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TEMA 5. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 1ª Sesión 20-01-2026 - Contenido educativo

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Subido el 23 de enero de 2026 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase del día 20 de enero 00:00:00
y lo que vamos a ver es el tema 5, la proporcionalidad. 00:00:03
En este tema lo que vamos a ver son lo que llamamos las reglas de 3 directas e inversas, 00:00:08
donde un caso particular de esas reglas de 3 directas son los porcentajes, el cálculo de porcentajes. 00:00:15
Veremos también otras proporciones que se llaman compuestas, 00:00:21
que me mezclan reglas de tres directas e inversas y que no están aquí en los apuntes 00:00:25
porque os haré un esquema aparte para que veáis que solo es colocar en orden los datos 00:00:30
para que las cuentas sean más sencillas. 00:00:38
Si no sigo ese orden, pues las cuentas que salen no responden a la realidad. 00:00:42
Bueno, pues antes de ver esas reglas de tres directas e inversas, 00:00:48
lo que vamos a ver es la relación que hay entre este tema y el tema de números racionales 00:00:52
y vamos a ver primero unas definiciones, vamos a hacer cuentas que ya hicimos allí 00:00:59
pero ahora aplicándolas a este apartado de la proporcionalidad 00:01:04
entonces lo primero que vamos a hacer es ver qué es esto de una razón 00:01:08
y simplemente se llama razón en matemáticas a la relación que hay entre dos números 00:01:13
Entonces, aquí, por ejemplo, decimos que la razón entre A y B sería el cociente entre A y B. 00:01:20
Nos estaría indicando que he seleccionado a partes de un total de B partes. 00:01:29
Por ejemplo, si yo digo que me estoy comiendo tres cuartos de pizza, que nosotros lo escribíamos como tres partido de cuatro cuando hablábamos de fracciones, 00:01:35
aquí en este tema lo que me está diciendo es que me estoy comiendo tres trocitos 00:01:45
de los cuatro que tenía en total la pisa. 00:01:51
O sea, me está dando una relación entre esos dos números del numerador y el denominador de la fracción. 00:01:55
Otro ejemplo, si un jugador de baloncesto lanza diez veces a canasta y encesta seis 00:02:01
Entonces, la razón que hay entre los aciertos y los intentos sería de 6 partido de 10, que aquí lo que quiere decir es de 6 aciertos de 10 intentos, ¿vale? O sea que el numerador me va a decir el número de veces que se cumple la condición que me pongan en el problema, el denominador, el número de veces que yo intento hacer eso o el número de posibilidades que tengo en total, ¿vale? 00:02:08
¿Vale? Bueno, visto esto de que es la razón entre dos números, vamos a ver cómo, cuándo consideramos que hay una proporción entre dos razones. 00:02:37
Entonces, vamos a llamar proporción a la igualdad entre dos razones. 00:02:48
Yo digo que la razón de A partido de B es igual a la de C partido de B, pues igual que cuando miramos si dos fracciones eran equivalentes. 00:02:54
viendo si el producto en cruz me da el mismo resultado 00:03:03
de aquí que a esa A y a esa D la llamásemos términos extremos 00:03:09
y a la B y a la C términos medios 00:03:15
porque yo empiezo a escribir en la A y termino en la D 00:03:18
por eso llamo extremos y los dos que se me quedan en medio son el B y el C 00:03:22
entonces diremos que hay una proporción entre estas dos razones 00:03:26
si esos productos cruzados, si ese producto en cruz, me da el mismo resultado. 00:03:31
Es lo mismo que hacíamos en fracciones para comprobar si dos fracciones eran equivalentes, 00:03:39
si dos fracciones tenían el mismo valor. 00:03:44
Aquí lo vamos a utilizar luego para hacer esa regla de tres directas. 00:03:47
Entonces, continuando un poco con los nombres de las cosas en este tema, 00:03:54
vamos a llamar cuarto proporcional 00:03:59
aquel número que me faltará en una proporción 00:04:02
que hace que estas dos razones realmente estén en proporción 00:04:08
entonces aquí me dice la definición 00:04:14
que si yo tengo la razón de x partido de b 00:04:17
y digo que quiero que sea proporcional 00:04:21
en este caso pensado como fracciones 00:04:24
quiero que sea igual a c partido de d, lo que estoy buscando es qué número x me hace falta aquí 00:04:28
para que al hacer ese producto en cruz que decíamos antes, de producto de extremos x por d, 00:04:35
me dé lo mismo que el producto de los medios que era b por c. 00:04:42
O sea que lo que vamos a hacer es resolver esta ecuación. 00:04:47
Este número d que está aquí multiplicando la x, le paso dividiendo y diré que esa x que me hace falta 00:04:51
es el resultado de dividir lo que me salga de multiplicar b por c 00:04:57
entre esa d que multiplicaba las 6. 00:05:03
Lo vemos con numeritos y ahora hacemos algún ejercicio. 00:05:07
Sandra, antes de seguir más adelante, para que te quede bien esto claro, 00:05:11
porque esta es la cuenta que vamos a hacer durante todo este tema. 00:05:15
Entonces me dice, tengo la proporción x contra 6 00:05:18
y la proporción 15 a 9. 00:05:24
perdón, la razón 15 a 9, ¿cuánto tiene que valer la X para que sea una proporción? 00:05:27
Pues lo que hago es ese producto en cruz. 00:05:35
X por 9 me tiene que dar lo mismo que 6 por 15. 00:05:36
Bueno, pues 6 por 15 es 90. 00:05:41
¿Qué número multiplicado por 9 me da 90? Pues 10. 00:05:45
Pues lo que estoy haciendo es eso, hacer primero la multiplicación de 6 por 15 00:05:49
y al resultado que me sale, dividirlo entre 9, que era el número que multiplicaba las X. 00:05:54
Luego, el número que yo quiero es el 10. 00:05:59
Entonces, la razón de 6 contra 10 es la misma que la de 15 contra 9. 00:06:01
Imagínate que estuviésemos con esas pizzas. 00:06:09
Digo, si me como 10 trocitos de pizzas que están divididas en 6 trozos, 00:06:12
o sea, me como 10 sextos, es lo mismo que comerme 15 novenos. 00:06:16
esta segunda pizza tiene trocitos más pequeños 00:06:21
porque la he hecho 9 porciones 00:06:25
pues me tengo que tomar más cantidad de porciones 00:06:27
para que el total de la pizza que me como sea la misma 00:06:31
¿vale? o sea que solo es 00:06:34
hacer el producto en cruz 00:06:36
me da igual donde esté colocada la X 00:06:38
yo lo que estoy haciendo todo el rato es la misma relación 00:06:41
producto de extremos, producto de medios 00:06:45
Producto de extremos, producto de medios 00:06:48
Producto de extremos, producto de medios 00:06:52
O sea, solo es buscar 00:06:54
Qué parejas son las que van juntas 00:06:57
Hacer la multiplicación y despejar la X 00:07:00
¿Vale, Sandra? Hola 00:07:03
¿No me escucha? Ahora sí, ¿no? 00:07:09
Ahora te escucho 00:07:12
Es que lo había quitado el audio 00:07:13
Ahora te escucho 00:07:17
Porque se escucha a veces bulla por aquí, o sea, ruido. 00:07:19
¿Has entendido esto más o menos? 00:07:23
Más o menos, profe, porque no he entendido muy bien. 00:07:26
Vamos a hacer un ejercicio que me vas a decir cuál es la cuenta y enseguida lo vamos a ver. 00:07:29
Pues este ejercicio 1 me dice que quiero calcular el cuarto proporcional de estos números que me dan. 00:07:33
Pues mismamente el ejercicio E. 00:07:43
¿Vale? ¿Qué cuenta tenemos que hacer para calcular esa X que nos falta ahí? 00:07:49
Hay que sacar el número equivalente a la X. 00:07:56
¿Y cómo lo sacamos? 00:08:01
Tenemos que multiplicar... 00:08:04
A ver... 00:08:09
Tenemos que multiplicar... 00:08:11
Acuérdate, por un lado, lo que llamábamos los extremos. 00:08:14
extremos y los extremos y luego por 11 sería uno no quiero que sea igual a no no multiplicando eso 00:08:17
quiero que me dé igual que el producto de medios que elegís por 33 acuérdate que hacemos siempre 00:08:28
el producto cruzado 11 por 11 quiero que me dé lo mismo que x por 33 pues entonces la x que estoy 00:08:34
buscando, que es lo que me salga 00:08:42
de multiplicar ese 11 por 11 00:08:44
que hemos dicho 00:08:46
y el resultado, dividirlo 00:08:47
entre 33 00:08:49
o sea que 00:08:51
el número que divide siempre es el que 00:08:52
acompaña a la X 00:08:56
los números que se multiplican son los que están 00:08:57
juntos al otro lado del igual 00:09:00
¿vale? 11 por 11 00:09:02
es 121 00:09:04
dividido entre 33 00:09:05
¿vale? 00:09:08
pues sería 00:09:09
lo que haríamos es como en las fracciones 00:09:12
si no veo la división 00:09:15
directamente y en este caso que no va a salir 00:09:16
exacta, lo que hago es simplificar 00:09:18
digo, ¿hay algún número que divida 00:09:21
al 121 y al 33 00:09:22
a la vez? Pues 00:09:24
sí, el 11 00:09:26
si divido tanto arriba como abajo 00:09:28
entre 11, me quedaría 00:09:30
arriba, 121 00:09:32
entre 11 me va a dar 11 y 00:09:35
33 entre 11 me da 3 00:09:36
Pues el número que yo buscaba es 11 centímetros 00:09:38
¿Vale? Nunca vamos a hacer la cuenta con decimales aquí de momento 00:09:42
En las proporciones 00:09:46
Cuando esté ya en reglas de 3 00:09:47
Directas o inversas 00:09:51
Que a lo mejor me hable de kilos de comida que voy a comprar 00:09:53
O me hable de dinero que me voy a gastar 00:09:57
Pues ya si guarda relación con poder números decimales 00:09:59
En la definición de la magnitud que estamos usando 00:10:03
Pues sí 00:10:06
Pero cuando estamos aquí directamente solo en el cuarto proporcional, nunca hacemos la división a no ser que sea exacta, ¿vale? Si no me sale exacta como pasa aquí, lo dejo en forma de fracción y ya está, ¿vale? ¿De acuerdo? 00:10:07
Vale, vale, vale. Bueno, pues a ver, otro para que me lo digas tú. El H mismo, ¿vale? El H, que es este de aquí. Me dice, X partido de 7, quiero que sea proporcional a 12 partido de 14. 00:10:21
A ver, igual. Este por este, este por este. Multiplico 7 por 12, ¿no? 00:10:44
7 por 12, pero ven, siempre pon primero los productos de los extremos, ¿vale? Que era donde empezabas a escribir y donde terminabas. O sea, que primero dirías X por 14. 00:10:58
X por 14, vale. 00:11:08
Da igual porque me saldrían, mientras haga la relación de números da lo mismo, pero porque te acostumbres a ir siempre en el mismo orden, no te líes, ¿vale? 00:11:09
Si desde el principio cogemos malas costumbres, pues luego me voy a liar en las cuentas y no va a ser porque haga mal las operaciones, sino porque estoy colocando mal los números, ¿vale? 00:11:18
Entonces, X por 14 me tiene que dar lo mismo que 7 por 2, que has dicho, ¿no? O me ibas a decir. 00:11:29
Sí. 00:11:35
Pues la X que queremos, entonces, saldría de dividir lo que salga de 7 por 12 entre ese 14, ¿no? 00:11:36
7 por 12. 00:11:47
7 por 12, ¿cuánto sería? 00:11:51
7 por 14, 28. 00:11:55
No, 98. 00:11:58
7 por 12 sería 7 por 2, 14, llevo una 7 por 2, 7 y una 8, 84. 00:12:00
Quiero dividir 84 entre 14. ¿Cuánto sería 84 entre 14? Pues fíjate que te tocaría hacer la división y me complicaría un poco la vida, ¿no? 00:12:07
Pues estoy haciendo la división ahora. 00:12:22
Mira, para que veas que podemos aprovechar lo que sabíamos del tema anterior de fracciones. Tenemos que aprovechar todas las cosas que ya sabemos de antes. 00:12:24
Si antes de hacer la división, perdón, la multiplicación de 7 por 12 y sacar ese 84, yo miro a ver si puedo simplificar algún término del numerador con alguno del denominador, pues lo mismo te habías dado cuenta de que el 12 y el 14, los dos se pueden dividir entre 2, ¿no? 00:12:34
Sí, la mitad sería 7. 00:12:57
Entonces, los dos lo ponemos en la mitad y me sería arriba 6 y abajo 7, ¿no? 00:12:59
¿Sí o no? 00:13:05
Sí. 00:13:07
Hago la mitad en los dos. 00:13:07
Entonces, arriba me queda un 6 y abajo me quedaría un 7, ¿sí? 00:13:10
Sí. 00:13:17
¿Ves lo que estoy escribiendo? 00:13:18
Sí. 00:13:20
Sí. 00:13:21
Entonces, he dividido al 12 entre 2 y me ha dado un 6. 00:13:22
y al 14 le he dividido entre 2 y me ha dado un 7 00:13:26
¿sí? 00:13:29
y ahora dices, ¿habría algún número otra vez que divida 00:13:32
a lo de arriba y a lo de abajo a la vez? pues fíjate 00:13:35
el 7, bueno, si divido entre 7 00:13:38
abajo ¿qué me va a quedar? 00:13:41
un 1 y arriba un 1 por 6 00:13:44
ay, es maíz, perdón 00:13:47
y arriba un 1 por 6 que va a ser 6 00:13:50
pues fíjate, si yo hago esa cuenta 00:13:55
me queda que el resultado es 6 00:13:58
entonces, la división 00:14:00
de ese 84 entre 12 00:14:02
que me estaba costando antes 00:14:04
un poquito, si lo hago 00:14:06
utilizando las simplificaciones 00:14:08
que aprendimos a hacer en el 00:14:11
tema anterior de fracciones 00:14:12
resulta que la cuenta se hace sola 00:14:14
que no me acuerdo de eso de las 00:14:16
simplificaciones, no me doy cuenta 00:14:18
pues no me quedaría más que hacer la cuenta 00:14:20
84, como tú 00:14:22
estabas haciendo, dividido entre 14 00:14:24
pues digo 8 entre 1 00:14:27
podría ser a 8, pero si multiplico 00:14:29
luego por lo cual tú me paso, pues irías bajando 00:14:31
hasta que llegas a 6 00:14:33
6 por 4, 24 00:14:34
me llevo 2, 6 por 1 es 6 00:14:36
y 2, 8, pues 0 00:14:39
pues ese es el 6 que tendría que haber salido 00:14:41
al hacer la división 00:14:43
si no lo veo por un lado, pues lo veo 00:14:44
por otro 00:14:47
¿te acuerdas de las simplificaciones que deberíamos 00:14:48
porque para eso vimos 00:14:51
el tema de números racionales, para poder hacer 00:14:53
estas cuentas más rápido 00:14:55
tengo que hacer las cuentas a mano vale pero la idea de lo que es ese cuarto proporcional ahora 00:14:56
ya te ha quedado más clara que sólo es hacer el producto en cruz y calcular qué valor tiene que 00:15:06
tener la equis para que se cumplan los dos productos son iguales es más o menos mejor que 00:15:12
antes? Mejor que antes. Bueno, como tenéis unos ejercicios para hacer ahí, pues los 00:15:20
intentas hacer para el próximo día y me cuentas si te han salido, ¿vale? Bueno, pues 00:15:26
seguiríamos un poquito para adelante. Ya hemos visto lo que es el cuarto proporcional 00:15:32
y nos hemos quedado un poco con la idea de que es lo mismo que hacíamos con las fracciones 00:15:36
equivalentes, el producto en club. Pues vamos a empezar a utilizarlo y vamos a utilizarlo 00:15:42
primero viendo qué son magnitudes directamente proporcionales. Estas las tenemos todos los 00:15:48
días en nuestra vida y las tenemos que calcular todos los días sin darnos cuenta. Es lo que 00:15:57
decimos muchas veces la cuenta de la vieja. Bueno, pues voy a decir que dos magnitudes 00:16:04
y llamo magnitud a cualquier cosa que se pueda medir numéricamente. Entonces, por ejemplo, 00:16:10
para que se nos vayan fijando ideas. 00:16:16
¿La estatura sería una magnitud, Sandra? 00:16:18
¿La estatura la puede medir con números? 00:16:22
Sí. 00:16:25
Sí. 00:16:26
¿El peso sería una magnitud? 00:16:27
¿Lo puedo medir con números? 00:16:29
Sí. 00:16:31
Sí. 00:16:32
¿La belleza sería una magnitud? 00:16:33
¿La belleza? 00:16:36
¿La puedo medir con números? 00:16:37
Puedes decir, este es feo clase 8. 00:16:39
¿No? 00:16:44
bueno, así a lo mejor 00:16:44
entonces 00:16:47
las dos primeras son magnitudes 00:16:47
la tercera no es magnitud porque es algo 00:16:50
subjetivo, depende de la persona 00:16:52
que esté mirando 00:16:55
a mí me parece bonito, a ti no te parece bonito 00:16:56
por ejemplo la bondad 00:16:59
tampoco sería una magnitud 00:17:01
porque tampoco a lo mejor una persona a ti te parece buena 00:17:02
y a mí me parece que es malísima 00:17:05
entonces nosotros vamos a tratar 00:17:06
siempre con cosas que podamos medir 00:17:09
numéricamente 00:17:11
Y eso es lo que llamamos magnitudes, ¿vale? Ahora digo que dos magnitudes van a ser directamente proporcionales cuando si una de ellas aumenta, obliga a que la otra también aumenta. Y si una disminuye, obliga a que la otra también disminuya. O sea, que las dos van a hacer lo mismo. Vamos a poner aquí, las dos se comportan igual, ¿vale? 00:17:12
Y ahora vamos a ver ejemplos. Se comportan igual. Por ejemplo, me dice aquí que si yo quiero relacionar la cantidad de naranjas que compras en la frutería con el dinero que te cuestan, pues claramente es una relación directa entre ellas. 00:17:42
Cuantas más naranjas compras, más euros te cobran por ellas, ¿no? 00:18:07
Sí. Ahora digo, quiero relacionar la velocidad que lleva un coche con la distancia que recorre. Pues también son directamente proporcionales. Cuanto más deprisa vayas, más metros vas recorriendo, ¿no? 00:18:13
Sí. 00:18:29
Sí. Ahora te digo, quiero relacionar el número de páginas que tiene un libro con lo que cuesta el libro. ¿Sería una relación directa? 00:18:29
No. 00:18:41
No, porque puede tener muchas páginas y ser una full el libro y entonces vale poco porque no le venden. Y tener cuatro páginas y resulta que es con calidad fotográfica, el libro es buenísimo, está firmado por no sé qué autor y vale un pastón, ¿no? 00:18:41
Entonces, no hay relación directa entre ellos. O, por ejemplo, la edad de una persona y lo que pesa. Pues tampoco hay relación directa. No por ser más mayor, peso más. A lo mejor al contrario. Voy comiendo menos porque se me caen los dientes y entonces adelgazo, ¿no? 00:18:57
Bueno, pues la idea es que digo que dos magnitudes son directamente proporcionales 00:19:16
Si se comportan igual, si cuando una aumenta, la otra también aumenta 00:19:23
Si una disminuye, la otra también disminuye 00:19:28
Y eso va a ser muy importante, porque eso es lo que me va a identificar las reglas de tres directas 00:19:31
Entonces, para ver si esto nos ha quedado claro 00:19:37
Vamos a hacer algún apartado del ejercicio que os he mandado que hagáis para casa 00:19:40
que es el ejercicio 2 00:19:45
donde me han dado entero 00:19:47
y te digo por ejemplo 00:19:48
el apartado D 00:19:51
me dice el número de gallinas 00:19:52
que voy a alimentar 00:19:54
y los días que les va a durar el pienso 00:19:58
que tengo 00:20:01
almacenado 00:20:01
para esa finalidad 00:20:04
yo tengo un saco de pienso 00:20:06
un saco de pienso 00:20:11
tienes más gallinas con ese mismo saco 00:20:15
de penso, ¿les durará más tiempo 00:20:17
o menos? 00:20:19
Imagínate que tienes tres 00:20:21
gallinas y les dura el saco 00:20:23
diez días. Si en vez de tres 00:20:24
gallinas tuvieses siete, ¿les durará 00:20:26
más de diez 00:20:29
días el saco o les va a durar menos? 00:20:31
Menos. 00:20:33
Entonces no hay relación directa, ¿no? 00:20:34
Resulta que cuando has aumentado 00:20:37
una de las magnitudes, que eran 00:20:39
las gallinas, la otra ha disminuido. 00:20:40
Ha ido al contrario. En vez de ir las dos 00:20:43
igual, ¿no? 00:20:45
Claro. 00:20:47
¿Vale? 00:20:48
Ya. 00:20:50
Por ejemplo. 00:20:51
Pero esa hay que responder así nomás. 00:20:52
Sí, aquí solo tenéis que decir si es directamente proporcional o no. 00:20:54
O sea, me dice, y mira cuáles son las siguientes magnitudes que son directamente proporcionales. 00:20:57
Pues tú me vas a decir, pues imagínatela, que la hemos dicho antes. 00:21:01
El número de kilómetros recorridos por un coche a una velocidad constante y la gasolina que gasta. 00:21:05
O sea, si recorro más kilómetros, gasto más gasolina. 00:21:11
Claro. 00:21:14
Sí, pues entonces dirías que esta sí es directamente proporcional. Es lo que me están preguntando. Porque luego hay otras proporciones que se llaman inversas, que es cuando una magnitud hace lo contrario que la otra. 00:21:15
Ahora me están preguntando si es directa, si las dos van a hacer lo mismo, ¿vale? 00:21:34
En este caso sí y en el caso de las gallinas dijimos que no, ¿vale? 00:21:41
Que no eran directamente proporcionales, ¿vale? 00:21:46
¿Has visto la idea de este ejercicio? 00:21:49
Bueno, pues, lo mismo para el próximo día. 00:21:52
Piensa, si hay alguno que dudes, me pregunta, ¿vale? 00:21:56
Bueno, seguimos. 00:21:59
Entonces, ya sabemos lo que es una proporción directa. 00:22:00
Ya sabemos cuando dos magnitudes están relacionadas de forma directamente proporcional y es porque las dos se comportan igual. Vamos a ver cómo aplicamos esto. Vamos a irnos a hacer lo que llamamos las reglas de tres simples directas. 00:22:03
Y este va a ser un método para poder resolver problemas en los que las magnitudes que se relacionen sean directamente proporcionales y me den tres datos y me pidan un cuarto dato. Vamos a verlo entonces. 00:22:21
Y dices, ¿qué vamos a hacer en estos problemas? 00:22:37
Y lo vemos directamente sobre un ejemplo. 00:22:41
¿Vale? Pues lo primero que vamos a ver es que tenemos que colocar los datos en orden. 00:22:46
O sea, tenemos que identificar qué magnitudes se están relacionando y ver que son directamente proporcionales. 00:22:52
proporcionales. Cuando yo sé que son directamente proporcionales, lo que vamos a hacer es el 00:22:59
producto en cruz. Vamos a quitar todo el resumen que hay porque vamos a ir más rápido. Si 00:23:06
llego en el ejemplo, digo 6 kilos de naranjas cuestan 9 euros. ¿Cuánto me van a costar 00:23:11
8 kilos? Pues lo primero que hago es poner las cosas que estoy relacionando. Y por un 00:23:17
lado estoy relacionando el peso de las naranjas y por otra parte el precio. ¿Vale? Lo que 00:23:24
hago en el segundo paso es colocar los datos de cada una. Naranjas, 6 kilos, 9 euros. 8 00:23:32
kilos, no sé el precio. ¿Vale? O sea que he dicho que la proporción es directa, perdón, 00:23:41
he dicho qué magnitudes están relacionando, he colocado sus datos y ahora digo, la proporción 00:23:47
es directa o no lo es 00:23:53
si aumento el kilo 00:23:55
de las naranjas, el peso de las naranjas 00:23:57
va a aumentar 00:24:00
el precio, o sea, si esta aumenta 00:24:01
esta también aumentaría 00:24:04
si, ¿no? 00:24:05
si, claro 00:24:08
proporción 00:24:08
directa y es bueno 00:24:11
que me lo apunte, porque como luego va a haber otro tipo 00:24:13
de proporción, me las apunto 00:24:15
y fíjate 00:24:17
la cuenta que hay acá abajo, que es un poco lío 00:24:19
se va a resumir en lo siguiente 00:24:21
que cuando la proporción es directa 00:24:23
yo voy a hacer el producto en cruz 00:24:25
¿vale? 00:24:27
entonces, proporción directa 00:24:30
vamos a ponerlo aquí 00:24:32
proporción directa 00:24:33
producto en cruz 00:24:36
¿vale? 00:24:39
nos vamos a quedar con esto 00:24:44
esto va a ser el resumen de todo este rollo que me dice aquí arriba 00:24:45
y de las cuentas que pone aquí abajo 00:24:47
entonces, si es el producto en cruz 00:24:49
yo tengo que hacer esta cuenta 00:24:51
6 por x 00:24:54
tiene que ser lo mismo que 8 por 9 00:24:57
cada flecha con sus números 00:25:00
¿no? ¿vale? 00:25:02
entonces, hago 00:25:04
ese cuarto proporcional 00:25:06
que decíamos antes 00:25:08
digo, la X que estoy buscando es 00:25:09
a lo que me salga de multiplicar 00:25:11
8 por 9 lo tengo que dividir en 6 00:25:14
claro, pues 8 00:25:16
por 9 es 00:25:18
72, y 72 00:25:19
dividido entre 6 es 00:25:22
12 euros, pues esa es la solución 00:25:24
Digo, los 8 kilos de naranja me van a costar 12 euros y todo cuadra a más kilos más coste, ¿vale? Entonces, este resultado más o menos es totalmente razonable. 00:25:26
si por lo que sea yo llego y coloco 00:25:42
mal aquí los datos en el cuarto proporcional 00:25:45
imagínate que hoy se hemos puesto 00:25:48
en vez de 8 por 9 00:25:49
6 por 9 y 8 00:25:51
por X, pues cuando hagamos las cuentas 00:25:53
el resultado que me va a salir va a ser 00:25:56
menos de esos 9 euros 00:25:57
de antes, pero ¿cómo va a ser? 00:25:59
si he comprado 2 kilos más, ¿cómo me 00:26:01
va a costar menos dinero? 00:26:03
o sea que aquí si veo que 00:26:05
me está saliendo un número raro 00:26:07
es porque he hecho la cuenta al contrario 00:26:09
de lo que debería, o sea que 00:26:11
van a ser las cosas o blanco o negro 00:26:12
con lo cual 00:26:15
tengo que pensar 00:26:17
siempre si los resultados finales tienen 00:26:18
sentido o no, porque 00:26:21
si no tienen sentido, pues cojo 00:26:23
cambio la cuenta y ya me va a salir 00:26:25
bien, ¿vale? 00:26:27
o sea que esto que ahora es a lo mejor 00:26:29
un poco rollo, estoy contando 00:26:31
estos nombres raros, que a lo mejor 00:26:33
no lo habíamos hecho nunca 00:26:35
cuanto hagamos los ejercicios 00:26:37
son muy mecánicos 00:26:39
simplemente con saber qué tipo de 00:26:41
relacionáis, si es directa o inversa 00:26:43
sabiendo que en la directa 00:26:46
vamos a multiplicar en cruz 00:26:48
y vamos a ver que luego en las inversas vamos a multiplicar 00:26:49
en línea, ya tengo hecho 00:26:52
el ejercicio, o sea que va a ser solo 00:26:54
colocar bien los datos 00:26:56
e identificar el tipo de proporción 00:26:57
cuando tenga eso hecho 00:27:00
el ejercicio sale solo 00:27:01
ahora, si eso lo hago mal 00:27:03
pues el ejercicio sale todo al contrario 00:27:05
de lo que debería, ¿vale? 00:27:08
Bueno, vamos a ver algún ejercicio antes de ver las masitudes inversamente proporcionales 00:27:11
para ver que lo hemos pillado, ¿vale? 00:27:16
Entonces, teníamos este que teníamos que decir si eran directas o inversas. 00:27:21
Vamos a ver el ejercicio 4 mismamente, ¿vale? 00:27:25
Os he puesto que hagáis el 3, que hagáis el 5, pero el 4 no. 00:27:32
Entonces, yo llego en el ejercicio 4 y me dicen, 00:27:36
En un autovía de peaje me han cobrado 6,70€ por recorrer 120km. ¿Cuánto me habrían cobrado si hubiese recorrido 350km? Pues fíjate muy bien en los pasos, ¿vale? Porque aquí es muy importante el orden. 00:27:39
¿Qué dos cosas estoy relacionando? El coste del peaje con los kilómetros recorridos, ¿no? Pues yo digo aquí, coste... 00:27:58
En eso me lío, profesor. 00:28:11
Pues esto es lo que hay que tener mucho cuidado. Si yo ordeno bien las cosas, las cuentas salen solas. Como mezcle los datos, la he liado. Lo primero que tengo que mirar es qué magnitudes se están relacionando. Y aquí me están relacionando el coste con los kilómetros recorridos. 00:28:13
¿vale? sí, pues me lo apunto 00:28:29
que vea bien claro en mi esquema 00:28:33
qué es lo que estoy haciendo 00:28:37
y ahora digo, pues ¿qué costes me decían? 00:28:38
pues me decían 6,70 euros 00:28:42
6,70 euros 00:28:44
¿para recorrer qué espacio? pues para recorrer 120 kilómetros 00:28:47
¿vale? 00:28:51
voy poniendo cada dato en su sitio 00:28:53
y ahora digo, ¿cuánto me van a cobrar? 00:28:55
Pues como no lo sé, le llamo X 00:28:58
Si recorro 00:29:00
350 kilómetros 00:29:02
¿Vale? 00:29:05
¿De acuerdo que hemos puesto cada dato en su sitio? 00:29:07
Sí 00:29:10
Bueno, pues lo siguiente que voy a hacer es 00:29:10
Mirar qué tipo de proporción es 00:29:13
Digo 00:29:15
Si aquí he pasado 00:29:16
De 120 a 350 kilómetros 00:29:19
Esta magnitud ha 00:29:21
Crecido, ¿no? 00:29:23
Ha aumentado 00:29:24
Claro 00:29:25
Me pongo una flecha hacia arriba para ver que esto aumenta. Y ahora digo, ¿y el precio? ¿La X esta tendría que ser más de 6,70 o menos? 00:29:27
Tendrá que ser más, ¿no? Entonces la flecha también hacia arriba, también tendrá que aumentar. 00:29:39
Cuando veas que las dos flechas van por el mismo lado, vas a decir que la proporción es directa. 00:29:45
Y hemos dicho que si la proporción es directa, ¿cómo había que hacer la multiplicación de los datos? 00:29:51
En cruz. 00:29:58
En cruz. Pues digo, ese va a ir con ese y ese va a ir con este. 00:29:58
Y entonces escribo eso. Digo, la X multiplicada por 120 me tiene que dar lo mismo que el 6,70 multiplicado por 350. 00:30:04
¿Vale? Simplemente sigo las flechas. ¿Vale? 00:30:17
Y ahora digo, bueno, pues la X que quiero va a salir de hacer la división de lo que me haya salido de ese 6,70 por 350 y el resultado dividirlo entre 120. 00:30:20
Siempre el número que multiplica la X va a ir dividiendo, ¿vale? 00:30:36
Y ahora, pues haríamos las cuentas de 6,70 por 350 y entre 120 y lo que me salga, ¿vale? ¿De acuerdo? ¿Quién es el calculador a mano o el móvil? 00:30:41
para no perder tiempo 00:30:56
esto os voy a dejar la calculadora 00:30:59
6,7 00:31:03
por 350 00:31:07
me da 00:31:09
2345 00:31:11
cuando lo divido entre 120 00:31:17
dividido entre 120 00:31:21
Pues me da 19,54. Es razonable que me cobren 19 euros con 54. Si estoy recorriendo, hay 170 kilómetros más. 00:31:24
sí, pues entonces 00:31:43
todos contentos 00:31:46
si por casualidad te has equivocado 00:31:48
el tecleo de la calculadora y llegas aquí 00:31:51
te queda un número más pequeño que el 6,70 00:31:53
y dices, uy, cuidado 00:31:55
que he metido la pata 00:31:56
algún número he puesto mal 00:31:58
o he puesto mal la proporción 00:31:59
o he puesto mal la relación entre los números 00:32:02
porque eso no puede salir 00:32:05
entonces 00:32:07
aquí hay que utilizar un poco luego la lógica 00:32:07
no hay que hacer las cuentas a tontas 00:32:11
sea locas. Tengo que pensar si los resultados 00:32:13
tienen sentido o no lo tienen, ¿vale? 00:32:14
Y son 00:32:18
así de fáciles los ejercicios. 00:32:19
Si yo me hago bien este esquema de 00:32:21
aquí arriba, las cuentas salen 00:32:22
solitas. Entonces, al hacer 00:32:24
el esquema tengo que tener cuidadito. 00:32:27
¿Y el peaje ese? ¿No 00:32:28
tiene nada que ver el peaje? 00:32:30
Nada, el peaje, a mí me da igual que 00:32:33
sea yendo a Barcelona que siendo yendo a la 00:32:34
Coruña. Lo único que me 00:32:36
están diciendo es que cuánto van a cobrar. 00:32:38
Pues yo, respondido, 00:32:41
Me van a cobrar 19 euros con 54, que lo pondría aquí, digo, me cobran 19 euros con 54, ¿vale? O sea, si yo explico luego la solución, va a ser una forma de darme cuenta si tiene sentido o no. 00:32:42
si dejo el número ahí sin volver a pensar 00:33:03
qué es lo que me estaban preguntando 00:33:06
pues hay veces que se me va la pinza 00:33:08
y pongo cosas que no tienen 00:33:09
ni pies ni cabeza 00:33:12
aquí son los ejercicios de 00:33:12
pura lógica 00:33:15
lo que tengo que tener cuidadito es 00:33:17
eso, al identificar 00:33:20
qué magnitudes se están 00:33:22
relacionando, que hay veces que me meten 00:33:24
datos que no valen para nada para despistarme 00:33:26
y qué tipo de relación 00:33:28
hay entre ellas, si va a ser una relación 00:33:30
directa o va a ser inversa 00:33:31
controlando eso 00:33:33
los ejercicios salen solitos 00:33:35
¿vale? pero en esa 00:33:37
parte tengo que tener mucho cuidado 00:33:39
para no equivocarme ¿vale? 00:33:41
¿de acuerdo? 00:33:44
bueno, pues va a hacer usted uno 00:33:46
le vas a ir diciendo que hacer 00:33:48
antes de ver las proporciones inversas 00:33:50
a ver, os he mandado a hacer 00:33:53
para casa el 3 00:33:55
el 5, el 6 00:33:57
el 7, el 9 00:33:59
o sea que el 8 00:34:01
nos lo he mandado 00:34:02
y si se puede hacer todo mejor 00:34:04
a ver 00:34:11
esta es inversa 00:34:13
el 11 00:34:17
le ves 00:34:26
me dice en una panadería 00:34:28
con 80 kilos 00:34:29
de harina puedo fabricar 00:34:32
120 kilos de pan 00:34:34
¿cuántos kilos 00:34:36
de harina me van a hacer falta? 00:34:38
si yo quiero fabricar 00:34:40
99 kilos de pan 00:34:42
en una panadería con 00:34:43
80 kilos. Bueno, 80 kilos por aquí. 00:34:45
Entonces, vamos a ver qué escribiríamos. Y acuérdate que cuanto más ordenadas ponga las cosas, mejor. 00:34:53
Entonces, lo primero, ¿qué dos cosas estoy relacionando? 00:35:03
A ver, ya no veo dónde está. 00:35:08
Ahí está. ¿Qué dos cosas estoy relacionando? 00:35:12
La panadería tiene 00:35:14
Con 80 kilos de harina 00:35:17
Hacen 120 kilos de pan 00:35:21
Entonces, ¿qué estoy relacionando ahí? 00:35:24
No sigas leyendo 00:35:26
¿Qué cosas me están mandando los kilos de pan, no? 00:35:27
Pues esas van a ser mis magnitudes 00:35:36
Yo llego y lo primero que digo es 00:35:38
Ahí, lápiz 00:35:40
Kilogramos de harina 00:35:42
Y kilogramos de pan 00:35:45
¿vale? es lo primero que me voy a escribir 00:35:51
para saber 00:35:54
en qué datos me tengo 00:35:55
que fijar, porque ya te digo, a lo mejor me están diciendo 00:35:58
entre medias, me echa 20 litros 00:36:00
de agua y 15 de sal 00:36:02
y el panadero es pelirrojo 00:36:04
bueno, ¿y qué? 00:36:05
si a mí me están preguntando por la harina y el pan 00:36:08
¿entiendes lo que te digo? 00:36:10
o sea que, si me lo apunto 00:36:12
no me despistan 00:36:14
si no me lo apunto, pues me van a despistar 00:36:15
en cuanto me digan un poco, me despistan 00:36:18
Es verdad, es verdad. 00:36:20
Pues venga, empiezo a apuntar datos, digo, 80 kilos de harina, 120 de pan, ¿dónde pongo cada cosa? 00:36:21
¿Dónde está el pan? 120. 00:36:29
¿Dónde el pan pongo 120 y dónde está la harina pongo 80, no? 00:36:31
No, no. 00:36:36
¿Vale? No hace falta que ponga lo de los kilogramos, porque ya lo he puesto arriba. 00:36:37
Voy a leer un poco más, dice, ¿cuántos kilos de harina necesito para hacer 99 de pan? 00:36:41
Pues, ¿qué escribo aquí? 00:36:50
¿Dónde está el pan? 99. 00:36:52
¿Dónde está el pan? 99. ¿Y dónde está la harina? 00:36:54
X, sí señora. Y ahora que ya tenemos todo escrito, vamos a mirar qué ha pasado. 00:36:58
De 120 kilos de pan he pasado 99. Entonces, ha bajado, ¿no? La magnitud está, el valor. 00:37:03
Sí. 00:37:13
Sí. Entonces, si baja la cantidad de pan que fabrico, ¿qué pasará con la harina? ¿Bajará o subirá? La X tiene que ser un número más grande que 80 o más pequeño. 00:37:13
Más pequeño, ¿no? Entonces, la flecha también iría hacia abajo, ¿no? 00:37:23
Sí. Como las dos flechas van hacia el mismo lado, pues decimos que la proporción es directa. 00:37:28
También hay que ser con la flecha hacia abajo y la flecha hacia arriba. 00:37:35
Si las dos flechas van para el mismo sitio, la proporción es directa. 00:37:38
No, yo digo, en el ejercicio hay que ponerle las flechas también. 00:37:42
Cuanto más cosas te pongas tú, menos te vas a perder luego, ¿vale? 00:37:47
Vale. 00:37:51
No hace falta que las pongas, pero si las pones, mejor, porque lo vas a ver luego mejor, te va a quedar más claro. 00:37:52
Ah, vale. 00:37:57
¿Qué está pasando? Y cuando la proporción es directa, ¿cómo hacíamos la multiplicación? 00:37:58
En cruz. 00:38:03
En cruz. Pues esto irá con esto y ese irá con ese, ¿no? 00:38:05
Ajá. 00:38:09
Tú dirías X por 120, tiene que ser lo mismo que 80 por 99. 00:38:09
Y con eso ya está, porque ahora para sacar la X, ¿qué harías? 00:38:19
Pues la X lo tengo solo y el 120 baja a dividir. 00:38:23
Efectivamente, y arriba el 80, ¿vale? 00:38:30
Si no me acuerdo de las simplificaciones, que aquí, por ejemplo, fíjate, podríamos simplificar este 0 con este 0 y me quedaría 8 por 99, dividido entre 12. 00:38:36
¿Puedo simplificar algo más? Pues sí, puedo decir que el 8 y el 12 los puedo dividir entre 4, ¿no? 00:38:48
8 por 4, 2. 00:38:55
Si divido entre 4 a los dos, arriba me queda un 2. 00:38:57
Pero que no, yo me lío así. 00:39:02
Bueno, pues entonces si te digas así, como que si haces las cuentas de 8 por 99, que ese, a ver, te bajo un poquito y las hago. 00:39:04
80 por 99 serán. 00:39:12
80 por 99, 80 por 99, pues es, ¿cuánto? Pues 0, 8 por 9, 72, me llevo 7, 8 por 9, 72 y 7, 79, dividido en 320, ¿vale? 00:39:14
7.920 entre 120. 00:39:33
Aquí sí que podrías tachar los ceros, eso sí que lo sabes hacer, ¿no? 00:39:35
Esa es la significación. 00:39:38
Y dices, 792 dividido entre 12. 00:39:39
Pues hacemos la división. 00:39:44
792 entre 12, tendríamos 79 entre 12. 00:39:46
¿A cuánto cabría? 00:39:51
Aquí a 3, tenemos 3 por 2. 00:39:53
3 por 2, 6. 00:39:59
A 9, 3. 00:40:00
3 por 1, 3. 00:40:01
al 74 te quedarías 00:40:02
muy largo 00:40:04
un poco más alto, 6 00:40:04
6 por 2, 12 00:40:07
6 por 2, 12 00:40:09
al 19 00:40:11
te llevas una 6 por una 6, una 7 00:40:12
0, bajas el 2 00:40:15
72 entre 12 00:40:17
también sería así 00:40:19
6 por 2, 12 00:40:21
0, 6 por una 6, una 7 00:40:22
pues 66, ¿y qué era este 66? 00:40:25
El 76 es la X 00:40:28
¿Y la X qué era? 00:40:32
Los panes que 00:40:36
iba a fabricar, ¿no? 00:40:37
No, fíjate, los kilos de harina 00:40:40
que necesitaba 00:40:42
¿Ves cómo 00:40:43
me hacía falta apuntar lo que eran las cosas? 00:40:46
Si yo ahora miro aquí 00:40:49
solo en el esquema, digo pues 00:40:50
necesito 00:40:52
76 kilos 00:40:54
gramos de harina para hacer 99 kilogramos de pan y al explicar yo las cosas así tan detalladamente 00:40:58
me estoy dando cuenta de que todo cuadra si dejo las cuentas sin decir que son pues 00:41:14
puede que acierte o pueda que mete la pata hasta arriba ves lo que te digo sí sí ya que aquí el 00:41:22
orden y el explicar que son las cosas es muy muy importante si soy ordenado y me queda claro esto 00:41:30
de las flechitas los ejercicios salen solos las divisiones y multiplicaciones pues a veces tener 00:41:38
unos datos un poco más bonitos como ahora un poco más feos como antes porque había decimales pero lo 00:41:44
que es el proceso es siempre siempre el mismo y es bien que tengo que quedarme vale porque si 00:41:51
Si me escribes bien toda la parte esta del planteamiento, pues yo ya te pongo medio punto. 00:41:57
Ah, vale, vale. 00:42:04
Bueno, luego las cuentas pues te puedes despistar y equivocarte, pero sabes lo que estás haciendo. 00:42:04
Sí. 00:42:10
Te has despistado, ¿vale? 00:42:10
Ahora, si tú no pones bien el planteamiento, pues puede salir lo que Dios fuera. 00:42:12
Puede que suene la flauta, por casualidad, o puede que lo que salga sea una burrada, ¿vale? 00:42:16
Vale. 00:42:22
Pues claro, lo que pasa es que si sale una burrada, pues digo, madre mía, qué barbaridad me ha puesto aquí. Me pone que necesita 9.900 kilos de harina, pero de harina, pues qué va a hacer esta mujer con tanta harina. Va a hacer pan para todo Madrid. 00:42:22
O sea, que hay que leer luego el resultado, explicarle lo mejor posible para que veas que todo cuadra. Porque si hay algo que a ti ya te sale de ojo y te descuadra, es que algo has hecho mal, ¿vale? Ahora sí, todo parece razonable, pues es que las cosas han ido bien. ¿De acuerdo? 00:42:38
Vale. 00:43:00
Sí, bueno, pues lo vamos a dejar aquí, pero acuérdate que échate un ojillo a estos ejercicios que os he propuesto, que los tenéis puestos en el aula virtual, los que hay que hacer, a ver qué tal te salen, ¿vale? 00:43:00
Vale. 00:43:15
ya podrías hacer el 1 y el 2 enteros 00:43:16
y luego de los que hay aquí sueltos de problemas 00:43:18
pues puedes hacer también un montón 00:43:20
o sea que echa un ojo 00:43:21
a ver 00:43:24
que esta parte 00:43:25
de la proporción directa que es la que más 00:43:28
utilizamos a diario 00:43:30
esa regla de 3 directas 00:43:31
como la cuenta de la vieja cuando decimos nosotros 00:43:34
que ya verás 00:43:36
que solo es 00:43:38
que te quede 00:43:39
bien grabado el esquema y no te volverás 00:43:42
a confundir ni una vez en esas cosas 00:43:44
y es que esto es muy importante 00:43:45
porque luego estas reglas de 3 00:43:49
son las mismas que se utilizan 00:43:51
cuando hacemos porcentajes 00:43:53
cuando voy a las rebajas, cuando me suben 00:43:54
el precio con el IVA, tal 00:43:57
es la misma regla de 3 directa 00:43:58
entonces si las controlamos aquí bien 00:44:00
luego la parte de porcentajes también nos va a resultar 00:44:02
muy fácil hacer y tendremos 00:44:05
pues 3 cuartos del tema 00:44:07
controlados, ¿vale? 00:44:09
Vale 00:44:11
Bueno, pues el próximo día más, Sandra 00:44:12
intenta hacerlo para si hay alguna duda 00:44:15
el próximo día me preguntes y el próximo día vemos 00:44:17
las inversas, a ver qué tal 00:44:19
¿vale? 00:44:22
Pues buena tarde, hasta luego 00:44:23
Igualmente, hasta luego 00:44:26
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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      • Consolidación de conocimientos y técnicas instrumentales
    • Enseñanzas Iniciales
      • I 1º curso
      • I 2º curso
      • II 1º curso
      • II 2º curso
    • ESPAD
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
      • Tercer Curso
      • Cuarto Curso
    • Pruebas libres título G ESO
    • Formación Técnico Profesional y Ocupacional
    • Alfabetización en lengua castellana (español para inmigrantes)
    • Enseñanzas para el desarrollo personal y la participación
    • Bachillerato adultos y distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
    • Enseñanza oficial de idiomas (That's English)
      • Módulo 1
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      • Módulo 3
      • Módulo 4
      • Módulo 5
      • Módulo 6
      • Módulo 7
      • Módulo 8
      • Módulo 9
    • Ciclo formativo grado medio a distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
    • Ciclo formativo grado superior a distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
    • Aulas Mentor
    • Ciclo formativo de grado básico
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
      • Nivel I
      • Nivel II
Autor/es:
Ángel Luis Sánchez
Subido por:
Angel Luis S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
23 de enero de 2026 - 7:58
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
44′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
927.43 MBytes

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