una función?
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En principio, vamos a decir que una función, recordemos el concepto,
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teníamos un conjunto inicial y un conjunto final,
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y a elementos del conjunto inicial los asociábamos con elementos del conjunto final.
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Bien, esta era la idea de función con el requisito de que un elemento del conjunto inicial solo le puede corresponder un elemento del conjunto final.
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Pues bien, una función puede tener una expresión algebraica mediante la cual podríamos encontrar de manera sencilla con qué valores están relacionados los elementos del conjunto inicial.
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Es decir, podríamos calcular de manera sencilla las imágenes de un elemento y también al revés, las antiimágenes de un elemento del conjunto final.
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Por ejemplo, en este caso la imagen de A es K y la antiimagen de K diríamos que es A y B.
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Bien, pues vamos a ver cómo una expresión algebraica de una función me permite calcular de manera sencilla estas dos cuestiones.
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Vamos a ver. Voy a poneros un ejemplo de expresión algebraica de una función.
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Esta es una de entre tantas. Por ejemplo, esta función, f de x igual a 2x.
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Esta es la expresión algebraica de una función.
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¿Cómo puedo calcular imágenes a través de esta expresión algebraica?
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Pues mirad, si quisiera calcular f de 1, es decir, ¿qué elemento del conjunto final hemos asociado con el 1?
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Pues donde pone x pones 1 y operas 2 por 1 igual a 2.
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Así que diríamos que la imagen de 1 es 2.
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La imagen de 5, por ejemplo, para esta función con la que estamos trabajando en particular, sería 2 por 5, que es 10.
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La imagen del 5 es 10.
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Entonces, como veis, de manera muy sencilla, una expresión algebraica de este tipo, digamos que me permite calcular imágenes de una función.
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En definitiva, ¿qué es una expresión algebraica de una función?
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Pues observemos que está relacionando, es una fórmula que me está relacionando el valor de x con la imagen, mediante la fórmula.
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en este caso se puede entender que se está refiriendo a una función muy concreta
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y es que la imagen de un valor es el doble de dicho valor
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pero insisto, esta es una expresión algebraica de una cierta función
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pero expresiones algebraicas hay muchas
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Por ejemplo, esta o esta, g de x igual a 3x menos 1, en fin, cada una de estas son expresiones algebraicas.
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Y la clave está en que relacionan el valor de x con la imagen g de x o f de x, ¿de acuerdo?
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Nos faltaría ver cómo calculamos antiimágenes.
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O sea, hemos visto que para calcular la imagen, cuando lo que tengo es una expresión algebraica de una función,
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para calcular la imagen de un valor sustituyo en la fórmula, en la x, el valor cuya imagen quiero calcular.
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Pero, ¿cómo calcularíamos la antiimagen?
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Pues mirad, vamos a ver, vamos a calcular, por ejemplo, la antiimagen de 10.
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Esto es lo que venimos llamando f a la menos 1 de 10, que en realidad responde a la pregunta de ¿qué valor de x habría que sustituir aquí?
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o mejor, ¿qué valor de x del conjunto inicial tiene como imagen el elemento 10 del conjunto final?
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A partir de la expresión algebraica la cuestión es sencilla, es ¿qué valor de x habría que sustituir aquí para que como resultado me diera 10?
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Esta es la antiimagen del 10.
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Y para calcular la antiimagen del 10, pues resolvemos esta ecuación.
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O sea, igualamos la expresión a 10 y despejo.
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¿Cómo sería, por ejemplo, la antiimagen del menos 20?
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Pues nada, pues cojo la expresión algebraica, que es 2x, y la igualo a menos 20 y despejo.
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Es menos 10.
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¿Esto qué quiere decir? Que la imagen de menos 10, como puedes ver, al multiplicarlo por 2 te daría igual a 20, menos 20
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Vamos a hacer un último ejemplo como repaso
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Consideremos una función cuya expresión algebraica es, por ejemplo, esta
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Bien, tenemos aquí una función que calculemos, por ejemplo, la imagen del número 2
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Es decir, tenemos aquí el conjunto inicial, aquí el conjunto final y aquí está el número 2
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y queremos saber qué elemento del conjunto final está asociado a esto, lo que hemos llamado f de 2.
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¿De acuerdo? Pues imagen del 2 que llamamos, lo escribimos como f de 2,
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lo tenemos sustituyendo en x el 2, en mi expresión algebraica, sería 3 por 2 más 5, que es igual a 11.
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Así que la imagen del 2 es 11. Esto es lo que hemos dicho, aquí estaría el 2, aquí el 11, y lo tenemos asociados uno con otro.
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De acuerdo, bien. Vamos a ver cómo calcularíamos antiimágenes de esta función. Por ejemplo, queremos calcular la antiimagen del número 26.
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Es decir, que tenemos aquí el conjunto inicial y aquí el conjunto final y aquí está el número 26 y nos preguntamos por cuál es el elemento del conjunto inicial que estaría asociado.
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O lo que es lo mismo, ¿qué elemento hay aquí que llamamos a? De modo que f de a sea igual a 26.
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Pues en este caso, como venimos escribiendo, a sería igual a la antiimagen del 26 y escribimos así, lf, aquí como elevado a menos 1.
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Es una escritura, ¿vale? Entonces, en mi caso, lo que hacemos es, para calcular la anti-imagen del 26, lo que hacemos es, en la expresión algebraica, la igualamos a 26 y despejamos x.
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3x igual a 26 menos 5
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Con lo que x es igual a 23 entre 3
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21 entre 3
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Que es 7
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¿Esto qué quiere decir?
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Pues que la antiimagen del 26 es igual a 7
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O lo que es lo mismo que f de 7 es igual a 26
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Hemos igualado en definitiva la expresión algebraica a este valor
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26, que es cuya antiimagen quiero calcular.
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- 20 de marzo de 2021 - 16:27
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- IES BARRIO SIMANCAS
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