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AN4. 5. Optimización de funciones - Contenido educativo

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Subido el 24 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las derivadas. 00:00:22
En la videoclase de hoy estudiaremos la optimización de funciones. 00:00:31
En esta videoclase vamos a tratar otra de las grandes aplicaciones de las derivadas, 00:00:36
cuál es la optimización de funciones. En este caso lo que va a ocurrir es que vamos a buscar 00:00:51
dentro de un contexto realista el máximo o mínimo de una cierta función sujeta a una serie de 00:00:58
restricciones, sujeta a una serie de consideraciones. La idea consiste en que utilizaremos las mismas 00:01:06
técnicas que utilizábamos dentro de la sección segunda cuando hablamos de monotonía y extremos 00:01:13
relativos de una función para buscar los extremos relativos, deberemos de tener en 00:01:18
consideración que cuando se nos pregunte por un valor máximo buscaremos el mayor de 00:01:24
los máximos, de haber más de uno. Cuando se nos hable de un mínimo buscaremos el menor 00:01:29
de los mínimos cuando nos encontremos con más de uno. Y además nos vamos a encontrar 00:01:34
con una serie de consideraciones adicionales y es que el estudio que nosotros hacíamos 00:01:39
en esta sección era de una función en general. Y nosotros lo que hacíamos era estudiar los puntos 00:01:45
críticos de la función derivada primera dentro del dominio de la función derivada primera, el cual 00:01:51
a su vez estaba contenido dentro del dominio de la función. Y ese dominio lo habíamos determinado 00:01:56
considerando únicamente el tipo de función con la que nos encontrábamos. Si era una función 00:02:02
polinómica, el dominio es toda la recta real. Si se trata de una función racional, hemos de excluir 00:02:07
los ceros del denominador, etcétera, etcétera. En este caso, cuando nos 00:02:11
encontremos con un contexto realista, no estudiaremos el dominio natural de la 00:02:15
función, que es este que he descrito anteriormente, sino el dominio que venga 00:02:21
dado por las restricciones, por las consideraciones que se nos hagan. Lo 00:02:25
cual quiere decir que hemos de tener en cuenta no solamente las restricciones, 00:02:30
que pueden suponer una forma distinta de dotar la función, una forma distinta de 00:02:34
crear la función cuyo extremo relativo hemos de hallar, sino que además esas restricciones en un 00:02:39
momento dado van a determinar cuál es el dominio de la función. Y algo que debemos tener en cuenta 00:02:46
es que es posible que los extremos relativos no se encuentren dentro del intervalo abierto o los 00:02:51
intervalos abiertos dentro de este dominio natural, sino que podemos encontrarnos con los extremos que 00:02:59
estamos buscando, justamente en esos puntos que delimitan el dominio. De tal forma que en el 00:03:04
estudio que quiera que hagamos, una vez que tengamos la función cuyo extremo relativo deseamos hallar 00:03:10
máximo o mínimo, hemos de tener en cuenta que el dominio no necesariamente será el dominio natural, 00:03:17
sino que puede ser que se haya restringido por las consideraciones propias del ejercicio. Y en 00:03:22
un momento dado, cuando estudiemos dentro de los puntos críticos de la derivada primera de esa 00:03:27
función, en cuáles de ellos nos encontramos con máximos y con mínimos, hemos de tener en cuenta 00:03:33
que además los puntos que delimitan el dominio de la función, en el caso de que el dominio esté 00:03:38
cerrado en esos extremos, hemos de considerarlos como candidatos a máximos y a mínimos. ¿A qué me 00:03:43
refiero con esto de las restricciones que van a formar o no la función? Vamos a considerar estos 00:03:50
dos ejemplos que tenemos aquí. En este ejercicio 11, que resolveremos en clase y posiblemente en 00:03:56
alguna videoclase posterior, se nos habla de un cierto club deportivo que cuenta con un número 00:04:02
de socios que viene dado en miles de personas, esto va a ser importante, por esta cierta función. 00:04:06
En este caso la función no tenemos que determinarla, se nos ha dado. Vemos que la función s de x, 00:04:12
s por ser el número de socios, es una función polinómica y sabemos que el dominio de las 00:04:19
funciones polinómicas es toda la recta real. Bien, hemos de tener cuidado. Ese es el dominio 00:04:24
natural, el que es propio de esta función por el hecho de ser polinómica. Ahora, esta función es 00:04:29
una función abstracta, representa algo real, representa el número de socios en miles de 00:04:36
personas desde su fundación y esta x representa, se nos da esa información, el número de años desde 00:04:41
su fundación. No tiene sentido considerar un valor de x negativo, puesto que eso indicaría un instante 00:04:48
de tiempo anterior a la fundación del club y antes de su fundación no tiene 00:04:55
sentido hablar del número de socios. Así pues, en este caso 00:04:59
el dominio de la función no es toda la recta real, ese es el dominio 00:05:03
natural de la función. El dominio real de la función que corresponde 00:05:07
a esta aplicación concreta es x perteneciente al intervalo 00:05:11
desde cero cerrado hasta más infinito porque en principio 00:05:15
no me dicen de cuál sea el límite, no me dicen algo como por ejemplo 00:05:19
o sea, el número de años desde su fundación hasta el presente, que es el quinto año, 00:05:23
en cuyo caso sería de 0 a 5. 00:05:28
No, me hablan de desde su fundación, no tengo un límite superior que me venga dado por renunciado. 00:05:30
Puedo tomar x en principio, tan grande como yo quiera, 00:05:36
pero desde luego, comentando un 0, cerrado, pero no un valor negativo. 00:05:38
A eso me refiero cuando hablo de la diferencia entre el dominio natural y el dominio real de la función. 00:05:43
Cuando yo vaya a determinar la función derivada, su dominio, puesto que la función derivada de un polinomio es una función polinómica, 00:05:49
a su vez va a ser también toda la recta real. Cuidado, ese es el dominio natural de la función derivada. 00:05:56
No tiene sentido que me pregunte por la función derivada fuera del dominio de la propia función. 00:06:03
Así pues, tendría que estudiar el signo de la función derivada y buscar los extremos relativos únicamente en el intervalo que va desde cero hasta más infinito. 00:06:07
Y en ese caso, fijaos, 0 es un punto que delimita el dominio de la función. En principio ese punto pertenece al dominio de la función, en él la función es derivable por la derecha únicamente, por la izquierda no, puesto que no existe la función, y podría ser que ese punto x igual a 0 fuera un extremo relativo de la función. 00:06:15
No porque en él, a izquierda y a derecha, la función tenga monotonía distinta. 00:06:34
En este caso estoy buscando un máximo. 00:06:39
Necesito que a la izquierda la función sea creciente y a la derecha sea decreciente. 00:06:42
Sino por el mero hecho de que delimita el dominio de la función. 00:06:45
Si, por ejemplo, a la derecha de ese punto x igual a 0 la función fuera decreciente, 00:06:48
en x igual a 0 tendríamos un máximo de la función. 00:06:54
Bien, es cierto que a la izquierda no hay función, pero a la derecha sí. 00:06:57
Y si a partir de ese punto que es cerrado, por eso que x es igual a cero, pertenece al dominio de la función, la función decrece, ahí podríamos encontrarnos con un máximo de la función. 00:07:00
E insisto, no es un punto crítico necesariamente de la función deriva. 00:07:10
La primera, por el mero hecho de cortar el dominio natural formando el dominio real con las restricciones, y en este caso es una de sentido común, 00:07:14
no me puedo preguntar por qué ocurría con el club antes de su fundación en el tiempo x igual a 0, 00:07:23
por el mero hecho de cortar el dominio natural, nos podemos encontrar con puntos que sean susceptibles de ser máximos o mínimos. 00:07:30
Así pues, insisto, cuando desarrollemos este algoritmo, fijaos en que no sólo debo tener en consideración los puntos críticos de la derivada que se encuentren dentro del dominio real, 00:07:39
sino que además debo tener en consideración qué es lo que ocurre con los puntos que delimitan el dominio real, 00:07:52
que cortan el dominio natural para formar el dominio real. 00:07:58
En cuanto a qué me refiero cuando digo que las restricciones ayudan a formar la función cuyo extremo relativo estamos buscando, 00:08:02
lo en este ejercicio 2, que resolveremos en clase posiblemente también en alguna videoclase posterior, 00:08:11
Me hablan de que necesitamos fabricar cajas, en principio dice de latón sin tapa, de volumen 500 centímetros cúbicos. 00:08:16
Estas cajas sin tapa tendrán, en principio, como vemos aquí, una base que será cuadrada y entonces tendrán cuatro paredes que serán, en principio, rectángulos. 00:08:24
No tienen tapa, con lo cual tenemos una única base, la de abajo, y las cuatro caras laterales. 00:08:36
Se nos pide hallar la altura de esas caras laterales y el lado de la base para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la mínima posible. 00:08:41
En este caso no se nos da una función. La función que tenemos que maximizar o minimizar, en este caso minimizar, como leemos aquí, es la cantidad de latón empleada, que será la superficie, puesto que se nos están hablando de dimensiones. 00:08:51
No tenemos la función superficie de latón empleado, pero se nos da información que son esas restricciones. 00:09:05
Sabemos que la base tiene que ser un cuadrado. 00:09:13
Con base cuadrada sabemos que las caras laterales van a ser rectángulos. 00:09:16
Sabemos que el volumen tiene que ser 500 centímetros cúbicos. 00:09:20
Y toda esta información la integraremos para intentar determinar cuál es esa función área de latón para buscar cuál va a ser el mínimo. 00:09:24
fijaos que en este caso expresaremos esta función en función de una única variable puede ser bien 00:09:32
la altura puede ser bien el lado de la base en cualquiera de los casos tenemos una restricción 00:09:42
también de sentido común por el hecho de que se trata de un problema realista no tiene sentido 00:09:49
que esta altura o este lado que son longitudes sean desde luego cero ni desde luego negativos 00:09:55
Con lo cual nos hallamos con las restricciones de que en el dominio, si expresamos el área en función de esta altura, llamémosla x, x tiene que ser estrictamente positiva, mientras que si la expresamos en función del lado de la base, llamémosla x, nuevamente x tiene que ser estrictamente positiva. 00:10:02
Y aquí nos encontramos con una nueva situación en la cual una función que va a ser polinómica no va a tener como dominio toda la recta real, esto sería el dominio natural por el hecho de ser una función polinómica, sino que tendremos un dominio real que va a ser x positivos por el hecho de que nos encontramos dentro de una situación realista y la variable independiente no puede tomar valores negativos, no puede tomar el valor cero. 00:10:22
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:10:45
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:10:54
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:10:59
Un saludo y hasta pronto. 00:11:05
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
24 de noviembre de 2024 - 15:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
11′ 33″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
28.19 MBytes

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