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funciones píldora 2 - Contenido educativo

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Subido el 9 de marzo de 2021 por Jose S.

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Bien, vamos a empezar este segundo vídeo trabajando el tema de funciones. 00:00:02
Retomamos la idea que habíamos trabajado en el vídeo anterior respecto de lo que era una función. 00:00:08
Recordemos que era una correspondencia entre dos conjuntos, un conjunto inicial y un conjunto final, 00:00:13
pero que verificaba cumplía un requisito importante y es que a un elemento del conjunto inicial 00:00:20
le hacemos corresponder un único elemento del conjunto final. 00:00:25
Esta cuestión era importante, ¿de acuerdo? 00:00:29
Pero bueno, me remonto al vídeo anterior para que lo repaséis. 00:00:32
Veamos mediante algún ejemplo, vamos a ver mediante un ejemplo, por ejemplo, esta idea, ¿no? 00:00:40
Vamos a ver, supongamos que tenemos relacionando kilos de gramos de peras con el precio de las peras. 00:00:48
Tú vas a una tienda y quieres relacionar estos dos parámetros, o estas dos variables, A y B. 00:00:57
Entonces, supongamos que dos kilos de peras cuestan tres euros, pues teníamos esta tabla, ¿verdad? 00:01:06
Podríamos construir esta idea, ¿no? Es decir, a un elemento de un kilo le hacemos corresponder 1,5 euros. 00:01:11
porque claro, si 2 kilos cuestan 3 euros, pues 1 kilo costará la mitad que es 1,5 00:01:20
a 2 kilogramos de peras le hacemos corresponder 3 euros 00:01:28
y así sucesivamente construiríamos esta tabla, ¿de acuerdo? 00:01:33
Observamos, decía que, observamos que podemos organizar esta información 00:01:38
mediante un diagrama de conjuntos de esta manera 00:01:47
tal y como vimos en la anterior ocasión y en el anterior vídeo 00:01:52
y nos referimos a una función mediante esta notación o esta simbología 00:01:57
sería una función que va desde el conjunto inicial A al conjunto final B 00:02:05
Y de una manera genérica o general utilizaremos esta anotación para hacer referencia a una función. 00:02:13
Bien, podemos observar que esta situación de la vida cotidiana se puede expresar mediante este concepto de función. 00:02:24
Vamos a ver, una vez que ya hemos formalizado la idea de función, vamos a ver unas nociones básicas 00:02:35
Por ejemplo, que es una variable independiente, veremos 00:02:44
Veremos que es la variable dependiente, veremos que es la imagen de un valor de la variable 00:02:50
Y veremos que es la antiimagen, el dominio y el recorrido 00:02:58
que son nociones o conceptos fundamentales para el trabajo con funciones. 00:03:02
Veamos el concepto, veamos, la variable independiente son los diferentes valores que podemos encontrar en el conjunto inicial. 00:03:10
En este caso, pues la variable independiente sería estos elementos, el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 serían los elementos de la variable independiente. 00:03:21
Bien, y de esta manera podemos designar el conjunto de la variable independiente. 00:03:39
Es el conjunto de elementos del conjunto inicial. Son los elementos del conjunto inicial. 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 00:03:55
Fijaros que en nuestros ejemplos, por ejemplo en el anterior, podemos observar, vamos a ver en el ejemplo que tenemos de la relación entre el conjunto de kilogramos, 00:04:05
entre los kilogramos de peras y su precio podemos encontrar pues que la variable independiente sería 00:04:20
pues todos los elementos del conjunto inicial 1 2 3 4 5 y 6 en este caso pero que podrían ser 00:04:27
más que en realidad hacen referencia a los kilogramos de peras porque porque es el precio 00:04:35
el que depende de los kilogramos de peras y no los kilogramos de peras y veamos así pues el concepto de variable dependiente 00:04:43
que son los diferentes valores que pertenecen al conjunto final o sea en este caso todos estos elementos que son 00:04:54
Se pueden escribir de esta manera mediante el conjunto cuyos elementos son menos uno, cero, dos, tres, cuatro, siete y nueve. 00:05:01
Estos elementos dependen del conjunto, depende del conjunto inicial porque en este sentido los elementos de este conjunto dependen, son escogidos, digamos, dependiendo del elemento del conjunto inicial que esté asignado a él. 00:05:13
Veámoslo en este ejemplo que trabajábamos, en el que relacionábamos los kilos de peras con el precio. 00:05:43
Pues evidentemente el precio, el conjunto final, sus elementos serían, como hemos dicho, la variable dependiente, que es el precio. 00:05:52
¿Por qué? Porque en este caso el precio depende de los kilogramos de peras que hayamos comprado. Evidentemente, el precio será diferente dependiendo, y por eso es la variable dependiente, dependiendo del número de kilogramos que hayamos comprado. 00:06:06
Veamos ahora un concepto sumamente importante, muy importante, el concepto de imagen. 00:06:26
Esto es el concepto básico de una función. 00:06:33
La imagen de un valor concreto de la variable es el elemento del conjunto final con el que está relacionado. 00:06:37
Es fácil la idea, es decir, de hecho es fundamental. 00:06:51
Por ejemplo, en este caso, este elemento, el elemento menos 1 del conjunto final, es la imagen del elemento 2 del conjunto inicial, porque es desde donde hay que salir para llegar a él, simplemente. 00:06:54
Es decir, la imagen del 2 sería menos 1, porque es el elemento que hemos asociado al 2. 00:07:10
Por ejemplo, en este caso, la imagen del 6 sería el 0, del 5 el 4, etc. 00:07:18
Podemos observar en el gráfico, como decimos aquí, que la imagen del 2, 00:07:25
de este elemento del conjunto inicial 00:07:35
es el valor menos uno 00:07:38
de este elemento del conjunto final. 00:07:44
Se dice la imagen a través de la función, 00:07:48
por especificar un poco más. 00:07:51
Bien, pues esta idea, de manera simbólica, 00:07:53
la representamos de esta manera, 00:07:59
mediante esta notación matemática, 00:08:02
Que leemos del siguiente modo, la imagen del elemento que está aquí, el 2, por f es igual a menos 1. 00:08:03
También lo leemos como f de 2 es igual a menos 1. 00:08:15
Pero vamos, de la manera más precisa en matemáticas diríamos que la imagen del elemento 2 es el elemento menos 1. 00:08:26
Tenéis aquí otros ejemplos, por ejemplo, la imagen del elemento 3 es el elemento 7. 00:08:38
Este elemento 3 es este de aquí, el elemento del conjunto inicial, cuyo elemento del conjunto final asociado observamos que es 7 y se escribe, como digo, de esta manera. 00:08:46
Lo mismo pasa con estos dos ejemplos que os muestro. 00:08:59
Y en nuestro ejemplo, que es el de la realidad que estamos utilizando, 00:09:04
pues vemos que la imagen, por ejemplo, del elemento 2 sería 3. 00:09:10
Escribiríamos así. 00:09:18
f de 2 es igual a 3 o la imagen de 2 es 3. 00:09:20
¿Qué quiere decir? Pues que 2 kilos de peras cuestan 3 euros. 00:09:23
Por tanto, diríamos que en este caso la imagen es el precio de las peras, asociado a un número de kilogramos determinado. 00:09:28
Y un concepto no menos importante es el de antiimagen. 00:09:44
Bien, de manera intuitiva, tal y como indica su nombre, pues podríamos decir que es lo contrario a la imagen. 00:09:51
Pero en concreto, ¿qué quiere decir esto? Pues quiere decir que, fijándonos en elementos del conjunto final, por ejemplo, veamos el elemento menos 1 que tenemos aquí, pues el elemento 2 del conjunto inicial tiene por imagen menos 1. 00:09:59
Pues bien, la antiimagen del menos 1 diríamos que es el 2. 00:10:24
Leamos la definición. 00:10:32
La antiimagen de un valor del conjunto final, aquí quiero decir del conjunto final, 00:10:33
es, habría que poner aquí, el del final es el elemento del conjunto inicial con el que se corresponde. 00:10:42
Es una errata, pero lo leo. La antiimagen de un valor del conjunto final es el elemento del conjunto inicial con el que se corresponde. 00:11:07
Bueno, y aquí lo tenemos corregido. La antiimagen de un elemento del conjunto final es el elemento del conjunto inicial con el que se corresponde. 00:11:20
Veamos, por ejemplo, la antiimagen del número 7 sería el número 3, porque es el elemento del conjunto inicial que se corresponde con el 7. 00:11:45
Tal y como aquí indicamos, podemos observar que la antiimagen del número 4, que aquí lo tenemos, es el número 5 del conjunto inicial, que aquí lo tenemos. 00:11:59
En nuestro ejemplo de los peras y el precio de las peras, pues claro, la antiimagen sería de un elemento, por ejemplo en este caso el 3, sería el 2 y se leerá, se interpretará en la realidad como que la antiimagen del 3 es 2 porque con 3 euros puedo comprar 2 kilos de peras. 00:12:20
Por ejemplo, la antiimagen del 9 sería el 6 porque con 9 euros puedo comprar 6 kilos de peras. 00:12:45
Ahora bien, ¿cómo escribimos matemáticamente el concepto de antiimagen, esta idea? ¿Cómo la describimos? ¿Cuál es la anotación matemática para referirnos a la antiimagen? 00:12:54
Pues esta es la notación matemática. Si hubiéramos escrito así, f de 4 es igual a 5, querríamos decir que la imagen del 4 es 5, pero no es esto lo que hemos escrito, es f a la menos 1, con un menos 1 arriba. 00:13:07
Esto quiere decir que la antiimagen del elemento 4 del conjunto final es el elemento 5 del conjunto inicial. 00:13:28
F a la menos 1 de 4 es igual a 5, o lo que es lo mismo, la antiimagen del 4 es el 5, ¿de acuerdo? 00:13:46
Así pues podemos observar todos estos ejemplos, la antiimagen del menos 1 es el 2, fijaros que, decía, fijaros que, por ejemplo, el elemento menos 1 viene asociado con el elemento 2, el elemento 0 del conjunto final está asociado con el elemento 6 del conjunto inicial y así sucesivamente, ¿de acuerdo? 00:13:56
Y vamos ahora a otro concepto muy importante, el concepto del dominio de una función. 00:14:29
Dominio de una función. 00:14:35
Pues bien, el dominio de una función es el conjunto de valores del conjunto inicial que tienen imagen. 00:14:37
Es decir, todos aquellos elementos que tienen alguna correspondencia con el conjunto final. 00:14:47
Por ejemplo, en nuestro ejemplo, vemos que el elemento 4 del conjunto inicial no tiene imagen, no estaría en el dominio de la función, tampoco lo estaría el elemento 2, pero sí estaría en el dominio de la función, el elemento 2 del... 00:14:52
del conjunto inicial estaría en el dominio de la función, es decir, en definitiva, dominio de la función es todos los elementos del conjunto inicial a los que le hacemos corresponder algún elemento del conjunto final, o sea, que tienen imagen, tal y como hemos definido antes la imagen, ¿de acuerdo? 00:15:22
Aquí tenemos el conjunto de valores del dominio de f de la función 2, 3, 5 y 6. 00:15:46
Es fácil ver que son obviamente todos aquellos que tienen imagen asociada, tienen el elemento asociado del conjunto final. 00:15:57
Y nuevamente, de manera simbólica, matemáticamente lo escribimos de una manera simbólica, de esta manera, dominio de F es el conjunto 2, 3, 5 y 6. 00:16:07
En nuestro ejemplo, por ejemplo, el de las peras y el precio de las peras, pues claro, si yo pudiera comprar cualquier cantidad de peras, pues el dominio de F sería todos los números reales, ¿no? 00:16:22
cualquier valor numérico sería susceptible, cualquier valor numérico de ser comprado en kilogramos, ¿no? 00:16:41
O sea, 7 kilos, 4,8, 3, 3,001 kilogramos de peras. 00:16:50
Lo que pasa es que si suponemos que se venden solo en unidades de kilo, 00:16:57
pues diríamos que el dominio en este caso sería pues 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en el caso de que no se pudieran comprar más de 6 kilogramos. 00:17:04
Y vamos ahora al concepto de recorrido. Pues el recorrido es el conjunto de elementos del conjunto final que tienen antiimagen. 00:17:18
Por ejemplo, ¿el elemento 9 tiene antiimagen? Pues no, porque no hay ningún elemento del conjunto inicial que esté asociado a él, pero el elemento 7 sí tiene antiimagen, sería el 3, ¿no? Ya vimos que esto lo escribíamos así, f a la menos 1 de 7 es igual a 3. 00:17:29
Pues bien, el elemento 7, como tiene antiimagen, pues está en el recorrido de la función f. 00:17:51
Así pues, podemos observar fácilmente que el recorrido de la función serían el menos 1, el 0, el 4 y el 7. 00:17:59
Y aquí lo tenemos escrito de esta manera. 00:18:10
Pues bien, simbólicamente la anotación que utilizamos es esta. 00:18:12
Recorrido de la función f es el conjunto de elementos y los designamos, los escribimos dentro del conjunto. 00:18:17
¿De acuerdo? 00:18:26
Por último, aunque sea redundar, vamos a repasar el concepto de dominio de función dada su importancia. 00:18:28
Pues bien, pues el dominio decíamos es el conjunto de valores del conjunto inicial 00:18:34
Que tienen imagen simplemente 00:18:43
Y en este caso pues el dominio sería el 2, el 3, el 5 y el 6 00:18:47
Y no estarían en el dominio de definición de la función el 1 00:18:54
Porque no tiene imagen 00:19:01
Y tampoco el 5 00:19:02
Bueno, el 5 sí tiene imagen 00:19:07
Perdón, el 4, el 4 no tiene imagen 00:19:09
El 4 no tiene imagen, no estaría en el dominio 00:19:11
Pero sí estaría en el dominio de definición el 5 00:19:15
Es decir, pues esto es 00:19:17
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Jose S.
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Fecha:
9 de marzo de 2021 - 9:53
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
19′ 20″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
308.89 MBytes

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