Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Derivación implícita. Problemas de continuidad y derivabilidad - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 3 de febrero de 2026 por Roberto A.

2 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bueno, chavales, vamos a ver. 3 de febrero del 2026. ¿Alguna duda o algo? ¿Todo bien de momento? 00:00:00
Venga, vamos a ver una cosilla. He puesto aquí dos ficheros, ¿vale? Uno por la teoría, ¿vale? 00:00:11
Que es la derivación implícita. La idea clave de esta derivación implícita es cuando nosotros tenemos una función, ¿vale? 00:00:19
Y no podemos despejar la Y como tal, ¿vale? 00:00:28
Entonces, aparece una relación entre X e Y 00:00:32
y lo que pasa es que nosotros tenemos que saber, 00:00:35
que creo que fuiste tú, Carla, ¿no? 00:00:38
No sé quién me preguntó. 00:00:39
No, fue Claudia. 00:00:44
La Y, Paula, tírame el chicle y cállate, ¿vale? 00:00:46
La Y es una función de X, ¿de acuerdo? 00:00:49
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:00:53
Pues que nosotros vamos a derivar siempre todo el tiempo respecto a x. 00:00:55
Esto de aquí, por ejemplo, este ejemplillo, nosotros, si os dais cuenta, bueno, aquí sí podríamos despejar la y, ¿vale? 00:00:59
¿Esto alguien me sabe decir lo que es? 00:01:08
¿Esto qué es? 00:01:12
Esta, ¿qué es lo que representa una circunferencia? 00:01:14
Muy bien, un círculo, ¿vale? 00:01:18
¿Sí o no? 00:01:20
Entonces, ¿qué ocurre? 00:01:21
Sí, yo aquí sí que podría despejar. 00:01:22
De hecho, esto es una función, esto es una función como tal, ¿vale? 00:01:24
No lo es porque si yo dibujo esto, ¿vale? 00:01:30
Esto es una circunferencia centrada en el 0, 0 de radio 1, ¿vale? 00:01:35
Entonces, esto no es una función. ¿Por qué no es una función? 00:01:40
Porque, por ejemplo, vemos esta x, tenemos 2 y es, ¿vale? 00:01:43
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? ¿No la puedo derivar? Pues sí la puedo derivar. 00:01:47
Entonces, ¿cómo se deriva esto? 00:01:51
Pues el x al cuadrado se deriva como 2x, ¿verdad? Pero el y al cuadrado, date cuenta que y es una función de x. Entonces esto sería 2y, pero la y también tiene una derivada, ¿vale? 00:01:53
Esto es como si yo derivara f de x al cuadrado, su derivada es 2 f de x, ¿verdad? Por f' de x. ¿Sí o no? ¿Y cuánto es la derivada de 1? La derivada de 1 es 0. Entonces yo de aquí puedo despejar f' ¿verdad? 00:02:09
¿Y prima qué es? Es, si no me equivoco, menos x partido de y. ¿Vale, chavales? 00:02:28
¿Y es una función de x? 00:02:36
Y es una función de x. Entonces, claro, al derivar esa y, yo tengo que poner su derivada, pero luego la tengo que multiplicar por su y prima. 00:02:41
Esto es lo que la mayoría de la gente se olvida. ¿De acuerdo? 00:02:53
Porque y es una función de f de x. 00:02:56
Si yo tengo esto de aquí, y cuadrado x cuadrado más f de x al cuadrado igual a 1, ¿vale? 00:03:00
¿Cómo derivo esto respecto a x? 00:03:08
x es 2x. 00:03:10
¿Cuánto vale la derivada de una función elevada al cuadrado? 00:03:12
¿Cuál es su derivada? 00:03:16
Es 2 veces la función elevada a 2 menos 1, que es 1, ¿verdad? 00:03:17
Por la derivada de esa función, ¿sí o no? 00:03:22
Y esto es igual a cero. 00:03:26
Y entonces, ¿cuánto vale f' de x? 00:03:28
Pues f' de x vale, en este caso, menos x partido f de x. 00:03:31
Se suele utilizar, en vez de f de x, se suele utilizar y. 00:03:37
Y entonces tengo el mismo resultado este de aquí. 00:03:41
¿Lo veis? 00:03:45
¿Sí o no? 00:03:46
Entonces, bueno, aquí hay varios ejemplos, ¿de acuerdo? 00:03:48
¿De acuerdo? Pues igual, la regla de la cadena, todo ello es decir, la derivada de y es y', la derivada de y al cubo es 3y al cuadrado por y', la derivada del seno de y es coseno de y por y', la derivada del logaritmo neperiano de y es y' partido de y, ¿de acuerdo? 00:03:51
Es lo mismo, pero en vez de no solo tener una f de x, tenemos una y. 00:04:13
Es decir, la derivada de y al cuadrado, si yo derivo y al cuadrado respecto a x, no es 2y, es 2y por y'. 00:04:18
Igual, si yo tengo el seno de y al cuadrado, ¿qué sería? 00:04:26
Sería el coseno de y al cuadrado por 2y, porque 2y es la derivada de y al cuadrado, por la derivada de y. 00:04:31
¿De acuerdo? 00:04:41
Bueno, esto de aquí, la regla de la cadena, ¿vale? 00:04:41
Y luego lo que tenemos que hacer es despejar la i prima, ¿vale? 00:04:46
Entonces, esto es un poco de teoría que tenéis ahí, unos ejemplos sencillos. 00:04:52
Y luego lo que me interesa a mí son estos ejercicios, ¿vale? 00:04:57
Estos ejercicios de derivación implícita, que hay unos cuantos. 00:05:03
Entonces, chavales, si yo tengo que derivar esto de aquí, fijaros. 00:05:07
Si yo tengo que derivar esto de aquí, ¿alguien es capaz de despejarme la i de aquí? 00:05:13
¿Tienes chicle, Diego? 00:05:19
¿Me lo tiras por fin? 00:05:21
Entonces, chavales, ¿hay alguien que es capaz de derivar, de despejar la i de aquí? 00:05:23
No, ¿no? 00:05:29
Tenemos una i al cubo y aquí tenemos una i al cuadrado. 00:05:30
Entonces, ¿cómo puedo hallar la derivada de i? 00:05:33
¿Cómo puedo hallar? 00:05:35
y prima. Pues entonces yo lo que hago es derivo implicit bar. Derivamos implícitamente, que se llama, y es más fácil de lo que pensamos. 00:05:37
Tenemos que recordar siempre que y es igual a una función de x, ¿vale? Entonces siempre derivamos respecto a x. 00:05:52
Entonces, ¿cuál es la derivada de una función al cubo? 00:06:01
Paula, ¿tú sabes cuál es la derivada de una función al cubo? 00:06:06
Venga, dímela. 00:06:10
No, no, de una función al cubo. 00:06:14
No, ¿qué? Dímelo. 00:06:21
Una función al cubo. 00:06:21
¿3? 00:06:26
3, sí. 00:06:29
La derivada de i al cubo es 3i. 00:06:33
¿No te sabes todavía la tabla de derivada? 00:06:40
Pues venga, dímela. 00:06:43
Entonces, la derivada de 3i al cuadrado es 3i. 00:06:48
¿Tienes ahí la tabla que te...? 00:06:51
¿Cómo se acaba? 00:06:56
Ah, 3 menos 1 00:07:03
3 menos 1, que es 2, ¿verdad? 00:07:05
Sí 00:07:07
¿Y qué más? 00:07:08
¿Ya está? ¿Ya hemos acabado? 00:07:09
Por e... 00:07:13
Efectivamente, esto es 3y al cuadrado por y' 00:07:14
Si me miras lo que estás mirando, miras la tablita, ganamos tiempo, ¿vale? 00:07:20
Sí 00:07:24
¿Vale? Pues mira la tabla mejor porque no te la sabes 00:07:25
¿Vale? Esto es menos 14x, ¿de acuerdo? 00:07:27
Y aquí, chavales, una cosilla. Aquí tenemos 5 por y cuadrado por x. ¿Vale? Es como si yo tuviera aquí 5 por f de x por x. Yo tengo aquí dos funciones que se están multiplicando. Tengo que hacer la derivada, chavales, de un producto. ¿Vale? Esto es un producto. ¿De acuerdo? Es como si yo tuviera aquí f de x por g de x. 00:07:31
Que recordamos que su derivada es f' de x por g de x más f de x por g' de x. 00:07:55
¿Lo recordamos eso? 00:08:04
Entonces aquí yo que tengo el zinc con premio y ahora tengo que derivar por un lado. 00:08:05
La derivada de y cuadrado. 00:08:12
¿Cuál es la derivada de y cuadrado, chavales? 00:08:14
2y por y' por la segunda sin derivar, que es x. 00:08:17
¿Vale? 00:08:23
Voy a poner un paréntesis en 12. 00:08:23
Dime. 00:08:27
El 5 es que va a multiplicar. 00:08:31
La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. 00:08:33
Entonces yo el 5 lo dejo fuera, ¿vale? 00:08:37
Y ahora derivo este producto. 00:08:40
La derivada de este producto es la derivada del primero, que es 2i por i' por el segundo, 00:08:42
más el primero sin derivar por la derivada del segundo, que es un 1. 00:08:47
La derivada del 17, Noelia, ¿cuánto es la derivada del 17? 00:08:51
0, perfecto. 00:08:56
¿Y la derivada de 0? 00:08:57
Perfecto, ¿vale? 00:09:01
Entonces, chavales, si yo tengo aquí 3y cuadrado y prima menos 14x más 10xy y prima más 5y prima igual a 0, ¿verdad? 00:09:02
Entonces, esto es Y' que multiplica a 3Y cuadrado más 10XY, ¿verdad? 00:09:16
Y esto es igual a 14X menos 5Y al cuadrado. 00:09:24
Me lo lleva el otro miembro. 00:09:29
He sacado factor común Y'. 00:09:31
Entonces, Y' que es igual a 14X menos 5Y al cuadrado partido 3Y al cuadrado más 10XY. 00:09:32
Dime, hija, ¿me he equivocado? 00:09:44
Esto es un 1, ¿eh? 00:09:46
Esto es multiplicar. 00:09:55
¿Lo veis, chavales? ¿Lo veis complicado esto? 00:10:03
Nothing. 00:10:06
Voy a hacer otro ejercicio, ¿vale? 00:10:07
Que quiero empezar también con ejercicios de continuidad y de debabilidad. 00:10:09
A ver si nos da tiempo. 00:10:13
¿Por ahí? 00:10:15
37. 00:10:16
¿Usted me decís, chavales? 00:10:19
1, ¿eh? 00:10:20
Sí, sí, sí. De esto quiero hacer 1 o 2 más. 00:10:22
Si digo para, ¿puedo pasar? 00:10:24
¿Todo el mundo? ¿Puedo pasar? 00:10:30
Venga. 00:10:34
Vamos a ir... 00:10:36
Bueno, aquí de todas formas, chavales, está todo... 00:10:38
Está hecho, ¿vale? 00:10:40
Entonces, vamos a hacer este... 00:10:42
Bueno, este ejercicio es triste. 00:10:45
Estos son los ejercicios de la página 72, 00:10:49
ejercicio 35 y, ¿vale? 00:10:52
Hay varios ahí. 00:10:55
venga, este de aquí 00:10:57
este es triste 00:11:02
el otro es más potente 00:11:03
este de aquí, igual 00:11:05
chavales, al final yo tengo aquí 00:11:08
y al cuadrado y 00:11:10
despejar la y es un poco tostón 00:11:12
pues nada, me piden y prima 00:11:14
¿qué es lo que hago? 00:11:16
pues derivo 00:11:19
¿vale? derivo implícitamente 00:11:19
derivamos 00:11:22
implícitamente 00:11:23
respecto a x 00:11:29
¿vale? 00:11:31
Sí, siempre respecto a x, ¿vale? 00:11:32
Sería un detalle, ¿vale? 00:11:39
Entonces, la derivada de x cuadrado. 00:11:41
2x. 00:11:45
Muy bien. 00:11:46
La derivada de y al cuadrado. 00:11:47
2y por y prima. 00:11:52
¿Vale? 00:11:55
Sí, sí. 00:11:56
Está escribiendo, pero está con retardo como yo. 00:11:57
De 4x. 00:12:00
Vale. 00:12:06
Y de 6, sí. 00:12:07
Menos 6 por i prima. 00:12:11
¿Vale? 00:12:13
¿Lo veis esto complicado? 00:12:15
Vale. 00:12:17
Y de menos 9, ¿me la mueve? 00:12:17
Rápido. 00:12:20
¿Vale? 00:12:22
Entonces, chavales, fijaros que yo tanto aquí como aquí tengo i prima. 00:12:22
Pues nada, saco factor común i prima, que es 2i menos 6, ¿verdad? 00:12:26
Y lo otro lo paso al otro miembro, con lo cual es 4 menos 2X. 00:12:30
Pues entonces Y' que es 4 menos 2X partido 2Y menos 6. 00:12:35
Easy, easy, easy, ¿no? 00:12:47
Oh, yeah. 00:12:51
Sí, muy bien, estupendo. 00:12:54
Es 2 menos X partido Y menos 3. 00:12:56
Very good, very good. 00:13:01
You are a great person. 00:13:03
oye como lo veis vamos a hacer otro más 00:13:05
buenísimo recuadro rufo bonito puedo pasar a bachales 00:13:20
oye vamos a ver cómo canta manuel 00:13:28
aquí tenéis todos los ejercicios hechos vale vamos a este que me pone 00:13:39
vale chavales 00:13:47
¿sabemos despejar la i de aquí? 00:13:53
of course 00:13:57
you can 00:13:57
say to me how do you do 00:13:58
no no 00:14:02
bueno 00:14:04
entonces derivamos 00:14:04
implícitamente 00:14:07
implícitamente 00:14:10
respecto 00:14:11
de x 00:14:14
¿qué te pasa Vito? 00:14:15
O tienes una cita, estás ahí nervioso. 00:14:18
La derivada de coseno de x más y, chavales, ¿cuál es la derivada de coseno de x más y? 00:14:23
Menos seno de x más y. 00:14:30
Y ahora, ¿cuál es la derivada de x más y? 00:14:34
Uno más y prima. 00:14:36
¿Lo veis? 00:14:40
¿Sí o no? 00:14:41
Y ahora, ¿cuál es la derivada del seno de x menos y? 00:14:42
coseno de x menos y 00:14:46
por 1 menos y' 00:14:49
muy bien, igual a 0 00:14:53
¿vale chavales? 00:14:55
entonces, ¿esto qué es? 00:14:57
voy a distribuir el seno 00:15:00
wow 00:15:05
muy bien 00:15:06
menos y' por el seno de x más y 00:15:08
y voy a distribuir el coseno 00:15:11
saco factor común y' ¿vale? 00:15:13
A ver si me lo llevo al otro lado. 00:15:41
Esto es un más. 00:15:43
¿De dónde y prima es? 00:15:55
Más o menos. 00:16:26
¿Lo sabría ya, sé ustedes? 00:16:36
No es muy complicado, ¿no? 00:16:39
La cero tiene sueño. 00:16:40
No, pero no era feliz en este momento. 00:16:42
¿Lo veis complicado esto, chavales? 00:16:45
Lo único que tenemos que tener en cuenta es que la y, ¿vale? 00:16:48
Se deriva como una función que depende de x, ¿vale? 00:16:51
Entonces, en vez de poner f de x, lo único que ponemos es la y. 00:16:55
Martín, ¿sí? 00:17:01
Sí. 00:17:03
Ah, pensaba que estabas haciendo de cabeza un cálculo a llevar. 00:17:03
¿Y qué? ¿Te putea? 00:17:08
No. 00:17:11
Ah, ¿lo has visto bien? 00:17:11
Sí, sí, lo he visto bien. 00:17:13
Va. 00:17:13
Entonces, pasaría un menos 0 como más 0. 00:17:15
Lo que he hecho es, este y este lo he pasado al segundo miembro. 00:17:19
Entonces, están en positivo. 00:17:24
y entonces me queda el coseno de este 00:17:25
menos el seno de este en el primer miembro 00:17:27
le doy la vuelta 00:17:30
y me queda esto 00:17:31
¿vale? 00:17:33
¿y qué más? 00:17:38
¿qué más? 00:17:39
que estos ejemplos 00:17:41
son, vamos a hacer 00:17:43
si queréis 00:17:46
este, pero es que tampoco 00:17:47
que tampoco hay más 00:17:50
dime hija 00:17:52
es que depende como te pidas 00:17:56
la derivada, si tienes estas cosas de aquí, no te queda 00:17:59
más remedio que hacerlo implícito. Es cuando no puedes 00:18:01
sustituir la... 00:18:03
¿Cómo? 00:18:09
Lo que nos puedes pedir luego es 00:18:16
eso sí es importante, ¿eh? 00:18:19
Cuando hacemos la... 00:18:21
Fijaros aquí, que muchas 00:18:23
veces nos van a pedir, ayame 00:18:25
f' de 3. 00:18:27
¿Vale? Entonces, si 00:18:29
yo estoy en 00:18:31
este tipo de funciones no me pueden pedir 00:18:33
f' de 3. Me tienen 00:18:36
que decir el valor de la x 00:18:38
y el valor de la y. Daros cuenta que esto 00:18:40
depende de x y de y. Esto depende 00:18:42
de x y de y. ¿Vale? Entonces me 00:18:44
tiene que dar los dos valores. 00:18:46
¿De acuerdo? Si no, mala queña. 00:18:48
¿Vale? 00:18:51
Venga, hacemos este, que yo creo 00:18:52
que es fácil también, ¿no? 00:18:54
Aquí salió la y. 00:19:03
¡Guau! 00:19:06
Espérate. No sé si es un 3 00:19:08
o un 5. Un 3. 00:19:09
Esto es un 3, ¿vale? 00:19:10
Entonces, la derivada de x al cubo, ¿cuánto es? 00:19:20
3x al cuadrado, ¿vale? 00:19:25
La derivada de 3y, ¿qué sería? 00:19:27
3y al cuadrado por y'. 00:19:32
¿Vale? 00:19:34
Venga, Diego, estamos contigo. 00:19:35
Y aquí, chavales, volvemos a ver xy. 00:19:37
¿Y eso qué es? 00:19:41
Es un producto de funciones. 00:19:42
¿Vale? 00:19:45
Entonces, ¿cuál es la derivada de x? 1 por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar, que es x, y ¿cuál es la derivada de y? Y'. ¿Vale, chavales? 00:19:46
Entonces que tengo 3x cuadrado más 3y cuadrado y' menos 2y menos 2x' y' que es igual a 3y al cuadrado más 2x y esto es igual a menos x cuadrado menos 2y. 00:20:00
¿Verdad? Entonces y' que es menos 3x cuadrado más 2y partido de 2x más 3y al cuadrado. 00:20:25
¿Me he equivocado? 00:20:36
Sí, se llama fuera de Madrid. 00:20:41
Easy, easy. 00:20:47
Oh, yeah. 00:20:58
Elena, ¿bien? 00:20:59
Paulillo, ¿estás bien? 00:21:01
estás aquí o estás en otro sitio 00:21:02
estás aquí 00:21:07
de cuerpo presente, de mente 00:21:09
ausente 00:21:11
venga, te queremos 00:21:14
¿puedo pasar? 00:21:17
¿sí? 00:21:22
venga 00:21:23
estos ejercicios son más potentes 00:21:24
¿vale? 00:21:27
son de continuidad y derivabilidad 00:21:29
¿vale? son de la página 272 00:21:31
¿vale? Capicúa, me gusta a mí eso 00:21:33
y entonces 00:21:35
son ejercicios bastante típicos 00:21:36
que lo que me dice es que compruebe 00:21:39
que la siguiente función es continua 00:21:40
y derivable. Y entonces 00:21:42
hallamos f' de 0, f' de 3 00:21:44
y f' de 1, ¿vale? 00:21:47
f de x, ¿qué ocurre? 00:21:49
Que me lo dan a trozos, 00:21:51
¿vale? Me lo dan a trozos. 00:21:53
Entonces, chavales, ¿qué ocurre 00:21:54
con esta función? 00:21:56
¿Esta función qué es? 00:21:58
Si me lo teis x menos 1. 00:22:04
polinómica, ¿vale? 00:22:06
Entonces es continua en todo su dominio, ¿vale? 00:22:09
Esta función de aquí la hemos hecha, ¿vale? 00:22:12
También esto de aquí, 3x menos 1, gráficamente, ¿qué es? 00:22:16
Una recta y x cuadrado más x, ¿qué es? 00:22:20
Una parábola de Cristo, ¿vale? 00:22:23
Entonces, ¿esto dónde vamos a mirar la continuidad, chavales? 00:22:25
En el 1, ¿vale? 00:22:32
¿Sí o no? 00:22:34
Entonces, f de x es continua en x igual a, ¿verdad? Sí, solo sí, el límite de f de x cuando x tiende a, era igual a qué? A fea, ¿vale? A f de a, ¿sí o no? 00:22:35
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? ¿Qué vamos a hallar? Pues el límite de f de x. Vamos a hallar el límite de f de x cuando x tiende a 1. 00:23:00
Como está definido a trozos, hacemos el límite de f de x, hacemos los límites laterales, ¿vale? 00:23:10
Por la izquierda, ¿qué cojo, chavales? ¿La de arriba o la de abajo? La de arriba. 00:23:17
Entonces, el límite de 3x menos 1 cuando x tiende a 1 por la izquierda. 00:23:25
¿Y cuánto da esto? 00:23:32
Cáceres y Badajoz. 00:23:38
Si de la 3, Huesca, Zaragoza y Teruel. 00:23:39
Muy bien. 00:23:43
Eso es importante. 00:23:47
Eso cae en el examen. 00:23:50
Y entonces, 1 a la derecha, cojo la de abajo. 00:23:52
¿Cuánto es 1 al cuadrado? 00:23:55
Más 1. 00:23:57
¿Son iguales? 00:23:59
Pues entonces existe el límite de f de x cuando x tiende a 1 y es igual a 2. 00:24:00
¿Lo veis, chavales? 00:24:09
¿Y ahora qué ocurre? Pues tengo que saber cuánto vale f de a. 00:24:11
¿Dónde sustituyo f de 1? ¿Arriba o abajo? 00:24:17
Abajo, ¿vale? Súper importante, abajo. 00:24:22
Entonces f de 1 es igual a 1 al cuadrado más 1 es igual a 2. 00:24:24
Por lo tanto, como el límite de f de x es igual a 2 cuando x tiende a 1 es igual que f de 1, entonces f de x es continua en x igual a 2. 00:24:33
f de x 00:24:53
es continua 00:24:55
en todo r 00:24:56
¿vale? aquí lo que deberíamos de decir 00:25:02
es 3x menos 1 00:25:05
continua 00:25:09
es continua 00:25:10
y x cuadrado más x 00:25:12
es continua 00:25:14
al ser 00:25:16
funciones 00:25:19
polinómicas ¿vale? 00:25:20
entonces chavales ¿qué ocurre? 00:25:28
que como son iguales 00:25:30
existe el límite 00:25:45
que se me ha olvidado ponerlo 00:25:46
lo dices tú, ¿no? 00:25:47
pero es que 00:25:49
como yo ya tengo el límite 00:25:50
la definición es esta 00:25:51
¿vale? 00:25:55
aquí lo que sí me va a dar falta 00:26:00
es que como el límite 00:26:01
por la izquierda y por la derecha 00:26:02
es igual, pues entonces existe el límite de f de x 00:26:03
que es igual a 2. 00:26:06
¿Vale? 00:26:08
Es continua. Entonces, chavales, 00:26:09
si es continua, ¿es derivable? 00:26:11
Sí, ¿verdad? 00:26:14
Si es continua, ¿es derivable? 00:26:16
¿Sí? 00:26:19
Dime, hija. 00:26:20
Eso sí. Es que fíjate lo que yo he preguntado. 00:26:25
He preguntado. 00:26:28
¿Al ser continua es derivable? Me habéis dicho 00:26:29
que sí, y eso es mentira. 00:26:31
¿Vale? Si es continua, puede que sea derivable o no. 00:26:33
Ahora, lo que sí podemos afirmar es que si no es continua, no es derivable. 00:26:39
Es que, fíjalo, dime. 00:26:44
Sí, sí, perdona. Gracias, Paula. 00:26:50
Nx igual a 1. Gracias, ya. 00:26:59
Entonces, chavales, ¿qué es lo que ocurre? 00:27:02
que si yo ya veo aquí 00:27:03
que no es continua, ¿voy a estudiar 00:27:06
la derivabilidad? 00:27:08
No. Pero si es 00:27:10
continua, la tengo que estudiar porque 00:27:12
puede que sí, puede que no. 00:27:14
Puede que sí. Puede que no. 00:27:16
¿Vale? ¿Circin? 00:27:18
Venga. 00:27:20
Y si una función se puede derivar, es continua, ¿no? 00:27:21
Sí. Si es derivable, 00:27:24
es continua. Pero si es 00:27:26
continua, ¿puede que sea derivable o no? 00:27:28
Si te dicen que es derivable, entonces es continua. 00:27:30
más que nada por la definición 00:27:32
acordar la definición de derivada 00:27:34
que era el límite de f de x 00:27:36
más h menos f de x partido de h 00:27:38
tiene que ser continua 00:27:40
si no, no es viable 00:27:42
entonces chavales, ¿qué vamos a hacer? 00:27:43
vamos a hallar ahora 00:27:50
la función derivada 00:27:51
¿vale? entonces 00:27:56
teniendo de aquí f' de x 00:27:57
esto a nivel de ustedes 00:28:00
se puede hacer sin problema 00:28:02
¿vale? si alguien estudia matemática 00:28:04
o estudia 00:28:06
estadística 00:28:07
ya en ingeniería y demás 00:28:10
va a haber que hacer otros pasitos. 00:28:11
Pero a nivel de ustedes, esto de aquí 00:28:13
es lícito. ¿Vale? Es decir, 00:28:15
yo derivo cada uno de los 00:28:18
trozos. ¿Vale? ¿Cuál es la derivada 00:28:20
de 3x menos 1? 00:28:22
3. ¿Vale? 00:28:24
3 si x 00:28:26
es menor que 1. ¿Y cuál es la 00:28:27
derivada de x cuadrado más x? 00:28:29
2x más 1 00:28:32
si x es 00:28:34
mayor o igual que 1. Entonces, ¿es derivable en toda su función? Pues esto es derivable, ¿verdad? 00:28:36
Esto también es derivable, son funciones polinómicas. Pero ¿dónde tenemos que ver la derivabilidad? 00:28:46
Pues en x igual a 1, ¿vale? Entonces igual hacemos los límites laterales, chavales, de las derivadas. 00:28:54
Es decir, el límite de f' de x cuando x tiende a 1, ¿vale? Pues hacemos también los límites laterales de la derivada. 00:29:02
1 por la izquierda. ¿Cuál cojo, chavales? 1 por la izquierda. 00:29:16
Límite de 3 cuando x tiende a 1 por la izquierda y esto es 3. 00:29:23
Y aquí, chavales, límite de f' de x cuando x tiende a 1 por la derecha, ¿qué cojo? La de abajo, ¿verdad? Cuando x tiende a 1 por la derecha. ¿Y cuánto da, chavales? 3, ¿vale? Pues entonces existe el límite, Jesús, cuando x tiende a 1, ¿vale? 00:29:27
Entonces, una condición de continuidad, como es continua, yo aquí puedo poner que esto es igual a f' de 1, ¿vale? Esto de aquí, que no os quiero entrar mucho, ¿vale? Esto de aquí es porque es continua, ¿vale? Y a nivel de segundo de bachillerato se asienta que siempre f' de 1 es igual al límite de la derivada cuando x tiende a 1, ¿vale? 00:29:55
Pero esto solamente ocurre porque sé que es continua en f de 1. 00:30:23
Si no, no lo podría decir. 00:30:30
Entonces, a nivel de ustedes, es así, es correcto. 00:30:33
Entonces, esta función es derivable. 00:30:37
Es derivable en todo su dominio. 00:30:40
Y aquí dice, porque esto sí que me interesa mucho para ejercicios que luego quiero hacer de la recta tangente y de rectas paralelas y demás. 00:30:45
Dice, ¿en qué punto se cumple que f' de x es igual a 5? 00:30:53
El c. 00:30:57
¿En qué punto? 00:30:58
¿En qué x o x? 00:30:59
¿Vale? 00:31:01
¿En qué punto o puntos? 00:31:01
Que puede ser varios. 00:31:03
Se cumple que f' de x es igual a 5. 00:31:05
Entonces, aquí ocurre que yo tengo la derivada, la tengo definida a trozos. 00:31:11
En el primer trozo vale 3, ¿verdad? 00:31:17
¿Va a poder ser para algún valor de x menor que 1 igual a 5? 00:31:20
Me ha pillado. 00:31:25
Entonces, lo único es f' de x que es igual a 2x más 1. 00:31:26
Yo lo igualo a qué? 00:31:34
A 5. 00:31:35
¿Lo veis? 00:31:37
¿Sí o no? 00:31:37
Lo igualo. 00:31:39
Y aquí esto es una ecuación donde 2x es igual a 4. 00:31:41
x es igual a 2. 00:31:45
¿Lo veis? 00:31:46
Entonces, en x igual a 2, f' de 2 es igual a 5. 00:31:47
¿Qué hubiese ocurrido, chavales, si esto me hubiese dado, en vez de un 2, 00:31:56
me hubiese dado, yo que sé, un 0, o un menos 1, o un menos 2? 00:32:00
¿Qué me hubiese ocurrido? 00:32:05
¿Eh? 00:32:08
La función derivable sí existe, pero no hay ningún x, 00:32:11
no hay ningún x donde 00:32:16
f' de x sea igual a 5 00:32:19
¿por qué? porque esto está definido para valores 00:32:21
mayores o iguales que 1 00:32:23
¿vale? como x es igual a 2 00:32:24
sí que pertenece a su trozo, digamos 00:32:27
de intervalo, por lo tanto 00:32:29
en x igual a 2, f' 00:32:31
de 2 es 5 00:32:33
¿vale? pero si esto me hubiese salido, por ejemplo 00:32:35
imaginaros chavales, un momentillo, claro 00:32:37
si esto hubiese sido un 3, por ejemplo 00:32:39
me lo estoy inventando, si en vez de ser un 1 00:32:41
esto hubiese sido un 3 00:32:43
yo aquí como me da 2 00:32:44
y no pertenece a su intervalo, digo 00:32:46
pues no existe ningún x 00:32:48
que haga que 00:32:50
f' de x sea 5 00:32:52
dime Karol 00:32:54
¿vale? 00:32:55
más o menos chavales 00:32:58
¿lo veis fácil? 00:32:59
venga 00:33:03
aquí sí, aquí sí 00:33:03
si no, pues no existe ningún x cuya 00:33:07
primera derivada sea 5 00:33:10
la de arriba 00:33:11
¿cómo dices? 00:33:20
bueno, la de arriba 00:33:22
porque pones 00:33:22
existe el límite de la derivada 00:33:24
igual a 1 00:33:26
existe el límite 00:33:29
de f' de x cuando x tiende a 1 00:33:32
y es igual a f' de 1 00:33:34
a ver 00:33:36
yo tengo aquí esta función, primero estudiar la continuidad 00:33:46
¿por qué? porque si yo estudio la continuidad 00:33:49
no me da continua, ¿para qué voy a estudiar la derivabilidad? 00:33:51
no puede ser derivable si no es 00:33:53
continua, estudiar la continuidad 00:33:55
me dicen que es todo 00:33:57
por cierto, esto he pasado de ello 00:33:58
no tenemos que callar, se me ha olvidado 00:34:01
entonces 00:34:02
yo ahora lo que me dice es que 00:34:04
calcule la función derivada 00:34:08
¿vale? bueno además me dice 00:34:10
que también estudie la derivabilidad 00:34:13
entonces ¿qué ocurre? 00:34:14
yo hago las derivadas por trozo 00:34:16
y ahora para que sea derivable 00:34:18
una función 00:34:21
tiene que ser 00:34:22
la derivada por la izquierda tiene que ser igual que la derivada 00:34:23
por la derecha ¿vale? 00:34:27
entonces yo hago los límites laterales 00:34:28
por la izquierda y por la derecha 00:34:31
y como me sale lo mismo, ¿vale? 00:34:33
Pues entonces existe el límite 00:34:35
de f' de x cuando x tiende a 1 00:34:37
y además coincide por ser 00:34:39
continua igual a f' de 1. 00:34:41
¿De acuerdo? ¿Vale? 00:34:44
Chavales, esto se me ha olvidado. 00:34:46
Lo voy a poner aquí en azul. 00:34:48
f' de 0. ¿Cuánto vale 00:34:49
f' de 0? 00:34:51
3. ¿Vale? ¿Lo veis todos? 00:34:53
¿Y cuánto vale f' de 3? 00:34:56
7, ¿verdad? 00:35:01
2 por 3 más 1 00:35:02
igual a 7. ¿Y f' de 1? 00:35:03
¿Se lo hemos puesto ya? 00:35:06
¿Cuánto vale? 3. 00:35:08
¿Vale, chavales? 00:35:11
¿Sí? ¿Continuamos? 00:35:12
¿Sí? ¿Continuamos? 00:35:21
¡Olé! 00:35:25
Esto de aquí. Comprueba que la función 00:35:26
f de x es continua, pero no es derivable 00:35:27
en x igual a 2. Ya nos dicen 00:35:29
únicamente en x igual a 2, ¿no? Entonces 00:35:31
f de x es continua 00:35:33
en x 00:35:36
Es igual a 2 si y solo si el límite de f de x cuando x tiende a 2 es igual que f de 2, ¿vale? 00:35:39
Entonces, límite de f de x cuando x tiende a 2. 00:35:49
Como es a trozos, hacemos los laterales. 00:35:54
El límite de f de x cuando x tiende a 2 por la izquierda es igual al límite, sustituyo arriba, ¿verdad? 00:35:57
de logaritmo neperiano 00:36:05
de x menos 1 00:36:07
cuando x tiende a 2 por la izquierda 00:36:09
2 menos 1 00:36:11
logaritmo de 1 00:36:13
terapia 00:36:15
¿vale? 00:36:16
y límite de f de x 00:36:18
cuando x tiende a 2 por la derecha 00:36:20
lo sustituyo en la derecha 00:36:23
y es 3x menos 6 00:36:25
¿vale? cuando x tiende a 2 por la derecha 00:36:27
¿cuánto da esto? 00:36:30
terapia también ¿verdad? 00:36:31
Por lo tanto, existe el límite de f de x cuando x tiende a 2 y es igual a 0. 00:36:32
Y ahora, chavales, f de 0. 00:36:42
f de 0, ¿dónde lo sustituyo? 00:36:45
¿Arriba o abajo? 00:36:47
¿Arriba o abajo? 00:36:50
¿Abajo lo veis? 00:36:52
Y entonces esto es down. 00:36:54
Down, down, down, down, down, down, down, down. 00:36:56
Oh, yeah. 00:36:59
Y entonces, ¿a qué es f de 2? No sé por qué me he ido yo al 0, perdonad, se me ha ido la olla. 00:37:00
f de 2, que es igual a 3 por 2 menos 6, que es igual a 0. 00:37:08
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? 00:37:14
Como límite de f de x cuando x tiende a 2 es igual a 0, que es igual a f de 2, 00:37:17
Pues f de x es continua en x igual a 2. 00:37:26
¿Hasta ahí bien? 00:37:35
Vamos a hallar la derivabilidad. 00:37:46
Es decir, si aquí ya me hubiese salido no continua, 00:37:49
¿ha estudiado la derivabilidad? 00:37:58
No, tengo la potencia de decir, 00:38:00
al no ser continua en x igual a 2, 00:38:02
no es derivable tampoco en x igual a 2. 00:38:04
Pero como es continua, puede que sí, puede que no. 00:38:06
¿Puedo pasar a la siguiente hoja? 00:38:08
¿Hay alguien que no? 00:38:15
¿Paula y el marcha? 00:38:16
Paula Dí y Paula el marcha 00:38:18
Entonces chavales 00:38:19
F' de X 00:38:23
Esto aquí es igual 00:38:25
¿Cuál es la derivada del logaritmo 00:38:27
De X menos 1? 00:38:30
1 partido 00:38:32
X menos 1 por 1 00:38:33
Lo dejo igual 00:38:35
Si X es menor que 2 00:38:36
¿Y cuál es la derivada de 3x menos 6? 3. Si x es mayor que 2. Igual. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:38:39
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Que cuánto vale el límite de f' de x cuando x tiende a 2 por la izquierda? 00:38:51
Pues lo sustituyo arriba, ¿verdad? 1 partido de x menos 1 cuando x tiende a 2 por la izquierda. 00:39:01
Y esto que me sale, 1 partido 2 menos 1, que es igual a 1 partido de 1, que es un 1. 00:39:07
¿Y qué ocurre con el límite de f' de x cuando x tiende a 2 a la derecha? 00:39:14
Que es el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de 3, que esto es igual a 3. 00:39:20
Dime, hijo. 00:39:27
¿Qué falta hacer el límite? 00:39:28
Del bien y del mal, ¿no? 00:39:29
Directamente hace f' de... 00:39:33
Realmente lo suyo hace es el límite 00:39:35
Es el límite 00:39:41
Como el límite de f' de x cuando x tiende a la izquierda 00:39:44
Es distinto que el límite de f' de x cuando x tiende a 2 por la derecha 00:39:52
Eso implica que no existe el límite de f' de x cuando x tiende a 2 00:39:59
vale, entonces 00:40:06
f de x 00:40:09
no es derivable 00:40:10
en x igual a 2 00:40:13
¿lo veis? 00:40:18
¿sí? 00:40:21
¡sí! 00:40:23
estás acojonado 00:40:25
venga, ánimo, estamos contigo 00:40:26
Es continuar. Aquí era continuar. 00:40:42
Ah, para que sea... 00:41:08
Dices tú esto de aquí, ¿no? 00:41:10
Ya. Sería bueno. 00:41:13
¿Te lo confirmo? 00:41:19
Sería bueno, ¿vale? 00:41:21
Venga, vamos a hacer este de aquí 00:41:23
Esto es la continuidad de la derivabilidad de las siguientes funciones 00:41:25
Esta de aquí ya 00:41:28
Mola más, ¿eh? 00:41:29
¿Dónde estudiaría? 00:41:32
¿Dónde estudiaríamos la continuidad, chavales? 00:41:33
En el 0 00:41:37
Y en el 3, ¿no? 00:41:38
En el A 00:41:40
Entonces 00:41:41
F de X 00:41:43
Es continua 00:41:45
en X igual a A, y esto ya me vale para los dos, sí, solo sí, límite de f de X cuando X tiende a A es igual a f de A. 00:41:47
Entonces, X igual a cero. 00:42:01
Entonces, límite de f de X cuando X tiende a cero es a trozo, 00:42:05
Entonces, el límite de f de x cuando x tiende a 0 por la izquierda es igual al límite de e elevado a x cuando x tiende a 0 por la izquierda. 00:42:12
¿Cuánto es e elevado a 0, chavales? 00:42:23
El límite de f de x cuando x tiende a 0 por la derecha es igual al límite... 00:42:28
¿Cuál tengo que coger? ¿Arriba, medio o abajo? 00:42:35
¿Eh? 00:42:38
Este de aquí, ¿no? 00:42:42
¿Sí? 00:42:46
Pues ahora tengo que coger el de en medio de los 6. 00:42:47
Es 1. 00:42:52
Entonces, ¿qué ocurre con esto, chavales? 00:42:54
Que existe el límite de f de x cuando x tiende a 0 y vale 1. 00:42:56
¿Cuánto vale f de 0? 00:43:03
¿Dónde sustituyo? 00:43:05
¿Arriba, abajo, en medio? 00:43:06
arriba es e elevado a 0 que es 1 00:43:08
que es igual que f de 0 00:43:12
por lo tanto f de x es continua 00:43:15
en x igual a 0 00:43:20
¿lo veis? lo estudiamos en el 2 00:43:24
¿eh? 00:43:42
¿puedo pasar? 00:43:48
¿Quién me dijo? 00:43:52
Sí. 00:44:03
Lo que pasa es que primero voy a estudiar la continuidad, 00:44:04
porque si imagínate que en el alguno no sale, ¿vale? 00:44:07
O bueno, si quiere aquí la derivabilidad, luego lo hacemos. 00:44:13
Venga. 00:44:20
En x igual a 3, ¿verdad? 00:44:22
Entonces, límite de f de x cuando x tiende a 3. 00:44:24
Como está por parte, es el límite de f de x cuando x tiende a 3 por la izquierda. 00:44:29
¿Y qué función cogemos? 00:44:35
La de en medio, ¿verdad? 00:44:38
1, que es 1. 00:44:40
Y el límite de f de x cuando x tiende a 3 por la derecha, ¿qué cojo? 00:44:42
La de abajo, ¿verdad? 00:44:50
Que es menos x cuadrado. 00:44:53
Y aquí tened cuidado, ¿eh, chavales? 00:44:54
Porque aquí hay gente que mete la pata. 00:44:56
Este cuadrado solo afecta a la x, ¿vale? 00:44:58
Este cuadrado solo afecta a la x. 00:45:03
Por lo tanto, esto que es menos 3 al cuadrado más 3 por 3, 00:45:04
me lo pongo entre paréntesis lo que sustituyo, más 2. 00:45:12
¿Y esto cuánto da? 2. 00:45:15
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? 00:45:18
Que no existe el límite de f de x cuando x tiende a 3. 00:45:19
¿Lo veis? 00:45:27
¿Cuánto vale el sarto? 00:45:27
¿Cuánto vale el sarto? 00:45:30
El sarto que era, chavales, era el valor absoluto del límite de f de x cuando x tiende a 3 por la derecha, por ejemplo, 00:45:31
menos el límite de f de x cuando x tiende a 3 por la izquierda. 00:45:41
Es decir, yo tengo aquí un 2 menos 1 en valor absoluto es 1. 00:45:46
¿Este sarto cómo es? Finito de Córdoba. 00:45:51
Por lo tanto, ¿qué ocurre? 00:45:54
F de x presenta una discontinuidad de salto finito en x igual a 3. 00:45:56
Por lo tanto, aquí ya lo puedo decir, por lo tanto, F de x no es derivable en x igual a 3. 00:46:18
Vale, quizás así es mejor hacerlo, porque ahora tenemos que estudiar la derivabilidad, ¿vale? 00:46:34
Entonces, ¿más o menos bien, chavales? 00:46:44
¿Sí? ¿Puedo pasar? 00:46:50
Entonces, vamos a hacer la derivada. 00:46:57
f' de x. 00:47:02
¿Cuál es la derivada de elevado a x, chavales? 00:47:04
Elevado a x si x es menor o igual que 0. 00:47:08
¿La derivada de 1? 00:47:11
0 si x está entre 0 y 3, ¿verdad? 00:47:14
Y la otra, menos 2x más 3 si x es mayor o igual que 3, ¿vale? 00:47:17
Entonces, en el t ya no hace falta mirarla, entonces en el x igual a 0, ¿qué ocurre? 00:47:27
Que el límite de f' de x cuando x tiende a 3 por la izquierda, a 0 por la izquierda, perdona, 00:47:34
es el límite de elevado a x cuando x tiende a 0 por la izquierda, que es 1, ¿verdad? 00:47:42
y el límite de f' de x cuando x tiende a 0 por la derecha es el límite de 0, que es 0, ¿verdad? 00:47:47
Entonces, ¿qué ocurre? Que no existe el límite de f' de x cuando x tiende a 0. 00:47:58
f de x no es derivable en x igual a 0. ¿Vale, chavales? 00:48:07
En la página hay varios ejercicios 00:48:17
¿Vale? 00:48:20
31, 32 00:48:21
Hacedlo ustedes 00:48:22
El 30, 31, 32 00:48:23
Y 33 00:48:26
¿Vale? 00:48:28
De la página 00:48:29
De la 27 00:48:29
272 00:48:33
¿Vale? 00:48:36
Venga 00:48:37
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
3 de febrero de 2026 - 11:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
48′ 40″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
102.66 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid