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DT2.GP.U11.1_ Inversión. Conceptos - Contenido educativo

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Subido el 1 de abril de 2025 por Carmen O.

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Vale, vamos a empezar la línea nueva que es de inversión, tiene que ver con la potencia en cuanto que Apolonio, digamos, cuando hizo sus diferentes casos para resolver casos de tangencia en aquellos en los que no nos da el radio en la circunferencia, pues se hacía por potencia y por inversión, ¿vale? 00:00:00
¿Qué pasaba cuando hacíamos por inversión? 00:00:19
Que no teníamos ninguna línea de centros 00:00:22
Ese tipo de ejercicios no entran en PAU 00:00:24
Es decir, tangencias por inversión no entran en PAU 00:00:27
Lo que entra es lo que yo voy a explicar 00:00:31
Que es figuras inversas 00:00:33
Que es cómo se me convierte, por ejemplo 00:00:35
Una recta en una circunferencia 00:00:37
O cómo una circunferencia pasa a ser una recta 00:00:39
¿Vale? 00:00:42
Eso, todo esto que tenemos aquí 00:00:44
Todo este trocito y este trocito 00:00:47
es lo que venía compactado en esa hoja primera 00:00:49
que os di con el tema de potencia, 00:00:52
que venían como tres rectángulos 00:00:54
y ponía potencia, homotecia e inversión, ¿vale? 00:00:56
Pues todo lo que hay ahí está allí a modo de... 00:00:59
O sea, aquí está más extendido, 00:01:03
pero la información es la misma, ¿vale? 00:01:06
Entonces, cosas que vamos a ir leyendo. 00:01:08
Primero hay que aclarar ciertos conceptos de la inversión 00:01:12
y luego ya empezamos a hacer ejercicios teórico prácticos. 00:01:15
Nos dice, la inversión es una transformación geométrica anamórfica en la que se hace corresponder a cada punto A un punto A'. 00:01:18
¿Qué significa transformación geométrica anamórfica? Que no conserva la forma. 00:01:26
Por eso que yo he dicho de, si tengo una recta, a lo mejor se me está convirtiendo en una circunferencia y viceversa. 00:01:31
Vale, una pareja de puntos A, A' son inversos si la recta que los une pasa por O, considerando a O como un centro de inversión, vale, el producto de las distancias entre A, O y A'O es un valor constante K llamado potencia de inversión, vale, es decir, cuando tú multiplicas O por A y O por A' te da un valor K que es constante, 00:01:37
Cuando tú multiplicas OA por OA', te da un valor K que es constante. 00:02:07
Estos apuntes aquí los tenemos en blanco y negro, pero en el aula virtual los tienes a color, ¿vale? 00:02:13
Te lo digo porque aquí, por ejemplo, sí que se aprecia que la A' tiene un colorcito diferente, 00:02:20
pero luego, por ejemplo, en casa lo puedes mirar los apuntes y ver que todo tiene color, ¿de acuerdo? 00:02:27
vale nos dice tengo una inversión positiva tipos de inversión inversión puede ser positiva cuando 00:02:32
si esa potencia de inversión el valor de k es mayor que cero cuando esto ocurre significa que 00:02:43
la pareja de puntos inversos están al mismo lado respecto de o si tú te fijas aquí vemos que la 00:02:51
La O la tengo aquí, por ejemplo, en la izquierda y que los dos puntos que son inversos entre sí están hacia el mismo lado. 00:02:58
En este caso, hacia la derecha, ¿vale? 00:03:06
¿Cuándo tengo una inversión negativa? 00:03:08
Pues cuando la K sea menor que cero y la pareja de puntos inversos estén cada uno a un lado del centro de inversión. 00:03:10
Se ve aquí en el ejemplo que tengo O en el centro, a la izquierda tengo A, a la derecha tengo A'. 00:03:20
Pues esto es inversión inversa, ¿vale? Nos dice, este dibujito de aquí, si cogiéramos el esquemita de la potencia es exactamente el mismo, solo que yo aquí he sustituido la P, porque en la potencia te hablaba de un punto, he sustituido el punto P por un AO, que es centro de inversión. 00:03:27
y luego aquí te ponía en la potencia, esto le llamaba A, a este punto le llamaba B, a este punto le llamaba C y a este D 00:03:51
y aquí la diferencia está en que tú, si esto es un centro de inversión y tú lanzas una recta secante a una circunferencia 00:04:00
los dos puntos son inversos, uno del otro, por eso se llama A y A', ¿vale? 00:04:09
Dice, tanto en inversión positiva como en la negativa 00:04:17
Las parejas de puntos inversos son concíclicos 00:04:21
¿Qué significa que son concíclicos? 00:04:24
Que están sobre la misma circunferencia 00:04:27
Entonces si tú aquí te fijas 00:04:29
Tienes el punto A y el punto A' 00:04:31
Son inversos entre sí 00:04:33
Y los dos están sobre la misma circunferencia 00:04:36
Esto es importante 00:04:39
O sea, esto que decimos 00:04:41
De que las parejas de puntos inversos 00:04:43
son concíclicos, es como una de las propiedades fundamentales con las que tenemos que trabajar en la inversión, ¿vale? 00:04:46
Y luego me dice, al igual que en la potencia, los pares de segmentos dan siempre un valor k, que es esto que tenemos aquí, ¿vale? 00:04:53
Lo de raíz de k, ¿vale? Y me dice, t1 y t2, bueno, aquí están representados como t y t', esto estaría mal, esto es correcto, ¿vale? 00:05:00
Sería esto y esto, ¿vale? 00:05:09
Lo del 1 y 2 se quita. 00:05:12
Porque es como si fueran dos puntos diferentes y aquí no lo son. 00:05:15
T y T' son inversos entre sí. 00:05:19
A, A' son inversos entre sí. 00:05:21
B, B' inversos entre sí. 00:05:24
Y todos son puntos concíclicos porque todos tienen, 00:05:26
están situados sobre la misma circunferencia, ¿vale? 00:05:31
O es el centro de inversión y K al cuadrado es la potencia de inversión. 00:05:34
K al cuadrado es lo mismo que raíz de K. 00:05:40
Si tú quitas el cuadrado se convierte en una raíz, ¿vale? 00:05:45
Elementos y figuras dobles. 00:05:50
Nos dice, ¿qué es un punto doble? 00:05:52
Pues son homólogos de sí mismos, es decir, T y T'. 00:05:55
Esto lo quitaré para que se entienda mejor. 00:05:59
T y T', que distan del centro de inversión raíz de K, ¿vale? 00:06:04
Circunferencias de radio raíz de K, todas las circunferencias que sean con radio raíz de K, 00:06:12
se dice que son circunferencias de puntos dobles, y nos dice, si K es positivo, 00:06:20
las circunferencias de puntos dobles, y la podemos representar como Cpd. 00:06:27
cuando tú escribas CPD 00:06:32
significa circunferencia de puntos dobles 00:06:33
también llamada 00:06:36
circunferencia de autoinversión 00:06:38
es decir, que cuando tú tienes 00:06:39
una circunferencia que es de 00:06:44
puntos dobles, cuando te digan que hagas 00:06:46
la figura inversa, es ella misma 00:06:48
¿vale? es como que si la invirtieras 00:06:50
tú tuvieras así un cilindro, imagínate 00:06:54
tú tienes una circunferencia y te dicen 00:06:56
a ver, hazla inversa, y la haces así 00:06:57
que es exactamente lo mismo 00:06:59
con lo cual los puntos son dobles 00:07:01
y por eso se le dice de autoinversión, ¿vale? 00:07:03
Si k es negativo, la circunferencia ya no es de puntos dobles. 00:07:08
¿Por qué no? 00:07:13
Porque no existe raíz de menos k. 00:07:14
Tú no puedes hacer la raíz cuadrada de un número negativo, ¿vale? 00:07:17
Dice, aunque la única figura doble es la CPD, 00:07:22
la circunferencia punto en dobles, 00:07:26
cuando k es positivo, existen otras figuras que llamamos dobles. 00:07:28
aunque no lo sean 00:07:32
todos sus puntos 00:07:35
¿vale? 00:07:36
rectas dobles 00:07:38
las que pasan por el centro de inversión 00:07:39
circunferencia doble 00:07:42
todas las circunferencias que pasen 00:07:45
por dos puntos de inversión 00:07:47
puntos homólogos 00:07:48
por ejemplo 00:07:49
nos está diciendo aquí 00:07:51
que esta potencia es negativa 00:07:52
¿ves que está el centro en el medio 00:07:54
y luego tengo B a un lado 00:07:56
y B' al otro? 00:07:58
pues esto es 00:08:00
una potencia negativa 00:08:01
y esta 00:08:04
que es una circunferencia 00:08:06
de puntos dobles, como los tengo los dos 00:08:08
en el mismo sitio, esto sí es 00:08:10
una circunferencia de puntos dobles 00:08:12
¿ves que aquí tiene escrito 00:08:14
CPD y aquí no? 00:08:16
está hecho a posta 00:08:19
no es un error, ¿vale? 00:08:20
¿por qué esta no es de puntos dobles? 00:08:24
porque aquí sí coinciden los dos 00:08:25
hay puntos dobles 00:08:27
pero aquí no coinciden 00:08:30
Los dos, uno está a un lado y otro está al otro. 00:08:32
Esto es una circunferencia, pero no de punto doble. 00:08:34
¿Vale? 00:08:37
Vale. 00:08:39
Esto de que está aquí es que lo tengo que quitar. 00:08:40
Esto se me ha colado. 00:08:41
La B' esta se ha colado. 00:08:44
Viene de aquí. 00:08:46
Vale. 00:08:49
Este cuadradito de aquí te lo tienes que saber de memoria. 00:08:51
Porque esto es lo que te va a ayudar a resolver el ejercicio. 00:08:56
Vale. 00:09:00
Propiedades interesantes. 00:09:02
Dice, para resolución de problemas de tangencias, no se conservan las formas de las figuras, pero sí los ángulos entre dos líneas, ya sean rectas o curvas. 00:09:03
Se mantienen las tangencias, de modo que si dos figuras son tangentes, tras la transformación siguen siendo, y sus puntos de tangencia son inversos. 00:09:13
Es decir, si tú tienes una recta y una circunferencia que son tangentes, cuando tú le hagas sus inversas, van a seguir siendo tangentes. 00:09:23
Permite simplificar los datos de un ejercicio problema 00:09:31
Y esto es lo que sí que sí que sí que sí me tengo que saber de memoria 00:09:37
Te dice que una figura inversa 00:09:42
Dice la figura inversa de una circunferencia 00:09:47
Es decir, tú tienes una circunferencia y te dicen que le hagas la inversa 00:09:50
Y te tienes que fijar en circunferencia que no pasa por el centro de inversión 00:09:54
¿En qué se convierte? 00:10:00
en una circunferencia que no pasa por el centro de inversión. 00:10:01
Esto luego lo vas a entender perfectamente, ¿vale? 00:10:05
Circunferencia que sí pasa por el centro de inversión, 00:10:09
pues ya no se convierte en una circunferencia, 00:10:13
sino que se convierte en una recta 00:10:16
que no pasa por el centro de inversión. 00:10:18
Vale. 00:10:21
Figura inversa de una recta. 00:10:22
Si tú le quieres hacer la figura inversa 00:10:24
a una recta que no pasa por el centro de inversión, 00:10:27
se va a transformar en una circunferencia 00:10:30
que sí pasa por el centro de inversión. 00:10:33
Si tienes una recta que sí pasa por el centro de inversión, 00:10:37
resulta que es ella misma, es decir, es doble. 00:10:41
¿Vale? 00:10:45
¿Te has enterado de algo? 00:10:47
No. 00:10:49
No te has enterado, ya te lo digo yo. 00:10:50
Pero no hay problema, porque te vas a enterar después 00:10:52
cuando lo empecemos a aplicar en los ejercicios. 00:10:54
Y entonces vas a entender qué es esto. 00:10:57
Pero este esquema te lo tienes que saber. 00:10:59
¿Vale? Me lo tengo que saber con toda la letra. 00:11:02
Yo puedo decir C no, C no. 00:11:05
Me puedo hacer un esquemita de este tipo. 00:11:08
Por ejemplo, C no, C no. 00:11:10
Circunferencia que no pasa por el centro de inversión 00:11:15
es una circunferencia que no pasa por el centro de inversión. 00:11:18
C sí, R no. 00:11:23
¿Vale? R no, C sí. 00:11:28
Fíjate en esto. 00:11:35
circunferencia que sí pasa en que se convierte en recta que no pasa recta que no pasa en quien 00:11:39
se convierte en circunferencia que si ves esto pues ya no tengo que memorizar tanto vale y ahora 00:11:46
recta que sí es ella misma es ella por lo como quieras vale al final son como tres cosas 00:11:56
C no, C no, C sí, R no, R no, C sí, y R sí, ella. 00:12:10
Eso es lo que te tienes que aprender. 00:12:18
Ella misma, vale. 00:12:21
Métodos para hallar puntos inversos. 00:12:24
Hemos estado hablando todo este rato que la inversión, 00:12:26
que tengo puntos inversos, que tal y que cual, vale. 00:12:30
Pues digamos que en función de cómo me dé el punto, 00:12:33
tengo distintas maneras de hallar el inverso. 00:12:36
primer punto, o sea, primer método 00:12:38
por puntos concíclicos 00:12:42
acuérdate que concíclicos significa 00:12:44
que tengo los puntos inversos 00:12:46
en la misma circunferencia 00:12:48
¿vale? entonces aquí 00:12:49
te dice, cuando las parejas de puntos 00:12:52
no están alineadas, por ejemplo 00:12:54
yo aquí 00:12:56
A y A' 00:12:58
y B, B' lo tengo 00:12:59
como en dos rectas diferentes 00:13:01
¿lo ves? no están alineados 00:13:03
yo no tengo A, B 00:13:06
en el mismo sitio, están cada uno en un lado 00:13:08
eso significa no alineado, vale 00:13:10
cuando las parejas 00:13:12
de puntos no están alineadas 00:13:14
¿qué ocurre con B'? 00:13:16
yo tengo que poder hallar B', vale 00:13:17
pues nos imaginamos 00:13:20
que yo lo que tengo es B, A 00:13:22
y A', nada más 00:13:24
vale, esto de la recta auxiliar es que 00:13:26
ya está como resuelto el ejercicio 00:13:28
si tú tienes solamente 00:13:30
A, A' y B, tienes 3 puntos 00:13:32
tú puedes 00:13:34
trazar una circunferencia que pase por tres puntos? Sí, me hago la mediatriz de AB, me hago la mediatriz 00:13:36
de A' donde me corten tengo el centro, ¿vale? Pues digamos que ahí ese centro es el de una 00:13:44
circunferencia auxiliar, ¿vale? Que va a tener raíz de K. El radio de esa circunferencia auxiliar es 00:13:51
raíz de K. Vale. Como te he dicho que es por puntos concíclicos, tú sabes que B' tiene que estar 00:13:59
encima de esta circunferencia que has hecho. ¿Dónde? Donde te corta el rayo que une O con B. ¿Lo 00:14:08
ves? Y ahí estará B'. ¿Ves esto? O sea, ya está resuelto, pero se resolvería como yo te he dicho. 00:14:16
Dice, ¿qué ocurre cuando las parejas de puntos están en la misma línea? 00:14:25
Es decir, ahora sí que están alineados 00:14:33
Y aquí te dejo los pasos, porque este es un poquito más complicado 00:14:36
Resulta que yo aquí tengo A en esta misma línea 00:14:39
¿Ves? Yo tengo A, AB y, o sea, A', AB y A 00:14:44
Si tú tienes los tres puntos en una misma línea 00:14:50
tú no puedes hacer lo que hemos hecho antes 00:14:54
que con las mediatrices hemos sacado 00:14:56
una circunferencia auxiliar 00:14:58
no puedo, están todos en la misma línea 00:14:59
no puedo hacerlo, vale 00:15:02
y me hice los pasos, dice recta auxiliar 00:15:03
cualquiera 00:15:06
R y sobre ella 00:15:07
un punto cualquiera C 00:15:10
es decir, ha cogido 00:15:12
y desde O, tú digamos tu problema era esto 00:15:13
nada más 00:15:16
sin estar B', tú tenías 00:15:16
esta línea y A' B 00:15:19
y A, y tú como tienes 00:15:21
los puntos alineados, tú no puedes 00:15:24
hacer lo que hemos hecho antes 00:15:26
entonces lo que hace es, vale, voy a hacer algo 00:15:27
para 00:15:30
desalinear los puntos, por decirlo de una 00:15:31
manera, entonces ha cogido y ha trazado 00:15:34
una recta R, la que le ha dado 00:15:35
la gana, desde O 00:15:38
y sobre esa recta ha puesto 00:15:39
C y C' y ha dicho, pues tú vas 00:15:42
a hacer C y tú vas a hacer C' 00:15:44
donde quiera 00:15:45
¿vale? ¿qué ha hecho con eso? 00:15:47
conseguir 00:15:50
tener puntos que no están alineados con A y con B, ¿vale? 00:15:51
Para poder hacer, digamos, el método de antes, ¿vale? 00:15:57
Seguimos leyendo y nos dice, traza la CPD, es decir, la circunferencia a puntos dobles, 00:16:01
que pase por A, A' y C. 00:16:07
Este lo haya después, ¿vale? C' lo haya después, ¿vale? 00:16:12
Entonces, si yo, el ejercicio me da el dato de A' y me da el de A, el de C me lo he inventado yo y la recta también, ¿vale? Entonces, tú ahora que tienes C, A' y A, tienes tres puntos no alineados, sí, puedo hacer lo mismo que he hecho aquí y sacar C', ¿vale? 00:16:17
Dice para hallar, o sea, punto anual, y aquí podríamos poner, por ejemplo, que entonces sacábamos C', ¿vale? 00:16:46
Cuando tú hagas eso por A, A' y C, sacas C', ¿vale? 00:16:55
Dice para hallar B', que en realidad tú has usado C para poder sacar B', que es lo que tú estás buscando. 00:17:00
Dice para hallar B', trazamos una circunferencia que contenga a B, a C y a C'. 00:17:07
¿Por qué? 00:17:15
Porque no están alineados 00:17:17
Entonces, cuando yo me haga la circunferencia 00:17:19
De C, C' B 00:17:22
Conseguiré que esta circunferencia 00:17:25
¿Ves? Esta de aquí 00:17:28
Me corte a la recta 00:17:30
Y ahí estará B' 00:17:32
¿Lo has entendido? 00:17:36
Vale, tiene aquí los pasos, ¿vale? 00:17:42
Lo vamos a hacer en ejercicios 00:17:45
Así que no te preocupes 00:17:47
Luego hay otro método 00:17:48
y es por restas antiparalelas. 00:17:51
Te diré que es el que prácticamente 00:17:53
yo no uso casi nunca. 00:17:55
Yo siempre hago esto de las concíclicas. 00:17:57
Yo es de este que ni me acuerdo luego que existe. 00:17:59
Vale. 00:18:01
Yo tengo aquí unos puntos que como ves 00:18:02
tengo A, B y A'. 00:18:04
No son concíclicos. 00:18:06
O sea, son concíclicos. 00:18:09
No, ¿cómo se diría? No están alineados. 00:18:10
Eso es lo que quería decir. 00:18:12
No están alineados, es decir, lo podría haber hecho 00:18:14
con puntos concíclicos o con restas antiparalelas. 00:18:16
¿Cómo es resta antiparalela? 00:18:19
pues simplemente que este ángulo que tengo aquí 00:18:21
lo voy a tener aquí y este ángulo que tengo aquí 00:18:23
lo tengo aquí. Y yo así 00:18:25
ya puedo hallar 00:18:27
el punto B'. 00:18:28
¿Cómo sé los ángulos? 00:18:31
Te los copias. Por eso 00:18:35
yo no lo uso porque es muy lento. 00:18:36
Tú te coges tu ángulo aquí, te lo copias 00:18:38
con tu compás. 00:18:40
¿Qué método tienes que usar? 00:18:43
No. Tú sabes que hay dos métodos 00:18:44
y tú eliges el que tú quieras. 00:18:46
Tú al final dices, 00:18:49
te dice, imagínate el ejercicio, te dice 00:18:50
haya los puntos inversos 00:18:52
haya todos los puntos inversos 00:18:54
tienes A y tienes A' 00:18:56
vale, pues estos ya están los dos, ya está la pareja 00:18:58
pero este está solo 00:19:01
tienes que hallar B' 00:19:02
¿cómo lo hallo? 00:19:04
si no están alineados 00:19:06
lo puedo hacer con puntos concíclicos 00:19:08
con la circunferencia 00:19:11
o con rectas antiparalelas 00:19:12
sí 00:19:14
o sea, aquí son simplemente dos métodos 00:19:19
¿vale? 00:19:22
con punto concíclico o por restas antiparalelas, ¿vale? 00:19:22
Y te dice, bueno, aquí hay una demostración geométrica 00:19:28
del por qué lo puedo hacer con restas antiparalelas 00:19:30
y es que te dice que los triángulos OAB y OA'B' 00:19:33
son triángulos semejantes inversos, 00:19:39
en los que el ángulo en O es común. 00:19:43
Claro, es que al final, si tú tienes aquí este ángulo común, 00:19:46
este, este y este son iguales, este y este son iguales, 00:19:48
Pues son semejantes los triángulos, ¿vale? 00:19:52
Dice, ¿qué son los triángulos semejantes? 00:19:57
Son triángulos semejantes si sus ángulos son iguales. 00:19:59
¿Son los ángulos iguales? 00:20:03
Sí, solo que este triángulo de O, A' B' es más grande que el otro. 00:20:05
Son lados proporcionales, ¿vale? 00:20:12
Y el tercer método es por rectas tangentes. 00:20:14
Entonces, aquí lo que te da es una circunferencia, te da como dato una circunferencia y el punto A, ¿vale? 00:20:18
Entonces, yo tengo que hallar el inverso de A', o sea, el inverso de A, que es A'. 00:20:32
¿Cómo lo hace? Desde el punto A al centro, lo une, hace media tris, lo que va a hacer es como hallar el punto de tangencia, 00:20:37
como hemos estado hallando en potencia 00:20:47
y desde aquí dice 00:20:49
ojo, este es el punto de tangencia 00:20:51
me trazo la perpendicular 00:20:53
a mi línea, digamos 00:20:56
de centros y en donde corte 00:20:58
esa perpendicular, ahí está el punto inverso 00:21:00
o sea, hay 00:21:02
tres métodos en función de 00:21:04
cómo te dan los datos 00:21:06
¿vale? 00:21:08
vale, pues mañana seguimos 00:21:10
Materias:
Dibujo Técnico
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Carmen Ortiz Reche
Subido por:
Carmen O.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
1
Fecha:
1 de abril de 2025 - 13:38
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES FRANCISCO AYALA
Duración:
21′ 14″
Relación de aspecto:
16:9 Es el estándar usado por la televisión de alta definición y en varias pantallas, es ancho y normalmente se le suele llamar panorámico o widescreen, aunque todas las relaciones (a excepción de la 1:1) son widescreen. El ángulo de la diagonal es de 29,36°.
Resolución:
1272x720 píxeles
Tamaño:
521.55 MBytes

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