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Cálculo de áreas 1 - Contenido educativo

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Subido el 15 de diciembre de 2024 por Francisco J. M.

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Cálculo del área entre una función y el eje OX entre dos valores

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Hola chicas, hola chicos. Bueno, vamos a hacer un primer ejercicio de cálculo práctico de áreas 00:00:00
entre funciones y eje o x, ¿vale? 00:00:06
Y le vamos a resolver este problema. Dice, haya el área comprendida entre la curva 00:00:10
y igual a x al cubo menos x, el eje x y las rectas x igual a 0 y x igual a 2, ¿vale? 00:00:14
Bueno, nos piden el área entre una función, el eje x, en un determinado intervalo, ¿vale? 00:00:22
Comprendido entre estas dos rectas, ¿vale? 00:00:29
Entonces, bueno, lo primero que se le puede ocurrir a uno es, pues nada, muy sencillo 00:00:31
Hago la integral entre 0 y 2 de x al cubo menos x diferencial de x 00:00:35
Eso es lo primero que se nos puede ocurrir, ¿no? 00:00:41
Bueno, pues en general esto no es lo correcto, ¿vale? 00:00:43
Y vamos a ver por qué no 00:00:47
Puede ser que sí, pero en general no va a ocurrir eso 00:00:48
¿Por qué? Porque mirad, imaginad 00:00:51
Estos son los ejes, ¿vale? 00:00:53
Yo tengo que calcular el área entre 0 y 2, ¿vale? 00:00:57
Bueno, pues imaginar que entre 0 y 2 la función hiciera así, por ejemplo, ¿vale? 00:01:00
Tengo una función que entre 0 y 2 en parte del intervalo está por encima del eje x 00:01:06
y en parte del intervalo está por debajo del eje x. 00:01:12
Entonces, fijaros, el área que me están pidiendo sería este de aquí, este y este trozo de aquí. 00:01:15
Entonces, ¿qué ocurre? 00:01:21
Fijaros, cuando yo calculo la integral a esta parte de aquí, a este área que le voy a llamar el área 1, la va a considerar positiva, ¿vale? 00:01:22
Pero al calcular la integral, este trozo de aquí lo va a considerar como negativo, ¿vale? 00:01:30
De tal manera que si yo calculo directamente la integral entre 0 y 2, el resultado que me va a dar es la suma de estas dos áreas pero con su signo, ¿vale? 00:01:37
O sea que lo que va a hacer efectivamente es restarlas y eso no es lo que quiero, ¿vale? 00:01:45
Me va a dar como resultado la resta de esas dos áreas en vez de su suma, y eso no es lo que quiero, ¿vale? 00:01:50
Entonces, antes de hacer la integral, tengo que detectar esta situación, ¿y cómo detecto esto? 00:01:56
Pues tengo que ver si la función corta el eje x, esto va a pasar cuando la función en el intervalo de integración que me den, 00:02:02
en este caso entre 0 y 2, corta el eje x, ¿vale? 00:02:08
Entonces, si corta el eje x, imaginaros que esto es, pues no sé, un medio, ¿vale? 00:02:12
Si corta el eje x, ¿qué es lo que voy a hacer? Pues dividir la integral en dos partes, ¿vale? Voy a calcular la integral entre 0 y 1 medio, la integral entre 1 medio y 1, por ejemplo, o entre 2, ¿vale? Voy a dividir el intervalo en dos partes y voy a tomar el valor absoluto de la integral porque realmente lo que me interesa, ¿de acuerdo? No es el signo con que me sale la integral, sino el número que me da, que ese es efectivamente el valor del área, ¿vale? 00:02:18
Entonces, ¿cómo vamos a hacer para calcular esto? 00:02:43
Bueno, pues lo primero que vamos a tener que hacer siempre es ver si esta función corta el eje x en el intervalo que nos dan. 00:02:49
Entonces, primero calculamos los puntos de corte de la función con el eje x. 00:02:56
Entonces, recordad que para calcular los puntos de corte hay que hacer y igual a cero. 00:03:08
Los puntos donde la función vale cero, esos son los puntos de corte con el eje x. 00:03:13
Es decir, igualamos la función a cero. 00:03:17
Y en este caso es muy sencillo, esta ecuación se resuelve sacando factor común y de aquí nos queda x al cuadrado igual a 0, nos sale x igual a 0, eso no hay problema porque lo que nos está diciendo es que corta el eje x justo en uno de los límites de integración que nos están dando, pero eso no es problema, ¿vale? 00:03:19
Y de aquí me sale que x es igual a 1 y fijaros, esto sí que es un problema, ¿vale? Porque me sale que corta el eje x entre los dos límites de integración, ¿vale? Entonces, fijaros, vamos a intentar dibujar esto otra vez, voy a borrar este dibujo, ¿vale? Es decir, la función que me están dando, que yo tengo que calcular el área entre 0 y 2, corta en el 1, ¿vale? 00:03:39
En uno de estos tramos puede ir por arriba y en estos por abajo 00:04:08
No hace falta que lo calculemos, ahora vamos a ver por qué, porque nos va a salir directamente 00:04:11
Lo que sí sé es que voy a tener que dividir entonces la integral en dos partes 00:04:15
Voy a tener que calcular por un lado la integral entre 0 y 1 y por otro lado la integral entre 1 y 2 00:04:19
¿Vale? Bueno, si representáis gráficamente la función vais a ver que sale una cosa así, ¿vale? 00:04:25
Con lo cual, fijaros, lo que nos están pidiendo es calcular esto, ¿vale? Eso de ahí, y la integral nos va a salir negativa y esta positiva, ¿vale? 00:04:32
Pero esto vais a ver que no hace falta saberlo, ¿vale? Porque nos va a salir directamente al calcular la integral. 00:04:44
Entonces, dos, ahora ya sabemos que el área que vamos a calcular lo vamos a tener que dividir en dos partes, ¿vale? 00:04:51
Vamos a tener que hacer por un lado la integral entre 0 y 1, que es el punto que nos sale intermedio en el que la función corta el eje x, ¿vale? 00:04:57
Y como no sabemos con qué signo no va a salir, pues ponemos el valor absoluto. 00:05:09
Si nos sale positivo, pues cogemos ese valor y si nos sale negativo, le cambiamos el signo, ¿vale? 00:05:14
Entonces, poniendo este valor absoluto ya hace falta que no tengamos que averiguar por dónde la función va positiva, va por encima del eje x y por dónde va por debajo del eje x. 00:05:20
Tomando el valor absoluto lo arreglamos, nos va a salir bien seguro 00:05:28
Bueno, entonces tenemos que calcular esas dos integrales 00:05:32
Como veis hay que dividir la integral en dos partes distintas 00:05:39
Bueno, entonces esto si lo escribimos un poco con un poco más de detalle 00:05:42
Sería la integral entre 0 y 1 de x al cubo menos x diferencial de x 00:05:47
más el valor absoluto de la integral entre 1 y 2 00:05:54
de x al cubo menos x diferencial de x 00:05:59
¿vale? 00:06:03
bueno, entonces 00:06:06
fijaros, esto sería 00:06:07
el valor absoluto, la primera integral me saldría aplicando la regla de Barrow 00:06:09
la primitiva en 1 menos la primitiva en 0 00:06:15
¿vale? y a esto le sumo del valor absoluto 00:06:18
Aplico ahora la regla de Barrow para esta función, me quedaría la primitiva en 2 menos la primitiva en 1, ¿vale? Y lo que vamos a hacer, perdón, el valor absoluto, ¿vale? Y lo que vamos a hacer ahora es calcular la primitiva, ¿vale? 00:06:22
Si yo calculo la integral de x al cubo menos x diferencial de x, pues esto me da x a la cuarta partido por 4 menos x al cuadrado partido por 2, ¿vale? Esto sería la primitiva. 00:06:36
Queremos calcular una de las primitivas, ¿vale? No nos hace falta calcular todas, por eso no pongo la constante, ¿vale? Este cálculo de arriba va a salir lo mismo con cualquier primitiva que pusiera, ¿vale? 00:06:52
Vale, en estos ejercicios, ya digo, no pongo la constante porque lo que quiero es, no quiero todas las primitivas, con tener una me basta, entonces cojo la más sencilla que es la que no tiene la constante. 00:07:02
Bueno, y ahora voy a evaluar la integral en estos puntos de aquí, ¿vale? 00:07:12
La primitiva, vamos a ver cuánto vale la primitiva en 0, ¿vale? 00:07:18
Si yo sustituyo los dos términos me sale en 0, ¿vale? 00:07:22
Con lo cual esto vale 0, ¿vale? 00:07:25
Fijaros, la primitiva en 1 me sale 1 cuarto menos 1 medio, ¿vale? 00:07:27
Tengo que sumar esas dos fracciones, me quedaría 1 cuarto menos 2 cuartos, esto sale menos 1 cuarto 00:07:34
y la primitiva en 2, sale 2 a la cuarta partido por 4, menos 2 al cuadrado partido por 2, vale, 2 a la cuarta es 16, 16 entre 4, menos 4 entre 2, es decir, esto sale 4 menos 2, 2. 00:07:40
Con lo cual, fijaros, ahora esto me quedaría el valor absoluto de f de 1 menos un cuarto menos f de 0, 0. ¿Veis? Esta parte de aquí, la primitiva sale negativa, sale menos un cuarto, ¿vale? Porque el área está por debajo del eje x. 00:07:58
Veis que no hace falta dibujarlo ni saberlo porque aquí sale que la Y es negativa 00:08:17
Y con eso ya sabemos que la gráfica está por debajo del eje X 00:08:21
¿Vale? Más el valor absoluto de F de 2, que es 2, menos F de 1, que es menos 1 cuarto 00:08:24
¿Vale? Quedaría menos menos 1 cuarto 00:08:32
¿Vale? Con lo cual, fijaros, el valor primero me sale 1 cuarto 00:08:35
Esto de aquí sale 1 cuarto más, y esto me sale 2 más 1 cuarto 00:08:40
2 más 1 cuarto, ¿vale? 00:08:44
Y sumamos esto, esto serían 2 cuartos, 1 cuarto y 1 cuarto, 2 cuartos 00:08:47
Que es 1 medio, 1 medio y 2 son 5 medios, ¿vale? 00:08:51
Eso es lo que daría, y este sería el resultado, eso es lo que daría ese área, ¿vale? 00:08:56
Bueno, entonces, lo importante de este tipo de ejercicios 00:09:01
Tenemos primero que comprobar dónde corta la función al eje X 00:09:03
Y tomando esos puntos, ¿vale? 00:09:08
Todos los puntos donde corta la función que estén dentro del intervalo de integración 00:09:10
tenemos que dividir la integral en varias partes 00:09:14
y con eso se calcula el área 00:09:18
un saludo 00:09:20
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Francisco Javier Majadas García
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
47
Fecha:
15 de diciembre de 2024 - 12:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN ISIDRO
Duración:
09′ 22″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1728x1080 píxeles
Tamaño:
121.88 MBytes

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