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CLASE CCFF 2 DE MARZO - Contenido educativo

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Subido el 4 de marzo de 2026 por M.jose S.

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Bueno, empezamos tema nuevo que es la analítica del plano. 00:00:00
A ver, en general, la analítica es una parte de la matemática que lo que hace es 00:00:10
transformar mediante un sistema de referencia, que ahora os explicaré lo que es, 00:00:15
transforma elementos geométricos en elementos matemáticos 00:00:22
que se pueden operar en matemáticas. 00:00:30
¿Qué quiere decir eso? 00:00:34
Quiere decir que la geometría, en principio, para dibujar geometría, 00:00:35
tendrías que tener unas reglas, lo que sea, o un paralés, 00:00:41
tendrías que dibujar, la geometría se dibuja. 00:00:46
La geometría teniendo en geometría todos los elementos geométricos, 00:00:48
puntos, rectas, planos, todo tipo de prismas, 00:00:53
todo tipo de figuras de dos dimensiones y de tres dimensiones. 00:00:56
Pues hay una parte de las matemáticas que se ocupa de convertir en número todos esos elementos geométricos, de forma que la geometría se puede estudiar de dos maneras distintas. 00:01:00
Si yo quiero saber el punto de intersección de un plano con una recta, pues yo puedo dibujarlo y sacar el punto de intersección y entonces estaríamos hablando de dibujo técnico o puedo convertir eso en unas ecuaciones y calcular de forma matemática, numéricamente, por medio de ecuaciones, calcular ese punto y luego poder dibujarlo en un sistema de referencia. 00:01:16
No sé si estáis entendiendo lo que digo. Más o menos, ¿no? Más o menos. 00:01:45
Entonces, ¿en qué se basa la analítica? Tiene dos partes. El estudio de la analítica, una del plano y otra del espacio. 00:01:52
La diferencia entre el plano y el espacio es que el plano nos movemos en dos dimensiones y el espacio en tres dimensiones. 00:02:00
No es más. Bueno, empezamos con las coordenadas. Esto es para hallar esas cosas que te digo. 00:02:06
Si yo quiero saber el punto de intersección de dos rectas o si quiero saber cómo un punto de una recta que es perpendicular a un plano en un sitio determinado, es decir, todas las operaciones geométricas que uno hace cuando hace dibujo lineal las convertimos en unas ecuaciones matemáticas y las resolvemos así. 00:02:12
Esta es la base de todos los programas de dibujo técnico, no sé si habéis manejado alguna vez un programa de dibujo técnico, no Photoshop, sino un programa vectorizado, 00:02:32
entonces ahí se basa en eso, transforma los elementos geométricos en ecuaciones y las resuelve. 00:02:48
Entonces, nosotros, teóricamente, antes de estudiar analítica del plano, o sea, analítica del espacio, se estudia analítica del plano, pero en vuestro temario no entra la analítica del plano, entra directamente la analítica del espacio. 00:02:54
Entonces, el estudio de la geometría en el espacio mediante ecuaciones matemáticas se basa en eso, se basa en la invención de un sistema de referencia tridimensional donde a esto se llama X, a esto se llama Y y a esto se le llama Z 00:03:16
Y cualquier punto referenciado a ese sistema de coordenadas viene dado por estas distancias. 00:03:44
Este punto viene dado por su distancia al eje X, que es esta distancia, su distancia al eje Y, que es esta distancia, y su distancia al eje Y, al eje S, y su altura. 00:04:09
¿de acuerdo? ¿vale? ¿qué quiere decir? que un punto en un sistema de tres dimensiones 00:04:27
un punto cualquiera viene definido por tres, por tres, tres, lo diré, tres coordenadas 00:04:36
por ejemplo el 2, 1, 3, si yo quiero saber el 2, 1, 3 pues lo que haría sería 00:04:43
sería dentro de mi sistema coordenado, cogería dos aquí, cogería uno aquí y cogería tres aquí, entonces esto haría esto, me dibujaría ese paralelo epípedo y el punto estaría aquí, 00:04:50
Lo veis, es un sistema coordenado, pero que en vez de ser de dos dimensiones es de tres dimensiones. 00:05:12
Bueno, entonces, para estudiar los elementos geométricos en analítica del espacio en tres dimensiones, 00:05:25
el primer elemento geométrico básico es el punto. 00:05:34
Como veis, un punto metido en este sistema coordenado, pues tiene tres coordenadas, la X, la Y y la Z. 00:05:37
Ya sabéis que siempre, siempre esto lleva un orden, es decir, siempre primero las X, luego las Y y luego las Z. 00:05:45
La Z siempre es la altura, la X es el eje de accisas y la Y es el eje de accisas. 00:05:51
El siguiente estudio que tendríamos que hacer, el siguiente elemento que se estudia es la recta. 00:05:56
Y el último, el plano. 00:06:04
Entonces, para estudiar, para pasar del estudio de los puntos, un punto en tres dimensiones no tiene ningún problema, un punto se coloca tal y como hemos colocado este, se coloca y ya está. 00:06:07
Bueno, pues para pasar del punto al estudio de la recta en el espacio, tenemos que antes estudiar unos elementos que se llaman vectores. 00:06:20
Entonces, ¿qué es un vector? 00:06:42
Pues mirad, un vector en el espacio es un elemento que va desde un punto, desde el origen de coordenadas a un punto A, por ejemplo 00:06:51
Un vector tiene tres cosas, tiene una dimensión, es decir, tiene una longitud, tiene una dirección y tiene un sentido 00:07:08
en este caso la dimensión de este vector sería esta, lo que midiese eso, la dirección es esta, 00:07:23
y el sentido es este, que podría ser al contrario y ser de esta manera, ¿vale? 00:07:34
Bueno, pues los vectores en el espacio vienen dados, siempre se ponen así, se escriben así, con una rayita encima, 00:07:40
y vienen dados también por tres coordenadas, ABC, OX y Z, o mejor, V1, V2 y V3. 00:07:49
Y estas coordenadas son las coordenadas del subpunto final, ¿de acuerdo? 00:08:04
pero, ¿vale? Es decir, que en un sistema de tres dimensiones os pueden dar un punto, 2, 1, 3, 00:08:11
o os pueden dar un vector, 2, 1, 3, que realmente el punto sería el que hemos calculado antes, 00:08:23
1, 2, 1, 1, 2, 3, entonces esto sería así, sería así, sería este, el punto sería ese, y el vector sería este. 00:08:34
¿Lo veis? Aunque aparentemente tienen las mismas coordenadas, si os están dando un punto, es un punto, nada más, 00:08:58
Pero si os dan, aunque tengan las mismas coordenadas o las mismas componentes, por así decirlo, si os dicen que es un vector, lo que os están dando es la expresión matemática de este vector, que une el origen de coordenadas con el punto, el final del, o sea, ese punto, el final. 00:09:06
X y Z. Supongo que te explicas, pero yo no te entiendo. No sé a qué te refieres. 00:09:29
¿A qué te refieres? 00:09:36
A ver, en un sistema de tres dimensiones, 00:09:38
en un sistema de tres dimensiones, 00:09:41
el origen de coordenadas hacia la derecha es positivo y hacia la izquierda es negativo. 00:09:46
Bueno, porque los he puesto positivos. 00:09:52
Pero si yo quisiera representar, si yo quiero representar el punto menos 2, 1, menos 3, 00:09:55
pues entonces tendría que coger 1 y 2, menos 2 a este lado, 1 aquí, 1 aquí y menos 3 hacia abajo, ¿vale? 00:10:03
Y entonces tendría que ir a hacer así, y sería este punto. 00:10:17
¿Entiendes lo que te digo? 00:10:24
Claro, es que los ejes coordenados, yo estoy dibujando solamente la parte positiva, pero está la parte negativa. 00:10:25
La parte negativa es esta. 00:10:38
Que estas son las negativas, pero yo no sabía que esta también es positiva. 00:10:43
No, no, no, te estás confundiendo. Es que no podéis confundir el espacio con el plano. 00:10:48
En el plano, en el plano, eso te pasa porque, espera, eso te pasa porque si tú, bueno da igual, si tú trabajas en el plano, en el plano, esto es negativo y esto es negativo, pero si no estamos trabajando en el plano, estamos trabajando en el espacio, entonces esto es positivo, esto es positivo y esto es positivo. 00:10:54
Este es el eje Y, este es el eje X y este es el eje Z. 00:11:19
Es como si, a ver, cuando estás trabajando con un plano, con un sistema de coordenadas plano, 00:11:26
un sistema de dos ejes coordenados, este es el eje X y este es el eje Y, ¿no? 00:11:35
En un sistema de dos dimensiones, un sistema plano. 00:11:44
entonces, ahora lo que hacemos 00:11:47
y esta, esto es positivo 00:11:50
y hacia aquí negativo, esto es positivo y hacia aquí negativo 00:11:53
¿vale? pues ahora 00:11:56
lo que hacemos es 00:11:58
si yo, esto sería un plano así 00:12:01
y yo lo que hago es que lo tuerzo 00:12:04
y lo pongo así, lo giro 00:12:08
lo giro y lo pongo así 00:12:11
entonces, estas dos líneas 00:12:14
Este plano es este plano de aquí, entonces las X y las Y se me quedan aquí, ¿vale? 00:12:16
Y ahora lo que hago es añadirle una tercera dimensión, que es esta. 00:12:23
Ya me imagino, ya me imagino, es que esto se estudia en segundo de bachillerato, 00:12:26
entonces lo que en primero de bachillerato y un poco en la ESO se estudia los sistemas de representación bidimensionales, 00:12:30
los tridimensionales se utilizan muy poco, ¿vale? 00:12:38
Bueno, a lo que vamos, a lo que vamos. 00:12:43
Entonces, como os digo, el espacio tiene tres dimensiones, por lo tanto, cualquier punto en el espacio queda definido por la distancia a los tres ejes coordenados, 00:12:48
en vez de a dos, la distancia a tres ejes coordenados, que son estos, siempre, siempre, primero la X, luego la Y y luego la Z, por supuesto, ¿vale? 00:12:59
Siempre, igual que cuando trabajamos con el plano, primero la X y luego la Y. 00:13:12
En este caso, la X, la Y y la Z. 00:13:15
¿Vale? 00:13:18
No, no, no, no. 00:13:18
La Z, esta es la Y. 00:13:19
Esta es la X. 00:13:21
Esta es la Y. 00:13:23
Y esta es la Z. 00:13:25
La Z siempre es la altura. 00:13:26
La altura de un cuerpo. 00:13:29
O sea, si tú tienes aquí un paralelepípedo, tienes un plano aquí y lo que haces es subirlo. 00:13:30
¿Vale? 00:13:35
Lo subes, lo está en el plano y lo elevas. 00:13:36
Entonces se convierte en una cosa de tres dimensiones. 00:13:39
En el plano la Z no existe. 00:13:41
Claro, la Z es la tercera dimensión. 00:13:46
O sea, lo que yo hago, a ver, ¿no lo veis? 00:13:49
Espacialmente. 00:13:52
Tú tienes un plano, vosotros cuando trabajáis en plano trabajas así. 00:13:53
Y si quieres pasarlo a tres dimensiones, lo que haces es que lo giras, lo pones así y lo subes a esta dimensión. 00:13:57
Entonces, el eje XY que tienes aquí se te queda abajo. 00:14:04
Por eso se te queda ahí abajo, XY. 00:14:08
Y aparece la tercera dimensión que es la altura. 00:14:10
Que es lo mismo como si yo tengo hasta aquí y lo voy subiendo. 00:14:14
Si al mismo tiempo que subo todo esto, si me trajese la mesa para arriba, 00:14:19
pues entonces estaría haciendo, pasaría de un plano a la altura, lo convierto en una cosa tridimensional. 00:14:29
¿De acuerdo? Entonces exactamente igual que en el plano un punto queda definido por dos coordenadas, la X y la Y, y yo la coloco en mi sistema de coordenado, cuando estoy en tres dimensiones es exactamente igual lo que pasa en el trabajo con tres dimensiones. 00:14:35
Entre las tres dimensiones son la X, la Y, la Z, la X es el eje horizontal, la Y es este, que realmente, y la Z es la altura, ancho, largo y alto. 00:14:55
Eso lo entendéis todos, ¿no? Largo y ancho y alto, las tres dimensiones, de momento la cuarta dimensión todavía no la estudiamos. 00:15:07
Y no sé qué he hecho, deberíamos estudiarla porque no sé qué he hecho con ella. 00:15:15
Bueno, entonces, cuando se quiere estudiar geometrías, lo que se estudian son los elementos básicos de la geometría 00:15:18
Y los elementos básicos de la geometría son pocos 00:15:26
Luego con ellos se pueden hacer muchísimas cosas, pero son pocos 00:15:28
Son el punto, la recta y el plano 00:15:32
Esos son los tres elementos básicos de la geometría 00:15:35
Entonces nosotros lo que vamos a estudiar es cómo mediante este sistema de referencia 00:15:38
asignando a un punto unas coordenadas dentro de ese sistema de referencia 00:15:43
cómo podemos llegar a convertir en matemáticas una recta, un plano 00:15:51
y todo lo que puede pasar con los puntos, las rectas y los planos 00:15:57
que son muchísimas cosas, ¿de acuerdo? 00:16:02
Bueno, entonces ya os he dicho que un punto, lo repito, viene dado por sus tres coordenadas 00:16:05
Si a mí me dicen este punto, pues yo sé que este punto está aquí. Y a ese punto se le asocia, a todo punto se le puede asociar un elemento que aparece en la analítica que es el vector. 00:16:10
Un vector no es más que una vez que yo cojo un punto, si uno el origen de coordenadas con ese punto, eso es el vector, que se llama el vector director de ese punto. 00:16:33
Entonces, un vector tiene unas características, un punto no tiene entidad, un punto es una posición, un punto no se mide, los puntos no se miden. 00:16:46
Pero los vectores ya empiezan a poder medirse, porque tienen una longitud, es decir, un vector viene dado, matemáticamente viene dado por las coordenadas de su punto final, ¿de acuerdo? 00:16:58
Pero yo puedo calcular, ese vector tiene unas características que son, tiene, un vector tiene módulo, dirección y sentido. 00:17:13
¿De acuerdo? ¿Qué quiere decir que tiene módulo? Que tiene una dimensión, que mide lo que mide, unos vectores, este vector mide una cosa, este vector mide otra, este vector mide otra, este mide otra, este mide otra, ¿de acuerdo? 00:17:33
¿Verdad? Un sentido, el sentido, perdón, una dirección, una dirección es lo que marca esto, de tal manera que los vectores, como tienen dirección, entre sí pueden ser paralelos, perpendiculares, formar ángulos determinados, por ejemplo, este vector y este, pues forman este ángulo. 00:17:51
Como tienen dirección, unos están, entonces tienen ángulo, podríamos medir el ángulo en que están dos vectores. 00:18:14
Y tiene un sentido que es dentro de la dirección, ya sabéis que en una dirección hay dos sentidos, hacia arriba y hacia abajo. 00:18:26
Y el sentido nos lo da las coordenadas del vector, es decir, si el vector es hacia abajo, pues entonces tendrá la última coordenada negativa, es decir, bueno, nos da todo eso. 00:18:32
¿De acuerdo? Vale, bueno, pues entonces, nos vamos esta semana y un poco de la que viene vamos a hacer todo el trabajo con vectores, 00:18:49
porque si os entra bien el trabajo con vectores, luego os entrará muy bien el trabajo con rectas, 00:18:58
que trabajar con rectas no es más que trabajar con vectores. 00:19:03
Entonces, vamos a empezar con el estudio de los vectores. 00:19:07
¿Cómo se calcula módulo de un vector? 00:19:14
Dado un vector V de tres componentes, V2, V1, V2 y V3 00:19:17
El módulo de un vector se escribe así, como el valor absoluto de los números 00:19:28
Y es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes 00:19:34
es decir, que si yo me dan un vector, por ejemplo, el vector 2, 3, 0 00:19:43
el módulo de este vector, lo que mide ese vector 00:19:50
es la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 3 al cuadrado más 0 al cuadrado 00:19:55
es decir, es 4 y 9, 3, la raíz cuadrada de 3 00:20:03
Y además, si esto lo dibujaseis, uno, dos, uno, dos y tres y cero, ese punto está aquí. 00:20:08
Bueno, pues, x y z. 00:20:19
Sí, soy yo, de todo. 00:20:22
X y z. 00:20:25
Sí, fijaros, si esto estuviese bien dibujado, hecha a escala con una regla bien dibujado, esta medida es justo esta. 00:20:29
Yo puedo, yo puedo, es lo que os decía en geometría, si yo quiero saber cuánto mide esto, pues puedo hacerlo de dos maneras, puedo dibujarlo y medirlo, para eso está el dibujo lineal, que os enseña a dibujar todo esto, o puedo calcularlo, si yo conozco este punto, sé que el módulo de este vector es ese, ¿de acuerdo? 00:20:37
¿Vale? ¿Me seguís? Bueno, más cosas, los vectores se pueden operar entre sí, se pueden operar, hacer operaciones con vectores, entonces, ¿qué operaciones se pueden hacer con los vectores? 00:21:03
Se pueden sumar, restar, multiplicar por un número, se puede hacer su producto escalar, su producto vectorial y su producto mixto. 00:21:23
Pero se pueden hacer más cosas que son otras operaciones que nosotros no estudiamos, porque se puede también operar los movimientos de un vector en el espacio, pero eso nosotros no lo vamos a estudiar. 00:22:10
Nosotros vamos a estudiar estas operaciones. 00:22:31
Entonces, ¿cómo se suman dos vectores? 00:22:35
Sumando sus componentes. 00:22:37
¿Cómo se restan dos vectores? 00:22:40
Restando sus componentes. 00:22:51
¿Cómo se multiplican por un número? 00:22:53
Multiplicando todos sus componentes. 00:23:04
Es decir, que si yo tengo un vector v, 00:23:22
que puede ser el 1, menos 2, 3, 00:23:26
y un vector W, sumar, restar y multiplicar, tengo dos vectores y el otro es el 2, 3, menos 5, 00:23:29
la suma de v más v doble será otro vector, fijaros la suma de dos vectores es otro vector, que será el vector 3, 1, menos 2, sumados los componentes, ¿de acuerdo? 00:23:43
las x con las x 00:24:06
las x con las y 00:24:08
si los resto 00:24:09
pues resto sus componentes 00:24:11
menos 1 00:24:15
menos 5 00:24:16
y 8 00:24:18
flechas rectas 00:24:20
antes has hecho 00:24:24
como de varias 00:24:27
es eso 00:24:29
lo de los vectores en el espacio 00:24:30
como que has hecho algunas 00:24:32
intento hacer las rectas todas 00:24:33
No es fácil, no es fácil, con esto es complicado 00:24:34
Pero es esto, un vector se representa como una letra y arriba una flecha 00:24:40
Para indicar que es un vector 00:24:46
¿De acuerdo? 00:24:47
Y luego si multiplicamos, yo quiero hacer por ejemplo 2V 00:24:49
Entonces sería el vector 2 menos 4, 6 00:24:53
¿De acuerdo? 00:24:59
Bueno, esto tiene su representación geométrica, es decir, que si yo quiero sumar este vector y este vector, 00:25:02
su representación geométrica es otro vector que se calcula sacando esto así, así, bueno, 00:25:12
haciendo, os traeré un dibujo, un dibujo, porque a nosotros el dibujo técnico no nos interesa, 00:25:21
porque nosotros no nos van a pedir ni dibujar nada ni nada, pero que sepáis que la suma de dos vectores es otro vector, 00:25:27
es otro vector que se calcula, o sea, se dibuja, no sé si habéis, ¿alguien ha hecho el dibujo técnico? 00:25:35
¿Habéis hecho el dibujo técnico? El dibujo técnico se dibuja la suma de vectores, se dibuja, se mide, se transporta las estas y ya está, 00:25:42
y lo que se hace es crear el paralel epípedo, sí, y entonces la suma es así, la resta es otro vector también que viene hacia acá, 00:25:50
lo importante que tenéis que saber es que la suma de dos vectores es un vector, que la suma, que la resta de dos vectores es otro vector 00:26:12
y que la multiplicación de un vector por un número es otro vector, que tiene la misma dirección y el mismo sentido, pero el módulo multiplicado por esa cantidad, ¿de acuerdo? 00:26:21
Es decir, que si yo multiplico por 2 un vector, si yo multiplico por 2 este vector y el vector v, el vector v es esto, entonces el vector 2v es como si yo lo pusiese así, de aquí a aquí, ¿de acuerdo? 00:26:32
Es otro vector que tiene, y la suma de dos vectores es otro vector que no tiene la dirección de ninguno de los dos, 00:26:51
es otro vector distinto, y la resta exactamente igual, es otro vector que tiene distinto, ¿de acuerdo? 00:27:01
Bueno, cuando trabajáis con vectores, en los ejercicios, os pueden dar directamente un vector, 00:27:10
es decir, bueno, pues dado el vector v, uno menos dos, tres, o también un vector puede venir definido por dos puntos, si yo tengo dos puntos en el espacio y los uno, eso es un vector, ¿de acuerdo? 00:27:18
Entonces, este vector es exactamente el mismo para la geometría, nos da igual este vector que este, que es ese mismo pero llevado al, lo traslado al origen de coordenadas y así se convierte en un vector genérico de los que empiezan en el origen de coordenadas. 00:27:35
Si me dan un vector dado por dos puntos A y B, el vector resultante, las coordenadas del vector son siempre B menos A. 00:28:00
Es decir, si a mí me dicen, dado un vector que pasa por los puntos A y B, siendo A el punto 1, 3, 5 y el B el 7, menos 2, 4. 00:28:15
El vector que va de A a B, este vector, sus coordenadas son 7 menos 1, menos 2 menos 3 y 4 menos 5, es decir, ese vector es el vector 6 menos 5 menos 1, ¿de acuerdo? 00:28:33
¿De acuerdo? Ese vector AB que le puedo llamar, ¿de acuerdo? Un vector solamente os lo pueden dar de esas dos maneras, os dan las coordenadas del vector directamente porque os están dando este o también os pueden dar dos puntos en el espacio con sus coordenadas y deciros el vector que va de A a B y entonces vosotros sacáis las coordenadas del vector restando las dos, las dos, las componentes, siempre. 00:29:00
El final menos el principio, ¿de acuerdo? El vector BA sería igual, pero tendría todas sus componentes cambiadas de signo porque va en la otra dirección, digo, en el otro sentido, no confundamos direcciones, ¿de acuerdo? 00:29:29
Bueno, y ahora vamos a ver más cosas que podemos saber 00:29:45
Cosas que sabemos a partir de las operaciones con vectores 00:30:00
Más cosas que podemos saber 00:30:05
Ahora volveremos sobre estas tres operaciones especiales de los vectores 00:30:08
De eso que hemos visto, se extrae también cómo se calcula el punto medio de un segmento. 00:30:11
Si yo tengo en el espacio un segmento, un trozo, y quiero saber dónde está su punto medio, 00:30:21
eso, insisto, el dibujo técnico tiene una manera de hacerse. 00:30:42
Analíticamente, si esto es A y esto es B y las coordenadas de A son por ejemplo A1, A2, A3 y las de B, B1, B2, B3, 00:30:46
el punto medio está en la semisuma 00:31:02
es decir, el punto medio del segmento partido por 2 00:31:08
es decir, el punto medio está en a1 más b1 partido por 2 00:31:15
a2 más b2 partido por 2 00:31:22
y a3 más b3 partido por 2 00:31:27
Es decir, que si yo quiero saber, dado un segmento, un segmento que tiene, o sea, que pasa, o sea, está delimitado por estos dos puntos, 00:31:32
el 1, 3, 5 y el otro, el b, el 0, menos 3, 4, pues el punto medio de ese segmento será, vamos a llamarle m, 00:31:45
es el punto 00:31:59
un medio 00:32:01
cero 00:32:02
un medio 00:32:07
no, perdón 00:32:08
nueve medios 00:32:11
¿de acuerdo? ¿vale? 00:32:12
y otra cosa 00:32:16
importante que sacamos 00:32:18
de un 00:32:21
extraemos 00:32:23
de los vectores 00:32:25
de las coordenadas de los vectores es la condición para que tres puntos estén alineados. 00:32:28
Entonces, tres puntos cuando dos vectores son paralelos, si tienen sus componentes proporcionales, 00:32:47
Por ejemplo, si yo quiero saber si el vector v, que es el vector 2, 3, 5, es paralelo al vector w, 00:33:06
tengo que dividir 2 entre 4, 3 entre 6 y 5 entre 10. 00:33:30
Y si esto me da igual, es entonces, ¿de acuerdo? 00:33:41
Por lo tanto, si yo quiero saber si tres puntos están alineados en el espacio, si este es el punto A, este es el punto B y este es el punto C, 00:33:43
yo lo que tengo que saber es si este vector y este vector son paralelos, es decir, que sus coordenadas sean proporcionales. 00:33:57
Es decir, dado el punto A, que será, por ejemplo, el punto, el 3, el 3, 2, 1, 00:34:11
B es el 4, 4 menos 2, y el C es el 4 menos 1, 6. 00:34:24
Si quiero saber si esos tres puntos están alineados, yo saco el vector AB, el vector AB, que ya os he dicho que para sacar un vector, 00:34:41
si me dan dos puntos, lo que tengo que hacer es restar sus componentes, sería B menos A, el vector AB sería 4 menos 3, 1, 4 menos 2, 2, y menos 2 menos 1, menos 3. 00:34:55
Y el vector AC que sería C menos A que es 4 menos 3 es 1, menos 1 menos 2 menos 3 y 6 menos 1 es 5. 00:35:08
Y ahora si quiero saber si esos tres puntos están alineados tendría que pasar que 1 partido por 1 sea igual a 2 partido de menos 3 y sea igual a menos 3 partido por 5. 00:35:23
En este caso no lo es, luego estos tres puntos no están alineados. 00:35:35
¿De acuerdo? 00:35:39
Para que dos vectores sean paralelos, sus coordenadas, las coordenadas del vector tienen que ser proporcionales. 00:35:40
Entonces, de aquí se sale que para que tres puntos estén alineados, los vectores que se forman estos dos, 00:35:47
o sea, con estos dos puntos y con esos dos puntos, tienen que ser paralelos, es decir, sus componentes tienen que ser proporcionales. 00:35:55
Entonces yo lo que se hace es, se sacan las coordenadas del vector AB, que se sacan, que se sacan, a ver dónde está, aquí, que se sacan restando las coordenadas de los puntos inicio y extremo, las del extremo menos la del inicio, y entonces saco los dos vectores y si son proporcionales sus componentes, se puede decir que esos tres puntos están alineados, ¿de acuerdo? 00:36:02
¿Vale? Como comprenderéis, todo esto hay que saber, o sea, esto, si uno no sabe cuál es la fórmula del punto medio de un segmento, pues es imposible, no hay de lo que es calcular. 00:36:32
Si uno no sabe cómo se sabe si los vectores son paralelos, pues no puedes saberlo, no puedes deducirlo. 00:36:46
Si hay que saberse esto, entonces, ¿qué cosas hay que saberse de todo lo que hemos visto? Pues, en principio, todo. 00:36:54
Entonces, repito, hay que saberse, vectores, hay que saberse que un vector tiene una dimensión, un módulo, una dirección y un sentido, 00:37:01
que un vector queda definido por las coordenadas de su extremo, de su punto extremo, 00:37:17
O bien, si nos dan un vector que pasa por dos puntos, pues entonces lo que hay que hacer es restar las coordenadas de esos dos puntos para sacar las coordenadas del vector. 00:37:24
Por lo tanto, hay que saberse que el vector puede estar dado directamente por sus coordenadas o por dos puntos. 00:37:36
Son las dos maneras, no hay otra, ¿eh? No hay otra, ¿vale? 00:37:49
Entonces, si me dan las coordenadas, pues me darán el vector v1, v2, v3 00:37:53
Y si me dan dos puntos a y b, el vector ab será el vector b1 menos a1 00:38:02
Suponiendo que las coordenadas de los puntos a y b son las coordenadas a1, a2, a3, b1, b2, b3 00:38:13
B2 menos A2 y B3 menos A3 00:38:22
Esto es lo básico 00:38:28
Un vector queda definido por las coordenadas de su punto extremo 00:38:30
Y si me dan dos puntos para sacar las coordenadas de un vector tengo que hacer esto 00:38:37
Me ven de una manera o de otra 00:38:42
Yo lo que voy a tener siempre de un vector son sus tres componentes 00:38:44
V1, V2 y V3 00:38:48
con eso, con eso yo puedo calcular el punto medio de un segmento 00:38:51
un punto medio de un segmento AB 00:39:04
me dan dos puntos que forman un segmento 00:39:19
y entonces el punto medio tendrá las coordenadas 00:39:22
A1 más B1 partido por 2 00:39:26
A2 más B2 partido por 2 00:39:30
Y A3 más B3 partido por 2 00:39:35
Puedo saber el módulo del vector 00:39:39
Es decir, lo que mide 00:39:44
Que es lo mismo que decir 00:39:46
Si yo, a mí me dan dos puntos 00:39:48
Yo puedo saber perfectamente 00:39:51
La distancia que hay entre esos dos puntos 00:39:53
Porque la distancia que hay entre esos dos puntos 00:39:55
Es el módulo del vector que los une 00:39:57
de seguirse en el razonamiento 00:39:59
entonces si yo tengo dos puntos 00:40:01
una cosa que es una cosa que se hace en geometría muchísimo 00:40:03
que es medir la distancia entre dos puntos 00:40:06
pues analíticamente 00:40:08
si tú tienes dos puntos 00:40:10
sacas el vector 00:40:12
de esos dos puntos con esta fórmula 00:40:13
y calculas un módulo 00:40:16
¿cuál es el módulo de un vector? 00:40:17
el módulo de un vector se calcula 00:40:19
como la raíz cuadrada 00:40:21
del cuadrado de sus tres componentes 00:40:23
¿de acuerdo? 00:40:26
¿Vale? ¿Qué más cosas puedo hacer? Puedo sumar, restar y multiplicar por un número dos o más vectores, ya sabemos que para sumar sumo sus componentes, para restar resto sus componentes y para multiplicar por un número multiplico por un número 00:40:31
De tal manera que la suma de dos vectores es otro vector, la resta de dos vectores es otro vector y la multiplicación por un número también es un vector, ¿de acuerdo? 00:41:13
o sea, aquí esa operación también la... 00:41:33
luego, puedo saber si dos vectores son paralelos 00:41:37
son paralelos, ¿cómo? 00:41:40
serán paralelos si sus componentes son proporcionales 00:41:56
y de aquí se sabe también que 00:42:00
si tres puntos están alineados 00:42:16
esto sin tener que dibujar absolutamente nada 00:42:20
solamente con que me den las coordenadas con respecto a mi sistema de referencia 00:42:32
o bien directamente de los vectores con los que estoy trabajando 00:42:40
o de los puntos de su inicio y su estreno. 00:42:43
¿De acuerdo? 00:42:46
Vale. 00:42:48
Bueno, a ver. 00:42:50
Yo quiero daros ahí toda la teoría. 00:42:52
Sé que vais a ir empanaos y sin entender nada, pero da lo mismo. 00:42:54
Quiero que lo dejéis ahí reflejado para que mañana vengamos y empecemos con los ejercicios. 00:42:58
Vamos a ver, entonces, hemos dicho, os he dicho que las operaciones que se podían hacer con los vectores, 00:43:04
hemos visto sumar, restar y multiplicar por un número. 00:43:15
Vamos a ver ahora tres operaciones que no se pueden hacer con los números, 00:43:17
porque sumar, restar y multiplicar por un número se puede hacer con los números 00:43:21
y se puede hacer con las matrices, se puede hacer con un montón de cosas, con un montón de elementos matemáticos. 00:43:25
Vamos a ver ahora tres operaciones que solo se pueden hacer con vectores. 00:43:31
Una cosa especial, que se han inventado para hacer con los vectores y que luego utilizaremos para resolver los problemas geométricos 00:43:35
mediante operaciones matemáticas. 00:43:44
La primera de ellas es el producto escalar de dos vectores. 00:43:47
El producto escalar de dos vectores se escribe con un punto y el resultado es un número. 00:44:03
Hasta ahora en las operaciones que habíamos hecho de suma, resta, multiplicación por un número de un vector siempre nos da otro vector. 00:44:26
Bueno, pues esto no, aquí nos da un número. 00:44:33
Y queda definido de la siguiente manera. 00:44:36
Queda definido como el módulo de uno de los vectores por el módulo del otro vector y por el coseno del ángulo que forman entre ellos. 00:44:39
De tal manera que para poder calcular el producto escalar de dos vectores, 00:44:58
debería tener, bueno, puedo calcular su módulo si tengo sus coordenadas, 00:45:06
puedo calcular su otro módulo, pero necesito saber el ángulo que forman para poder sacarlo. 00:45:10
Hay otra manera de calcularlo, de alfa, que es igual, 00:45:16
Si conozco las coordenadas de los dos puntos lo puedo calcular mediante esta, ¿vale? 00:45:28
Entonces, cosas importantes o interesantes que salen del producto escalar 00:45:48
Lo más importante del producto escalar es que me sirve para sacar el ángulo que forman dos vectores fáciles 00:45:53
¿Por qué? Porque imaginaros que yo tengo el vector v que sea el vector 1, 3, menos 5 y omega que será el 2, 1, 0, por ejemplo. 00:46:03
¿Vale? Y yo quiero saber el ángulo que forman estos, si yo dibujase esos, esos vectores, pues uno sería el 1, 3 menos 5, que sería como por aquí, el otro 2, 1, 0, que sería como por aquí. 00:46:18
Y esos dos vectores forman un ángulo. 00:46:38
Si yo quiero saber ese ángulo, pues podría dibujarlo y luego medir el ángulo. 00:46:41
Ya sabéis que siempre, que siempre esto se puede hacer, todo esto se puede hacer también geométricamente dibujando, con el dibujo lineal. 00:46:45
Pero para hacerlo con soluciones matemáticas, yo lo que hago es, si yo calculo su producto escalar, sería 1 por 2 más 3 por 1 más menos 5 por 0, teniendo los componentes del vector, yo puedo calcular el producto escalar. 00:46:53
Y esto es 5, su producto escalar es 5, ¿de acuerdo? ¿Lo veis? Bueno, pero si ahora me voy a la otra fórmula, yo sé que 5, que es el producto escalar, es el módulo de v, 00:47:21
El módulo de v es la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 3 al cuadrado más menos 5 al cuadrado por el módulo de omega que es 2 al cuadrado más 1 al cuadrado más 0 y por el coseno del ángulo que forma. 00:47:42
si yo esto lo paso dividiendo 00:48:01
el coseno del ángulo alfa 00:48:04
será por lo tanto el producto escalar 00:48:07
que es esto, partido por los dos módulos 00:48:10
con estas dos fórmulas 00:48:16
yo, si yo calculo el producto escalar aquí 00:48:21
con esta fórmula yo tengo sus tres componentes 00:48:24
no tengo ningún problema, calculo el producto escalar 00:48:29
y con ese producto escalar 00:48:32
me voy a esta, yo puedo sacar 00:48:35
directamente el ángulo que forman 00:48:36
porque tengo, si tengo los componentes 00:48:38
y tengo el producto escalar 00:48:41
pues tengo, estos pasan dividiendo 00:48:42
y entonces se me quedaría así 00:48:44
¿de acuerdo? 00:48:46
operación matemática 00:48:49
simple, dos fórmulas 00:48:50
y lo que se hace es 00:48:53
claro, si yo lo he hecho así lo despejar 00:48:55
¿vale? o sea yo 00:48:58
el producto escalar es esto 00:49:00
y es esto, se calcula de las dos maneras 00:49:05
yo para utilizar esta 00:49:08
fórmula y sacar el producto escalar 00:49:09
necesito tener las componentes 00:49:11
del vector para sacar 00:49:14
sus módulos y el 00:49:15
coseno del ángulo que forman 00:49:17
pero también es verdad que lo puedo hacer 00:49:19
teniendo las componentes del vector lo puedo hacer 00:49:21
aquí y con esto 00:49:23
si me voy aquí arriba y despejo 00:49:25
saco el ángulo 00:49:27
esta es una de las aplicaciones más directas que tiene el producto escalar, que es sacar el ángulo que forman dos ventolas, ¿vale? 00:49:28
Y además, si el producto escalar es cero, si esto es cero, quiere decir, si v, el producto escalar es cero, ¿vale? 00:49:39
Quiere decir que el coseno de alfa, el coseno del ángulo que forman es cero y por lo tanto v y omega son perpendiculares. 00:49:55
Esta es otra de las aplicaciones importantísimas de estas dos aplicaciones, el cálculo del ángulo que forman y lo que se deduce si el producto escalar es 0. 00:50:11
Si el producto escalar es 0 quiere decir que el coseno del ángulo que forman es 0 y el ángulo que tiene el coseno 0 es 90 grados. 00:50:26
Es decir, los dos vectores son, es decir, que mediante el producto escalar podemos saber si dos vectores son perpendiculares, qué ángulo forman y además podemos encontrar, haremos ejercicios de dar un vector, buscar uno que sea perpendicular a él. 00:50:34
¿Cómo consigo un vector perpendicular a uno dado? 00:50:55
Pues haciendo que su producto escalar sea 6, más o menos. 00:51:00
Bueno, producto vectorial. 00:51:03
El producto vectorial de dos vectores es un vector. 00:51:08
Se escribe v por omega y es un vector. 00:51:17
Por lo tanto, tiene módulo, dirección y sentido. 00:51:27
El producto escalar, igual que el producto vectorial, se puede escribir, o sea, vamos a ver. 00:51:43
El producto, este vector se puede hallar, que es el resultado del producto vectorial de dos vectores, 00:51:51
siempre es un vector que además es perpendicular a los dos, al plano que forman los dos. 00:52:00
¿De acuerdo? Es decir, si yo tengo dos vectores, dos vectores definen un plano, ¿no? 00:52:08
¿Sí o no? Está claro, los vectores definen un plano, igual que dos rectas definen un plano, igual que dos puntos, no, dos puntos no definen un plano, dos puntos definen una recta. 00:52:15
Entonces, el producto escalar de estos dos vectores es un vector que es perpendicular a ese plano, es decir, es perpendicular a los dos vectores, ¿de acuerdo? 00:52:26
Y su módulo, es decir, su dimensión, viene dada por el módulo de uno, por el módulo del otro, por el seno del ángulo. 00:52:38
Antes se iba por el coseno y ahora es por el ángulo. 00:53:03
Esta es una manera de calcularlo. 00:53:06
El producto vectorial, si yo conozco el ángulo, podría calcularlo de esta manera. 00:53:09
El módulo, que es un vector que es perpendicular a los dos. 00:53:21
Y la otra manera de calcularlo, que es la que se utiliza habitualmente, es esta de 3. 00:53:26
Que me da directamente el vector y a partir de ahí puedo calcular el ángulo. 00:53:51
Puedo calcular el... 00:53:57
Bueno, ¿cuál es la interpretación geométrica del producto escalar? 00:53:59
Digo, del producto vectorial. 00:54:05
Bueno, lo primero sabemos, sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ese plano. 00:54:10
cosa que luego ya veréis 00:54:18
cuando empecemos con las rectas 00:54:20
eso nos va a dar la posibilidad 00:54:22
de calcular una recta perpendicular a un plano 00:54:24
solamente tengo que sacar 00:54:27
dos vectores del plano 00:54:29
y calcular su 00:54:30
producto vectorial 00:54:32
y me da la dirección de la recta 00:54:34
directamente 00:54:36
entonces 00:54:37
y la otra 00:54:38
interpretación geométrica 00:54:40
el módulo 00:54:44
O sea, lo que mide esto es igual que el área de este paralelogramo. 00:54:47
El paralelogramo que forma el módulo, es decir, esta medida es lo mismo, es exactamente igual que el área del paralelogramo que forman los dos vectores. 00:54:55
De tal manera que si a mí me dan dos vectores y me dice cuál es el área de este paralelogramo, 00:55:08
pues el área es directamente su producto vectoral. 00:55:15
El módulo de, por ejemplo, un ejemplo. 00:55:18
Lo voy a hacer en rojo. 00:55:20
Imaginaros que a mí me dan un vector v, que es el vector, por ejemplo, el vector 3, 1, 0. 00:55:26
Y un vector W, que es el vector menos 1, 4, 2. 00:55:38
Y quiero saber su producto vectorial. 00:55:45
Bueno, pues entonces su producto vectorial será V por omega y JK, 3, 1, 0, menos 1, 4, 2. 00:55:47
Esto es 2i más 0j más 12k 00:56:03
Y por otro lado tengo menos k más 0i más 6j 00:56:18
Luego entonces tengo 2i más 12k más k menos 6j 00:56:27
Luego tengo 2i menos 6j más 13k 00:56:40
es decir, este es el vector 00:56:46
es el vector 00:56:53
2 menos 6 00:56:58
así se calcula 00:57:01
ese determinante 00:57:03
la y, la j y la k nos dan 00:57:05
la y, la j y la k 00:57:07
lo que nos dan son las direcciones 00:57:09
la dirección y es la del 00:57:10
eje x, la j la del eje 00:57:13
la del eje 00:57:15
lo diría 00:57:17
la del eje 00:57:19
I y la K 00:57:21
es la del eje hecho 00:57:23
el determinante, es un determinante 00:57:25
lo que he hecho ha sido este por este por este 00:57:26
2I, 3 por 4 más 12K 00:57:28
y J por 0 menos 1 00:57:31
vale, y luego en la otra dirección 00:57:32
en la otra dirección 00:57:35
menos 1 por 1 por K 00:57:37
menos K, 4 por 0 por I 00:57:39
0I y 3 por J por 2 00:57:40
6J y ahora resto esto menos esto 00:57:43
2I más 12K 00:57:45
menos menos k que es más k 00:57:47
y menos 6j 00:57:49
y ahora digo, ¿y cuántas hay? 00:57:50
2j es menos 6 00:57:52
y k es 13 00:57:54
pues mi producto vectorial 00:57:55
¿pero tú sabes hacer un determinante de 3 por 3? 00:57:58
sí, pero no lo veo, ahí no lo estoy viendo 00:58:02
pero hazlo 00:58:04
pero que no sé, no sé por qué hay un 2 00:58:05
¿por qué estoy? 00:58:08
¿cómo se hace un determinante? 00:58:10
¿cómo lo tengo que hacer? 00:58:11
primero, así, ¿no? empieza así 00:58:12
pues multiplica, multiplica esto 00:58:14
Ah, que lo multiplica. 00:58:16
Hombre, estoy haciendo un determinante. 00:58:19
No me dices que sabes hacer un determinante. 00:58:21
Sí, pero no lo estoy entendiendo. 00:58:23
¿Por qué hay letras? 00:58:25
Porque las letras forman parte de las matemáticas. 00:58:26
J, K son las letras con las que se escriben en geometría del espacio, 00:58:30
los tres direcciones del espacio. 00:58:35
I es la X, J es la I y K se van. 00:58:36
No es que se vayan, no es que se vayan. 00:58:41
Es que cualquier vector, cualquier vector v, 2 menos 1, 3, en realidad es el vector 2i menos 1j más 3k. 00:58:43
Esto es lo mismo que esto, lo que pasa que se quita, la i, j, k se quitan. 00:59:02
Y cuando hacemos el determinante para calcular el producto vectorial, mantenemos la j, pero como veis al final, o sea, mantenemos las direcciones, pero luego las quito. 00:59:07
¿Vale? Esto y esto es lo mismo. Esto y esto, o sea, que si en algún momento, en algún ejercicio, os diesen un vector de esta manera, saber que esta. 00:59:21
Bueno, venga, y por último, producto mixto. 00:59:30
Mañana haremos ejercicios y veréis que es bastante sencillo. 00:59:35
El producto mixto se hace entre tres vectores. 00:59:45
Es un producto escalar. 00:59:59
Tened en cuenta que los vectores no se pueden multiplicar entre sí. 01:00:03
Yo no os he dicho en ningún momento que se puedan multiplicar. 01:00:07
O sea, las operaciones matemáticas normales que se pueden hacer con los vectores 01:00:10
son sumar, restar y multiplicar con un número, no se pueden multiplicar dos vectores, los 01:00:14
productos de vectores son el escalar, el vectorial y el mixto, ¿vale? No se pueden multiplicar 01:00:19
los componentes de dos vectores, eso no te da nada, ¿vale? Bueno, entonces, el producto 01:00:26
escalar, digo, el producto 01:00:35
mixto 01:00:37
es un número exactamente 01:00:38
igual 01:00:41
y consiste en hacer 01:00:42
el producto vectorial 01:00:53
de dos y con 01:00:56
el resultado, el producto vectorial 01:00:57
me da otro vector. Hacer luego 01:00:59
el producto escalar con el 01:01:01
resultado de esto. ¿De acuerdo? 01:01:03
Y hay una forma rápida 01:01:06
de hacerlo y es un 01:01:07
número. Esto no tiene ni dirección 01:01:09
ni sentido ni nada, el producto 01:01:12
escalar, digo el producto 01:01:13
mixto de tres vectores es 01:01:15
un número 01:01:17
y se me ha olvidado deciros antes una cosa importante 01:01:18
bueno, y 01:01:21
se calcula 01:01:22
se calcula si v 01:01:25
bueno 01:01:27
el producto mixto 01:01:29
es importantísimo 01:01:31
porque si no, no sabes que es un vector 01:01:52
eso es importantísimo 01:01:53
pero hay que hacerlo 01:01:56
es un vector 01:01:58
pero antes como que has puesto 01:01:59
lo de v y w como abajo 01:02:01
y la i, la j, la k arriba 01:02:03
porque era otra cosa 01:02:05
a veces sumo, a veces resto, otras veces hago 01:02:06
un logaritmo, otras veces multiplico 01:02:09
otras veces hago, antes estaba haciendo 01:02:11
un producto vectorial 01:02:13
el producto vectorial 01:02:14
se hace así, como es un vector 01:02:16
en la primera fila 01:02:19
el determinante es i, j, k 01:02:22
que son las tres direcciones del vector 01:02:23
el producto mixto es un número y se hace con los números y de aquí te haces el determinante y te sale un número, ¿de acuerdo? 01:02:26
Entonces, ese número, la interpretación geométrica de ese número es que el valor que sale del producto este es, 01:02:35
si yo tengo tres vectores 01:02:44
y hago su producto 01:02:46
su producto mixto 01:02:50
pues es el volumen 01:02:52
de este paralelepípedo 01:02:54
bueno, si lo hubiese dibujado 01:02:56
bien 01:03:00
¿de acuerdo? 01:03:00
si yo tengo estos tres 01:03:03
bueno, pues el volumen de estos sale 01:03:05
es directamente el valor 01:03:08
que sale de hacer su producto mixto 01:03:10
evidentemente esto está fatalmente dibujado 01:03:11
bueno, y entonces 01:03:17
dos cosas y acabamos 01:03:20
importantísimo 01:03:22
si el producto, hemos dicho 01:03:24
que si el producto escalar 01:03:26
de dos vectores es cero 01:03:28
los vectores son perpendiculares 01:03:29
bueno, si el producto vectorial 01:03:31
es cero 01:03:34
si el producto vectorial 01:03:36
es cero 01:03:43
el producto vectorial de dos vectores 01:03:44
es cero 01:03:47
es decir, que os da 01:03:53
cero, cero, cero 01:03:55
entonces es que los vectores 01:03:56
son paralelos 01:03:59
importantísimo 01:04:01
si yo quiero saber si los vectores 01:04:14
son perpendiculares, hago su producto escalar 01:04:17
y si me da cero, son perpendiculares 01:04:19
Si quiero saber si son paralelos puedo o bien ver que sus componentes son proporcionales como habíamos dicho al principio o bien calculando su producto vectorial y si me da cero es que son paralelos. 01:04:21
¿Por qué? Porque entra el seno, si esto da cero quiere decir que los dos vectores, el ángulo que forman es cero, es decir son paralelos. 01:04:36
Y por último, si el producto mixto es cero, el producto de tres vectores es cero, 01:04:48
quiere decir que los vectores son coplanarios. 01:05:04
¿Qué son tres vectores coplanarios? A ver, alguien que lo explique. 01:05:08
¿Qué es? 01:05:19
que están en el mismo plano 01:05:20
comparten planos 01:05:26
son coplanarios 01:05:33
están en el mismo plano 01:05:34
al estar en el mismo plano 01:05:35
lógicamente esto se vendría aquí abajo 01:05:37
y ya no hay paralelepípedo posible 01:05:40
por lo tanto su vector 01:05:42
su producto mixto 01:05:44
¿vale? 01:05:45
es bastante sencillo 01:05:46
Es muy sencillo, ¿eh? Lo que pasa es que hay que sabérselo. 01:05:50
¿Qué problema es que hay que sabérselo? 01:05:52
Al final tendría una fórmula y todo eso, sí, pero así la teoría ha sido... 01:05:53
Hostia, la teoría, ¿eh? 01:05:57
Ha sido toda la teoría. 01:05:58
Aunque he entendido más esto que la trigonometría, tío. 01:06:00
Sí. 01:06:03
Trigonometría todavía se puede saber cómo se hace. 01:06:04
Bueno, es que se va intentando aprender las matrices, ¿eh? 01:06:07
La parte estacional de la matriz. 01:06:09
Si el producto vectorial es cero... 01:06:11
No, ese no. 01:06:13
Sí, lo de tres pinchas que están... 01:06:13
Pues imagínate cómo voy. 01:06:15
Creo que es el cuarto. 01:06:17
¡Qué morra, tío! ¡Qué morra, tío! 01:06:47
¡Ya ves! 01:06:51
¡Tiene que ser todo fácil eso! 01:06:52
Mariana, que no se vaya a caer, que no se va a caer. 01:06:55
Vamos, le coges la mano y me cachan. 01:06:57
Que se vaya a la porta y ahí no se va a caer. 01:07:00
¡Venga, se va a caer! 01:07:02
Es normal que en nuestras comunidades hagan tan fácil que a mi madre no me vayan a aceptar mi familia. 01:07:04
¡Hombre, tía! 01:07:09
Este mismo que yo le he explicado en el proceso de llegar a la clase. 01:07:11
Yo todo esto subo a las clases 01:07:15
a la escritura 01:07:24
o sea que tenéis que estar 01:07:25
en la escritura 01:07:26
La escritura es lo importante 01:07:26
que es la economía y no es igual 01:07:33
Una vez que hagamos los ejercicios 01:07:34
veréis como irá mejor 01:07:40
Venga, mañana nos vemos 01:07:41
Adiós 01:07:44
Hasta luego chicas y chicas 01:07:45
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
2
Fecha:
4 de marzo de 2026 - 11:14
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
1h′ 07′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
126.53 MBytes

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