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Teorema fundamental del cálculo integral. - Contenido educativo

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Subido el 12 de diciembre de 2021 por Víctor V.

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El teorema fundamental del cálculo dice que si yo defino la función f de x como la integral entre 0 y x de f de t diferencial de t, 00:00:00
es decir, yo defino esta función como el área que hay entre 0 y x de esta otra función. 00:00:12
Bueno, pues resulta que si f es continuo en la intervala b, la derivada de esta función, la derivada de f' es, 00:00:17
la derivada de f, bueno, la derivada de f mayúscula es f minúscula, ¿vale? 00:00:26
Entonces aquí tiene que quedar claro que yo defino esta función de esta manera, esto es el área entre 0 y x. 00:00:31
Pues esta función es una primitiva de f de x. 00:00:37
La forma de demostrarlo, bueno, pues yo sé que la derivada de x es el límite cuando h tiende a 0 de f de x más h menos f de x partido por h, ¿no? 00:00:43
f de x más h es, bueno, antes de eso, el 1 partido por h lo saco aquí, factor común, y ahora f de x más h es la integral entre 0 y x más h, 00:00:53
porque f de x más h sería poner aquí más h 00:01:04
es la integral entre 0 y x más h de f de t diferencial de t 00:01:07
¿cuánto es f de x? 00:01:12
la integral entre 0 y x de f de t diferencial de t 00:01:15
¿vale? 00:01:18
y ahora fíjense que esto 00:01:19
esto es el área entre 0 y x más h 00:01:20
o sea, si esta es la función 00:01:25
es el área entre 0 y x más h 00:01:27
o sea, todo esto 00:01:30
Y esto otro es el área entre 0 y x. 00:01:33
Si a todo esto, que es el área entre 0 y x más h, le quito el área entre 0 y x, ¿qué me queda? 00:01:38
Me queda esto de aquí. 00:01:44
¿Y eso qué es? 00:01:46
Eso es el área entre x y x más h de f de t diferencial de t. 00:01:48
Este trozo es la integral entre x y x más h de f de t diferencial de t. 00:01:53
Bien, ahora, por el teorema del valor medio del cálculo integral, yo sé que esto es igual a f de un punto, f de un punto, no es f' es f, por x más h menos x, x más h menos x. 00:02:00
¿Vale? Esto es este teorema de aquí 00:02:20
¿De acuerdo? 00:02:26
Entre a y b, como ahí era entre x y x más h 00:02:29
Pues aquí me quedaría x más h menos x 00:02:31
Y aquí me queda f de c 00:02:33
Entonces tendríamos que 00:02:35
En vez de poner todo esto de aquí 00:02:41
Yo puedo poner x más h menos x por f de c 00:02:44
x más h menos x es h 00:02:47
con esta h fuera 00:02:51
y me queda el límite cuando tiende a 0 de f de c 00:02:53
pero vamos a ver que pasa con esta c 00:02:55
esta c 00:02:57
es un punto que está entre 00:02:58
x y x más h 00:03:01
cuando la h tiende a 0 00:03:03
este intervalo se hace 00:03:06
tan pequeño tan pequeño que ese c 00:03:07
tiende a x 00:03:09
con lo cual puedo poner 00:03:12
f de x 00:03:14
y queda demostrado que la derivada de esa función 00:03:14
es f de x 00:03:17
Autor/es:
Víctor Valentín Bayón
Subido por:
Víctor V.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
73
Fecha:
12 de diciembre de 2021 - 0:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARGARITA SALAS
Duración:
03′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
63.95 MBytes

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