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División de polinomios por caja y Ruffini - Contenido educativo

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Subido el 8 de abril de 2024 por Eduardo Jose P.

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División de polinomios por caja y Ruffini

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Hola, en este vídeo vamos a repasar la división de polinomios. 00:00:04
Lo primero, cuando tenemos una división de polinomios, como por ejemplo en estos dos ejemplos, 00:00:09
es decidir si vamos a dividir por caja o por ruffini. 00:00:14
En el caso de que el polinomio sea de este tipo, por ejemplo de grado 2, de grado 3 o de grado 4, 00:00:18
siempre vamos a tener que utilizar la caja, no hay otra forma de dividir. 00:00:28
En cambio, cuando tengamos un polinomio cuyo divisor, el divisor es la parte de la derecha del signo de la división, 00:00:31
cuando tengamos un divisor que sea, por ejemplo, como este, x menos 2, vamos a poder hacerlo de las dos formas, 00:00:39
o bien por Ruffini o bien por Cajá, siendo en este caso Ruffini más recomendable 00:00:45
porque es un método mucho más sencillo, más simplificado, hay que hacer menos operaciones. 00:00:49
¿Qué naturaleza tiene que ser el divisor para poder aplicar Ruffini? 00:00:57
Pues el divisor tiene que ser de esa forma. 00:01:00
Tiene que tener aquí una x y después una suma o una resta de un número. 00:01:04
x más menos a, por ejemplo, x más 1, x menos 1, x más 2. 00:01:09
Por tanto, si el divisor es de grado 2 o 3, por ejemplo este de aquí, no se podría usar refining. 00:01:13
Si el divisor aquí delante tuviera un numerito, por ejemplo, 2x más 1 o 2x menos 1, tampoco se podría usar refining. 00:01:19
Bien, la siguiente parte del vídeo será resolver algunos de los ejercicios que mandé para el aula virtual. 00:01:27
Tenemos estas tres divisiones, en la solución solo puse el cociente y el resto, 00:01:38
y en este vídeo lo que voy a hacer es explicar la segunda de las divisiones, 00:01:41
porque es la más complicada, la que tiene algún elemento más novedoso, 00:01:50
y de las otras dos colgaré la solución más detallada también en el aula virtual. 00:01:55
Por último y fuera de las actividades del aula virtual, explicaré también cómo hacer una división por rufín. 00:02:01
Bien, entonces voy a empezar haciendo este ejercicio de división por caja. 00:02:17
El primer paso, como dice aquí, es colocar el dividendo dejando los huecos si hace falta. 00:02:21
¿Qué quiere decir esto? Pues que cuando escribamos primero el divisor dentro de la caja, x cuadrado menos 3x, colocado el divisor dentro de la caja, 00:02:26
el siguiente paso es el colocar el dividendo. ¿Y qué quiere decir colocarlo dejando los huecos si hace falta? 00:02:40
Es que tenemos que fijarnos que el dividendo tenga que tener todos los grados. 00:02:46
Si tiene todos los grados, pues lo ponemos aquí de corrido sin cambiar nada. 00:02:50
Pero si hay algún grado que le falta, y en este caso ¿cuál es el que le falta? 00:02:55
Pues el de x al cuadrado, vemos que aquí usamos de x al cubo a x1. 00:02:59
Le falta el de grado 2. Pues aquí en el de grado 2 veremos después por qué hay que dejar un hueco. 00:03:04
Si no la división, salemos. Pues entonces la voy a escribir dejando el hueco. 00:03:10
5x cuarto 00:03:14
menos 3x cubo 00:03:15
ahora dejo aquí el hueco 00:03:30
del x al cuadrado 00:03:32
y sigo a continuación 00:03:35
más 2x 00:03:37
menos 3 00:03:38
ya lo tengo colocado 00:03:40
y puedo empezar mi división 00:03:42
¿cuál es el siguiente paso? 00:03:44
el siguiente paso 00:03:46
siempre es 00:03:48
dividir 00:03:49
el primer término que tengamos en el polinomio de aquí por el primer término de aquí. 00:03:51
Voy a hacer el primer paso despacio y después ya todas las divisiones de las multiplicaciones de monomio 00:03:56
las voy a hacer sin apuntarlas, ¿vale? 00:04:00
Si no estamos muy seguros de cómo se hacen, pues nos vamos a sucio. 00:04:03
Primero divido entonces 5x cuarta entre x cuadrado. 00:04:07
¿Cómo se hacía esto? Pues se dividían primero los coeficientes. 00:04:11
El coeficiente que tengo aquí es un 1, ¿vale? 00:04:15
Lo que pasa es que todos los números delante de las x no se escriben, entonces 5 entre 1 me queda 5. 00:04:19
Y ahora, ¿con qué grado nos queda? Pues como estamos dividiendo tenemos que restar los grados. 00:04:25
4 menos 2 es 2. 00:04:30
Pues entonces me quedará 5x cuadrado, pues lo apunto aquí, en el primer resultado después de la caja. 00:04:35
¿Cuál es el siguiente paso para la división? 00:04:48
Pues ahora lo que tenemos que hacer es multiplicar el resultado del cociente, 00:04:52
este es el cociente, por cada uno de los dos términos del divisor. 00:05:00
Primero vamos a multiplicar por esto y luego vamos a multiplicar por esto. 00:05:05
¿Qué hacemos con los resultados? 00:05:09
Cuando multiplique esto por esto, el resultado lo tengo que colocar aquí, debajo. 00:05:10
pongo una raya aquí y aquí coloco el resultado 00:05:14
¿dónde? pues en el grado que me resulta 00:05:18
aquí cuando multiplique x al cuadrado por 1 me va a quedar 3 00:05:22
pues lo tendré que poner debajo del x cubo 00:05:26
cuando multiplique aquí x cuadrado por x cuadrado me va a quedar x cuarta 00:05:27
pues lo tengo que colocar aquí, debajo del x cuarto 00:05:31
por eso tengo que dejar aquí un hueco en el x al cuadrado 00:05:35
porque si hubiera algún producto de estos que me quedara x al cuadrado 00:05:38
tendría que tener un hueco para poder ponerlo y luego restar por aquí. 00:05:43
Entonces, repito, multiplico esto por esto. 00:05:51
5x cuadrado por menos 3x, ¿cuánto es? 00:05:54
5 por menos 3, menos 15. 00:05:57
Y ahora, x cuadrado por x, x cubo. 00:06:00
Y hay que cambiarle el signo. 00:06:04
Este es el paso importante, que siempre se nos olvida. 00:06:05
En este caso, tenemos que cambiar el signo, siempre. 00:06:08
5 por menos 3, menos 15. Si cambiamos el signo nos quedaría más 15x cubo. Como lo tengo que poner 00:06:11
aquí debajo, pues escribo. Más 15x al cubo. Como después voy a tener que sumarlos, puedo poner ya 00:06:18
la raya de abajo, que tiene que llegar hasta el final. Vale, ¿qué he multiplicado? Esto por esto. 00:06:30
¿Qué me falta? Esto de aquí. Pues lo multiplico. 5x cuadrado por x cuadrado, ¿cuánto es? 5x a la 00:06:36
cuarta. Tengo que cambiarle el signo, menos 5 y queda. Si este paso lo he hecho bien, siempre el 00:06:42
primer término y el primer término van a quedar iguales y de signo contrario. Como ahora el 00:06:49
siguiente paso que tengo que hacer es sumar en este sentido, o sea, sumo esto, luego sumo esto, 00:06:54
luego sumo esto, luego sumo esto y luego sumo esto. Cuando tenemos aquí un término y el otro igual 00:07:01
en sentido contrario aquí, siempre si lo hemos hecho bien en estas divisiones 00:07:08
el primer término de abajo nos tiene que quedar un 0 00:07:12
y aquí lo podemos cachar, si esto no nos quedará un 0 00:07:16
es que algo hemos hecho mal, entonces ya voy a sumar 00:07:19
sumo esto entre esto, menos 13x cubo más 15x cubo, ¿cuánto es? 00:07:23
más 2x cubo, aquí en x cuadrado seguimos sin tener 00:07:28
ningún término, pues seguimos dejando el hueco 00:07:34
dejo el hueco aquí 00:07:36
y me voy al siguiente 00:07:38
o aquí ya no tengo nada 00:07:40
esto simplemente los bajo 00:07:41
porque es como si fuera más 2x 00:07:43
0, 2x, menos 3 00:07:46
más 0, 0 00:07:48
o sea, menos 3 00:07:49
o los bajo 00:07:50
menos 3 00:07:55
¿este es el fin de la operación? 00:07:57
¿hasta dónde tengo que seguir? 00:08:03
tengo que seguir hasta que el polinomio que me quede aquí 00:08:05
sea de grado menor que el polinomio que queda aquí. 00:08:08
¿Qué polinomio tiene este? Grado 2. 00:08:11
Pues entonces aquí tengo que seguir haciendo exactamente lo mismo 00:08:13
hasta que este polinomio sea de grado 1, porque un grado menor que 2 es 1. 00:08:18
Pues sigo haciendo las mismas operaciones. 00:08:24
Tengo que dividir el primero entre el primero. 00:08:31
2x cubo entre x cuadrado, ¿cuánto es? 2x. 00:08:33
Y ahora ya voy a ir más rápido. 00:08:42
¿Qué voy a hacer? Multiplico esto por esto, que es 2x menos 3x menos 6x, 00:08:45
y cuando le cambio el signo me va a quedar más 6, y creo que lo he dicho mal, 00:08:53
porque es x por x, me va a quedar x al cuadrado, 1 más 1, 2. 00:09:00
Entonces, menos 6x cambiado de signo, más 6x al cuadrado. 00:09:05
lo pongo 00:09:09
por eso era importante dejar este hueco 00:09:11
porque si no, si no lo dejara 00:09:15
mucho de lo que os ha pasado en ejercicio 00:09:17
es que lo habéis puesto debajo del 2x 00:09:20
y habéis sumado ahí una cosa rara 00:09:22
no se pueden sumar monomios 00:09:24
que tengan letras diferentes 00:09:26
por eso es importante dejar los huecos 00:09:27
para que podamos sumar siempre 00:09:30
el monomio de x al cubo con el de x al cuadrado 00:09:31
con el de x al cuadrado 00:09:35
que si aquí no hay nada es como si hubiera un cero 00:09:36
el de x con x 00:09:38
y el del número con el número. 00:09:40
Venga, he terminado este paso, no, 00:09:42
porque solo he multiplicado esto por esto. 00:09:44
Falta multiplicar 2x por x cuadrado, 00:09:46
que es 2x al cubo. 00:09:49
Como no tengo que cambiar el signo, 00:09:51
menos 2x al cubo. 00:09:53
Y lo coloco debajo del x al cubo. 00:09:58
Siguiente paso, otra vez, 00:10:01
pues sumar todos los monomios que sean semejantes. 00:10:03
Menos 2x al cubo más x al cubo, se van. 00:10:08
¿Me queda aquí? 00:10:11
Un cero. El siguiente. ¿El de x cuadrado que es un cero más 6x cuadrado cuánto es? Más 6x cuadrado. 00:10:12
El siguiente. ¿2x más cero cuánto es? Pues más 2x menos 3. 00:10:21
¿He terminado? No, porque este no es de grado menor que este. Es de grado igual. Puedo seguir operando. 00:10:32
Pues opero 6x cuadrado entre x cuadrado, ¿cuánto es? 1, más 1, lo hago otra vez, 6x cuadrado entre x cuadrado, 6 entre 1, 6, y x cuadrado entre x cuadrado, me queda x elevado a 0, que es 1, 6 por 1, 6, ¿vale? 00:10:37
Siempre que tengan aquí este y este el mismo grado, se van a atachar las aquí, ¿vale? 00:11:01
Eso ya lo sabéis. 00:11:08
Bueno, como decía, entonces, ¿qué faltaría ahora? 00:11:11
Pues he hecho la división de esto entre esto, me ha dado esto, pues ahora otra vez. 00:11:16
Multiplico esto por esto, lo coloco, y luego multiplico esto por esto y lo coloco. 00:11:21
Entonces, más 1 por menos 3x, ¿cuánto es? 00:11:27
Menos 3x, le cambio el signo, más 3x 00:11:33
Y después sería más 1 por x cuadrado 00:11:36
Y al colocarlo aquí me quedaría 1 00:11:46
Que no se me iría, ¿por qué? 00:11:48
Porque lo he hecho mal 00:11:50
Y no me habéis dicho nada 00:11:50
Esto de aquí era un 6 00:11:53
Como he puesto en sucio lo que me deja aquí luego, no lo he escrito, más 6, venga, pues repetimos, más 6 por menos 3x queda menos 18x, al cambiarle el signo, más 18x, y ahora, más 6 por x cuadrado, más 6x cuadrado, al cambiarle el signo, menos 6x cuadrado, 00:11:58
que como tiene que ser me queda de signo contrario y el mismo coeficiente que el de arriba 00:12:30
entonces me queda aquí un 0, sumo al 20x menos 3 00:12:35
ahora ya aquí, sí que el polinomio que tengo es de grado menor que este 00:12:39
ya he terminado, este es el cociente 00:12:45
el resto, perdón, que le llamo así 00:12:49
y este de aquí es el cociente, que le llamo 00:12:53
ya he terminado el ejercicio 00:13:00
comprobaciones importantes a hacer al principio 00:13:05
o en cada paso 00:13:11
por ejemplo, cuando tengamos el primer paso 00:13:12
sé que la primera multiplicación 00:13:14
5 por menos 3 me queda negativo 00:13:17
entonces este número me tiene que quedar positivo 00:13:18
este por este positivo 00:13:21
me tiene que quedar negativo 00:13:23
entonces siempre podemos comprobar 00:13:24
lo de los signos en cada paso 00:13:26
más por menos menos, más, está bien 00:13:27
Más por más, más, menos, está bien 00:13:30
Este de aquí, por ejemplo, en el siguiente 00:13:34
Tengo más 2x menos 3x 00:13:37
Más por menos es menos 00:13:39
Aquí me queda un mal, lo he hecho bien 00:13:41
Más por más es más, menos, cambiado, lo he hecho bien 00:13:43
¿Vale? 00:13:47
Otra comprobación que podríamos hacer 00:13:49
Al final del ejercicio, si nos da tiempo en un examen 00:13:51
Es multiplicar esto por esto 00:13:53
Y sumar esto 00:13:56
¿Qué nos tiene que dar? 00:13:57
El divisor 00:13:59
Espero que os haya ayudado el ejercicio 00:13:59
Ahora voy a proceder a hacer otro ejemplo 00:14:02
Pero esta vez con Ruffini 00:14:12
¿Por qué se puede hacer Ruffini por el divisor? 00:14:13
Que es de la forma, como hemos dicho 00:14:16
De X más A o X menos A 00:14:17
En este caso es X más 1 00:14:19
Lo primero en Ruffini 00:14:21
Era colocar la caja 00:14:24
La famosa caja 00:14:26
¿Qué numerito va aquí? 00:14:28
Siempre, siempre 00:14:33
El que tengamos aquí cambiado el signo 00:14:34
Es importante cambiarle el signo aquí 00:14:36
Luego, un error muy común es cuando hagamos las operaciones aquí, 00:14:39
como tenemos el recuerdo de la división en caja, 00:14:44
a mí me vamos a pensar que ponemos estos por aquí 00:14:47
y nos tenemos que cambiar el signo al multiplicar por aquí. 00:14:49
Y eso ya no hay que hacer. 00:14:52
Cuando hay que cambiar el signo es ahora. 00:14:53
Cambiar ese más uno, aquí nos va a aparecer un menos uno. 00:14:55
Pues lo escribo. 00:14:59
Luego, los coeficientes del polinomio, 00:15:03
los coeficientes que son nuestros numeritos, 00:15:06
tienen que ir aquí abajo en la primera línea de Ruffini. 00:15:08
En orden del grado, ¿vale? Igual que antes. 00:15:11
Si falta alguno de los grados, tenemos que poner aquí un 0. 00:15:15
Si no ponemos el 0 en el grado correspondiente, estará hecho. 00:15:18
Entonces, aquí, ¿qué grado falta? 00:15:23
Falta el de x al cubo, que tendremos que poner un 0, y el de x, que tendremos que poner en un 0. 00:15:25
Es importante también poner los coeficientes con su signo. 00:15:33
Este, por ejemplo, es negativo, pues aquí tendremos que poner un menos 3. 00:15:36
esto que voy a poner yo 00:15:41
no hace falta 00:15:44
hacerlo, pero si nos liamos 00:15:45
en donde tenemos que poner 00:15:48
0, no, pues lo escribimos aquí 00:15:51
los términos aquí arriba 00:15:52
para confirmar 00:15:54
que no nos quedamos sin ninguno 00:15:57
como el polinomio es 00:15:58
grado 4, tenemos que empezar 00:16:00
aquí en grado 4 00:16:02
venga, pues coloco 00:16:05
los coeficientes, ¿cuál es el coeficiente 00:16:07
de grado 4? 2, coloco aquí 00:16:09
2. ¿En grado 3 no hay? 00:16:11
0. ¿En grado 2 cuál es? 00:16:13
Menos 3. ¿En grado 00:16:15
1 hay? ¿En grado 00:16:16
X? No. Es un 0. 00:16:19
¿Sin X hay? Sí. O sea, término 00:16:21
independiente hay. Sí. 4. 00:16:23
Vale. Pues ya tenemos 00:16:25
colocado 00:16:27
el dividendo y el divisor. 00:16:27
Ya puedo empezar a operar. Lo primero en Ruffini 00:16:31
siempre que es bajar directamente 00:16:33
este de aquí y ponerlo aquí. 00:16:35
¿Vale? Primer paso. 00:16:38
Bajamos el primer. Bueno, 00:16:39
O sea, 2. Y a partir de ahora todos los pasos son iguales. ¿Qué voy a hacer? Multiplico esto por esto y lo coloco en el siguiente hueco, debajo del siguiente número, ¿vale? 00:16:41
O sea, debajo del 2, bajo el 2 y luego multiplico el 2 por el menos 1 y le corro una unidad, ¿vale? 2 por menos 1, menos 2. 00:17:00
Ojo, que como venimos de la caja, aquí otro fallo común es hacer 2 por menos 1, menos 1 le cambia un signo, más 2, no. 00:17:17
Aquí ya no se cambian los signos, ¿vale? Como decía antes. 00:17:27
El siguiente paso, sumar para abajo, me queda 0 menos 2, menos 2. 00:17:29
Y ahora ya es todo igual, lo voy a hacer de prisa. 00:17:36
Menos 2 por menos 1, más 2, más 2. 00:17:40
Siguiente paso, sumo, menos 3 más 2, menos 1 00:17:45
Siguiente paso, menos 1 por menos 1, más 1 00:17:51
Relito, menos 1 por menos 1, más 1 00:18:01
El objetivo de bajo es 0 00:18:04
Y ahora sumo, 0 más 1, 1 00:18:06
El objetivo es 1, 1 menos 1, 1 00:18:10
Y para terminar, 1 por menos 1 00:18:14
pues, menos uno 00:18:16
y la última suma, por acá 00:18:20
cuatro más uno, perdón, cuatro más menos uno 00:18:23
menos tres, no, más tres 00:18:28
vale, ¿cuáles son cada uno de estos términos ahora? 00:18:32
pues este, el último término de la división por Ruffini siempre es el resto 00:18:42
y de estos otros saco el cociente 00:18:46
Esto no lo tenemos que aprender de memoria. 00:18:51
Entonces aquí le ponemos un cuadrito y esto es el resto, que es 3. 00:18:54
¿Cómo sacamos de aquí el polinomio cociente? 00:19:01
Pues siempre nos tenemos que fijar en que el primer término del polinomio cociente va a ser de un grado menos que el polinomio que tenemos de partida. 00:19:08
Si era de grado 4, pues nos va a quedar de grado 3. 00:19:18
entonces escribimos 00:19:22
2x cubo 00:19:25
y después ya vamos bajando grados 00:19:28
el siguiente, si el primero es 2x cubo 00:19:29
este va a ser x cuadrado 00:19:32
este x y este sin x 00:19:33
si hay alguno que fuera 0 00:19:35
de estos, pues aquí no tendría ese grado 00:19:37
¿vale? por ejemplo 00:19:40
bueno, el ejemplo lo hago luego 00:19:42
primero escribo 00:19:44
2x cuadrado 00:19:46
senos 1 más 5 00:19:47
¿vale? ya estaría 00:19:50
terminando el ejercicio, ya estaría terminado el ejercicio. Ahora, imaginaros que este término 00:19:52
de aquí era un 0, me hubiera quedado un 0. ¿Cómo sería este cociente? Pues sería 00:19:57
2x, sería al principio igual, 2x cubo, por este término, menos 2x cuadrado, y luego 00:20:03
aquí como es un 0, pues aquí no me quedaría la x, me quedaría un 0, y directamente aquí 00:20:13
el 1. ¿Vale? Entonces, voy a aprovechar porque aquí he visto que he equivocado, que en vez 00:20:21
de menos 1 sería 6. Grado de x cuarta, pues bajo un grado 2x cubo. El siguiente es menos 00:20:30
2x cuadrado, está bien, el siguiente menos x, y el siguiente más. Este, recordamos, 00:20:40
es el menos 1 por x, y como el menos 1 no se escribe, el 1 no se escribe antes de la x, 00:20:48
se queda así, por eso aquí puesto, y con esto habría terminado el ejercicio de Ruffini. 00:20:56
Autor/es:
Eduardo Parro
Subido por:
Eduardo Jose P.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
48
Fecha:
8 de abril de 2024 - 19:23
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ELISA SORIANO FISCHER
Duración:
21′ 08″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
50.89 MBytes

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