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Recta y plano usando paramétricas - Contenido educativo

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Subido el 4 de marzo de 2021 por Manuel D.

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Hola chicos, ¿qué tal? Os voy a explicar cómo utilizar las ecuaciones paramétricas de una recta para calcular la intersección entre una recta y un plano. 00:00:00
Esta es una de sus aplicaciones más interesantes porque, como sabéis, si yo quiero calcular la intersección entre una recta y un plano de otra forma, 00:00:09
pues las cuentas son largas. Si no, de todas formas, luego lo veo con un ejemplo. 00:00:20
Pero ya veréis, imaginaos, tengo aquí una recta, la recta R que viene dada en forma vectorial por un punto posición y un vector director y tengo tres planos. 00:00:23
Vamos a calcular la intersección de esta recta R con cada uno de estos tres planos, veréis que pasan tres cosas distintas. 00:00:34
Para ello, pues mirad, yo esta ecuación vectorial puedo considerarla como, pues en realidad, un punto móvil, ¿verdad? 00:00:41
Si yo sumo las coordenadas del punto con el vector, me queda lo siguiente. 00:00:53
Y estas ecuaciones yo las puedo interpretar como las coordenadas de un punto que depende del parámetro lambda, con lo cual en realidad es un punto que se mueve alrededor de la recta. 00:00:59
¿Qué es lo que voy a hacer aquí? Pues lo único que voy a hacer, fijaos, muy sencillo, va a ser sustituir esas coordenadas de ese punto móvil en cada uno de los tres planos 00:01:15
y vamos a intentar calcular la única incógnita que nos va a quedar, que va a ser nuestra lambda. 00:01:25
Entonces vamos con ello y ya veréis que esto ataja un montón nuestro problema, de manera que yo voy a calcular en primer lugar, empecemos por r intersección pi sub 1. 00:01:33
¿Qué vamos a hacer? Ya digo, pues 1 más 2 lambda sería la x, menos 1 más lambda sería la y y 1 más lambda sería la z. Pues venga, vamos allá. 00:01:43
Hemos sustituido en el plano pi sub 1 y ahora ¿qué hay que hacer? Simplificar la única incógnita, ya digo, es nuestro parámetro lambda. 00:02:04
¿Qué nos queda? Pues 1 menos 1 más 1 es 1, 2 lambda más lambda más lambda, 4 lambda, 4 lambda igual a 1, en este caso nos ha quedado. 00:02:12
Eso quiere decir que la lambda, 4 lambda, vale 0, con lo que la lambda vale, cuidadito por aquí, 0 partido por 4, es decir, 0. 00:02:23
Con lo cual, si la lambda vale 0, yo ya sé exactamente qué punto de la recta es el que pertenece a nuestro plano. 00:02:34
Vamos a comprobarlo. Sería simplemente sustituir la L por lambda en esta ecuación. 00:02:46
Es decir, que el punto en cuestión sería, sustituyendo aquí la alanda por 0, pues el punto 1, menos 1, 1. 00:02:51
Es decir, ese es el punto que es la intersección de nuestra recta con el plano. 00:02:59
Con lo que, en este caso, pues la recta R y el plano se van a cortar en este punto P. 00:03:05
La recta se corta con el plano. 00:03:11
Daos cuenta, precisamente, que este punto era el punto posición porque nos ha dado la alanda 0. 00:03:13
Aquí la alanda no tiene por qué dar 0. 00:03:18
Y si sustituimos el punto en el plano, fijaos, 1 menos 1, 0, más 1 igual a 1. Es decir, es que este punto posición de la recta estaba dentro del plano. Por eso ha salido así. 00:03:20
Vamos a ver ahora qué pasaría si hago lo mismo con este plano 2, es decir, r intersección pi sub 2. 00:03:31
Si yo sustituyo las ecuaciones de la recta dentro del plano, me quedan 3 que multiplica a 1 más 2 lambda, más 2 que multiplica a menos 1 más lambda, menos 8 que multiplica a 1 más lambda. 00:03:39
Y eso tiene que ser igual a 1. Y si yo hago la cuenta, fijaos, 3 menos 2 menos, o sea, más 1, menos 8, menos 7 si no me equivoco, y ahora 3 por 2, 6 lambda, 2 por lambda, 6 lambda más 2 lambda, 8 lambda, menos 8 lambda, pues queda 0 lambda, igual a 1. 00:03:56
Es decir, menos 7 igual a 1 lo que es imposible. Esto es del todo imposible con lo cual no hay solución. Si no hay solución, ¿qué va a querer decir? Pues que la recta no se corta con el plano. Es decir, que la recta y el plano son paralelos. Recta y plano paralelos. No hay solución, son paralelos. 00:04:19
Bien, y la última, vamos con la última de nuestras, la última de nuestras intersecciones, vamos a calcular la intersección de nuestra recta ER, vamos a copiarla por aquí, está con, a ver, vamos a cogerla entera, aquí está, esta es la recta y el plano 3 es x menos y menos z igual a 1, vamos a ver qué pasa. 00:04:45
total R intersección sub 3 00:05:14
tendré que sustituir en el plano 00:05:22
X menos Y menos Z igual a 1 00:05:25
estas ecuaciones, lo mismo que antes 00:05:27
y entonces ahora hacemos las cuentas y me queda 00:05:29
1 más 1 menos 1 00:05:41
2 lambda menos lambda menos lambda 00:05:43
y aquí pues 2 lambda otra vez con menos lambda menos lambda 00:05:48
otra vez me da 0 lambda 00:05:55
1 más 1, 2, menos 1, 1 00:05:57
es decir, que me queda 1 igual a 1 00:06:00
1 igual a 1 siempre es cierto 00:06:04
luego, para cualquier valor de lambda 00:06:07
el punto pertenece al plano 00:06:10
es decir, que está ocurriendo que la recta está contenida 00:06:17
dentro de este plano pi sub 3 00:06:20
porque todos los puntos de la recta son solución al intentar calcularlos 00:06:23
porque aquí nos ha quedado una identidad, 1 igual a 1 00:06:27
Es decir, que de esta manera tan sencilla es posible no sólo calcular la intersección entre una recta y un plano, sino distinguir cuál de los tres casos es. 00:06:30
Es decir, lo que se llama en matemáticas estudiar la posición relativa entre la recta y el plano. 00:06:41
Fijaos que si yo quisiese calcular la intersección entre una recta dada en forma cartesiana, imaginaos que yo tengo una ecuación de una recta que no está en paramétricas. 00:06:48
Imaginaos, yo tengo aquí esta recta, que si hubiese tenido la recta R, dada por estas tres ecuaciones, 00:07:01
y otro plano, que esté dado por su ecuación. 00:07:07
2x menos y, yo que sé, más z igual a 8. 00:07:10
Imaginaos que os dan eso y queréis calcular la posición relativa a la intersección, 00:07:14
os piden que calculeis la intersección entre la recta y el plano. 00:07:19
Pues, ¿qué tendríamos que hacer? Resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 00:07:22
para intentar buscar el punto intersección. 00:07:26
¿Qué ocurre? Pues que es bastante más latoso que todo esto, como sabéis, resolver un sistema 3x3. 00:07:29
Quizá incluso os convenga, antes de resolver el sistema 3x3, pasar esto a paramétricas y aplicar este procedimiento. 00:07:35
Quizá es más sencillo utilizar las paramétricas. 00:07:45
Pero bueno, eso lo dejo a vuestra lección. Ahora os toca trabajar a vosotros. 00:07:50
¡Hasta luego! 00:07:55
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
195
Fecha:
4 de marzo de 2021 - 22:33
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 58″
Relación de aspecto:
1.79:1
Resolución:
1920x1074 píxeles
Tamaño:
29.35 MBytes

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