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Aproximaciones al nº Pi

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Subido el 17 de marzo de 2015 por Luis Miguel L.

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Se trata de dos aproximaciones al nº Pi: la de Arquímedes y la de Montecarlo, utilizando GeoGebra para entenderlos mejor

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Vamos a hacer uso del método de Monte Carlo para hacer una aproximación del número pi. 00:00:28
En este método se utiliza probabilidad. 00:00:34
Vamos a inscribir un círculo de radio 1 en un cuadrado de lado 2. 00:00:37
Elegimos al azar un punto del cuadrado y observamos si pertenece o no al círculo. 00:00:44
La frecuencia que el punto esté dentro del círculo debe tender a la razón entre las áreas, en este caso pi cuartos. 00:00:49
¿Y por qué debe tender? Vamos a pensar que el círculo es de radio 1, pi por r cuadrado nos quedaría un área de pi por 1 al cuadrado que es pi, mientras que el área del cuadrado sería 2 por 2 que es 4. 00:00:56
La probabilidad o la frecuencia en este caso sería el área del círculo entre el área del cuadrado, casos favorables entre casos posibles. En este caso, área del círculo pi, área del cuadrado 4, de ahí viene este cociente pi entre 4. 00:01:12
multiplicamos por 4, este cociente nos quedaría el número pi 00:01:26
la aproximación será mejor cuanto mayor sea el número de lanzamientos 00:01:31
vamos a hacerlo en nuestro caso con dos lanzamientos 00:01:36
y miramos a ver qué tipo de aproximación obtenemos 00:01:39
si miramos los casos favorables, los que caen dentro del círculo 00:01:42
es 1, casos posibles son 2 00:01:46
si hacemos la operación en la barra de entrada 00:01:49
nos quedarían casos favorables 1, entre casos posibles 2 00:01:51
multiplicado por 4 para normalizarlo, obtendríamos el número 2 00:01:55
que es el número que aparece aquí, como aproximación del número pi 00:02:00
si aumentamos el número de lanzamientos y hacemos las mismas operaciones 00:02:04
obtendríamos por ejemplo para 8 lanzamientos que 6 de ellos 00:02:08
nos caen dentro, 2 nos caen fuera, la aproximación nos tiene que quedar 3 00:02:12
y vamos a observar que efectivamente nos queda 3 00:02:16
serían casos favorables 6 00:02:19
ponemos 6, entre casos posibles 8 00:02:22
y lo multiplicamos por 4 00:02:26
nuestro resultado sería una aproximación que es 3 00:02:28
pues bien, si aumentamos el número de lanzamientos 00:02:33
esta aproximación tiene que tender al número pi 00:02:36
vamos a aumentar el número de lanzamientos 00:02:40
cambiamos el máximo que teníamos en 10 00:02:42
y lo podemos poner en 10.000 00:02:46
Y ahora comprobamos cómo se mueve la aproximación del número pi cuando avanzamos el número de lanzamientos hacia 10.000. 00:02:49
Vemos que el resultado no siempre se acerca más o menos dependiendo del número de lanzamientos. 00:03:00
Puede que con menos lanzamientos obtengamos una mejor aproximación. 00:03:07
Esto sería una aproximación del número pi. 00:03:14
Observamos cómo varían los distintos lanzamientos. 00:03:19
Si esto lo hiciésemos muchas veces, con 10.000 queda una mejor aproximación de media que con menos lanzamientos. 00:03:21
Bueno, pues esto es todo. 00:03:29
Hola a todos. Vamos a calcular el número pi. 00:03:56
Para hacerlo, dividiremos la longitud de la circunferencia entre su diámetro. 00:04:00
Construimos la circunferencia con centro irradio dado. 00:04:05
calculamos su longitud 00:04:09
poniendo en la barra de entrada 00:04:11
perímetro 00:04:13
que es como le ha llamado a esa circunferencia 00:04:18
damos al enter 00:04:20
nos fijamos en el número que le ha llamado 00:04:21
que es L 00:04:23
calculamos su radio 00:04:24
y dividiremos en la barra de entrada 00:04:27
entre 00:04:34
dos veces 00:04:35
subradio. Y obtenemos 00:04:38
el número pi. Pues bien, Arquímedes 00:04:42
que no disponía de estos medios, lo que 00:04:47
hizo fue construir una circunferencia 00:04:51
y aproximarse por polígonos regulares. Nosotros vamos a tratar 00:04:53
de hacer la aproximación inferior de Arquímedes. 00:04:59
Para lo cual vamos a construir polígonos inscritos en esta circunferencia. 00:05:02
En este caso vamos a intentar construir un polígono escrito de seis lados, un hexágono. 00:05:07
Fijaos que en la herramienta de polígonos regulares se requieren dos vértices consecutivos. 00:05:15
Y disponemos solamente del centro de la circunferencia y uno de los puntos de la circunferencia. 00:05:23
Nos falta el otro punto. 00:05:34
Pues bien, para construir el otro punto nos fijamos en el ángulo central que forman estos segmentos, 00:05:37
que sería dividir 360 grados entre el número de lados, con lo cual obtendríamos este ángulo central. 00:05:45
Vamos a hacerlo en la barra de entrada. 00:05:54
Dividimos 360 grados entre, en vez de poner 6, vamos a poner n. 00:05:55
Y obtenemos un ángulo que le llamamos ahí beta, que es 60 grados. 00:06:06
Pues bien, vamos a rotar este punto alrededor de este punto y utilizando un ángulo de beta grados, que es lo que viene ahí en la opción beta. 00:06:12
Vamos a OK y este será nuestro dos puntos con los que construir el polígono regular. 00:06:24
Pinchamos en este vértice, en el otro vértice, el lado, y le ponemos de lado en vez de 6, lo mismo que antes, le llamamos n. 00:06:32
Y ok. 00:06:40
Vale, ya tendríamos un hexágono. 00:06:42
Ahora vamos a calcular su longitud. 00:06:44
Ponemos perímetro como antes. 00:06:47
En este caso el polígono 2. 00:06:52
Polígono 2. 00:06:54
Damos al Enter, nos fijamos en el número que ha llamado t. 00:07:01
y ahora hay que dividirlo entre el radio 00:07:03
que sería la distancia entre A y B 00:07:06
lo tenemos que dividir entre dos veces el radio 00:07:10
luego hemos visto el número que le llamaba T 00:07:12
lo dividimos entre dos veces el radio que le ha llamado A sub 00:07:15
y un bajo, bueno, vale 00:07:25
veis ahí que es 3 00:07:29
vamos a ponerle aquí ese valor con un texto 00:07:31
ponemos pi, creamos un espacio 00:07:35
le damos a la igual, dejamos otro espacio, insertamos el objeto 00:07:41
q, que es 3, vamos a ponerlo más grande 00:07:45
propiedades, cambiamos el texto a negrita 00:07:48
mediano, y le cambiamos el color, por ejemplo 00:07:52
vale, ya tendríamos una aproximación del número pi 00:07:56
a medida que aumentamos n 00:08:01
este número se va apareciendo 00:08:04
a la aproximación por defecto 00:08:08
que hizo Arquímedes 00:08:11
bueno, pues esto es todo 00:08:14
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Luis Miguel López Herranz
Subido por:
Luis Miguel L.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
105
Fecha:
17 de marzo de 2015 - 21:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DE CERVANTES
Duración:
08′ 36″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
960x720 píxeles
Tamaño:
85.15 MBytes

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