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Matrices vídeo 3 - Contenido educativo

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Subido el 26 de septiembre de 2023 por Araceli A.

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y las que no lo son, que optimizan la matriz. 00:00:00
Bueno, vale. Vamos a ver entonces el ejercicio 25. 00:00:07
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 2 y nos está preguntando cuándo es cierta la igualdad, 00:00:13
que A más B por A menos B, o sea la identidad notable, de suma por diferencia, diferencia de cuadrados. 00:00:20
Lo que pasa aquí es que para saber si son ciertas propiedades de este estilo, vamos a ver cuál sería la demostración en un principio de la propiedad. 00:00:26
Entonces, igual la propiedad en algún momento os la han demostrado o no, o simplemente os la han explicado, os han dicho de dónde sale, entonces ahí viene el problema. 00:00:39
porque si pensáis porque las matrices no siempre son computativas el producto de matrices no siempre 00:00:48
es conmutativo precisamente por eso pues nos pasa que algunas propiedades nos fallan y vais a ver 00:00:59
cómo si yo tengo a más b por a menos b cuando eso en algún momento nos explican por qué hay una 00:01:05
identidad notable es que tenemos que hacer la multiplicación normal de los dos polinomios es 00:01:13
Es decir, multiplicamos A por A, A por menos B y así. 00:01:19
Entonces, si hacéis esto, queda A por A menos A por B, porque estaríamos multiplicando A por menos B. 00:01:22
Si nosotros multiplicamos la matriz A por la matriz menos B, pues sí que es verdad, por las propiedades que hemos visto, que eso es menos A por B. 00:01:33
Eso sí se puede poner, que era la matriz opuesta, pero es como sacar el menos delante. 00:01:45
Y luego, si seguimos haciendo la multiplicación, ahora hay que hacer b por a y luego b por menos b. 00:01:51
Entonces, b por a nos quedaría más, porque ahí el signo es positivo, b por a. 00:01:58
Y como luego hay un menos, b por b. 00:02:04
¿Qué pasa aquí? 00:02:08
Que a por a sí que nos han definido que es a al cuadrado. 00:02:10
Vale, por ahí vamos bien. 00:02:14
Y b por b es b al cuadrado, pero nos quedan cosas por el medio. 00:02:16
A por B y B por A 00:02:20
entonces igual ahora ya lo veis 00:02:22
la identidad notable 00:02:26
esta parte 00:02:28
es cero en el caso de los números 00:02:30
reales porque 00:02:32
en el caso de los números reales A por B 00:02:34
y B por A es lo mismo y se cancelan 00:02:36
los términos pero en el caso 00:02:38
de las matrices 00:02:40
esto no es cero, esto es distinto de cero 00:02:41
porque A por B 00:02:44
y B por A son diferentes 00:02:46
entonces por eso 00:02:48
¿Vale? Por eso no se cumple esa propiedad, porque a no ser que las matrices conmuten, no se cumpliría. 00:02:54
Y luego el apartado B dice, pon un ejemplo en que dicha igualdad sea falsa. 00:03:03
Pero, Araceli, ¿pero no podría ser si, bueno, A o B, cualquiera de las dos es la inversa de la otra? 00:03:07
Claro, si fueran una inversa de otra, como vimos el otro día, por ejemplo, en ese caso sí que se cumpliría. 00:03:17
O si simplemente conmuten, no tienen por qué ser inversas para que conmuten, pero es un ejemplo en el que conmutan otras matrices. 00:03:23
Entonces, ahí ponemos en la solución de A. 00:03:31
Claro, en la solución de A lo que tenemos que poner es esto, que esto no siempre vale cero. 00:03:33
Solamente vale cero cuando conmutan las matrices, ¿vale? 00:03:39
Pero entonces, en general, no es cierta, o sea, vale, bien, perdona, te voy a poner, ¿cuándo es cierta? 00:03:43
Es cierta cuando las matrices conmutan, ¿vale? 00:03:48
Lo voy a escribir con él. 00:03:51
La igualdad es cierta cuando las matrices conmutan, ¿de acuerdo? 00:03:53
Solamente es cierta si las matrices conmutan. 00:04:00
Si A por B es igual que A por B, que B por A. 00:04:08
Recordar que que conmuten, ya lo hemos puesto otras veces, es que A por B de lo mismo resultado que B por A. 00:04:13
Y en general no es cierto, pero sí que hay casos en los que es cierto. 00:04:20
Entonces, en el apartado B nos pregunta eso, ¿no? 00:04:24
Dime un ejemplo en que falle. 00:04:29
Pues, más difícil es buscar que no falle que que falle. 00:04:30
Casi cualquier ejemplo que os inventéis, voy a inventar un autun-tun y veréis cómo sale. 00:04:34
A no ser que pongáis la identidad o pongáis la inversa o algo así, 00:04:38
pero si ponéis unas matrices cualesquiera no va a cumplirse. 00:04:42
Por ejemplo, voy a poner, yo que sé, 1, 2, 3, 4 y 0, 1, 2, menos 1, yo que sé. 00:04:45
Entonces, por ejemplo, en este caso, si a esta le llamáis a y a esta le llamáis b y hacemos la multiplicación rápidamente, pues nos va a quedar, a ver aquí, 4. 00:04:58
aquí nos va a quedar 1 menos 2 menos 1 00:05:09
aquí nos va a quedar 8 00:05:14
y aquí nos va a quedar 3 menos 4 menos 1 00:05:17
pero si ahora hacéis b por a 00:05:21
o sea la multiplicación cambiando el orden 00:05:23
pues a no ser que yo haya tenido una suerte impresionante 00:05:25
lo más normal es que no coincidan 00:05:33
no es el que sean matrices especiales 00:05:35
entonces en este caso ya directamente el primer número me coincide 00:05:37
0, 1 por 1, 3 es 3 00:05:40
0, 1 por 2, 4 da 4 00:05:43
y luego 00:05:45
2 menos 3 00:05:46
menos 1 00:05:49
y 4 menos 4 es 0 00:05:50
¿vale? y veis que no se parecen 00:05:53
prácticamente en ningún momento 00:05:54
una pregunta, en el apartado B 00:05:56
¿podremos decir solamente 00:05:58
cuando una matriz 00:06:00
es la inversa de la otra? 00:06:03
pero entonces es que es verdadera 00:06:04
eso, ah vale 00:06:06
Vale, vale, perdón. 00:06:08
Es igual a inversa. 00:06:10
Perdón, perdón, leí mal el enunciado. 00:06:13
Pero en realidad no solamente en ese caso. 00:06:16
Ahora enseguida vamos a hacer otro ejercicio que te pregunta cuándo conmutan. 00:06:18
En cualquier caso, que conmute va a ser verdadero. 00:06:22
Pero claro, te pregunta cuándo es falso. 00:06:26
¿Vale? 00:06:28
Solo será verdadero lo que te he puesto arriba. 00:06:30
Solo va a ser cierto si justamente conmutan. 00:06:33
¿Vale? 00:06:37
Si una es inversa de la otra, conmutan, ¿vale? 00:06:37
Entonces no nos valdría como ejemplo. 00:06:39
Esto se llama un contraejemplo, ¿vale? 00:06:43
Si un contraejemplo es un ejemplo en el que algo no se cumple, no, no es que algo se cumple. 00:06:46
Vale, entonces aquí simplemente es eso que nos, también este ejercicio sirva de advertencia 00:06:52
en cuanto empecemos a ver las ecuaciones matriciales, que como trabajamos con letras, 00:06:57
tendemos a pensar que son como los números reales y dices, ah, pues me da al cuadrado menos al cuadrado, pues no, ¿vale? 00:07:02
mucho cuidado con todas las operaciones que hacéis porque estas cosas que sí son verdad con los reales 00:07:08
no son verdad con las matrices. Vamos a ver, precisamente por eso, uno de los más típicos ejercicios 00:07:13
que te preguntan es, encuentra matrices que conmutan, ¿vale? Como tiene dos apartados, usa uno solo 00:07:19
porque luego es mecánico siempre. ¿Cómo se hacen estos ejercicios? Que hay otro por ahí arriba y este, 00:07:25
de encuentra matrices que conmutan con una dada. 00:07:31
Y en realidad el planteamiento es igual que otros ejercicios que habíamos hecho al principio 00:07:37
de los de igualdades matriciales. 00:07:41
Hay que saberse lo que significa que las matrices conmutan, ¿no? 00:07:45
Que es lo que acabamos de decir, que sea el mismo resultado multiplicar, en este caso hay a y x, 00:07:48
que sea el mismo resultado a por x que x por. 00:07:55
Entonces, en este ejercicio la A nos la dan y la X tienes que buscarla. 00:07:59
Como la X la tienes que buscar, pues como siempre te inventas cuatro letras que representan los cuatro elementos de la matriz, X, Y, Z y T. 00:08:03
¿Vale? Porque para poderla multiplicar por A, por la izquierda y por la derecha, tienen que ser dos por dos. 00:08:13
¿Vale? Eso ya lo hemos hecho muchas veces, así que no insisto, cuando son cuadradas, para poderlas multiplicar tienen que ser otras igual cuadradas. 00:08:19
Entonces, ¿cómo lo hacemos? Pues planteamos la ecuación A por X igual a X por A, esa de ahí 00:08:25
Entonces, X por A es X, Y, Z, T y A es 1, 0, 0, 3 00:08:32
Y nos dice la ecuación que tiene que ser igual que A por X, es decir, igual a 1, 0, 0, 3 por X, Y, Z, T 00:08:41
Vale, ahora esto se parece mucho a todos los ejercicios que hacíamos antes, hacemos las multiplicaciones, solo que en los que hemos estado haciendo hasta ahora aquí a la derecha no había operación, aquí hay que hacer operación a la izquierda y a la derecha y luego ya identificar coeficientes. 00:08:52
Entonces, a la izquierda hay que multiplicar la primera fila, que es xy, por la primera columna, que es 1, 0. 00:09:10
Entonces, ahí el resultado nos va a dar x por 1, x, más y por 0, pues x. 00:09:20
Luego hay que multiplicar la primera fila por la segunda columna y nos va a dar 3y. 00:09:27
luego tenemos que empezar a multiplicar ya la segunda fila, la de ZT 00:09:32
por 1, 0 nos va a dar Z 00:09:39
y luego si multiplicáis ZT por 0, 3 pues nos va a quedar 3T 00:09:41
esto por la izquierda 00:09:47
y ahora si multiplicamos por la derecha veréis que nos sale otras expresiones algebraicas 00:09:49
que son 1, 0 multiplicado por XZ 00:09:54
pues nos va a dar x, ¿vale? 1 por x, x, 0 por z, 0. Y luego 1, 0 por y, t nos va a quedar y. 00:10:00
Y luego ya nos vamos con la fila de abajo. La fila 0, 3 multiplicada por x, z nos va a quedar 3, z. 00:10:14
y la fila 0, 3 multiplicada por yt nos queda 3t. 00:10:25
Eso es lo que hemos estado haciendo en otros ejercicios de ecuaciones. 00:10:34
Y ahora lo que tenemos que hacer, lo que siempre hacíamos es identificar coeficientes. 00:10:39
Entonces, este de aquí tiene que ser igual que este, pero eso no nos da nada de información. 00:10:43
x igual a x, pues ya, eso se cumple siempre. 00:10:49
¿Vale? Siguiente que podemos trabajar, pues, este de aquí, el de primera fila, segunda columna. 00:10:52
3i tiene que coincidir con i. Bueno, eso sí que es una ecuación. 00:10:59
El siguiente elemento que tendríamos que identificar sería que z tiene que coincidir con 3z, 00:11:05
que también es una ecuación, que no se cumple siempre. 00:11:12
Ahora veréis cuándo se cumple, que igual os puede generar duda. 00:11:15
Y la última que habría que comprobar, tampoco nos proporciona información, 00:11:19
porque sería 3t igual a 3t, que eso siempre se cumple. 00:11:23
Entonces, en realidad solamente tenemos dos ecuaciones, para la i y para la z. 00:11:28
¿Cuándo es 3i igual a i? Porque os podéis quedar diciendo, pues no, imposible, es 3i. 00:11:35
¿Cuándo es? Pues si lo trabajáis como una ecuación, si la i la pasáis restando, 00:11:39
3i menos i igual a 0, 2i igual a 0, eso solo se cumple, si la i es 0 entre 2, 0. 00:11:43
en realidad ese tipo de ecuación 00:11:52
3y igual a y solo se cumple 00:11:54
si la y vale 0, claro, 3 por 0 es igual a 0 00:11:57
y con la z pasa igual 00:11:59
sale la misma ecuación y sale 00:12:01
solamente es cierta cuando la z vale 0 00:12:03
por lo mismo 00:12:05
entonces 00:12:07
¿cuál es la solución de mi ejercicio? 00:12:09
pues lo que yo he sacado 00:12:12
solamente he sacado valores para z 00:12:14
y para la y 00:12:16
y para la x y para la t 00:12:17
no he sacado valores, ¿eso qué quiere decir? 00:12:20
Bueno, daros cuenta que aquí el ejercicio no nos dice encuentra una matriz que satisface, sino que dice todas las matrices que se satisfacen, porque hay muchas, hay infinitas. 00:12:22
Entonces, ¿cómo lo hago? Pues lo que tengo que hacer es de alguna manera dar de forma genérica esas matrices. 00:12:34
¿Cómo las voy a dar? Lo que os estaba diciendo. 00:12:41
Las matrices X, las soluciones, van a ser así. Van a tener algo en la X que no sé, no sé nada sobre ese algo, algo en la Y que tiene que ser un 0, en la siguiente, en la Z también tienen que tener un 0 y otra cosa en la T que no sé, ¿vale? 00:12:44
Entonces, las de la X y la T pueden ser cualquier valor. Voy a poner X y T, pero para que os vayáis acostumbrándolo, 00:13:05
el otro día me lo decía alguien en la otra clase, en realidad la X y la T pueden valer cualquier valor que yo elija, 00:13:11
porque lo único que me piden es que coincidan consigo mismas y eso todos los números lo cumplen. 00:13:18
Entonces, a esos valores que son libres y que yo los puedo elegir en la solución, les vamos a llamar parámetros. 00:13:23
Y para que ya nos vayamos acostumbrando, porque vamos a trabajar mucho con parámetros este curso, le vamos a poner otras letras diferentes, que vamos a usar letras griegas, que es lo habitual. 00:13:29
Por ejemplo, lambda y mu. Bueno, al que no le gusten las letras griegas, pues aquí en matemáticas aprendemos griego. 00:13:41
Esta letra que es lambda, ¿vale? 00:13:47
A mí sí me gusta. ¿Te puedo hacer una pregunta? 00:13:49
Dime, espera que termino. Y mu, vamos a poner que son números reales, ¿vale? Así. 00:13:51
¿Eso qué quiere decir? Que son parámetros, que son números que yo puedo elegir los que yo quiera. 00:13:57
Si odiáis mucho las letras griegas, le podéis llamar a y b o lo que queráis, o x y t o lo que sea. 00:14:03
Pero es verdad que vais a encontraros todo el rato que utilizamos letras griegas para referirnos a unos números 00:14:08
que no es que no haya averiguado lo que vale, sino que puede valer cualquier cosa que yo quiera. 00:14:14
¿Vale? Esos son los parámetros. 00:14:19
Dime lo que me estás preguntando, a ver si tiene relación con esto. 00:14:22
A ver, ¿la diagonal secundaria tiene alguna información de que sea todo cero? 00:14:25
No, o sea, en este caso puedes pensar en la identidad y dices, uy, se parece un poco a la identidad, por ejemplo, a lo mejor vas por ahí. 00:14:32
Pero como estos dos números son diferentes, pues no tiene así nada de especial. 00:14:39
Si los dos números que hay ahí, como curiosidad, ¿vale? O sea, no tiene nada, pero me parece bien que me preguntes por qué la curiosidad es buena. 00:14:44
pero que si los dos números que hubiera 00:14:51
en la diagonal principal fueran iguales 00:14:53
en plan lambda, lambda y aquí dos ceros 00:14:55
¿vale? que me está diciendo que tiene especial esa matriz 00:14:57
pues esa matriz sería un poco 00:14:59
especial porque sería lo mismo 00:15:01
que lambda por la 00:15:03
por 1, 0, 0, 1 00:15:04
que sería lambda por identidad 00:15:07
y esas matrices pues como que salen mucho 00:15:10
por ahí 00:15:13
bueno, en otros cursos a lo mejor más avanzados 00:15:13
pero esto aparece mucho 00:15:17
porque como se repite el numerito 00:15:18
pues esas matrices también se llaman diagonales 00:15:22
porque solo tienen elementos en la diagonal principal 00:15:24
y son especiales 00:15:27
en nuestro caso si es diagonal 00:15:29
porque solamente hay elementos distintos de 0 en la diagonal principal 00:15:32
pero no coinciden 00:15:36
pero también es una matriz un poco especial 00:15:38
pero bueno en este curso pues es una matriz así y ya está 00:15:40
pero entonces lo que tendríamos que contestar 00:15:45
es que las matrices X que cumplen, que conmutan con la matriz A que nos han pedido, 00:15:47
que si te das cuenta también es diagonal, tienen que ser matrices así, diagonales, ¿vale? 00:15:51
Que están escritas de esa manera. 00:15:57
Si llaman matrices diagonales creo que venía en la teoría. 00:15:59
Y ya que lo has preguntado, pues le vamos a poner su nombre, ¿vale? 00:16:02
Son matrices diagonales las soluciones de este ejercicio. 00:16:05
Pero vamos, que vosotros podéis poner perfectamente, se espera que pongáis esto, ¿vale? 00:16:08
que las matrices de solución, que son infinitas, hay infinitas soluciones, 00:16:13
son aquellas matrices de esta forma, con lambda y mu, cualquier número real 00:16:19
y unos ceros en la diagonal secundaria. 00:16:24
¿Vale? ¿Te aclara un poco lo que preguntabas? 00:16:28
Sí, es que he intentado el b y el b no me salía. 00:16:32
¿El b no te sale? A ver, vamos a ver el b. 00:16:36
Pero es igual, ¿no? Ah, que está al revés. 00:16:39
A lo mejor, pero porque no tiene solución, espera que no me acuerdo. Vamos a hacer el B. Bueno, me lo aprendo de nuevo. Espera. 0, 1, 3, 0. Venga, vamos a hacerlo ahí en la esquina. 00:16:41
Entonces, es el mismo planteamiento. Vamos a ver qué pasa. Igual no tiene solución. Nos dice el ejercicio si existe. Eso es una pista muchas veces. No, no nos dice si existe. 00:17:05
Pero bueno, igual puede ser que no tenga solución o que no te haya salido por otro motivo. 00:17:14
Vale, entonces lo mismo, x va a ser xy, zt y vamos a hacer la misma ecuación, la voy a hacer más rápido porque va a ser lo mismo. 00:17:17
x es xy, zt. 00:17:27
Entonces tenemos que verificar que x por a es igual que a por x y vamos a plantearlo. 00:17:33
Entonces, x por a va a ser xy, zt por 0, 1, 3, 0. 00:17:42
Vamos a ver qué sale. 00:17:51
Igual a 0, 1, 3, 0 por xy, zt. 00:17:52
Entonces, vamos multiplicando xy por 0, 3, pues eso da 3y. 00:17:59
xy por 1, 0, eso da x. 00:18:06
Zt por 0, 3 nos va a dar 3t. 00:18:09
Y zt por 1, 0 nos tiene que dar z. 00:18:13
Y en el lado de la derecha nos queda 0, 1 por xz da z, 0, 1 por it da t, z, 0 por xz nos da xz, ¿vale? 00:18:16
y quedan multiplicadas las, no, eso no es una z, es un 3, vale, perdón, digo, quizás z es ahí, vale, he confundido yo aquí el 3 con mis números. 00:18:31
De modo rápido, a ver, entonces 0, 1, x, z, z, 0, 1 y t, 3, 0 por x, z, 3x y 3, 0 por y, t, 3y, vale. 00:18:52
Entonces, si identificamos coeficientes, nos queda 3y igual a z, ¿vale? Sale un sistema más complicadillo. 00:19:05
x igual a t, 3t igual a 3x y z igual a 3y. 00:19:13
Vale, entonces, yo lo que veo aquí rápidamente, hay que mirarlo con cuidado, ¿vale? 00:19:27
Pero es que estas dos son la misma ecuación, porque es la misma multiplicada por 3. 00:19:32
Entonces, con una que tenga me basta. 00:19:38
entonces la información que yo voy sacando es que x tiene que ser igual a t 00:19:40
luego también tenemos que 3 es igual a z y que z es igual a 3y 00:19:45
parece un poco contradictorio pero hay por ejemplo para sacar 00:19:50
la única manera va a ser que las dos vengan cero 00:19:54
pero lo vamos a hacer por ejemplo resolviendo el sistema 00:19:56
por ejemplo por sustitución de la que estamos 00:19:59
ah no, perdón, es la misma, creía que era 3y 00:20:03
Y crea que está escrita al revés, pero es la misma ecuación, ¿vale? 00:20:08
Escrita a derecha y izquierda, pero es la misma ecuación. 00:20:11
Entonces, solamente tenemos dos ecuaciones. 00:20:14
En realidad, aunque parezcan cuatro, z es igual a 3y y x es igual a t. 00:20:16
¿Cómo resolvemos esto? 00:20:23
Pues mira, la solución de este ejercicio tiene que ser que la x y la t, 00:20:25
o sea los que están en la diagonal principal valgan lo mismo 00:20:34
cuanto lo que tú quieras, entonces vamos a escoger un parámetro 00:20:39
por ejemplo lambda, pero tiene que valer lo mismo el que está aquí 00:20:43
y el que está aquí, eso es lo que me está diciendo a mí esa ecuación 00:20:47
¿vale? que como el elemento x que está aquí 00:20:51
y el t que está aquí, pueden valer cualquier cosa pero igual 00:20:55
entonces cualquier cosa pero igual es ponerle la misma letra griega lambda 00:20:59
Y luego también nos está diciendo la segunda ecuación que z es 3i. Entonces, si yo, por ejemplo, a z le llamo lambda, o sea, le llamo mu porque lambda ya está cogida, ¿vale? Otra letra diferente. 00:21:03
el elemento y 00:21:15
no, al revés 00:21:17
lo voy a hacer al revés que es más fácil 00:21:20
para despejar 00:21:22
si yo al elemento y 00:21:23
el que está aquí 00:21:25
elijo que se llama mu 00:21:26
entonces el elemento z que es el que está aquí 00:21:28
pues tiene que valer 00:21:32
el triple, entonces es 3 mu 00:21:33
y ahora pondremos 00:21:35
lambda mu números reales 00:21:38
indicando que son parámetros a elegir 00:21:39
que pueden tomar cualquier valor que tú elijas 00:21:42
Esta sería la solución. Se trata de leer lo que me ha quedado, que solamente me han quedado dos ecuaciones que no te dan ningún valor numérico porque tiene infinitas soluciones, pero intentar expresar la matriz donde estás incluyendo lo que te están diciendo estas ecuaciones. 00:21:44
Lo que te están diciendo es que estos elementos de la diagonal principal tienen que ser iguales y que estos de la secundaria uno tiene que ser el triple que el otro, ¿vale? El de abajo tiene que ser el triple que el de aquí. Entonces, por eso a este le he llamado mu y a este el triple. También podría haber puesto aquí mu y aquí un tercio de mu, ¿vale? Porque uno es el triple y el otro es la tercera parte, pero es más fácil despejar así. 00:22:03
Es decir, yo he elegido las letras como parámetros. He elegido x, por ejemplo, que sea mu y he elegido la y que sea, no, al revés, jolín, mu no, lambda. 00:22:25
X le hemos llamado lambda y la y le hemos llamado mu. Da igual la letra, ¿vale? Pero lo que no da igual es la relación. 00:22:39
Estas tienen que ser iguales 00:22:47
La letra que pongáis aquí tiene que ser la misma 00:22:49
A o la que queráis, pero la misma 00:22:51
Y estas tienen que tener la relación 00:22:53
De que esta es tres veces esta 00:22:55
Que es lo que me está diciendo esto 00:22:57
También lo podríais dejar con las letras originales 00:22:59
Podríais poner X, X 00:23:01
Z, 3 00:23:04
Y, y 3 00:23:05
¿Vale? Pero 00:23:07
Lo vamos a poner con letras griegas 00:23:09
Para indicar que en realidad puede ser cualquier 00:23:11
Y queda más bonito 00:23:14
Ya más bonito parece que sabemos más, ¿no? Sobre todo nos dan la idea, ¿sabes? Cuando ves esto y dices, ah, que no es que no la haya hecho la solución porque no la ha salido, es que tiene infinitos valores, que es lo que estás realmente indicando cuando pones la ANDAMO perteneciente a R. 00:23:15
que esto significa que puede 00:23:32
valer lo que tú quieras, que no es lo mismo 00:23:34
que decir no sé lo que vale porque 00:23:37
no lo he hallado, sino que 00:23:38
sí lo he resuelto y he visto que puede valer 00:23:40
cualquier cosa, ¿vale? 00:23:42
O sea, sí que tienes, no es cualquier 00:23:44
matriz, es cualquier matriz que estas coincidan 00:23:46
y que esta sea el triple de la otra. 00:23:49
No sé si, a ver, esto es lo más 00:23:51
complicado de esta parte, ¿vale? 00:23:52
Entender lo que es un sistema indeterminado 00:23:55
porque normalmente siempre 00:23:57
resolvemos sistemas determinados 00:23:58
y estamos acostumbrados a que la X valga 3, la Y no sé qué y la Z. 00:24:00
Entonces, esto al principio como que choca un poco, por eso estoy insistiendo bastante en que lo vayáis viendo. 00:24:04
Hay un tema entero que es el tema 3 que va a tratar de cuándo el sistema es determinado o indeterminado, ¿vale? 00:24:11
Y vais a aburriros de poner parámetros y cosas de estas, pero ya aquí por lo menos estamos empezando a entender 00:24:18
qué significa eso. Hay muchas soluciones, pero son de una forma especial, ¿vale? De esta forma. 00:24:23
¿Ha quedado más o menos aclarado el tema? 00:24:30
Sí. 00:24:34
O sea, estos ejercicios son de lo más, yo creo, un poco difíciles de entender de esta hoja. 00:24:35
Luego sí que hay uno de, el que os decía que, pero ya no lo hago porque va a ser igual, este. 00:24:42
Te dan otra matriz distinta y te preguntan las que conmutan. 00:24:49
Esos de las que conmutan normalmente no sale una sola, salen muchas. 00:24:53
Lo que pasa es que nos sale que tienen una forma determinada, como lo que nos acaba de pasar ahora. 00:24:57
Este es un poco terrible y el 9 también un poco terrible. 00:25:03
No son difíciles, pero igual os choca. 00:25:08
Pero como están hechos en el otro vídeo, pues me los salto. 00:25:11
Pero sí que mirároslos o intentarlos hacer y comprobar que os salen. 00:25:13
Y quería hacer uno de estos de inversas. 00:25:17
Pero, por ejemplo, el 12. 00:25:21
esto lo podéis hacer vosotros 00:25:24
el 14 que es uno parecido al que hicimos en clase 00:25:27
pero si alguien no ha venido en clase igual se ve el vídeo 00:25:31
de cómo calcular la inversa usando la definición 00:25:34
eso lo vimos en la última clase 00:25:37
pero es un ejemplo más 00:25:41
entonces voy a hacer ese 00:25:42
no sé si ahora mismo hay alguna duda 00:25:45
que queráis que os haga 00:25:46
el 14 me está diciendo Verónica 00:25:49
a ver, voy a ver 00:25:52
¿Cuál es el 14? Ah, justo, que os iba a decir, ¿no? Pues vamos a hacer el 14, venga. Pues ala, se queda así hecho ese. 00:25:54
Vamos a hacer el 14 hoy y acabamos con ese. Y así recuerdo un poquito la historia de lo que era la matriz inversa y cómo se hace este tipo, que también es bastante típico. 00:26:02
Utilizando la definición, calcular la inversa de una matriz normalmente pequeña, ¿vale? Porque de las grandes es muy pesado y no recomiendo este método para las matrices grandes. 00:26:15
Para eso, ya cuando empecemos enseguida el siguiente tema, os enseñaré un método mejor, pero necesitáis saber de determinantes, que es el tema 2. 00:26:24
Bueno, pues nos dan, bueno, solo voy a hacer una, ¿vale? No las dos. Por ejemplo, voy a hacer la A. 00:26:33
Nos dan una matriz y nos dicen que usamos la definición de inversa, ¿vale? 00:26:39
La definición de inversa es A inversa, si no apoyo la mano no puedo escribir, A inversa cumple que A inversa por A da igual a la identidad y que A por la A inversa da igual a la identidad, ¿vale? 00:26:43
En este caso de orden 2 porque todas las matrices son de orden 2. 00:27:06
Entonces esa es la definición y es lo que vamos a usar como una ecuación para resolver la inversa. 00:27:11
Entonces, a A inversa la vamos a llamar como siempre con X, Y, Z, T porque es nuestra incógnita y vamos a hacer, por ejemplo, la ecuación de arriba. 00:27:17
Lo que os decía es que si hacemos la ecuación de arriba para buscar la inversa, luego usar la ecuación de abajo para comprobarla, ¿vale? Para comprobar que está bien. 00:27:29
Entonces, porque necesitamos que se cumplan las dos, no que se cumpla una sola. 00:27:39
pero para buscar la matriz inversa pues vamos a usar la de arriba por ejemplo a la de abajo la 00:27:44
que más nos va a dar igual porque si hay una inversa la vais a encontrar en y si no la hay 00:27:49
también os vais a dar cuenta de que no sale porque no tiene solución entonces en este caso nuestra 00:27:55
matriz es 3 vamos a poner a inversa pues vamos a poner x y z que es como lo hemos llamado por 00:28:02
3152 que es la matriz a la que hay que hallar la inversa la y tiene que ser lo mismo que la 00:28:10
identidad de orden 2 que es 1001 y es como antes vale volvemos a multiplicar matrices y nos queda 00:28:18
XI por 3 es 5, o sea 3X más 5Y 00:28:27
Luego XI por 1 es 2, pues X más 2 00:28:34
Hay que hacer luego ZT por 3 es 5, Z por 3 es 3Z, 5 por T es 5T 00:28:39
Y por último ZT por 1 es 2, que es Z por 1 es Z 00:28:48
Y 2 por T es 2T 00:28:52
Y hay que igualarlo a 1, 0, 0, 1. 00:28:55
Pues ahora ya, como siempre, igualamos cada uno de los términos. 00:29:00
Entonces, este término tiene que valer a la izquierda lo mismo que a la derecha, o sea que tiene que valer 1. 00:29:05
3x más 5y igual a 1. 00:29:11
Primera ecuación que tenemos. 00:29:15
Luego, x más 2y tiene que valer 0, sí. 00:29:16
porque es aquí y tenemos que decidir con este. 00:29:21
Luego 3z más 5t tiene que valer 0. 00:29:26
Y por último, z más 2t tiene que valer 1. 00:29:33
Pues igual que el último ejemplo que hicimos en clase, 00:29:39
aquí lo que va a pasar es que van a quedar las ecuaciones acopladas. 00:29:41
Existen las ecuaciones en las que tenemos x e y como incógnitas, 00:29:45
que son esas dos, y las que tienen z y t, que son estas dos. 00:29:50
Cada una por separado lo vamos a resolver con un sistema que podéis hacer o sustitución o reducción o el método que queráis. 00:29:54
Por ejemplo, vamos a hacer con esta de aquí, yo voy a multiplicar la de abajo por menos 3 porque así voy a conseguir que me quede el signo menos 3x con 3x para que se cancele. 00:30:02
Entonces me queda 3x más 5y igual a 1, que es la de arriba, y en la de abajo multiplicando todo por menos 3, menos 3x menos 6y igual a 0. 00:30:16
¿Vale? He multiplicado la de abajo por menos 3. 00:30:31
Ahora sumamos, nos ha quedado aquí menos y, que es menos 6y más 5y y 1 más 0, 1. 00:30:35
Entonces la y vale menos 1. Y de aquí también sacaríamos la x, como sale que x más 2y es igual a 0, de ahí vamos a sustituir el valor de la y que nos ha salido menos 1, entonces x menos 2 es igual a 0 y la x vale 2, sustituyendo y por menos 1. 00:30:43
con eso hemos sacado la x y la y 00:31:06
ahora me cogería las ecuaciones 00:31:09
que hay abajo, estas dos 00:31:12
para sacar la z 00:31:14
y la t 00:31:16
entonces lo mismo 00:31:16
hacemos reducción o sustitución 00:31:26
o lo que a vosotros os guste más 00:31:30
para sacar 00:31:32
la t y la z 00:31:34
para hacer un poco de todo voy a hacer 00:31:36
aquí 00:31:38
sustitución 00:31:39
¿podéis volver un segundo a la diapositiva de atrás por favor? 00:31:41
Sí, porque igual 00:31:44
he ido muy rápido y no te da tiempo copiar 00:31:47
A ver, haciendo el sistema 00:31:48
que lo he hecho con reducción, me queda 00:31:52
la x2 y la y-1 00:31:54
¿Vale? También podíais 00:31:56
haber hecho lo que estaba repasando 00:31:59
porque el otro día vi que no todo el mundo se acordaba de esto 00:32:00
Podíamos hacer 00:32:03
el otro método que era, por ejemplo, despejamos 00:32:04
aquí la x y la sustituimos arriba 00:32:06
¿Vale? Es lo que estoy... Lo voy a hacer con 00:32:08
esas otras dos 00:32:10
porque así os repasamos 00:32:11
para que nos acuerden. Entonces 00:32:14
Si aquí, por ejemplo, despejáis la zeta, de la de abajo, si os acordáis sustitución, despejáis, porque está fácil, porque no lleva coeficiente. 00:32:16
Despejáis una letra en una de ellas y sustituimos en la otra. 00:32:26
Entonces, si sustituís esa en la otra, nos queda 3 por lo que vale la zeta, que es paréntesis, 1 menos 2t, más 5t igual a 0. 00:32:29
Ese era el otro método para resolver sistemas. 00:32:39
Entonces nos queda 3 menos 6t más 5t igual a 0, es decir, 3 menos t igual a 0, la t vale 3. 00:32:41
¿Y cuánto vale z? Pues la z como la tengo aquí arriba apuntado lo que valdrá es 1 menos 2 por t, 1 menos 2 por 3, 1 menos 6 menos 5. 00:33:01
Total, eso es lo que vale la Z 00:33:12
Total, que ya tengo toda la solución 00:33:17
Porque mi matriz X 00:33:21
X no, la hemos llamado esa inversa 00:33:23
La matriz A inversa es X 00:33:27
A ver si me acuerdo, ¿cuánto valía la X? 00:33:35
2, la Y menos 1, entonces será 00:33:38
La X2, la Y menos 1 00:33:41
la z me ha salido menos 5 y la t me ha salido 3 00:33:44
vale y acordaros que si esa sería la inversa 00:33:48
pero porque hemos sacado que tiene que cumplir esto 00:33:52
pero como también tiene que cumplir esto habría que comprobarlo 00:33:55
que a por esa matriz nos da la identidad 00:33:58
entonces comprobamos que a por a inversa da la identidad 00:34:02
que ya os digo que eso va a salir, no es que nos hayamos equivocado 00:34:10
¿Vale? Entonces, la A, que no me acuerdo cuál era, 3, 1, 5, 2. 3, 1, 5, 2 multiplicada por la A inversa que acabo de buscar, que es 2 menos 1 menos 5, 3, pues vamos multiplicando. 00:34:14
Nos queda 3, 1 por 2, menos 5, 3 por 2, 6, menos 5, 1. 3, 1 por 2, menos 1, pues da menos 3, más 3, 0. 5, 2 por 2, menos 5, da 10, menos 10, 0. Y la última, 5 por menos 1, menos 5, más 6, menos 5, más 6, 1. 00:34:33
¿Vale? Con lo cual está comprobado 00:34:53
Eso sería la A, pero la B es exactamente igual 00:34:56
¿Vale? Todo el mismo ejercicio 00:35:00
Pero solo que como aquí cambian los números 00:35:01
Pues os saldrán otras ecuaciones 00:35:03
Pero veis que siempre las ecuaciones están como 00:35:05
Agrupadas, dos y dos 00:35:07
¿Vale? Con lo cual al final es resolver dos sistemas 00:35:09
Sencillos, ¿vale? Con dos ecuaciones 00:35:12
¿Vale? Esto me lo habíais 00:35:14
Preguntado, Estefanía, sí 00:35:17
Vuelve a la última, por favor, Araceli 00:35:19
Vale, me está diciendo 00:35:21
Sí, voy. La última pantalla, que es esta, ¿no? O sea, lo que he hecho, aparte de resolver el segundo aquí, es comprobar. 00:35:23
Vale, ya está, ya está. 00:35:30
Una cosa que me faltaba, ya está. 00:35:32
Vale, me dice Estefania que si repaso los sistemas de ecuaciones. 00:35:34
Claro, lo estoy haciendo sobre la marcha, ¿vale? Entonces, si queréis que lo hagamos como más sistemático, pues en la próxima clase lo vemos. 00:35:38
Pero los sistemas, lo que te estaba comentando, o sea, hay dos formas. Las mejores son para estos sistemas pequeños, ¿vale? Con dos ecuaciones y dos incógnitas. Y había dos maneras. Una se llama sustitución y la otra reducción. 00:35:47
Entonces, a ver que te lo pongo aquí rápido. 00:36:03
adecuado, que lo tenemos que buscar un poco a ojo, ¿vale? Y sumar las dos ecuaciones resultantes para que se cancele uno de los términos, 00:36:44
el de la x o el de la y, ¿vale? Ahora lo dejo ya escrito y el ejemplo, ¿no? El ejemplo es el que acabamos de hacer, este ejemplo de aquí. 00:37:07
Lo que hemos hecho aquí es que hemos buscado multiplicar la de abajo por menos 3. 00:37:20
¿Por qué? Porque así hemos visto que el 3x al multiplicar esta por menos 3 nos iba a quedar cambiado el signo. 00:37:28
Y al quedar cambiado el signo con el otro, luego cuando sumamos se nos va. 00:37:36
Si por ejemplo queremos hacer, lo hago aquí también, la segunda que me he hecho, 00:37:41
la he hecho por sustitución 00:37:45
pues la voy a hacer para reducción 00:37:49
y así se queda también hecha de otra manera 00:37:50
que veáis como sería 00:37:52
si esa ecuación que me ha salido ahí 00:37:53
yo la quiero hacer 00:37:57
por este método 00:37:58
yo me fijo bien en la ecuación y digo 00:38:00
a ver, de las letras que tengo 00:38:02
la Z y la T 00:38:05
¿qué me viene bien multiplicar 00:38:06
para que se quede no esta o esta cambiada de signo? 00:38:08
aquí está más difícil porque 00:38:11
como puedes multiplicar 00:38:12
esta por menos 2 y esta por 5 y te quedarían menos 10 y aquí 10, pero yo veo más fácil, como aquí esta zeta está sola, 00:38:14
multiplicarla por menos 3 y así aquí te queda 3 y menos 3, que es lo que tú buscas, que quedan cambiados de signo. 00:38:23
Entonces, en este caso lo más fácil es multiplicar la ecuación de abajo por menos 3 y la de arriba la dejas igual, 00:38:29
Vale, entonces la de arriba te queda 3z más 5t igual a 0 y la de abajo al multiplicarla te queda menos 3 por z, menos 3z, menos 3 por 2t, menos 6t y menos 3 por 1, menos 3. 00:38:40
Ya hemos multiplicado la de abajo por el número adecuado, pues aquí veo que el que me interesa es menos 3 para que estas dos queden cambiadas de signo. 00:38:57
Una vez que hemos hecho eso, la sumamos, si se suman, término a término, c3z y menos 3z, eso da 0, se cancela y ahora sumo 5t menos 6t, me queda menos 1t. 00:39:06
Y en el otro lado también sumo 0 y menos 3, pues da menos 3. 00:39:22
Y de aquí ya cambiando el signo te queda que la t vale 3. 00:39:28
Cuando hacemos reducción, una vez que hemos encontrado una de las incógnitas, ahora hay que buscar la otra. 00:39:31
Para buscar la otra, como ya es el valor de una, en cualquiera de las dos ecuaciones puedo sustituir la que ya conozco. 00:39:38
Aquí, por ejemplo, esta la veo más fácil, pero podría sustituir en cualquiera, ¿vale? 00:39:45
Entonces voy a sustituir ahí, que sé que la t vale 3, entonces me queda z más 2 por t, es decir, más 2 por 3, es igual a 1. 00:39:48
Me queda z igual a 1 menos 6, ¿vale? Pasando el 6, lo paso restando y me queda que es menos 5, con lo cual ya tenemos el valor de la z. 00:39:59
Así lo he hecho por reducción y en la página anterior lo he hecho por sustitución, que es el otro método. 00:40:15
El método de sustitución es lo que he hecho aquí, ¿vale? He despejado una de las letras, pongo la teoría. 00:40:24
El método de sustitución para resolver ecuaciones es, todo esto vale para ecuaciones con dos incógnitas, ¿vale? 00:40:34
Sustitución, ¿vale? 00:40:45
Y es despejar una incógnita, una de las letras, en una de las ecuaciones y sustituir en la otra, ¿vale? 00:40:47
Y con eso lo que vamos a conseguir es que nos quede una ecuación con una sola incógnita y ya la resolvemos. 00:41:09
Ejemplo, pues vamos a hacerlo al revés. Como el primero lo había hecho por reducción, pues lo voy a hacer por sustitución para que veáis que sale lo mismo. 00:41:17
Este sistema de aquí, que aquí lo he hecho por reducción, pues lo voy a hacer por sustitución. 00:41:27
Al final son muy parecidos los dos métodos, ¿vale? 00:41:32
Cada uno puede elegir el que quiera porque son más o menos de la misma gravedad y dificultad. 00:41:36
Entonces, tenemos ese sistema. 00:41:43
Decidimos que lo vamos a hacer por sustitución. 00:41:46
Entonces, ¿qué tenemos que hacer? 00:41:50
Buscar una letra para despejar. 00:41:51
Podemos despejar cualquier letra en cualquier ecuación, 00:41:53
pero solemos buscar la que tiene coeficiente 1, ¿vale? 00:41:57
Porque sale mucho más fácil todo, porque si no nos salen denominadores. 00:42:01
Entonces vamos a intentar despejar esta, que es la que nos lo pone más fácil aquí, 00:42:05
porque si no tendríamos que pasar, por ejemplo, si despejas la y te pasa el 2 dividiendo, 00:42:08
si despejas aquí te pasa el 3 dividiendo y tienes que trabajar con denominadores. 00:42:12
Siempre que podamos vamos a ir a lo fácil. 00:42:17
Entonces vamos a despejar x de aquí, de la segunda ecuación. 00:42:18
¿Cómo despejo aquí la x? 00:42:24
Pues la dejo en el primer miembro y pasamos al segundo miembro, el 2y que está con más, pues pasa con menos. 00:42:27
Entonces nos queda x igual a menos 2y. 00:42:37
Una vez que lo tenemos, eso, lo que nos dice el método es que sustituyamos en la otra ecuación. 00:42:39
Hemos despejado la segunda, pues hay que sustituir en la primera. 00:42:45
Esta expresión se sustituye aquí. 00:42:49
Sustituir quiere decir que donde está la x ponga menos 2y, que es su valor. 00:42:52
Es decir, aquí donde está esta x voy a tener que escribir menos 2i. Cuidado porque aquí hay un por, que no es un menos, es x por x, o sea, 3 por x, 3 por menos 2i, más 5i igual a 1. 00:42:55
¿Vale? Entonces, ¿qué pasa? 3 por menos 2, menos 6y, más 5y igual a 1 y resuelvo 00:43:12
Ahí me queda menos 6y más 5y menos y igual a 1, por lo tanto la y cambiando el signo me da menos 1 00:43:21
Como yo ya tengo el valor de la y, pues igual que antes, ahora voy a buscar el valor de la x 00:43:27
En este método la x ya la tengo despejada, o sea que me ahorro trabajo en ese sentido 00:43:33
porque aquí me dice lo que vale la x. 00:43:38
Si tú sabes lo que vale la y, que vale menos 1, 00:43:40
solo hay que sustituir. 00:43:43
Entonces, la x es menos 2 por menos 1, 00:43:44
que es el valor de la y. 00:43:48
Es decir, menos 2 por menos 1, 2. 00:43:49
Entonces, la x vale 2. 00:43:52
Y así sacamos por sustitución los mismos valores 00:43:55
que nos habían salido antes utilizando reducción. 00:43:58
Bueno, ¿te vale de repaso un poco de los sistemas de ecuaciones, 00:44:02
Estefanía? 00:44:07
¿Sí? ¿Te has enterado? 00:44:08
Bueno, pues lo dejamos ahí que ya nos hemos pasado un poco de hora y ya es viernes, así que nada, que aprovechéis el fin de semana, estudiar y ya sabéis que de la hoja no hay que entregar todo, ¿vale? Os he quitado desde el 15 hasta el 24 porque si no, no me va a dar tiempo de explicar. Así que iré acabando los demás que yo creo que entre vídeos y no sé qué están casi todos hechos y tranquilamente, ¿vale? Lo vais haciendo y la semana que viene ya vamos a empezar el siguiente tema. 00:44:10
Así que nada, dime 00:44:38
Buen fin de semana 00:44:42
Igualmente 00:44:44
Venga, hasta el próximo, chao 00:44:45
Adiós 00:44:48
Ay, me he cortado 00:44:50
Autor/es:
Araceli Alonso
Subido por:
Araceli A.
Licencia:
Todos los derechos reservados
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Fecha:
26 de septiembre de 2023 - 19:49
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARIANO JOSÉ DE LARRA
Duración:
45′ 04″
Relación de aspecto:
1.87:1
Resolución:
1376x736 píxeles
Tamaño:
1.63

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